Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi môn Toán Quốc gia năm 2021-2022 - Trường THPT chuyên Khoa học tự nhiên

Để giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học, biết cấu trúc ra đề thi như thế nào và xem bản thân mình mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành đề thi này. Mời các bạn cùng tham khảo Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi môn Toán Quốc gia năm 2021-2022 - Trường THPT chuyên Khoa học tự nhiên dưới đây để có thêm tài liệu ôn thi.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2021 - 2022

Ngày thi thứ nhất: thứ ba 28/9/2021

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

- Bài 1 (5,0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 7n chia hết cho 1  2

2n 1

Bài 2 (5,0 điểm)

Cho n là số nguyên dương Tính bộ số có thứ tự a0, a1, ,a n với a  i 0, 1, 2, 3, 4, 5 với mọi i0, 1, 2, , n

thỏa mãn điều kiện 2

n

Bài 3 (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn  O đường kính AK Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và D là trung điểm cung nhỏ BC của  O Lấy P thuộc trung trực AI sao cho PI OI và H

là hình chiếu của P lên IK Lấy L trên IK sao cho AH DL và Q trên AD sao cho QLIK Chứng minh rằng IA2IQ

Bài 4 (5,0 điểm)

Cho a b c là các số thực dương Chứng minh rằng: , ,

-HẾT -

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2021 - 2022

Ngày thi thứ hai: thứ tư 29/9/2021

Thời gian làm bài: 210 phút, không kể thời gian phát đề

- Bài 5 (7,0 điểm)

a) Tìm tất cả các hàm số f :* thỏa mãn: *,

 

n mf m chia hết cho f n  f m  với mọi số nguyên dương m n,

b) Tìm số nguyên dương k sao cho tồn tại số nguyên dương m n, thỏa mãn

 

n kmf m chia hết cho f n  f m 

Bài 6 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn Một đường tròn  K qua B C cắt , CA AB tại ,, E F Gọi L là giao điểm của AK và ,

BC H là giao điểm của BE và CF Đường thẳng AH cắt đường thẳng EF tại G gọi ; M N lần lượt là giao , điểm của GL với BE CF Chứng minh , FM cắt EN tại một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC

Bài 7 (7,0 điểm)

Cho dãy số  a n thỏa mãn 1 2





a) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy  a n đều được biểu diễn dưới dạng tổng hai số chính phương

b) Tìm số dư khi chia a337 cho 337

c) Đặt u n  a1 2a2  na n Tìm số dư khi chia u337 cho 2022

-HẾT -