12 HUONG DAN GIAI BAI TAP THEO CHU DE (1)

Vậy khi hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau thì diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.vuông góc dây cung Þ AH =CK... Cần chứng minh AB/ /OI cho ta nghĩ đến các điểm ,M N là tiếp điểm c

PHẦN 3 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CƠ

BẢN

CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG,

TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

Gọi E là giao điểm của AD và BC

Vì DECD có µD C+µ =900 nên ·CED =900.

Các tam giác EAB ECD EAC EBD vuông tại , , , E nên theo định

A

E

B A

Câu 4 Giải: Vẽ đường thẳng qua A vuông góc với AF cắt

DC tại G Xét DABE và DADG có:

A

A

B

C G

D

E

F

F M

N H

E

B A

Dựng AE ^AN AH, ^CD ,E H Î CD,dựng AF ^BC thì hai

tam giác AHE , AFM bằng nhau nên AE =AM Trong tam giác vuông AEN ta có: 12 12 12

Û = .Nhưng điều này là hiển nhiên

do tam giác ADC ABC là các tam giác đều.,

AE +BE =AB Þ AE =AB - BE = b DADE vuông tại

E , nên theo định lý Pitago ta có:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

x

20 o

E D C B

A

Vẽ đường phân giác AD

của tam giác ABC

Theo tính chất đường phân

giác của tam giác ta có BD DC

Vẽ BI ^AD I( Î AD), suy ra BI £ BD.DIAB có ·AIB =900, do

Câu 9.

Dựng đường thẳng vuông góc

với AM tại A cắt BO tại K

Dựng IH ^OA Ta dễ chứng minh

được DAOK = DIHA Þ AK =AI

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AKM ta có:

BEK =DEC =EDC =AKE nên tam giác

BEK cân do đó BK =BE Þ DAEK vuông tại

E K

B A

SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN, QUAN HỆ HAI ĐƯỜNG TRÒN, QUAN HỆ ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG

THẲNG Câu 11 Giải:

Vẽ đường kính AE có AE =8cm

Điểm B thuộc đường tròn

đường kính AE Þ ABE· =900.

Xét DADC và DABE có ·DAC

(chung), ·ADC =ABE· (=900),

H

O

B A

Vì AH £ AO DB, =2R nên S ABCD £ 2R2 (không đổi) Dấu “=” xảy ra Û H º O Û AC ^BD Vậy khi hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau thì diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.

vuông góc dây cung) Þ AH =CK Xét DOHM (OHM =· 900)

có OM (cạnh chung) và OH =OK , do đó DOHM = DOKM

(cạnh huyền, cạnh góc vuông) Þ MH =MK Ta có

MH - AH =MK - CK Þ MA=MC

Câu 14 Giải:

Vì ·COD =900 suy ra tam giác

COD vuông cân tại O nên

B

chứng minh AD hoặc AE có độ dài

không đổi Các đoạn thẳng AB AC ,

có độ dài không đổi, DE ^OA từ đó

gợi cho ta vẽ đường phụ là đường kính AF để suy ra:

những điều này giúp ta nghỉ đến

chứng minh OM là đường phân giác

O

M H

C

B A

Gọi N là trung điểm của CD

thì MN là đường trung bình của

hình thang và tam giác MNC cân

tại N nên ·NMC =ACM· =MCN·

Suy ra CM là tia phân giác của ·ACH nên MA=MH , Từ đó

ta có điều phải chứng minh

D N

H C

B A

O H

I P

A D

C B

Câu 20 Giải:

Điều cần chứng minh làm ta nghĩ đến định lý Thales do vậy

ta làm xuất hiện “hai đường thẳng song song”

+ Vẽ CK / /AB K, Î DE

Ta có IM DM

IC =CK (*)

+ Vì ·CEK =AED· =ADE· =EKC·

Suy ra tam giác CEK cân tại C Þ CE =CK Thay vào (*) ta

OK OC là hai tia phân giác của hai góc kề bù EON và NOD

(tính chất trung tuyến)Þ KOC· =900 + Xét DOEK và DCDO có ·OEC =CDO· (=90 ,0) OKE· =COD·

(cùng phụ với ·EOK ).Do đó OEK CDO EK OE

O

E D

M

C B

A

N

E H

A

O K

+ Trong DABM có HE / /BM , áp dụng hệ quả của định lý

Thales trong tam giác ta có HE AE

trên tia phân góc A)

+ Gọi ,M N là tiếp điểm của ( )O ;

K

O D

M

C B

A

N

N I

F

+ Vì đường tròn ( )I tiếp xúc với

các cạnh tại , ,D E F nên suy ra

AM AN là các tiếp tuyến của đường

tròn ( )O ,gọi H là giao điểm của AO

và MN

Ta có tam giác AHE đồng dạng với

Tam giác ADO nên AE AD =AH AO

Cũng theo tính chất tiếp tuyến ta có: AH AO =AM2.Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Cần chứng minh AB/ /OI cho ta

nghĩ đến các điểm ,M N là tiếp

điểm của đường tròn ( )O tiếp xúc

với BC , đường tròn ( )I tiếp xúc với AD

Gọi O là trung điểm của BC

thì tam giác OCD đều nên ·OCD =600

2

CD =BC = BC suy ra BC =AB =2CD

Câu 26 Giải:

Ta gọi giao điểm của AM và cung BC

là D.Ta có ·BAM =MAC· Û BD» =DC¼

A

Để chứng minh: ·AMO'=ADO· ta

dựa vào các tam giác cân O AM' và OAD

Từ bài toán này ta cần ghi nhớ kết quả quan trọng:

Trong tam giác ABC ta có: 2

sin sin sin

D

C B

A

A

D O

O' O

Ta có: AB là tia phân giác của ·CAF ,

Dựng đường kính HN của đường tròn

( )C cắt đường tròn ( )O tại K khi đó ta có

Dựng đường kínhAE của đường

tròn (O R Ta có ·; ) AEC =ABD· (cùng chắn cung AC )

suy ra DDBA : DCEA, từ đó suy ra

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

D

N

E C

K

M

B A

A

D

E O

· ·

BAD =OAC .

Câu 32

Ta có: ·BEC =BDC· (cùng chắn cung )

BC và ·ABD =BDC· (so le trong)

suy ra ·BEC =ABD·

Vì vậy tia BD là tia tiếp tuyến của

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE

x

y E

H O

D

C B

A

Ta chứng minh H là trực tâm của

của tam giác ABC , ta cần chứng

minh ·AFE =900, nghĩa là cần có

là giao điểm của BD CE ,

Chứng minh được ·AMH =AMN· ,

từ đó có , ,M H N thẳng hàng.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

F A

M

N E

A

K

Câu 37 Giải:

Hai tam giác cân ABC DAB ,

có chung góc ở đáy ·ABC ,

do đó ·BAC =ADC· Suy ra BA là tiếp

tuyến của đường tròn ngoại tiếp

tam giác ACD

Câu 38 Giải:

Vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn ( )O

·xAB và ·ACB lần lượt là góc tạo

bởi tia tiếp tuyến và dây cung và

góc nội tiếp cùng chắn cung AB của

( )O nên · xAB =ACB·

·ABD và ·ACB lần lượt là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây

cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BD của ( )I nên

B

A

I O D

C B

E A

F

E D C

B A

2 1 2

1 A

B

C

D M

kính của ( )M Þ CD là tiếp tuyến của đường tròn ( )O tại M .

c) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn, có:

4

CD

AC BD =AH BH =MH = (do DCHD vuông có HM là

trung tuyến ứng với cạnh huyền)

d) Ta có IP / /AM (vì cùng vuông góc với MB).Kéo dài IP

cắt AN tại K ; DAMN có IK là đường trung bình Þ K trungđiểm của AN Mà A N, cố định nên K cố định Điểm P luôn nhìn hai điểm K B, cố định dưới một góc vuông nên P

chuyển động trên đường tròn đường kính KB

H

K F

O

a) Ta có AIB =· 900 (góc nội tiếp

FAK

D có AI là đường cao (AI ^BI) đồng thời là đường

trung tuyến (F và K đối xứng qua I )

FAK

Þ D cân tại AÞ FAI· =IAK· Ta có

FAB =FAI +IAB =IAK +IAB =IBA+IAB = Þ AF ^AB

tại AÞ AF là tiếp tuyến của ( )O

BI cũng là đường trung trực Þ KA =KE K( Î BI)

3 12

C

M

O

(hai góc nội tiếp chắn hai cung

bằng nhau) Þ BM là đường phân

giác ·ABN trong DABM Mặt khác

Þ = .Ta lại có BAN· =MCN· (vì cùng bù ·BCM ) Do

đó BNA· =MCN· Þ DCMN cân tại M

Þ = = (do DCMN cân tại

M nên CM =MN )Þ QN =BC BCA =· 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét DBAQ vuông tại A, AC ^BQ có:

hành có hai đường chéo vuông góc nhau).

b) Ta có BIC =· 900 (góc nội tiếp chắn nủa đường tròn ( )O' )

c) BCI· =BIM· (góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dâycung chắn »BI ) BCI· =BIH· (cùng phụ ·HIC)

BIM BIH IB

Þ = Þ là phân giác ·MIH trong DMIH Ta lại có

BI ^CI Þ IC là phân giác ngoài tại đỉnh I của DMIH Áp

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file

K

dụng tính chất phân giác đối với DMIH có:

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

ta có DM DN, lần lượt là tia phân giác ·KDP và ·PDL

AEF

D Do AD là đường trung tuyến của DABC đều nên

AD là tia phân giác ·BAC Suy ra O Î AC Gọi P K L', ', ' lần lượt là các tiếp điểm của ( )O với EF AB AC, , Ta có

AK =AL P E =EK P F =FL (tính chất hai tiếp tuyến cắt

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Câu 46 Giải:

a) Xét DMAD và DMBA có ·AMB chung;

MAD =MBA (góc nội tiếp, góc tạo bởi tia

tiếp tuyến và dây cùng chắn ¼AD )

D

E M

O

tuyến cắt nhau của một đường tròn) MD MD

D và DDEC có ADB· =EDC· (cách dựng), ABD· =ECD·

(hai góc nội tiếp cùng chắn ¼AD )Þ DDAB$DDEC (g.g)

M D

( )O với CD Trong đường tròn ( )O có IMD· =MAB· (góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn ¼MB ),

MAB =MDI (cùng phụ với ·ACH )Þ IMD· =MDI· Þ DIMD cântại I Þ IM =ID Ta lại có IMC· =ICM· (cùng phụ với hai góc bằng nhau) Þ DMIC cân tại I Þ IM =IC Vậy

IM =ID =IC Þ I là trung điểm của CD

+ DCED có EI là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

d) DAHC có H =µ 900, CAH =· 450 Þ DAHC vuông cân tại H

BC BDCE OB OC

Þ = = (không đổi) b) DBDO : DCOE

DBO =DOE = Þ DBDO : DODE (c.g.c) Þ BDO· =ODE· ,

mà tia DO nằm giữa hai tia DB DE, Þ DO là tia phân giác

·BDE .

c) DABC đều nên đường trung tuyến AO cũng là đường phân giác trong của ·BAC , mà DO là phân giác ngoài tại đỉnh DÞ O là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A của

ADE

D Þ ĐƯờng tròn ( )O luôn tiếp xúc DE AC,

d) AP =AQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), AB =AC

Þ = = là hai đỉnh liên tiếp của tứ giác IOQE

Þ Tứ giác IOQE nội tiếp (cùng thuộc một cung chứa góc) Suy ra EIO· =EQO· =900 Lý luận tương tự DNE =· 900 Vậy tứ giác DINE (·DIE và ·DNE cùng nhìn DE dưới một góc

vuông) Þ ONI· =ODE· Vậy DONI : DODE (g.g)

Câu 49 Giải:

a) Do AB AC, là hai tiếp tuyến

cắt nhau của đường tròn ( )O

nên ABO· =ACO· =900Þ B C,

thuộc đường tròn đường kính OA có tâm I là trung điểm

K

A

C B

O

Câu 50 Giải:

a) Gọi O' là giao điểm của AO

với cung nhỏ DE của đường tròn

( )O Þ O' thuộc đường phân giác

của µA trong DADE Ta có

b) Do AB =AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Þ DADE

cân tại A nên · 1800 · 0 ·

NMB =NCB, mà M C, là hai đỉnh liên tiếp của tứ giác

BCMN Þ Tứ giác BCMN nội tiếp (vì cùng thuộc một cung

C B

A

c) DNMO và DBCO có NOM· =BOC· (đối đỉnh); NMO· =BCO·(cmt)Þ DNMO$DBCO (g.g) OM ON MN