3 + Tứ giác AMBI là hình thoi do có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường và hai cạnh kề IA=IB.. Tương tự tứ giác ANCI cũng là hình thoi và hai hình thoi AMBI và AN[r]
Trang 1CỤM TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ
Môn thi : Toán 12
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể giao đề)
Câu 1 (4 điểm)
1) Chứng minh rằng đường thẳng d : y = − +2x m luôn cắt đồ thị hàm số (C): 2 1
1
x y x
+
= + tại hai
điểm phân biệt A , B với mọi m Tìm m để tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ)
2) Tìm m để đồ thị hàm số y=x4−2mx2+2 có ba điểm cực trị A , B ,C tạo thành một tam giác
có trực tâm là gốc tọa độ
Câu 2 (4 điểm)
4 sin 3 os2 1 2 cos ( )
x
2) Giải bất phương trình : ( x2− x x )( − ≥ 4) 5 − + x x − 3
Câu 3 (4 điểm)
1) Giải hệ phương trình
3
( 2)(2 1) 20 28
− − = + −
+ + = +
2) Tính tích phân :
1 2 2
0
(2 1) 1
x
dx xe
+ + +
Câu 4 (6 điểm)
1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều , mặt bên SCD là tam giác cân tại S và có diện tích bằng
2
11 4
a Tính thể tích khối chóp S.ABCD và
cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm ( ; 0)8
3
G , đường tròn (C)
ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I Các điểm M(0;1),N(4;1)là các điểm đối xứng với I qua AB và
AC Điểm K(2; 1)− thuộc đường thẳng BC Viết phương trình đường tròn (C)
Câu 5 (2 điểm) Chứng minh rằng 3 3
a bc b ca c ab
+ +
+ + + , trong đó a,b,c là các
số thực dương thỏa mãn điều kiện : a b c+ + =abc
- Hết -
Trang 2SỞ GD & ĐT BẮC GIANG
CỤM LẠNG GIANG
KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM 2016
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN
( Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang)
1
+) PT hoành độ giao điểm của (C) 2 1
1
x y x
+
= + và d : y= − +2x 1 là : 2
2x + −(4 m x) + − =1 m 0(x≠ −1) (*)
0.5
+) Chứng tỏ ∆ =m2+ > ∀8 0 m và x=-1 không là nghiệm PT (*) 0.5
+) Giả sử A x( ; 21 − x1+m B x), ( ; 22 − x2+m x)( 1≠x2) Theo Viet
1 2
1 2
4 2 1 2
m
x x
m
x x
−
+ =
−
3
OA OB OA OB m
0 5
2
+ ) TXĐ : D=R Ta có y' 4 (x x2 m y), ' 0 x2 0
x m
=
=
, hàm số có ba cực trị
khi m>0
0.5
+) Giả sử A(0; 2), (B m; 2−m2), (C − m; 2−m2) Từ giả thiết
0 5
+) Chuyển OB AC =0 thành PT : m m( 3−2m− =1) 0 0 5
+ Đối chiếu ĐK và KL đúng 1 5
2
m= +
1
+ ) Đưa PT về dạng : in 2s x− 3 os2c x=2 cosx 0 5
+) Biến đổi về PT cơ bản : sin(2 ) sin( )
x−π = π −x
+) KL đúng nghiệm PT là : 5 2 , 5 2 , ( , )
x= π +k π x= π + lπ k l∈Z
+) ĐK : 0≤ ≤x 5
+) Thêm lượng liên hợp thích hợp :
3 ( x x − 1)( x − ≥ 4) 3 5 − − − + x (7 x ) 3 x − + ( x 2) 0 5
Trang 32
0.5
+) Đánh giá được biểu thức trong móc vuông luôn dương ∀ ∈x [ ]0; 5 nên bất PT
tương đương (x−1)(x− ≥4) 0
0.5
+) Kết hợp ĐK suy ra tập nghiệm bất PT là S =[ ] [ ]0;1 ∪ 4; 5 0.5
1
ĐK : x+2y≥0 Biến đổi PT 2( x+2y+y)=x x( +1) về dạng
2 (x+2 )y +2 x+2y =x +2x
0 5
2
x
x x y
y x x
≥
= + ⇒
= −
0 5
+) Thế vào PT còn lại tìm được x=2 và y=1 0 5
2
+) Biến đổi tích phân về dạng :
+) Tính đúng
1
0
1
x
xe dx=
+) Tính đúng
1
ln(1 ) ln(1 )
0
x
1
+) Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD ;
+) Tính đúng 2
2
a
SH =
0 5
+) Tính đúng
3 2
a
Trang 4+) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng d đi qua S và song song với
AD
+) Qua H , kẻ đường thẳng song song với AB cắt các đường thẳng AD,BC lần lượt
tại E và F Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc ESF
0.5
+) Tính đúng osES 1
3
2
+ ) Tứ giác AMBI là hình thoi (do có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung
điểm mỗi đường và hai cạnh kề IA=IB) Tương tự tứ giác ANCI cũng là hình thoi
và hai hình thoi AMBI và ANCI có các cạnh bằng nhau nên tứ giác MNCB là
hình bình hành ⇒MN/ /BC
0 5
+) Gọi H , E lần lượt là trung điểm của MN và BC ⇒ H(2;1), Do
( )
MAN BIC c c c
∆ = ∆ , mà ∆MAN, ∆BCI là các tam giác cân tại A và I
,
AH IE
⇒ là các đường cao của ∆MAN,∆BIC⇒ AH =IE
0 5
+) Lại có AH ⊥MN IE, ⊥BC MN, / /BC⇒ AH / /IE⇒□AHEI là hình bình
hành ⇒G là trọng tâm tam giác HIE
0 5
+ ) Gọi F x y là trung điểm IE( ; ) , giả PT 2 (3; 1)
2
HG= GF⇒F − Lập PT đường thẳng IE q ua F và vuông góc BC ⇒IE⊥MN⇒IE x: − =3 0, BC qua K và
song song MN ⇒BC y: + =1 0
0.5
+) Tứ giác AHEI là hình bình hành ⇒IA= =R HE= 5 Vậy (C)
+) Nhận xét được 1 1 1( 1)
4
x y ≤ x+ y
+ với mọi x>0;y>0(1)
Đặt
A
a bc b ca c ab
A
a b c a abc b abc c abc
a b c a b a c a b b c b c a c
0 5
+)
4
a b c a b a c a b b c a c b c
a+ + −b c a b+a c+b c ≥ a+ +b c
0.5
+) CM 1 1 1 3
a+ + ≥b c 3 3
4
A
⇒ ≥ Dấu bằng xảy ra khi a= = =b c 3 0 5
0 5
Trang 5A
4
a+ +b c
= Vậy
4
a b c
A≤ + + Dấu bằng xảy ra khi a= = =b c 3 (đpcm)