Chuyên đề 1

Cấp số nhân Xét bài toán: Một ngân hàng quy định như sau đối với việc gửi tiết kiệm theo thể thức có kỳ hạn:“Khi kết thúc kỳ hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ s

Chuyên đề 1: CẤP SỐ NHÂN

I Cấp số nhân

Xét bài toán:

Một ngân hàng quy định như sau đối với việc gửi tiết kiệm theo thể thức có kỳ hạn:“Khi kết thúc kỳ hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kỳ hạn như kỳ hạn mà người gửi đã gửi” (Thể thức này thường được gọi là “thể thức lãi kép”)

Giả sử có một người có 10 triệu đồng với kỳ hạn 1 tháng vào ngân hàng nói trên và giả sử lãi suất của loại kỳ hạn này là 0,7%

a) Hỏi nếu sau 6 tháng sau, kể từ ngày gửi, người đó mới đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?

b) Cũng câu hỏi như trên, với giả thiết thời điểm rút tiền là 1 năm sau kể từ ngày gửi

Với mỗi số tự nhiên , kí hiệu , là số tiền người đó rút được (kể cả vốn và lãi) sau tháng kể từ ngày gửi Khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:

Như vậy, ta có dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và 1,007

Người ta gọi các dãy số có tính chất tương tự như dãy số nói trên là những cấp số nhân

thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước đó và một số không đổi Nghĩa là: là cấp số nhân

u 1 được gọi là số hạng đầu tiên, u k là số hạng thứ k của cấp số nhân, q được gọi là công bội của cấp số nhân Nếu cấp số nhân là hữu hạn, có số hạng thì gọi là số số hạng còn u n được

gọi là số hạng cuối của cấp số nhân

Ví dụ:

a) Dãy số với u n với là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội q = 2 b) Dãy số là một cấp số nhân với số hạng đầu u 1 = 2, số hạng cuối là

-162, số số hạng là 5 và công bội q= -3

Ví dụ: Cho dãy số xác định bởi và với mọi

Chứng minh rằng dãy số xác định bởi với mọi là một cấp số nhân Hãy cho biết số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó

Giải:

Từ công thức xác định dãy số và , ta có:

Từ đó suy ra dãy số là một cấp số nhân với số hạng đầu

và công bội

2 Định lí:

a) Tính chất đặc trưng của cấp số nhân:

Nếu là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân:

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội thì số hạng tổng quát của nó được xác định theo công thức sau:

c) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

Giả sử là một cấp số nhân với công bội Với mỗi số nguyên dương , gọi là tổng

số hạng đầu tiên của nó Khi đó ta có:

Chứng minh:

a) Gọi là công bội của cấp số nhân Với mọi , ta có:

Từ hai đẳng thức trên, ta có: (đpcm)

b) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

là Khi đó ta có

Vậy công thức cũng đúng khi Từ đó suy ra điều cần chứng minh

c) Ta có:

Do đó:

Từ đó, do q ≠ 1, suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ: Trở lại bài toán ở phần mở đầu

Giải:

Theo yêu cầu của bài toán, ta cần tính và Do là một cấp số nhân với số hạng đầu

và công bội nên theo định lí, phần b) ta có:

Suy ra: (đồng)

(đồng)

Ví dụ: Cho cấp số nhân có và Hãy tính tổng mười số hạng đầu tiên của cấp số đó

Giải: Gọi là công bội của cấp số nhân , ta có:

Do đó, theo định lí, phần b), ta được: Suy ra:

Vì thế, theo phần c), ta được

ĐỐ VUI: Một hào đổi lấy năm xu?

Tương truyền, vào một ngày nọ, có một nhà toán học đến gặp một nhà tỉ phú và đề nghị được "bán" tiền cho ông ta theo thể thức sau: Liên tục trong 30 ngày, mỗi ngày nhà toán học

"bán" cho nhà tỉ phú 10 triệu đồng với giá 1 đồng ở ngày đầu tiên và kể từ ngày thứ hai, mỗi ngày nhà tỷ phú phải "mua" với giá gấp đôi giá của ngày hôm trước Không một chút đắn đo, nhà tỉ phú đồng ý ngay tức thì, lòng thầm cảm ơn nhà toán học nọ đã mang lại cho ông ta một

cơ hội hốt tiền "nằm mơ cũng không thấy"

Hỏi nhà tỷ phú đã lãi được bao nhiêu trong cuộc "mua-bán" kì lạ này ?

II Cấp số nhân cộng

Định nghĩa:

Dãy số được gọi là cấp số nhân cộng nếu với mọi , ta có:

( là hằng số) Trong trường hợp , ta có là cấp số cộng với công sai và trong trường hợp , ta

có là cấp số nhân với công bội

Tiếp theo ta giả sử rằng

Hai bài toán cơ bản liên quan đến cấp số nhân cộng có thể được giải quyết dễ dàng dựa vào tính chất của cấp số nhân

Ví dụ 1: (Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân cộng)

thức giải tổng quát cho

Giải: Đặt với là một hằng số mà ta sẽ chọn thích hợp Thay vào hệ thức truy hồi,

ta có:

Như vậy, là cấp số nhân công bội và số hạng đầu

Từ đó công thức tổng quát tính là

Ví dụ 2: Cho tam giác đều có cạnh bằng Trên cạnh , ta lấy điểm sao cho

Gọi là hình chiếu của lên là hình chiếu của lên là hình chiếu của lên là hình chiếu của lên , … và cứ tiếp tục như thế Hãy tìm giá trị của sao cho

Giải:

Sử dụng tính chất của tam giác nửa đều, ta lần lượt tìm được:

Như vậy, nếu đặt thì ta có và Làm theo cách làm tổng quát ở ví dụ 1 (ở đây và ), ta đặt và thay vào hệ thức truy hồi thì được

Từ đó suy ra

và như vậy

Quay trở lại bài toán, ta thấy yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm sao cho , và theo tính toán ở trên thì điều này tương đương với

Vậy là giá trị cần tìm (Thực ra lúc này, các điểm đều trùng nhau)