Hai mặt phẳng SBD và SAC vuông góc với mặt phẳng đáy.. Tính thể tích khối tứ diện SBCD và khoảng cách từ A đến SCD.. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi bằng
Trang 1–––––––––––––––––––
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Môn: Toán 12– Khối B, D
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm)
Cho hàm số 4 2
y=x − mx + có đồ thị (Cm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C với m=1
2 Tìm m để (Cm) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
Câu 2 (3 điểm)
1 Giải phương trình lượng giác : 2
2 cos x+3cosx−2 cos 3x=4 sin sin 2x x
2 Giải hệ phương trình:
2
− + = +
Câu 3 (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với O là giao điểm của hai đường chéo, biết AB=BC=a, AD=2a Hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) vuông góc với mặt phẳng đáy Góc giữa SC và đáy bằng 450 Tính thể tích khối tứ diện SBCD và khoảng cách từ A đến (SCD)
Câu 4 ( 1 điểm) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn 2 2 2
1
a + + =b c Chứng minh rằng
3
PHẦN RIỀNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong 2 phần ( phần A hoặc B)
A Theo chương trình chuẩn
Câu 5a (2 điểm)
1. Cho tam giác ABC vuông cân tại (1; 2) A , đường thẳng d x: − − =y 1 0 là tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ các điểm B và C biết rằng B có tung độ dương
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 1
x
e y x
= + trên đoạn [0;2]
Câu 6a (1 điểm) Cho n nguyên dương thỏa mãn 3 2 1
A + C − C = Tìm hệ số chứa 8
x trong khai
triển nhị thức Niu-tơn của
3
2 2 5
n
n x
+
B Theo chương trình nâng cao
Câu 5b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có ph, ương trình đường thẳng AC là
, 0 31
7 − = + y
x hai đỉnh B,D lần lượt thuộc các đường thẳng d1:x+y−8=0,d2:x−2y+3=0 Tìm tọa
độ các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm
2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
2
1
y
x
= + trên
1
; 2 2
−
Câu 6b (1 điểm) Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 7 viên bi vàng Nguời ta chọn ra 4 viên
bi từ hộp đó Tính xác suất để trong số bi lấy ra không có đủ cả ba màu?
–––––––Hết ––––––
Thí sinh không đượ c s ử d ụ ng tài li ệ u Giáo viên coi thi không gi ả i thích gì thêm
H ọ và tên thí sinh: ; S ố báo danh
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI KHỐI 12 LẦN 1
KHỐI B và D
1.(1 điểm) y=x4−2x2+2
2.(1 điểm) 4 2
y=x − mx + + Tìm đúng điều kiện để hàm số có 3 cực trị: m>0 0.25 + Tìm được toạ độ 3 điểm cực trị A( )0; 2 , ( 2 )
B − m −m + , ( 2 )
C m −m + Khi đó ( 2)
;
AB= − m −m và ( 2)
;
+ Tam giác ABC luôn cân tại A +Tam giác ABC vuông tại A khi AC vuông góc AB ⇔ AB AC =0
0
1
m
m m
m
=
=
+ Đối chiếu điều kiện, lấy m=1
0.5
Câu 1
(2 điểm)
1 (1 điểm) Giải phương trình 2 cos2x+3cosx−2 cos 3x=4sin sin 2x x
+ Phương trình tương đương
2 2
2 cos 3cos 2 cos 3 4 sin sin 2
2 cos 3cos 2 cos 3 2 cos 2 cos 3
0.25
2
1 cos
x
x
−
=
= −
0.25
2 2 3 2 2 3 2
= +
0.25
2 (1 điểm) Giải hệ phương trình: ( )
2
4 5 4 1 1 1
2 3 3 2
− + = +
+ Điều kiện:
1 2 1 2 5 4
x x y
≥
≤ −
≥
0.25
Câu 2
(3 điểm)
1
y
y x
= −
= +
Trang 3+Thế y=x+1 vào (1) được:
Giải phương trình : 4x−1 + 4x2−1 = 1 (1)
Điều kiện:
2
4 1 0
x x
− ≥
− ≥
2
x≥
+ Nếu 1
2
x= thì (1) được thỏa mãn
+ Nếu 1
2
x> thì 4x− >1 1 suy ra (1) vô nghiệm
Vậy x = 1
2 Khi đó
3 2
y=
Kết luận: Hệ phương trình có 1 nghiệm 1 3;
2 2
0.5
log x− + =3 2 log 4− +x log x+4 + Điều kiện 3< <x 4
+ PT ⇔log2(x− +3) log 42 =log2(4− +x) log2(x+4) 0.25
log 4 x 3 log 16 x 4 x 3 16 x
+Giải phương trình ( ) 2
4 x− = −3 16 x ta được 2 4 2
2 4 2
x x
= − +
= − −
+ Kiểm tra điều kiện và kết luận phương trình có các nghiệm x= − +2 4 2 0.25
a
a
2a
O
D A
B
C
S
H
+ Theo giả thiết suy ra SO là đường cao của khối chóp +Vì SO⊥(ABCD)nên góc giữa SC và (ABCD) bằng SCO=450 +
2
1
BCD
a
S = AB BC=
0.25
Câu 3
(1 điểm)
BC OC
AD =OA = ⇒ = =
+ Vì SOC△ vuông cân tại O nên 2
3
SO= a
0.25
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM
Trang 4+ Thể tích khối 1 1 2 2 2 3
+ Chứng minh được AC⊥CD
+ Trong (SAC), dựng OH ⊥SC Chứng minh được OH ⊥(SCD)
+ Xét SOC△ có 1 2 12 12 92
3
a OH
OH =SO +OC =a ⇒ =
0.25
+d(A BCD,( ) )=3d O BCD( ,( ) )=3OH=a 0.25
Câu 4
(1 điểm) Chứng minh rằng
3
Do a, b, c > 0 và 2 2 2
1
a + + =b c nên a b c, , ∈( )0;1
2
3
1 2
1
a a
a a
−
Bất đẳng thức trở thành ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 2 3
3
− + + − + + − + ≤
0.5
Xét hàm số ( ) 3 ( ( ) )
0;1
f x = − +x x x∈ Ta có:
( )0;1 ( ) 2 3 ( ) ( ) ( ) 2 3
ax
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c= 1
3
0.5
1(1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại (1; 2) A , đường thẳng d x: − − =y 1 0 là tiếp
tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ các điểm B và C biết
rằng B có tung độ dương
d: x-y-1=0
C B
A(1;2)
Câu 5a
(2 điểm)
+ Gọi H là hình chiếu của A trên d là H( )2;1 , AH =d A d( ; )= 2 Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là trung điểm I của BC
d vuông góc BC nên BC//AH suy ra 0
45
ABH = Suy ra, HB=HA= 2
0.25
Trang 5+ Gọi B t t( ; −1)
Ta cĩ 2 ( ) (2 )2 2
HB = −t + −t = t − +t
Mà HB2=2 nên t=3 hoặc t=1 Khi đĩ B( )3; 2 hoặc B( )1; 0 + Vì y B >0⇒B( )3; 2
0.25
+ Vì I là trung điểm của BC nên C(1;-4) Kết luận: B(3;2) và C(1;-4)
0.25
2.(1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )=
+
2 1
x
e
f x
x trên [0;2]
Hàm số y=f(x) liên tục và xác định trên [0;2] , ( )= −
+
'
2
(2 1) (2 1)
x
f x
x
0.25
Với x∈[ ]0; 2 , phương trình '( ) 0 1
2
2
1
Từ đĩ ∈ ( ) = ∈ ( ) = 2
0.25
(1 điểm)
+) Đk: n 3
n N
≥
∈
( 3)! 2!( 2)! ( 1)!
0 5
+Khai triển nhị thức Niu tơn ta cĩ Với n = 5 ta cĩ 3 ( )15 15
15 0
2
5
n
k
n
=
0.25
Câu 6a
(1điểm)
+ Số hạng chứa 8
x tương ứng với 30 2− k= ⇔ =8 k 11 Vậy hệ số cần tìm là
11 11
152 2795520
0.25
1.(1 điểm)
C I
B
A
D
Câu 5b
(2điểm)
), 8
; ( 8
:
d
B∈ = − ⇒ − 0.25
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM
Trang 6; 3 2 ( 3 2 :
d
D∈ = − ⇒ − ⇒BD=(−b+2d−3;b+d−8) và trung điểm
2
8
; 2
3 2
b+ d− −b+d+
I
Theo tính chất hình thoi
=
=
⇔
=
− +
−
=
− +
−
⇔
∈
=
⇔
∈
⊥
⇒
1
0 0
9 9 6
0 13 13 8 0
d
b d
b
d b AC
I
BD u AC
I
AC
0.25
2
9
; 2
1 )
1
; 1 (
) 8
; 0 (
−
⇒
D
B
)
; 31 7 ( 31 7
AC
2
15 2
15
2
2
BD
S AC BD AC
S ABCD
0.25
−
⇒
=
=
⇔
=
−
⇔
=
− +
+
−
⇒
) ktm ( ) 6
; 11 (
) 3
; 10 ( 6
3 4
9 2
9 2
225 2
9 2
63 7
2 2
2
A
A a
a a
a a
Suy ra A(10;3)⇒ C(−11;6)
0.25
2.(1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số = + +
+
2
1
y
x trên
1
;2 2
−
+ Hàm số liên tục và xác định trên 1;2
2
−
2 2
2 '
1
y x
+
= +
0.25
+ Với 1;2
2
phương trình y'=0 có 1 nghiệm x=0
0.25
+ Tính ( ) 1 3 ( ) 10
0.25
+ Kết luận
1
;2 2
min
−
−
= =
;2 2
10
3
−
0.25
(1 điểm)
+ Số cách chọn 4 bi từ số bi trong hộp là: C184 , số phần tử của không gian mẫu là
18 3060
n Ω =C =
0.25
Câu 6b
(1điểm)
+ Số cách chọn 4 bi đủ 3 màu từ số bi trong hộp là: C52C61C17+ C51C62C71+ C15C16C72
+ Gọi A là biến cố lấy các viên bi có đủ cả 3 màu, nên ( ) 2 1 1 1 2 1 1 1 2
n A =C C C +C C C +C C C = + Xác suất của A là ( ) ( ) ( ) 1575 35
3060 68
n A
p A
n
Ω
0.5
Trang 7+ Ta thấy A là biến cố “ 4 viên bi không có đủ 3 màu” nên ( ) ( ) 33
1
68
p A = −p A = 0.25
–––––––HẾT––––––––
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM