Giup hoc sinh khac phuc mot so sai lam thuong gap khi giai bai toan ve can bac hai

Cũng giống như bài 4 phần sai lầm khi giải phương trình, học sinh sau khi đặt điều kiện cho bất phương trình sau đó bình phương hai về, chưa xét xem hai vế không âm.. Khắ[r]

GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA.

A ĐẶT VẤN ĐỀ.

1 Lý do khách quan:

Toán học là môn khoa học, toán học có vai trò rất quan trọng, là chìa khóacho các ngành khoa học khác, toán học đa dạng và phong phú, mỗi nội dung toánhọc đều có những đặc trưng và áp dụng của nó Cùng với sự phát triển của đấtnước, thời kì công nghiệp hóa hiện đại hóa, phát triển và hội nhập thì việc tiếp thukhoa học hiện đại của thế giới Do sự phát triển vượt bậc của khoa học kĩ thuật,kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng, đòi hỏi ngay từ việc họccủa trò phải có kiến thức vững vàng, những lập luận chặt chẽ Những người hướngdẫn các em tiếp thu kiến thức là những thày, cô giáo đang trực tiếp giảng dạy các

em, nhà trường không thể luôn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhậtđược, điều quan trọng là phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tựmình tìm kiếm những kiến thức cần thiết cho bài học, để vận dụng vào làm bài tập.Qua nhiều năm là giáo viên giảng dạy trên lớp tôi thấy rằng việc truyền thụ kiếnthức cho các em mới chỉ là một chiều, là chỉ mới chỉ cho các em thấy cái đúng, lờigiải đúng, mà chưa chỉ cho các em tìm cái sai trong khi làm toán mà các em haygặp để các em suy nghĩ sâu sắc hơn cho học sinh, phát huy tính tích cực chủ động,sáng tạo

Trong nội dung này tôi chú ý tới vấn đề đòi hỏi học sinh khắc phục những sai lầmmà các em hay mắc phải khi làm toán, cụ thể trong chương I Đại số 9 Từ đó các

em làm tốt hơn cho các nội dung học sau, và các môn học khác

2 Lý do chủ quan:

Trong chương trình đại số lớp 9 THCS phần kiến thức về căn bậc hai, căn bậc

ba, tôi thấy học sinh còn mắc rất nhiều sai sót khi trình bày một bài toán, có nhữnglỗi sai mà lẽ ra các em không đáng mắc phải, nhưng vì sao như vậy đó là một câuhỏi của tôi, làm thế nào để các em trình bày một bài toán được tốt mà ít mắc sailầm, và ít bị bỏ quên các điều kiện như vậy

Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học tại trường THCS Tôiphát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn yếu, lờigiải toán còn thiếu nhiều và chưa chắt chẽ theo tư duy toán học do nhiều nguyênnhân như năng lực tư duy ngôn ngữ, khả năng chuyển thể từ ngôn ngữ văn họcthành các quan hệ toán học, chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thựchiện các phép toán về căn bậc hai, hay có sự nhầm lẫn, hiểu sai đầu bài, thực hiệnsai mục đích …Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh đượcsự nhầm lẫn đó là cần thiết, giúp các em có một sự am hiểu vững chắc về lượngkiến thức khi học căn bậc hai, tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toáncao hơn sau này

Qua nghiên cứu tài liệu, thực tế giảng dạy và học hỏi đồng nghiệp tôi rút ra kinh

nghiệm " Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán về căn bậc hai" nhằm tránh những sai lầm đáng tiếc của học sinh.

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

I Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu:

Khi dạy học sinh về căn thức bậc hai, tôi thấy học sinh còn lúng túng khitrình bày bài toán về căn bậc hai, tôi rất băn khoăn làm thế nào để học sinh làm tốtđược bài tập, không sai sót

Trước thời gian đó nhiều em học sinh đi thi về cho rằng mình làm tốt bài, xongđiểm chưa được cao, chưa tối đa, lỗi vì đâu

Khi kiểm tra 15 phút của 30 em học sinh lớp 9A của trường THCS trong nội dungđầu năm học về căn thức bậc hai tôi thấy học sinh còn mắc khá nhiều lỗi sai mà lẽ

ra các em không mắc phải, khi điều tra và thống kê tôi thấy kết quả không nhưmong muốn

Nội dung kiểm tra

Câu 1 Tìm các căn bậc hai của các số sau

Bài 2(a) 20 66,7

Bài 2(b) 14 46,7

Bài 3 (a) 19 63,4

Bài 3 (b) 10 33,3

II Phạm vi nghiên cứu:

Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “Nhóm sai lầm” mà học sinh thườngmắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong chương I –Đại số 9.Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những lậpluận sai, hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác Từ đó định hướngcho học sinh phương pháp giải toán về căn bậc hai

III Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh lớp 9B trường THCS Liêm Phong

IV Phương pháp nghiên cứu:

1 Đối với giáo viên:

- Nghiên cứu tài liệu, lựa chọn các bài tập để minh họa hợp lý từ đó giúp học sinh

nắm được cách làm

-Tổ chức cho học sinh được bồi dưỡng để triển khai đề tài

-Sử dụng các phương pháp :

+ Phương pháp điều tra

+ Phương pháp thống kê

+ Phương pháp so sánh đối chứng

+ Phương pháp phân tích tổng hợp

- Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp

- Dạy học thực tế trên lớp để đúc rút kinh nghiệm

- Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy của các giáo viên có kinh nghiệm của trườngtrong những năm học trước và vốn kinh nghiệm của bản thân trong những nămgiảng dạy tại trường THCS

- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiêncứu vào thực tiễn giảng dạy, nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà học sinhthường mắc phải khi giải toán

2 Đối với học sinh:

- Làm bài tập giáo viên giao, các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập có liênquan đến nội dung đề tài

- Sau khi giáo viên hướng dẫn qua các ví dụ thì phải nắm chắc và biết vận dụng

vào làm các bài toán cùng loại

V: NỘI DUNG KINH NGHIỆM "Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán về căn bậc hai"

1 Cơ sở lí thuyết:

-Định nghĩa về căn bậc hai số học

Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a.

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

-Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn

A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC.

6) (với AB và )

7) (với B>0)

-Định nghĩa căn bậc ba

Căn bậc ba của một số a là một số x sao cho x 3 =a.

Từ bài tập 16(SGK-t12 đại số lớp 9 tập 1) Đố Hãy tìm chỗ sai trong phép

chứng minh"Con muỗi nặng bằng con voi" dưới đây

Từ đó ta có 2m =2V, suy ra m=V Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!)

Từ bài toán đó tôi thấy học sinh bàn luận hứng thú hơn và cũng từ đó tôi đãđưa các bài toán kiểu như vậy cho học sinh làm, nhằm gây hứng thú, đồng thời chỉ

ra một số sai lầm khi làm bài của học sinh

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh học trong chương I đại số lớp 9 thườngmắc một số lỗi sau Sau đây tôi đưa ra một số nội dung lỗi mà học sinh hay mắcphải đồng thời đưa ra cách khắc phục cho học sinh

Dạng 1: Sai lầm trong tính toán

Khi làm bài tập học sinh hay sai trong việc tính toán, như nhầm dấu, nhânsai các nội dung này giáo viên khắc phục thường xuyên ở các lớp trước Trongnội dung này ta đề cập đến việc học sinh hay mắc phải nỗi sai khi dử dụng hằngđẳng thức

Bài toán 1.(SGK/tr10, ĐS 9) Rút gọn biểu thức:

a) b) với a <2

Lời giải sai.

a) = b)

Phân tích sai lầm Ở đây học sinh đã sử dụng hằng đẳng thức trên nhưng

không xét đến biểu thức A, và không vận dụng tốt hằng đẳng thức

Khắc phục sai lầm Chỉ ra sai cho học sinh và đồng thời lưu ý hằng đẳng

thức Có nghĩa là:

nếu A ( tức là A lấy giá trị không âm)

nếu A ( tức là A lấy giá trị âm)

Khi vận dụng cần chú ý tới biểu thức trong dấu căn để biến đổi

Lời giải đúng.

Lời giải sai:

a) Vì nên ta có , từ đó ta có

và

= =b)Với y >0, ta có

=

Phân tích sai lầm Việc biến đổi của các em cơ bản là tốt, nhưng khi sử

dụng hằng đẳng thức Thì các em vẫn hay mắc phải, ở bài toán trên, đối

với câu a) học sinh sai ở bước

Đối với câu b) học sinh sai ở bước

Khắc phục sai lầm Phân tích sai như bài 1 và sửa lại cho học sinh

Lời giải đúng.

a) Vì nên ta có , từ đó ta có

Nếu x thì

Nếu 0 thì

b)Với y >0, ta có

=

Nếu y<1 thì

Nếu y>1 thì

Dạng 2: Sai lầm trong giải phương trình.

Bài 1 Tìm x, biết:

(1)

Lời giải sai.

Biểu thức x2-2x+1

(1)

Phân tích sai lầm Sai ở chỗ học sinh mới chỉ lấy một trường hợp, mà khi

giải loại bài tập này cần sử dụng

Lời giải đúng.

Phân tích sai lầm Sai ở chỗ với điều kiện x thì vế phải chưa chắc đãkhông âm, vì vậy việc bình phương hai vế đã không đúng vì x2=-3 là bị loại.

Khắc phục sai lầm Khi giải dạng toán cần lưu ý

Lời giải đúng.

So sánh điều kiện x=-3 (bị loại) , x=0 (TM)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x=0

Bài 3 Giải phương trình

Lời giải sai:

Điều kiện xác định của phương trình là

So với điều kiện thì x= là nghiệm phương trình

Phân tích sai lầm Sai ở chỗ các em đã bình phương hai vế phương trình

mà chưa chú ý đến điều kiện là hai vế phương trình phải cùng dấu việc sử dụngkiến thức ( khi a,b cùng dấu )

Khắc phục sai lầm Khi bình phương hai vế của một phương trình học sinh

cần chú ý đến hai vế phải cùng dấu nghĩa là ( khi a,b cùng dấu )

Lời giải đúng.

Điều kiện xác định của phương trình là (1)

Chuyển vế, ta có

Bình phương hai vế của phương trình được

Rút gọn thành 2-7x= ( *)

Đến đây có hai cách giải

Cách 1: Với điều kiện (2)

Thì (*)

Giá trị không thỏa mãn điều kiện (1), loại

Giá trị không thỏa mãn điều kiện (2), loại

Vậy phương trình vô nghiệm

Cách 2: Ta xét tức là trái với điều kiện (1) Vậyphương trình đã cho vô nghiệm

Tuy nhiên nếu điều kiên bài toán khó xác định có thể học sinh làm sau đó thử lạiđể kết luận về nghiệm phương trình

Bài 4 Giải phương trình.

(1)

Lời giải sai.

(1)

(2)

(2)

y1=-1 (loại) , y2=-3 (loại)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Phân tích sai lầm Tuy bài làm tưởng như là đúng, nhưng sai ở đây là học

thức (x-2) chưa thể khẳng định là biểu thức dương, nên kết quả bài toán là khôngđúng

Khắc phục sai lầm Khi đưa một thừa số vào trong dấu căn phải vận dụng

Lời giải đúng.

Điều kiện: hoặc

Thì y2=(x-2)(x+2) (3)

Ta có y2+4y+3=0 nên y1=-1, y2 =-3 Do y<0 nên từ (2) suy ra x<2

Với y=-1, thay vào (3) đượcx2-4=1 Do x<2 nên x=

Với y=-3, thay vào (3) đượcx2-4=9 Do x<2 nên x=

Vậy phương trình có hai nghiệm là ;

Bài 5 Giải phương trình.

(1)

Lời giải sai.

Thay Vào (2) ta có 3x+1+3 (3)

Phân tích sai lầm Các phương trình (1) và (2) tương đương, nhưng các

phương trình (2) và (3) không tương đương Từ (2) suy ra được (3), nhưng từ (3)không suy ra được (2)

Khắc phục sai lầm Khi tìm được nghiệm của phương trình (3) là 0 và -1,

phải thử lại các giá trị đó vào (1) để chọn ra nghiệm của (1)

Lời giải đúng.

Thay Vào (2) ta có 3x+1+3 (3)

Thử lại x1=0 thỏa mãn (1)

x2=-1 không thỏa mãn (1), loại

Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x=0

Dạng 3: Sai lầm trong giải bất phương trình

Bài 1 Tìm x để biểu thức có nghĩa :

Lời giải sai.

có nghĩa khi

Phân tích sai lầm Tuy học sinh đã vận dụng đúng kiến thức có nghĩa

khi A 0, nhưng việc giải bất phương trình, kết hợp nghiệm của bất phương trìnhlại sai.

Khắc phục sai lầm khi dạy nội dung này cần chú ý hướng dẫn cho học sinh

và phân tích kĩ nội dung giải bất phương trình và kết hợp nghiệm

Lời giải đúng.

Cũng có thể làm như sau có nghĩa khi

hoặc sau đó giải tiếp và tìm đượcx>1 hoặc x <-1

Bài 2 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa

Lời giải sai.

biểu thức có nghĩa khi(x-1)(x+3)

Phân tích sai lầm Trong trường hợp này học sinh khi làm bài đã chỉ nghĩ

đến trường hợp tích hai thừa số dương là một số dương, mà không nghĩ đến haithừa số cùng âm thì tích cũng là một số dương

Khắc phục sai lầm Khi dạy nội dung này cần chú ý đến A.B 0 khi và chỉ

khi A;B cùng dấu, có hai trường hợp A;B cùng dương hoặc cùng âm

Lời giải đúng.

Vậy biểu thức có nghĩa khi x 1 hoặc x -3Đôi khi trong bài tập này còn có học sinh đã xét hai trường hợp như trên nhưng lạikết hợp nghiệm sai, vì vậy giáo viên phải lưu ý cho học sinh việc kết hợp nghiệm

hệ bất phương trình.

Bài 3 Tìm x, biết.

Điều kiện của bất phương trình là:

(1)

Vậy bất phương trình có nghiệm x>9

Phân tích sai lầm Cũng giống như bài 4 phần (sai lầm khi giải phương trình), học sinh sau khi đặt điều kiện cho bất phương trình sau đó bình phương hai

về, chưa xét xem hai vế không âm

Khắc phục sai lầm Khi đặt xong điều kiện cho bất phương trình có nghĩa,

trước khi bình phương cần xét đến hai vế của phương trình, khi hai vế không âm,sau đó bình phương hai vế không âm của bất phương trình

Lời giải đúng.

Điều kiện của bất phương trình là:

Bất phương trình có nghiệm khi

Giải hệ bất phương trình ta được

Vậy nghiệm của bất phương trình là

Dạng 4: sai lầm thường gặp trong giải bài toán cực trị

Bài1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Lời giải sai Phân thức A có tử không đổi nênA có giá trị lớn nhất khi mẫu

nhỏ nhất

Ta có

min

Vậy max A =

Phân tích sai lầm Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khảng định

( A có tử số không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất) mà chưa nhận xéttử và mẫu là các số dương

Chẳng hạn, xét biểu thức B= Với lập luận (phân thức B có tử không đổinên có giá trị nhỏ nhất khi mẫu lớn nhất), do mẫu nhỏ nhất bằng -4 khi x=0, ta sẽ

đi đến max B= Điều này không đúng vì không phải là giá trị lớn

nhất của B, chẳng hạn với x=3 thì B=

Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức, đã máy mócáp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang hai phân sốcó tử và mẫu nguyên

Khắc phục sai lầm Khi giả loại toán này cần lưu ý đến phân thức có tử và

mẫu phải là số dương

mẫu A là các số dương; hoặc từ nhận xét trên suy ra A>0 Ta xét biểu thức

Ta có :

min B= khi x=3

Vậy max A =

Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải sai.