De HSG l9 20112012 toan
Trang 1UBND tỉnh Thái Nguyên Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Sở Giáo dục & Đào tạo Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
Tháng 3 / 2012
MôN: Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề)
Đề chính thức
Bài 1 Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không là số chính
phương.
Bài 2 Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a, 3 2 x− + x−1 = 1
b,
= +
= +
= +
2 2 2
2 2 2
y xz
x yz
z xy
Bài 3 Cho∆ABC có 3 góc đều nhọn Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp∆ABC; R, r theo thứ tự là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ∆
ABC; M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên AB, BC và AC
a, Chứng minh: BN OM + BM ON = BO MN
b, Đặt ON = d1 ; OM = d2 ; OP = d3
Tính R + r theo d1 , d2 , d3 ?
Bài 4 Lấy một số tự nhiên có 2 chữ số chia cho số có 2 chữ số viết theo thứ tự ngược
lại thì được thương là 4 và dư 15 Nếu lấy số đó trừ đi 9 thì được một số bằng tổng bình phương của 2 chữ số tạo thành số đó Tìm số tự nhiên ấy?
- Hết
-Họ tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
áp án Đ1
UBND tỉnh Thái Nguyên Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trang 2Sở Giáo dục & Đào tạo Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
Tháng 3 / 2012
hớng dẫn chấm toán 9 Bài 1: 3,5 điểm
C1: Gọi 5 số nguyờn liờn tiếp là n-2, n-1, n, n+1, n+2 với n nguyờn, dễ thấy tổng cỏc bỡnh phương của 5 số đó là 5(n2 + 2) chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không thể là số chính phương
C2: Xét tính chẵn lẻ của 5 số nguyên liên tiếp đó
Bài 2: a 3,5 điểm
Đặt a = 3 2−x
b = x− 1 ≥ 0
1 b a
1 2 b 3 a
=
⇒ a3 + a2 - 2a = 0
⇔ a ( a2 + a -2) = 0
⇔
=
− +
=
0 2 a 2 a
0
a
Hệ ( I ) có ba nghiệm : ( 0 ; 1) ; ( 1 ; 0) ; ( -2 ; 3)
nên phương trình đã cho có nghiệm : 2 ; 1 ; 10
b, 3,5 điểm
Từ (1) ; (2) ta có : (x – z)(x – y + z) = 0 (4)
Từ (2) và (3) ta có: ( y - x)(x + y –z) = 0 (5)
Từ (3) ; (4) ; (5) ta có hệ :
= +
=
− +
−
2 2 y xz
0 z y x x y
0 z y x z x
Để giải hệ trên ta giải 4 hệ
( ) ( )
2
2
2
Trang 3( ) ( )B
2 2 y xz
0 z y x
0 z
x A
2 2 y xz
0 x
y
0 z
x
= +
=
− + =
−
= +
=
− =
−
2 2 y xz
0 z y x
0 z y
x C
2 2 y xz
0 z y
x
0 x
y
= +
=
− + + =
−
= +
= +
− =
−
Giải 4 hệ trên ta được 8 bộ nghiệm của hệ phương trình :
(1; 1; 1) ; ( -1;-1; -1 ) ; ( 2; 0; 2) ; (− 2; 0;− 2)
( 2; 2 ;0) ; (− 2; − 2 ;0) ; (0; 2; 2) ; ( 0;− 2 ;− 2)
Bài 3: 6 điểm
a, Ta có BMO = BNO = 900
=> OMBN là tứ giác nội tiếp
Trên BO lấy E sao cho BME = OMN
=> ∆BME ∆NMO
=> BMBE = NMNO
=> BM NO = BE NM
Chứng minh tương tự BN OM = OE MN
Cộng theo từng vế BM ON +BN ON = MN BO
b Đặt a , b , c là độ dài các cạnh BC , AC , AB của ∆ABC
theo câu a ta có d1 2
a
+ d22
c
= R 2
b
áp dụng câu a đối với các tứ giác OMAP , ONCD ta có
d1 2
b
+ d3 2c = R 2a
d 3 2
a
+ d2 2
b
= R 2
c
Cộng theo từng vế :
2
R
( a+b+c) = 2
1
( d1b + d2b + d3c + d3a + d1a + d2c) mặt khác SABC= 2
r
( a+b +c ) = 2
1
( d1c + d3b + d2a)
Do đó ( R + r )( a+b+c) = ( a+b+c)( d1+d2+d3)
hay R + r = d1 + d2 + d3
Bài 4: 3,5 điểm
Gọi số phải tỡm là (a , b N; 1 a, b 9)
A
0
B
N
O d1
E
d3 d2
C
Trang 4Ta cú hệ 4 2 15(1)2
C1 : Từ (1) ta thấy nếu
=> a = b = 9 khụng thỏamón (1) và (2) Vậy b = 1 thay b = 1 vào (2) ta được:
– 9 = a2 + 1
10a + 1 – 9 = a2 + 1
a2 – 10a + 9 = 0
a1 = 1; a2 = 9
(*) a = 1 => a = b loại
(*) a = 9 => = 91 thỏa món (1)
91 = 4 * 19 + 15
Vậy: Số phải tỡm là 91
C2: Từ hệ trờn cú thể dựng PP thế để giải Rút 1 ẩn từ PT (1) thế vào PT (2) ta sẽ
được một PT bậc 2 Giải PT bậc 2 đó sẽ tỡm được nghiệm
Chỳ ý: - Học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa
- GK có thể bàn để thống nhất điểm cho từng phần nhỏ của mỗi bài