Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa Để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh, không thể coi nhẹ việc dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học để giải quyết một vấn[r]
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM
TS VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG
DẠY HỌC MÔN TOÁN THEO HƯỚNG TÍCH HỢP
(TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG GIÁO VIÊN BẬC THCS)
KIÊN GIANG - Tháng 9/2016
Trang 2MỞ ĐẦU
I VAI TRÒ CỦA VIỆC DẠY MÔN TOÁN TRONG NHIỆM VỤ ĐÀO TẠO KIẾN THỨC CHO HỌC SINH Ở BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ
Môn Toán chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong các môn học ở trung học cơ sở (THCS), vì:
- Các kiến thức, kĩ năng của môn Toán ở THCS có nhiều ứng dụng trong đời sống; đóng vai trò quan trọng trong bước chuyển đổi từ hình học trực quan sang hình học suy diễn, cần thiết cho việc học tốt các môn học khác và đặc biệt chuẩn bị cho việc học Toán ở bậc Trung học phổ thông tiếp theo
- Giúp học sinh nhận biết Toán học như một công cụ giải quyết một số vấn đề của thực tế Nhờ đó mà học sinh có được phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách hoạt động có hiệu quả trong học tập và trong đời sống
- Góp phần vào việc rèn luyện kỹ năng suy nghĩ, giải quyết vấn đề; góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt; khả năng ứng xử và giải quyết những tình huống nảy sinh trong học tập và trong cuộc sống; nhờ đó mà hình thành và phát triển cho học sinh các phẩm chất cần thiết và quan trọng của người lao động mới
Toán học so với các môn học khác có các đặc điểm cơ bản đó là tính trừu tượng cao, tính thực tiễn, phổ dụng và tính logic Chính những đặc điểm này đã tác động không nhỏ đến việc rèn luyện kỹ năng tự học của học sinh Nó đòi hỏi học sinh ngoài giờ lên lớp cần phải dành thời gian ở nhà để suy nghĩ, tìm hiểu sách giáo khoa cũng như ở trong các nguồn tài liệu khác mới có thể hiểu rõ và nắm vững các nội dung kiến thức Từ đó góp phần hình thành nên ý thức tự học của học sinh, tạo cho học sinh có thói quen đọc sách và sách tham khảo
Một đặc thù khác của môn Toán là tính logic và tính hệ thống Do đó nội dung chương trình môn toán trong nhà trường phổ thông bao gồm một hệ thống các kiến thức được kết nối và liên quan chặt chẽ với nhau Kiến thức của phần trước là cơ sở tiền đề cho các kiến thức của phần sau Vì thế, đối với môn Toán, nếu học sinh nắm chắc kiến thức cũ và có khả năng tư duy tốt thì học sinh hoàn toàn
có thể suy đoán để tìm và khám phá ra tri thức mới Có thể nói, tính logic của môn Toán giúp học sinh rèn luyện và phát huy năng lực tư duy, rèn luyện trí tưởng tượng và điều này có tác động tích cực đến việc rèn luyện kỹ năng tự học của học sinh Hơn nữa, tính logic và hệ thống của môn Toán còn giúp học sinh có thể dễ dàng tự tóm tắt bài học, tự hệ thống hóa và phân loại dạng bài tập và qua đó hình thành ở học sinh kỹ năng tự hệ thống hóa kiến thức sau mỗi nội dung của các môn học
và đó chính là một trong những kỹ năng giúp cho việc tự học của học sinh đạt hiệu quả
II DẠY HỌC TÍCH CỰC
Thế nào là phương pháp dạy học (PPDH) tích cực ?
Chúng ta hãy cùng xem xét các vấn đề sau :
1 Vai trò của giáo viên và học sinh ?
Giáo viên : tự nguyện bỏ vị trí trung tâm + trở thành người cố vấn, đạo diễn
Trang 3Học sinh : trở thành chủ thể + tự xây dựng kiến thức
2 Kiến thức nơi học sinh do đâu mà có ?
Kiến thức nơi học sinh:
- có thể còn phiến diện, khiếm khuyết, nhưng sẽ được hoàn chỉnh bởi lớp học và giáo viên
- là kết quả của hoạt động giải quyết vấn đề (không do giáo viên truyền thụ trực tiếp)
Dựa trên khái niệm “tính tích cực học tập của học sinh”
- Tính tích cực bắt chước, tái hiện : học sinh theo mô hình mẫu của giáo viên
- Tính tích cực tìm tòi :
• học sinh độc lập giải quyết vấn đề
• có tính tự giác
• có động cơ, nhu cầu, hứng thú, ý chí
- Tính tích cực sáng tạo : học sinh tìm ra phương thức hành động riêng
Quan điểm thứ hai
Tư tưởng giống quan điểm thứ nhất nhưng thay vì dùng thuật ngữ “PPDH tích cực” thì người ta khái quát bằng thuật ngữ “PPDH theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh”
Quan điểm thứ ba
Dùng thuật ngữ “PPDH tích cực” theo nghĩa chặt, tức là phải có đủ 3 đặc trưng
Một trong những điều kiện cần : Kiến thức phải được kiến tạo bởi chính học sinh qua quá trình hoạt động giải quyết các vấn đề của chính họ (có thể có sự giúp đỡ ít nhiều của giáo viên)
Trang 4- Tích hợp trong nội tại Toán học : tìm kiếm sự kết nối giữa các nội dung, chủ đề; hình thành
các chủ đề mới gắn liền với thực tiễn dựa trên các chủ đề, nội dung đã có;
- Tích hợp ngoài Toán học :
o Tích hợp liên môn: phối hợp sự đóng góp của nhiều môn học để nghiên cứu và giải quyết
một tình huống;
o Tích hợp đa môn: một chủ đề có thể xem xét trong nhiều môn học khác nhau;
o Tích hợp xuyên môn: tìm cách phát triển ở học sinh những kỹ năng xuyên môn có tính chất
chung và áp dụng được ở mọi nơi
1.2 SỰ CẦN THIẾT CỦA DẠY HỌC TÍCH HỢP
Việc dạy học tích hợp đem lại những thuận lợi đối với việc học tập vì :
- Việc học liên môn khiến cho việc học tập trở nên gần gũi với thực tế hơn, cụ thể hơn và toàn diện hơn (Lowe, 2002)
- Khi học sinh chuẩn bị một dự án học tập liên môn, các em sẽ phải tập trung vào việc tuyển chọn dữ kiện theo cách cá nhân rồi tiến hành giải quyết các vấn đề cũng như các mối liên kết giữa các môn học đối với các khái niệm đã được học trong từng môn riêng lẻ
- Cho phép chuyển giao kỹ năng của người học giữa các môn học
- Cho phép nhìn lại từng môn học theo cách nhìn mới (Camel et Fargue-Lelievre, 2009)
- Các dự án liên môn đem lại cho người học một kiến thức phong phú về đề tài đã nghiên cứu, cởi mở hơn so với việc từng môn học có thể đem lại kiến thức đó
1.3 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ TÍCH HỢP MỐI LIÊN MÔN
1.3.1 Một tình huống dược nghiên cứu tại Pháp
Liên môn Toán - Thể dục (trường hợp các khái niệm độ dài, khoảng thời gian, không gian được
nghiên cứu tại Pháp)
Các bước sau đây có thể xem là cần thiết để thiết lập mối liên hệ giữa môn Thể dục và Toán học
Bước 1 : Xác định các cặp đôi khái niệm có thể có giữa Thể dục thể thao & Thẩm mỹ/ Toán
Trang 5Thể dục thể thao & Thẩm mỹ
(TDTT-TM)
Các khái niệm chung
điền kinh
(khiêu vũ)
Khoảng thời gian
Đại lượng và số đo (thời gian) Cấp 1, cấp 2
Chạy định hướng
(Thể dục)
(Khiêu vũ)
Không gian Không gian và Hình học (Định vị
trong không gian)
Cấp 1, cấp 2, cấp 3
Tạo hình (đội hình) Không gian Không gian và Hình học (Định vị
trên lưới)
Cấp 2, cấp 3
Thể thao đồng đội Tỉ số Khai thác dữ liệu số (Sự tỉ lệ) cấp 3
Điền kinh (nhảy xa, ném lao) Độ dài Kiến thức về phân và số thập phân Cấp 3
Bước 2 : Xác định bản chất của các mối liên hệ
Xem xét để xác định lý do vì sao phương pháp tiếp cận liên ngành giữa hai đối tượng xử lý kỷ luật Nhìn chung, phương pháp giáo dục cho phép chúng ta nói, đối với mỗi môn học, rằng:
- Tìm khả năng đưa vào bối cảnh thực nhằm đem lại nghĩa cho khái niệm,
Bước 3 : Thiết lập tần suất và sắp xếp các mối liên hệ
Bước 4 : Đề nghị nội dung dạy xoay quanh dự án « Chiều dài – Nhảy một độ dài cho trước »
Bước 5 : Trình bày sự tiến triển về mặt Toán học
Bước 6 : Trình bày sự tiến triển về môn Thể dục thể thao
Bước 7 : Trình bày sự nối khớp giữa tiền triển TDTT và Toán
1.3.2 Một số ví dụ khác :
Một số tình huống tích hợp liên môn được tiến hành/đề nghị bên Pháp :
Liên môn Toán – Lịch Sử
Một vài mốc quan trọng trong lịch sử của La Réunion :
Để thực hiện các hoạt đông được yêu cầu ở đây, các em có thể sử dụng mọi nguồn thông tin mà các
em có : bách khoa toàn thư, từ điển, internet, sách/tập Lịch sử, …
1513 : Quần đảo gồm 3 tiểu đảo được đặt tên "Mascarenhas" và la Réunion mang tên
"Santa Apolonia" trên bản đồ vào năm 1518 Lúc này, hòn đảo chưa có cư dân nào
1649 : Đảo được đặt tên « đảo Bourbon » và vẫn luôn trống
1663 : Đảo Bourbon do 2 người Pháp và 10 người phục vụ chiếm đóng
1793 : Đảo được đặt tên « La Réunion »
1806 : Napoléon đặt tên là "đảo Bonaparte"
1810-1815 : người Anh chiếm đóng Đảo được đặt tên "Bourbon" rồi trở thành
« Réunion» vào năm 1815
1848 : Bãi bỏ chế độ nô lệ, đảo mang tên « Đảo La Réunion »
Trang 6Lúc này có 62 000 nô lệ được giải phóng trên tổng số 102 000 cư dân
1946 : Đảo trở thành một phần ngoài khơi của nước Pháp
1 Các đảo nào tạo nên quần đảo Mascarene?
2 Em có thể giải thích lý do vì sao đặt tên là "Bourbon" rồi đến "Réunion" ?
3 Để hình dung rõ hơn những ngày quan trọng trên thang thời gian, chúng ta sẽ xây dựng một dải băng
a Trên một tờ giấy lớn có dạng dải băng, vẽ 1 đường thẳng dọc theo chiều dài, kẻ vạch cách nhau 1 cm, mỗi vạch tượng trưng cho 100 năm Đặc biệt, hãy đánh dấu trên dải băng các vạch ứng với năm 0, năm 100, năm 1000 và năm 2000
b Số 0 trên dải băng thời gian biểu thị gì ?
c Là màu xanh lá cây trên rìa 2010
d Biểu thị bằng màu xanh trên dài băng thời gian này tất cả các ngày trong khung trên
4 Chọn ba ngày quan trọng trong lịch sử của nước Pháp Đặt sau đó 3 ngày đó bằng màu đỏ trên dài băng thời gian mà bạn vừa vẽ
Liên môn Toán – Địa lý
Ấn độ dương – Nghiên cứu bản đồ
Bản đồ sau đây được vẽ theo đúng tỉ lệ
Hãy sử dụng tỉ lệ để tính khoảng cách bay đường chim bay giữa Mayotte và Saint-Denis
Trang 7CHƯƠNG 2
MÔ HÌNH HÓA 2.1 KHÁI NIỆM MÔ HÌNH HÓA
2.1.1 Toán học hóa các tình huống thực tế (mô hình hóa)
Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống của thực tế như trên, người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống Quá trình này gọi là quá trình mô hình hóa toán học (mà dưới đây, để ngắn gọn, chúng tôi sẽ gọi là mô hình hóa)
Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này
Quá trình mô hình hóa toán học được mô tả qua 4 bước
Bước 1: Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng
nhất trong hệ thống và xác lập các qui luật mà chúng ta phải tuân theo
Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ
toán học cho mô hình trung gian Lưu ý là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo chỗ các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước hai
Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba Ở đây người ta phải xác
định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia
Ở bước này có thể xảy ra một trong hai khả năng :
Khả năng 1 : Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế
Khi đó chỉ cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các thuật toán đã sử dụng, kết quả thu được
Khả năng 2 : Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế
Lúc này phải tìm nguyên nhân Có thể đặt ra những câu hỏi sau :
- Các kết quả tính ở bước thứ ba có đủ độ chính xác không ?
Để trả lời, người ta phải kiểm tra lại các thuật toán, các quy trình, các tính toán đã sử dụng Ở đây, người ta tạm chấp nhận rằng mô hình toán học (và cũng có nghĩa là mô hình trung gian) xây dựng như vậy là thỏa đáng
- Mô hình toán học xây dựng như thế đã thỏa đáng chưa ? Nếu chưa thì phải xây dựng lại Với loại câu hỏi này, ta tạm chấp nhận mô hình trung gian đã xây dựng, nhưng phải xem xét lại mô hình toán học đã lựa chọn
Trang 8- Mô hình trung gian xây dựng có phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tế không ? Nếu không thì cần phải rà soát lại bước một xem có yếu tố, qui luật nào bị bỏ sót không
- Các số liệu ban đầu (các thông số, hệ số) có phản ánh đúng thực tế không ? Nếu không thì phải điều chỉnh lại một cách nghiêm túc và chính xác
Hai câu hỏi cuối đặt ra cho mô hình trung gian đã được xây dựng
Quá trình mô hình hóa có thể được tóm lược qua sơ đồ sau :
Như thế, mô hình hóa toán học là quá trình cấu trúc lại vấn đề cần giải quyết nhờ những khái niệm toán học được lựa chọn một cách phù hợp Quá trình ấy được thực hiện thông qua việc xây dựng mô hình phỏng thực tế bằng cách “cắt tỉa” – hay ngược lại, bổ sung thông tin - để có thể gắn vấn đề ban đầu với các quy trình toán học Trong bước tìm kiếm mô hình phỏng thực tế này người
ta thường phải thực hiện những việc như đặt giả thuyết, tổng quát hóa, hình thức hóa,… Bài toán toán học cuối cùng được xây dựng phải đại diện trung thực cho bối cảnh thực tế
Trở lại với bài toán nêu trong ví dụ 1 ở trên
- Bắt đầu bằng một vấn đề thực tế : Đặt cây đèn ở chỗ nào trong công viên?
- Xây dựng mô hình phỏng thực tiễn : Công viên có thể được thể hiện như là một tam giác
Vùng chiếu sáng của đèn là một hình tròn mà điểm đặt cột đèn là tâm Vấn đề là phải đặt cây đèn sao cho toàn bộ tam giác nằm trong hình tròn
- Chuyển về bài toán toán học : xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác Dùng kiến
thức về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác các đường trung trực để giải bài toán : dựng hai đường trung trực của hai cạnh tam giác Giao điểm của hai đường trung trực là tâm của đường tròn
HỆ THỐNG NGOÀI TOÁN HỌC
Câu hỏi liên quan đến hệ thống Câu trả lời cho câu hỏi ban đầu
Rút gọn hệ thống
(giữ lại những thông tin thỏa đáng)
Mô hình trung gian
(duy trì mối liên hệ về ngữ nghĩa đối với hệ thống
mà ta tìm cách mô hình hóa)
cho bài toán toán học
MÔ HÌNH TOÁN HỌC
Giải bài toán
Trang 9- Liên hệ kết quả này với công viên thực tế : Chẳng hạn, nếu một trong ba góc của công viên
là tù, thì lời giải này không hợp lý vì cây đèn sẽ nằm ra ngoài công viên Nếu ba góc của tam giác đều nhọn thì vẫn còn phải biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có vượt quá bán kính chiếu sáng của đèn không
Như vậy là cần phải biết hình dạng, các kích thước của tam giác và bán kính chiếu sáng của đèn Tìm hiểu những thông tin bổ sung này rồi lại chuyển về bài toán toán học …
2.1.2 Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa
Để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh, không thể coi nhẹ việc dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học để giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra Đối với các nhà toán
học, mô hình ấy thường là chưa tồn tại, hoặc đã tồn tại nhưng không cho phép giải quyết mọi trường hợp, hay ngược lại, không mang đến lời giải tối ưu cho một lớp các trường hợp đặc biệt nào
đó Việc tìm ra mô hình mới của họ thường dẫn đến một phát minh mới (một khái niệm, một định lý mới) Song đối với giáo viên thì mô hình ấy đã tồn tại Điều đó dẫn đến chỗ việc dạy học có thể được tổ chức theo hai tiến trình:
- Trình bày tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định nghĩa khái niệm hay định lý, công thức)
Vận dụng tri thức vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình toán học
- Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn Xây dựng mô hình toán học Câu trả lời cho bài toán thực tiễn Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công thức Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mô hình toán học phù hợp
Tiến trình dạy học thứ nhất, gọi là dạy học mô hình hóa, tiết kiệm được thời gian nhưng lại làm
mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, và do đó làm mất nghĩa của tri thức Hơn nữa, trong trường hợp này, một cách rất tự nhiên học sinh sẽ không lưỡng lự gì và hướng ngay đến việc xây dựng một mô hình toán học phù hợp với tri thức vừa đưa vào Liệu vượt ra khỏi bối cảnh ấy, họ
có thể xây dựng được mô hình toán học phù hợp hay không ?
Tiến trình thứ hai, bản chất là dạy học toán thông qua dạy học mô hình hóa, cho phép khắc phục
khiếm khuyết này Ở đây tri thức cần giảng dạy sẽ hình thành từ quá trình nghiên cứu các vấn đề
thực tiễn, nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện giải quyết vấn đề Người ta gọi đây là dạy
học bằng mô hình hóa
Với những điểm lý luận vừa trình bày trên thì rõ ràng dạy học bằng mô hình hóa và dạy học mô hình hóa là một con đường để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh Như vậy, để đạt được mục đích dạy học toán thì cần thiết phải tính đến vấn đề mô hình hóa trong dạy học
Trang 10“Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc v của gió, tức là F= av 2 (a là hằng số) Biết rằng khi vận tốc gió bằng 2m/s thì lực tác động lên cánh buồm của một con thuyền bằng 120N (Niu-tơn)
a Tính hằng số a
b Hỏi khi v=10m/s thì lực F bằng bao nhiêu? Cùng câu hỏi này khi v=20m/s = ?
c Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12000N Hỏi con thuyền có thể đi trong gió bão với vận tốc gió 90km/h hay không ?”
Phân tích:
Kĩ thuật:
- Thay giá trị của F (với F là lực gió tác động lên cánh buồm) và v đã cho ban đầu vào công thức F=av2 để tìm a
- Với a vừa tìm được, lần lượt thay v=10 & v=20 vào công thức ta F = 30v2 để tìm F
- Nhận xét gió bão có vận tốc 90 km/h = 25m/s nên so sánh với kết quả đã tìm được ở trên để kết luận
Kết luận 1 : Vấn đề mô hình hóa toán học đã không được tính đến ở lớp 9
Ví dụ 2 2 : Kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức và tính giá trị hàm số”
Bài tập 25 tr.54 SGK toán 10 nâng cao:
Một hãng taxi quy định giá thuê xe đi mỗi kilômét là 6 nghìn đồng đối với 10km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng đối với các kilômét tiếp theo Một hành khách thuê taxi đi quãng đường x kilômét phải trả y nghìn đồng Khi đó, y là một hàm số đối với x, xác định với mọi x ≥ 0
a Hãy phát biểu y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng ứng với đoạn [0;10], và khoảng (10; +∞)
