Lý thuyết căn bản luyện thi đại học môn toán

Góc giữa 2 đường thẳng = Cách 2: Tìm 1 điểm nằm trên mặt phẳng và một cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng tích có hướng của cặp vecto chỉ phương chính là vecto pháp tuyến của mặt phẳng

Chuyên đề: Phương pháp tọa đỘ trong khơng gian Nguyễn Phú Hùng

NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I Tổng quát:

1 Cho g0 Vecto b cùng phương với q © 3k sao cho b= kg

2 Cho q và b khơng cùng phương Vecto c đồng phẳng với q va h © 3k,Ï sao cho c=ka+]b

3 Cho ba vecto a; b; c khơng đồng phẳng và vecto đ

Khi đĩ, tồn tại duy nhất bộ 3 số (x; y;Z) sao cho d =xa+yb+zc

4 Điểm G là trọng tâm AABC © GÃ+GB+GC =Ũ © VO,OG =s (Ộ+OB+OC)

—yx —-yx =>

5 Điễm G là trọng tâm tứ diện ABCD © GA+GB+GC =0 © VO,OG = gat OB+OC+OD)

6 Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỈ số k (k #1) c> MA= kMB c> VO,OM — — —

IL Vecto — Toa d6 vecto va cac tính chất

1 Vecto:

Trong khơng gian Oxyz cĩ 3 vecto đơn vị trên 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: i= (1;0;0), j = (0;1;0), k= (0;0;1)

© Cho diém M(x:y:z) thi OM=xi+y.j+zk

© Chou= (a;b;c) thi u=ait b.j +ck

2 Tinh chat vecto:

Cho u =(x,;y,;z,) và v=(x;;y„;z,) và 1 số thực k tùy ý, ta cĩ các tính chất sau:

X =*⁄,

°« u=v© Jì›—Ÿ›

44 —5;

° U+V=(X, +X;; Vị + V22, +Z;)

° u-v= (Xị — X;; Vị — }›;Z¡ — Z›)

° ku=(kx;ky,ks)

© UV=X,.X + Y-V + ZZ, ( Tích vơ hướng của 2 vecto )

A 4x: 2 2 2

® ĐỘ dài vecto: u =X +y, +2,

- +> UV XX, + Y-Vo + Z,.Z,

© Gĩc hợp bởi 2 vecto : COS(H;V) = cisi =—PE===— =——“—

Lưu ý: nếu gĩc Ø hợp bởi 2 yếu tố cĩ giá trị:

s% 0<ø@<90” thì khi tính gĩc ta phải trị tuyệt đối phần tích vơ hướng

( Vì cos@>0 khi øc[0”;90”])

s% 0<@<180” thì khi tính gĩc qua C05Ø ta khơng phải trị tuyệt đối

(Vi c0SØ cĩ thể âm, cĩ thể dương và bằng 0 khi øec [0°;180° ]

° u.LV€>uv=0«© x,x, +ÿ¡,.ÿ; +zZ,.Zzạ =0

3 Chia 1 đoạn thẳng theo một tỷ số cho trước

Cho 2 điểm A(x;;y„;Z„) và B(x;; y;;z;) Điểm M(x„:; y„;Z„ ) chia đoạn thẳng AB theo một tỷ số k:

[ X, — kx,

MÔ 1k

MA=kMB dU@Qc xac dinh boi cac cong thUc: \¥u = Tok :

ZA — Kến

M1

*) Chú ý: _ Nếu M nằm trong khoảng AB thì k < 0

_ Nếu M nẵm ngoài khoảng AB thì k > 0

X, +X,

Xu = 5

_ Néu M là trung diém AB thi k =—1, khi do: \ Yu =——

Z,+Zz

Zu = 5

+ X, +

x, ="A 2 Xc

ZA+Zp +7c

Zo =——ˆ

Xạ +X; + Xe +Xp

XG Ty

+ yp +y¿+

% G làtrọng tâm tứ diệnABCD © Yq = ABT eae

ZA+Zp+Zc#+zZp

*) Ba diém thang hang:

Xo 7Xq _ Vo 7 Va _ 2c 7 Za

Ba điểm: A(x;;y;;Z4); B(x;;yn;Zz) và C(Xc;yc;Zc) thẳng hàng = AC =kAB @

Xp—T*X⁄A Vp Va 4p Za

4 Tích có huGng cla 2 vecto:

Tích có hướng cỦa 2 vecto u =(x,;y,;z,) và v=(x„;y„;z„) là 1 vecto kí hiệu [u;v] được xác định bởi:

Yo 2; X; Vo

*) Các tính chất của tích có hướng 2 vecto

e u;v là 2 vecto cộng tuyến ( cùng phương) © [u;v]=0

e© u1[u;v], v.l[u;v]

Z¿ 3;

° [u; vị = u M sin(u; v)

se [u;v]=-[v,u]

e [Âu:v|=[u;Âv|=Â[uv] với 2eR

® |U;v,+v;]=[u;v, |+[u; v; ]

Chuyên đề: Phương pháp tọa đỘ trong không gian Nguyễn Phú Hùng

*) Ưng dụng: Diện tích tam giác ABC : S;upc = 5 [AB; AC]

5 Tich hOn tap

Tích hỗn tạp của 3 vecto u= (X35 ¥3Z,)3 v= (x;; y;„; z„) và w= (x;; y;;z¿) được kí hiệu là

[u;v].w hoac D(u;v; w) được xac dinh boi: [u;v].w = : "|X, + : “3 + * * |Z

2 4 Z, XX xX, >

*) 3 vecto đồng phẳng: 3 vecto u =(x;;y,:Z/); v=(A;; y,;z„) và w=(x;;y;;z¿) đồng phẳng © [u;v].w =0

*) Ứng dụng:

—> —> _—

e© Thể tích tứ diện ABCD: Vasc = 5 (AB: AC].AD

MAT CAU TRONG KHONG GIAN

I Dinh nghĩa - Phương trình của mặt cầu

1 Định nghĩa

Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm I cố định một khoảng cách bằng R, gợi là mặt cầu

tam I ban kính R

2 Phương trình

a) Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) , bán kính R có dạng: (S):

(x—a)’ +(y—b)? +(z—-c)? =R’

b) Phương trình tổng quát của mặt cầu

Phương trình: x” + y + z” —2ax— 2byT— 2cz + d =0 là phương trình của mặt cầu = a? +b? +c?-d>0 Khi đó, mặt cầu có tâm I(a; b; c) va ban kinh R = x/a? +b2 +c? — đ

1 VỊ trí tương đối của điểm và mặt cầu

Cho mặt cầu (S) có phương trình: x” + yˆ + z” - 2ax — 2by — 2cz + d = 0

Gọi A (%;; ys;Zạ) là một điểm bất kì trong không gian Ta có phương tích của điểm A đối với mặt cầu (S) là: Pays) = Al’ — R* =X) + Yo +29 — 2ax, — 2by, — 2cz, +d

“> Paysy< 0 < M nằm trong mặt cầu

s%_ Pxxsạ= 0 © M nằm trên mặt cầu

% Paysy>0 ©® Mnẳm ngoài mặt cầu

2 VỊ trí tương đối của 2 mặt cầu

Cho 2 mặt cầu không đồng tâm (S,) và (S,) lần lượt có phương trình là:

(S/):xŸ+ yˆ+z” -2a,x— 2b,y— 2c,z + d, =0 (a; +bỆ+c¿—d, >0)

Có tâm I,(a,;b,;c,) va ban kinh R, =,/a? +b? +c? —d,

(S,):x”+yˆ°+z”—2a,x—2b,y—2c,z+d,=0— (a;+b;+c;—d, >0)

Có tâm 1;(4;;b;;c;) và bán kính R, = la? +bÿ +c¿ — đ,

s* Nếu 1,1; > R + R, © (S,);(S;) không cắt nhau và ở ngoài nhau

% Nếu l1; <|R — Rạ| © (S,);(S;) không cắt nhau và đựng nhau

% Nếu l,1; =R,+R, © (S,);(S;) tiếp xúc ngoài với nhau

% Nếu l,1; =|R, - Rạ| © (S,);(SŠ;) tiếp xúc trong với nhau

+ Nếu |R— Rạ|< I1; < R, + R; © (S,);(S;) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Cặp vecto chỉ phương

PN: 2 vecto ø;b gọi là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cộng tuyến và các đường thẳng chứa chúng đều song song với (P) hoặc nằm trên (P)

2 Vecto pháp tuyên

TQ ; #0

DN: Vecto n la vecto pháp tuyÊn của mật phẳng (P) © +

nt(P)

NX: n là vecto pháp tuyến của (P) thì mọi vecto kn với k #0 đều là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó Chú ý: Nếu mặt phẳng (P) có cặp vecto chỉ phương là a;b thì ạ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) với :

n=[a,b]

3 Phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz chứa điểm M(%; yạ;Zạ) và có vecto pháp tuyến n(A;B;C) có p/trình là:

A.(xX — X,) + B.(y — yy) + C.(z — Z,) =0 — Ax+ By + Cz — Ax, — By, — Cz, =0 Dat — Ax, — By, — Cz, = D, ta cé phuong trình tổng quát của mặt phẳng (P):

*) Chú ý:

Nếu mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(4;0;0), B(0;b;0),C(0;0;c) thì (P) có phương trình:

2+ 5 + s =1 (gọi là phương trình đoạn chắn của mp (P))

4 Khoảng cách: ; -

a) Khoảng cách từ một điềm tới một mặt phẳng

Cho M(, yạ,Z¿) và mặt phẳng (Ø): Ax + By + Cz + D =0

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (#) được xác định bằng công thức:

|Axs + Byạ + Œzạ + DỊ

VA? +B? +C?

b) Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Cho mat phang (@) di qua M va mat phang (8) di qua N > d((@)/(B)) =d(M /(8) = d(N /(œ)

a) Góc giữa 2 mặt phẳng

Cho nụ; Ng lần lượt là vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng: (Ø);()

n„.n;

Gọi Ø là góc tạo bởi 2 mặt phẳng: (Z);(/) Ta có: COS @ = Pale

n„lÌn;

d(M (a)) =

b) Góc phẳng nhị diện —Goi Ø là góc phẳng nhị diện thì 0° < ø@<1801

Chuyên dé: Phương pháp tọa đỘ trong không gian Nguyễn Phú Hùng

a) VỊ trí tương đối của 2 mặt phẳng

Cho 2 mặt phẳng: (P): Ax+ By+Cz+D=0 có n„ =(A;B;C)

(Q): A'x+ B'y+C'z+D'=0 có nọ =(A';B';C')

% (P)¬(Q)© Np, Ng không cùng phương (hoặc A:B:C # A’:B’:C’ )

ge (P)/(Q)<©© A Boo Dy

% (P)\= A_B_G@_D

% (P)=(Q)© AB : D

b) VỊ trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng (Ø)

Gọi d là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (Ø)

“ Néud>R — (@) và (S) không có điểm chung

s% Nếu d=R - (#) và (S) có 1 điểm chung, và (2) được gọi là tiếp diện của (S)

s* Nếu d>R —> (Ø) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (H; r) trong đó:

%H là hình chiếu của I trên (Z) và rÝ = RỶ - d7

7 Chùm mat phang

Cho 2 mặt phẳng: (P): Ax+ By+ Cz+D=0 và (Q): Ax+ By+C'z+ D'=0 giao nhau theo giao tuyến A

Phương trình mặt phẳng (R) qua A có dạng:

(Ax + By +Cz+D)+ u(A'x+ B'y+C'z+D')=0_ (phương trình chùm mặt phẳng) Trong đó 4” + ˆ #0

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I Vecto chỉ phương của đường thẳng

*) Định nghĩa: Vecto ạ là vecto chỉ phương của đưỜng thẳng d © Ệ i

a//

_ Nhận xét: a là vecto chỉ phương của đường thẳng d thì mọi vecto k.q với k #0 đều là vtcp của đường thẳng

đó

_ Chú ý: trong không gian Oxyz, đường thẳng chỉ có vecto chỉ phương mà không có vecto pháp tuyến

H Phương trình của đường thang

1) Phương trình tổng quát của đường thẳng ;

Vì đường thẳng d trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nào đó, nên phương

trình tổng quát của d có dạng:

(a): Ax + By +Cz+D=0

|A'x+ Bly +C'z+D'=0 2) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Đường thẳng d đi qua M(xạ; yạ:Zạ), nhận u(a,b,c) làm vtcp có phƯƠng trình:

với điều kiện: A:B:Cz+ A':B:C'

X=X,+at

y=y,+bt (phuongtrinhthams6) © = == = ( phương trình chính tắc ) v6ia.b.c# 0 Z=Z,+ct

1 VỊ trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho (đ): Ax+ By+Œz+D=0 cé vtpt: n(A; B;C)

(d): — = = = —* có vtcp: u(;b;c) và đi qua M(%; yạ:Za)

u.Ln uln ~a

2 Vi trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Cho đường thẳng A va mat cau S(I; R); d la khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng A

s% Nếud<R -> Ä7"(Š) tạo thành 1 dây cung

Nếud=R — A là tiếp tuyến của mặt cầu

% Nếud>R — A và(S) không có điểm chung

3 VỊ trí tương đối của 2 đường thẳng

Cho đường thẳng d đi qua M và có vtcp u ; và đường thẳng d' đi qua N có vtcp y

% d=d'©u;v;MN cùng phương «> [u;v]=[u;MN]=0

[u; v]= 0

[H; MN |# 0 [u; vị JMN =0

[u;v] #0

s% d//d' u; v cùng phương và H; MN không cùng phương a(t

% dd'©u;v;MN đồng phẳng và u;V không cùng phương ft

>

“ dvad’ chéo nhau & u;v;MN khong déng phang © [u;v].MN #0

IV Khoảng cách ,

1 Khoảng cách từ 1 điểm tới một đường thẳng

[u;MN MN]

Cho đường thẳng d đi qua M, có vtcp và một điểm N= Khoảng cách từ N đến d: d(N/đ) = F |

u

2 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song

Cho 2 đường thẳng song song: d đi qua M và đ' đi qua N = d(d/d')=d(M/d')=d(N/d)

3 Khoảng cách giữa đường thang va mặt phẳng

Cho đường thang d di qua M va mat phẳng (@) = d(d/(a@) =d(M /(@))

4 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

IPP v].MN

> 7

[u;v]

Cho 2 đường thẳng chéo nhau: d đi qua M có vtcp y vad’ di qua N có vtcp y > d(d/d')=

1 Góc giữa đường thằng và mặt phằng

=1 =Ñ)

Cho đường thẳng d có vtcp u và mặt phẳng (Ø) có vtpt nạ Gọi Ø là góc giữa d và (#) > sinØ= =r=;

=† mỉ

Chuyên dé: Phương pháp tọa đỘ trong không gian Nguyễn Phú Hùng

2 Góc giữa 2 đường thẳng

= <4

Cho đường thẳng d có vtcp „ và đường thẳng d’ cé vtcp y Goi ? la géc giftad vad’ = cosg= i

ul <4

PHUONG PHAP GIAI TOAN

VAN DE 1: VIET PHUONG TRINH MAT PHANG

Thông thường ta dùng 3 cách sau:

> Cách 1: Tìm 1 điểm nằm trên mặt phẳng và một vecto pháp tuyến của mặt phẳng

> Cách 2: Tìm 1 điểm nằm trên mặt phẳng và một cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (tích có hướng

của

cặp vecto chỉ phương chính là vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm)

_ » Cách 3: Dùng phương trình chùm mặt phẳng,

VAN ĐỀ 2: VIET PHUONG TRINH DUONG THANG

s*» Thông thường, ta có 2 cách giải tổng quát sau:

> Cách 1: Tìm 1 điểm thuộc đường thẳng và một vecto chỉ phương của đường thẳng

> Cach 2: Tim phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng phần biệt cùng chứa đường thẳng ấy

Giao tuyến của 2 mat phẳng đó chính là đường thẳng cần tìm

Cái khó là phải xác định được 2 mặt phẳng phân biệt nào cùng chứa đường thẳng cần tìm Thông thường ta hay

gặp 3 giả thuyết sau:

*v Đường thang (A) đi qua điểm A và cắt đường thẳng (d) : Khi đó đường thang (A) nằm trong mặt

phẳng đi qua A và chứa (d)

*v Đường thang (A) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng (d): Khi đó đường thẳng (A) nằm trong

mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (d)

*v Đường thang (A) song song với (đ,) và cắt (đ;) : Khi đó đường thang (A) nam trong mặt phẳng chứa

(đ,) và song song với (d,)

s* Một số dạng viết phương trình đường thẳng hay gặp:

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) di qua A và cắt cả hai đường thẳng (d,), (d,) cho trước

»> Cách 1:

e _ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa (đ,)

e _ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa (đ;)

s đ=(P)n(Q)

> Cach 2:

e _ Viết phương trình mặt phẳng (P) di qua A và chứa (đ,)

e Xác định giao điểm B của (đ;) và (P)

+ Nếu không tồn tại giao điểm —> Không có đường thẳng (d) nào thỏa mãn yêu cầu bài

toán

+ Nếu có vô số giao điểm —> (đ,) c(P) —> (d) thuộc chùm đường thẳng trong (P) đi qua

A

+ Nếu có nghiệm duy nhất, tức 1 giao điểm thì thực hiện bước 3:

e _ Viết phương trình đường thẳng (d): di qua A và có vecto chỉ phương là AB

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng (đ) đi qua A và vuông góc với hai đường thẳng (d,), (d,) cho trước

> Cách 1:

e _ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với (đ,)

e _ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (đ;)

e d=(P)A(Q)

> Cach 2:

e X4c dinh các vecto chỉ phương của (đ,), (đ;) lần lượt là u„ và u„

© GOi w 1a vecto chi phuong cUa đường thẳng (d), ta có: $ i © w=[u,;u, ]

w.lu,

e _ Viết phương trình đường thẳng (d): đi qua A và có vecto chỉ phương là w

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng (đ) đi qua A, vuông góc với (d,) và cắt (d,) cho trước

> Cách 1:

e _ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với (đ,)

e _ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa (đ;)

e d=(P)N(Q)

> Cach 2:

e _ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với (đ,)

e Xác định giao điểm B của (đ;) và (P):

+ Nếu không có giao điểm —> Không có đường thẳng (d) nào thỏa mãn yêu cầu bài toán + Nếu có vô số giao điểm —> (đd,) c(P) —> có vô số đường thẳng (d) trong (P) đi qua A cat

(dy

+ Nếu có một giao điểm thì thực hiện bước 3:

e _ Viết phương trình đường thẳng (d): đi qua A và có vecto chỉ phương là AB

Dạng 4: Viết phương trình đường vuông góc chung (A) của 2 đường thẳng chéo nhau

Cho 2 đường thẳng chéo nhau: d có vtcp „ và đường thẳng d? có vtcp y.GỌi w=[u;v]

> Cách 1:

e _ Viết phương trình mặt phẳng (Z) chứa d và song song với w

e _ Viết phương trình mặt phẳng (Ø) chứa d' và song song với w

e Phương trình đường vuông góc chung của d và đ' là A=()“()

> Cách 2:

e Chuyển d và d' về dạng phương trình tham số theo “t” và “u” Gọi Mụy; € đ; Nụ e đ',

; MN.u, =0

e© _MN là đoạn vuông góc chung của d và d©$ ._, tu tọa độ M,N

MN.u„ =0

e _ Viết phương trình đường thẳng (A): đi qua M và có vecto chỉ phương là MN

Dang 5: Cho 2 dung thang (d) và (d?) cắt nhau Viết phương trình đường phân giác của (d) và (đ))

e Xác định tọa đỘ giao điểm I của (đ) va (d’)

° Lấy Acd (Azl)

se _ Chuyển (d') về dạng tham số Lấy Be đ' (theo tham số t) thỏa mãn: AI = BI > tọa độ 2 điểm B, và

B,

(B, và B; đối xứng nhau qua I)

e Ta CÓ:

wx Với B,: Xác định tọa đỘ trung điểm l, của đoạn thẳng AB,

Khi đó phương trình đường phân giác thứ nhất (A;) được xác định bởi: đi qua I và có vtcp Il,

Y V6i B,: Xac dinh toa dO trung diém I; của đoạn thẳng AB,

Khi đó phương trình đường phân giác thứ hai (A,) được xác định bởi: đi qua I và có vtcp H,

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian Nguyễn Phú Hùng

*) Lưu ý: _ Nếu IAIB, >0 = (A,) va (A,) theo thứ tự là phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù

của

góc tạo bởi (d) và (d”) _ Nếu IAIB, <0 = (A,) va (A,) theo thứ tự là phương trình đường phân giác góc tù, góc nhọn của

góc tạo bởi (đ) và (d’)

VẤN ĐỀ 3: HÌNH CHIẾU

1 Tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm M trên một mặt phẳng (2)

e _ Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (đ)

e© _ Gọi H là hình chiếu của M trên (#) => H =dn(#)

2 Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm M trên 1 đường thẳng d

> Cách 1:_ Viết phương trình mặt phẳng (2) đi qua M và vuông góc với d

_ Gọi H là hình chiếu của M trên d > H =d(Ø)

> Cách 2: _ Chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tham số

_ Gọi I là một điểm bất kì thuộc d © tọa độ điểm I theo tham sỐ “t”

_ 11a hinh chiếu vuông góc của M trên d © MI Ld © Miu, =0 = tham số t© Tọa độ I

3 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của 1 đường thẳng d trên mặt phẳng (a)

e _ Viết phương trình mặt phẳng (Ø) chứa d và vuông góc với (đ)

e©_ Gọi d' là hình chiếu của d trên (#) = đ'=(#)=(8)

4 Tìm hình chiếu H của M theo phương đường thẳng (d) lên mặt phẳng (2)

e _ Viết phương trình đường thẳng (A) đi qua M và song song với (d)

e _ Hình chiếu H chính là giao điểm của (A) và ()

5 Tìm hình chiếu (A ) của đường thẳng (d) theo phương đường thẳng (D) lên mặt phẳng (2)

e _ Viết phương trình mặt phẳng () chứa (d) và song song với (D)

_ © Hình chiếu(A)=(#)¬()

VAN DE 4: DOI XUNG

1 Tìm điểm A? đổi xứng với A qua d

e Tìm hình chiếu H của A trên d

se H là trung điểm của AA' Dùng công thức trung điểm > toa d6 điểm đối xứng A'

2 Tìm điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng (Z)

e Tìm hình chiếu H của A trên mặt phẳng (@)

se H là trung điểm của AA' Dùng công thức trung điểm => tọa độ điểm đối xứng A'

3 Tìm phương trình đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng (@)

> Trường hợp 1: (D) cắt mặt phẳng (2)

e Tim giao điểm M của (D) và (Ø)

e Lấy điểm A bất kì trên (D)

e© Tìm A' đối xứng với A qua (@)

e© Đường thẳng (d) cần tìm chính là đường thẳng đi qua M và A'

Viết phương trình (d): đi qua M và có vecto chỉ phương là MA'

> Trường hợp 2: (D) song song với mặt phẳng (Ø)

e Lấy một điểm A trên (D)

e© Tìm A' đối xứng với A qua (Z)

e© _ (d) chính là đường thẳng đi qua A' và song song với (D)

Viết phương trình (d): đi qua A? và nhận vecto chỉ phương của (D) làm vecto chỉ phương của (d)

4 Tìm phương trình đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng ( A )

»> Trường hợp 1: (A) cắt (D)

e Tìm giao điểm M của (D) và (A)

e Lấy điểm A bất kì trên (D) khác M

e Tìm điểm A' đối xứng với A qua (A)

(d) chính là đường thẳng đi qua 2 điểm M và A'

> Trường hợp 2: (A) và (D) song song

e Lấy một điểm A bất kì trên (D)

e© Tìm A' đối xứng với A qua (A)

e _ (d) chính là đường thẳng đi qua A' và song song với (D)

Viết phương trình (d): đi qua A? và nhận vecto chỉ phương của (D) làm vecto chỉ phương của (d)

> Trường hợp 3: (A) va (D) chéo nhau

e Lay 2 điểm phân biệt A, B trên (D)

e Tìm A' đối xứng với A qua (A), B' đối xứng với B qua (A)

e _ (d) chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A' và Bˆ

se _ Viết phương trình (d): đi qua A? và có vecto chỉ phương là A'B'

VẤN ĐỀ 5: TẠM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN

1 Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của AABC A

e X4c dinh toa dé dinh A va trung diém E cUa canh BC el 5

se _ Viết phương trình trung tuyến AE: đi qua A và có vtcp AE

2 Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A của AABC NG

e Xác định tọa đỘ hình chiếu vuông góc H của A lên cạnh

BC

e Viét phương trình đường cao AH: đi qua A và có vtcp AH

> Cach 2:

e Viét phuong trinh mat phẳng (ABC)

e _ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với cạnh BC

e Phuong trình đường cao AH: AH =(ABC)¬(P)

3 Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của AABC

e© Gọi [ là chân đường phân giác trong cỦa góc A trên cạnh BC

e Theo tính chất tia phân giác ta có: ag AC IC” hay AB _- _1? (2 vecto ngược hướng) > tọa đỘ I AC Ic “—

e Phương trình đường phân giác trong AI: đi qua A và có vtcp Al

4 Viết phương trình đường phân giác ngoài của góc A của AABC

e© Gọi J là chân đường phân giác ngoài cỦa góc A trên cạnh BC

AB _JB , AB

e© Phương trình đường phân giác ngoài AJ: đi qua A và có vtcp AJ

5 Viết phương trình đường trung trực của đoạn BC của AABC

e _ Viết phương trình đường cao AH

e _ Xác định tọa đỘ trung điểm E của cạnh BC

e Do trung trực (A) của đoạn BC và đường cao AH cùng vuông góc với BC trong mặt phẳng (ABC) nên

chỉ phương của AH cũng là chỉ phương của (A)

e Phương trình trung trực (A) của đoạn BC: đi qua E và có vtcp: AH

_

e Theo tinh chat tia phan giác ta có: = a ( 2 vecto cung huOng ) = tQa do J

10