DẠY ONLINE HS GIỎI TOÁN 9 THÁNG 10

Tìm điểm cố định đó.. Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R ,đường kính AB,kẽ hai tia tiếp tuyến Ax, By trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn.. Qua điểm M thuộc nửa đường

DẠY ONLINE HS GIỎI TOÁN 9

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP TRƯỜNG

Câu 1 : (4,5 điểm)

a) Tính A = 4 − 7 − 4 + 7 𝑣à 𝐵 = 11 5 − 173 5 + 173

b) Cho 𝐶 = 1: 21 + 2: 31 + ⋯ + 99: 1001

Chứng tỏ C là một số nguyên

Câu 2 : (3,0 điểm) Cho biểu thức :𝑃 = 𝑥; 𝑥1 + 𝑥;11 : 𝑥:1

𝑥;1 2

a) Rút gọn biểu thức P

b)Tìm GTLN của Q = P - 9 𝑥 + 2027

Câu 3 : (4,5 điểm)

a) Giải phương trình 𝑥 + 3 = 4 − 𝑥 − 1

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : y(x – 1) + 2x = 7

c) Chứng minh rằng khi m thay đổi , đường thẳng (m+1)x – y – 2m – 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định Tìm điểm

cố định đó

Câu 4 : (6,0 điểm)

1 Cho tan∝= 125 , tính giá trị của biểu thức 𝑁 = 6𝑠𝑖𝑛 2 ∝ +7𝑐𝑜𝑠 2 ∝

2 Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R ,đường kính AB,kẽ hai tia tiếp tuyến Ax, By trên cùng một nửa mặt phẳng

bờ AB chứa nửa đường tròn Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này , kẽ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở E và F

a) Chứng minh bốn điểm A, E, M, O thuộc một đường tròn

b) Kẽ MH vuông góc với AB (H∈ 𝐴𝐵) Gọi K là giao điểm MH và EB ,chứng minh rằng : MK = KH

Câu 5 : (2,0 điểm)

Cho 𝑆 = 1.20221 + 2.20211 + 3.20201 + ⋯ + 2021.21 + 2022.11

Hãy so sánh S với 2.20222023

GV: Nguyễn Đình Quý

DẠY ONLINE HS GIỎI TOÁN 9

Câu 1 : (4,5 điểm)

a) Tính A = 4 − 7 − 4 + 7 𝑣à 𝐵 = 11 5 − 173 5 + 173

b) Cho 𝐶 = 1: 21 + 2: 31 + ⋯ + 99: 1001 Chứng tỏ C là một số nguyên

GIẢI :Câu 1 : (4,5 điểm)

a) Tính A = 4 − 7 − 4 + 7 =

2

= 7 − 1 − 7 − 1

2

8;2 7

7 − 1 2 − 7 + 1 2

2

𝐵 = 11 5 − 173 5 + 173 = 11 3 (5 − 17 )(5 + 17 ) = 11 25 − 173

= 11 83 =22 Vậy B = 22 b) Ta có : 𝐶 = 1: 21 + 2: 31 + ⋯ + 99: 1001 = 2;12 ;1+ 3 ; 23;2 + ⋯ + 100; 99100;99

= 2 − 1 + 3 − 2 + ⋯ + 100 − 99 =-1+10 = 9 Chứng tỏ C là một số nguyên

Câu 2 : (3,0 điểm)

Cho biểu thức :𝑃 = 𝑥; 𝑥1 + 𝑥;11 : 𝑥:1

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm GTLN của Q = P - 9 𝑥 + 2027

GIAỈ:

a) 𝑃 = 𝑥; 𝑥1 + 𝑥;11 : 𝑥:1

𝑥;1 2 ĐK ∶ x > 0; 𝑥 ≠ 1

𝑥 𝑥 − 1 +

1

𝑥 − 1 :

𝑥 + 1

𝑥 − 1 2 = 1 + 𝑥

𝑥 𝑥 − 1 .

𝑥 − 1 2

𝑥 + 1 =

𝑥 − 1

𝑥 𝑉ậ𝑦 𝑃 = 𝑥 − 1

𝑥 ĐK ∶ x > 0; 𝑥 ≠ 1 b) Ta có : Q = P - 9 𝑥 + 2027 = 𝑥 ;1𝑥 - 9 𝑥 + 2027 = 𝑥 ;1;9𝑥𝑥 +2027

= ; 9𝑥;6 𝑥:1 ;5 𝑥𝑥 +2027 = ; 3 𝑥 ;1

2

𝑥 − 5 +2027 = 2022 - 3 𝑥 ;1

2

𝑥 ≤ 2022 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑥 > 0, 𝑥 ≠ 1 Vậ𝑦 ∶ 𝐺𝑇𝐿𝑁 𝑐ủ𝑎 𝑄 = 2022 ⇔ 3 𝑥 − 1 = 0 ⇔ 𝑥 = 13 ⇔ 𝑥 = 19

a) Giải phương trình 𝑥 + 3 = 4 − 𝑥 − 1

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : y(x – 1) + 2x = 7

c) Chứng minh rằng khi m thay đổi , đường thẳng (m+1)x – y – 2m – 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định Tìm điểm cố định đó

Giải

a) Giải phương trình 𝑥 + 3 = 4 − 𝑥 − 1 ĐK : 𝑥 ≥ 1

⇔ 𝑥 + 3 + 𝑥 − 1 = 4 ⇔ 2𝑥 + 2 + 2 𝑥 + 3 𝑥 − 1 = 16

⇔ 𝑥 + 3 𝑥 − 1 =7-x ⇔ 1 ≤ 𝑥 ≤ 7

𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 49 − 14𝑥 + 𝑥2

⇔ 1 ≤ 𝑥 ≤ 7

16𝑥 = 52 ⇔ 𝑥 =

13

4 Vậ𝑦 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ đã 𝑐ℎ𝑜 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑙à 𝑥 =

13 4 b) y(x – 1) + 2x = 7 ⇔ y(x – 1) + 2x - 2 = 5 ⇔ y(x – 1) + 2(x - 1) = 5

⇔ (x – 1) 𝑦 + 2 = 5 𝑉ì 𝑥, 𝑦 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑛ê𝑛 𝑥 − 1 ; 𝑦 + 2 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛

𝐷𝑜 đó 𝑥 − 1 ; 𝑦 + 2 𝑙à ướ𝑐 𝑐ủ𝑎 5 𝑇𝑎 𝑐ó 𝑏ả𝑛𝑔

Vậy Pt có các cặp nghiệm nguyên là : (-4;-3) ; (0 ; -7) ; (6;-1) ; (0;3)

Câu 3 : (4,5 điểm)

a) Giải phương trình 𝑥 + 3 = 4 − 𝑥 − 1

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : y(x – 1) + 2x = 7

c) Chứng minh rằng khi m thay đổi , đường thẳng (m+1)x – y – 2m – 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định Tìm điểm cố định đó

GIẢI:c) Chứng minh rằng khi m thay đổi , đường thẳng (m+1)x – y – 2m – 3 = 0 luôn đi

qua một điểm cố định Tìm điểm cố định đó

Gọi điểm cố định M(𝑥0, 𝑦0) 𝑚à 𝑑 𝑙𝑢ô𝑛 đ𝑖 𝑞𝑢𝑎 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑚

Thay x= 𝑥0 𝑣à 𝑦 = 𝑦0 𝑣à𝑜 𝑑 ta có :

𝑚 + 1 𝑥0 − 𝑦0 − 2𝑚 − 3 = 0 ⇔ 𝑚𝑥0 + 𝑥0 − 𝑦0 − 2𝑚 − 3 = 0

⇔ 𝑚(𝑥0 −2) = 𝑦0 + 3 − 𝑥0 có nghiệm với mọi m

⇔ 𝑥𝑦0 − 2 = 0

0 − 𝑥0 + 3 = 0 ⇔

𝑥0 = 2

𝑦0 = −1 Vậy điểm cố định M(2; -1)

Đặt (d) = (m+1)x – y – 2m – 3 = 0

1 Cho tan∝= 125 , tính giá trị của biểu thức 𝑁 = 6𝑠𝑖𝑛2 ∝ +7𝑐𝑜𝑠2 ∝

2 Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R ,đường kính AB,kẽ hai tia tiếp tuyến Ax, By trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này , kẽ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở E và F

a) Chứng minh bốn điểm A, E, M, O thuộc một đường tròn

b) Kẽ MH vuông góc với AB (H∈ 𝐴𝐵) Gọi K là giao điểm MH và EB ,chứng minh rằng : MK = KH

GIẢI:

1 Ta có : 𝑠𝑖𝑛2 ∝ +𝑐𝑜𝑠2 ∝= 1 ⇔ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛22∝∝ + 1 = 𝑐𝑜𝑠12∝ ⇔ 𝑡𝑎𝑛2 ∝ +1 = 𝑐𝑜𝑠12∝ (1)

Thay:tan∝ = 125 𝑣à𝑜 (1) ⇒ 25

144 + 1 =

1 𝑐𝑜𝑠2 ∝ ⇔

169

144 =

1 𝑐𝑜𝑠2 ∝ ⇔ 𝑐𝑜𝑠2 ∝=

144 169 ⟹ 𝑠𝑖𝑛2= 𝑐𝑜𝑠2 ∝ 𝑡𝑎𝑛2 ∝ = 16925 Thay vào : 𝑁 = 6𝑠𝑖𝑛2 ∝ +7𝑐𝑜𝑠2 ∝ 𝑡𝑎 đượ𝑐

𝑁 = 6 25

169+ 7.

144

169 =

1158

169 = 6,85

Câu 4 : (6,0 điểm)

2 Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R ,đường kính AB,kẽ hai tia tiếp tuyến Ax, By trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này , kẽ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở E và F

a) Chứng minh bốn điểm A, E, M, O thuộc một đường tròn

b) Kẽ MH vuông góc với AB (H∈ 𝐴𝐵) Gọi K là giao điểm MH và EB ,chứng minh rằng

MK = KH

GIẢI:

a) Gọi I là trung điểm OE , nên IO = IE = 12 𝐸𝑂

F

B

H

M

A

I

K

E

y

x

O

∆𝐸𝑀𝑂 𝑣𝑢ô𝑛𝑔 𝑡ạ𝑖 𝑀

⇒ 𝑀𝐼 = 12 𝐸𝑂 (t/c trung tuyến ứng cạnh huyền Tươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝐴𝐼 = 12 𝐸𝑂 ⇒ 𝐼𝑂 = 𝐼𝐸 = 𝐼𝑀 = 𝐼𝐴 Vậy bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc đường tròn tâm I b) Ta có △ 𝐸𝑀𝐾~ △ 𝐸𝐹𝐵 𝑔 𝑔 ⇒ 𝑀𝐾𝐸𝑀 = 𝐹𝐵 𝐸𝐹 𝑚à 𝑀𝐹 = 𝐹𝐵 (t/c tiếp tuyến )nên 𝑀𝐾𝑀𝐸 = 𝑀𝐹𝐸𝐹 (1)

△ 𝐸𝐴𝐵~ △ 𝐾𝐻𝐵 𝑔 𝑔 ⇒ 𝐸𝐴

𝐾𝐻 =

𝐴𝐵

𝐻𝐵 (2)

mà 𝐸𝐹

𝐹𝑀 =

𝐴𝐵

𝐻𝐵 (3) từ 1 , 2 , 3 ⇒

𝐸𝑀

𝑀𝐾 =

𝐸𝐴

𝐾𝐻

Vì EM = EA (t/c tiếp tuyến ) Suy ra : MK = KH

Cho 𝑆 = 1.20221 + 2.20211 + 3.20201 + ⋯ + 2021.21 + 2022.11

Hãy so sánh S với 2.20222023

GIẢI: Áp dụng BĐT Côsi với a,b>0 ta có :𝑎 + 𝑏 ≥ 2 𝑎𝑏

⇔ 1𝑎𝑏 ≥ 𝑎:𝑏2 (đấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b )

𝑇ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑣ớ𝑖 𝑎 ≠ 𝑏 𝑣à 𝑎, 𝑏 > 0 𝑡𝑎 𝑐ó 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡 ⇔ 1𝑎𝑏 > 𝑎:𝑏2

Do đó : 1.20221 > 1:20222 ; 2.20211 > 2:20212 ; 3.20201 > 3:20202

……… ; 2021.21 > 2021:22 ; 2022.11 > 2022:12

Cộng vế theo vế : S > 20232 + 20232 + 20232 + ⋯ + 20232 + 20232 𝑐ó 2022 ℎạ𝑛𝑔 𝑡ử

= 2(20231 + 20231 + 20231 + ⋯ + 20231 + 20231 ) = 2.20222023 Vậy: S > 2.20222023

Hòa Quang Nam mgày: 10/10/2021

GV: Nguyễn Đình Quý