Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD... HƯỚNG DẪN CHẤM câu..[r]
Trang 1SỞ GD ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT QUỐC OAI
ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
ĐẦU NĂM HỌC 2016-2017 MÔN TOÁN –LỚP 11
Thời gian : 90 phút
Câu 1 (2 điểm) Giải bất phương trình sau √4 x−1−√x−2>√2 x+1
Câu 2 (2 điểm) Giải hệ phương trình sau
4 x2
−4 xy + y2 =0
3 x2 −6 y −5 √10+2 y− x2 +12 =0
¿
{ ¿ ¿ ¿
¿
Câu 3 (2 điểm).
a Cho tan x=2 Tính giá trị biểu thức P=
2 sin x cos x−cos2x
1+sin x cos x
b Cho Δ ABC Chứng minh
sin( A+B ) cos( A+C )+2sin A +C
2 .sin
B
2 cosC=sin( B−C )
Câu 4(3 điểm).
Trong mặt phẳng toạ độ oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AB ,
BD lần lượt có phương trình x-y+4=0 và x+3y=0 Điểm M (− 1
3;1) thuộc đường
thẳng AC
a Tìm toạ độ điểm B
b Viết phương trình đường thẳng qua M và song song với AB
c Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD
Câu 5 (1 điểm) Cho 3 số thực x, y ,z có tổng bằng 1
Chứng ming rằng : (3 x +4 y+5 z)2≥44 ( xy + yz+zx)
……….Hết………
Trang 2Họ và tên học sinh:……… Số báo danh………
HƯỚNG DẪN CHẤM
câu NỘI DUNG Thang điểm
1
(2 điểm) ĐK:
x≥2
bpt ⇔√4 x−1>√x−2+√2x+1
⇔x>2√2 x2−3 x−2
⇔x2>8 x2−12x−8(do x≥2)
1 điểm
⇔7 x2−12 x−8<0
⇔6−2√23
7 <x<
6+2√23 7
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bpt đã cho là
[ 2; 6+2 √ 23
7 )
1 điểm
2
(2 điểm)
4 x2
−4 xy + y2 =0( 1)
3 x2 −6 y −5 √10+2 y− x2 +12 =0 ( 2 )
¿
{ ¿ ¿ ¿
¿
pt(1)⇔ y=2x (3) Thế (3) vào (2) ta được :
3 x2−12 x−5√10+4 x−x2+12=0 ( 4)
1 điểm
Đặt t=√10+4 x− x2(t≥0)⇒ x2−4 x=10−t2
Khi đó pt (4) trở thành :
3 t2+5 t −42 =0 ⇔
¿
[t =−14
[ ¿
Với t=3
¿
⇒ √ 10+4x−x2=3⇔x2−4x−1=0
⇔
[ x=2+ √ 5⇒y=4+2 √ 5 [ x=2− √ 5⇒y=4−2 √ 5 [ ¿¿
KL: ………
1 điểm
3a
(2 điểm) P=
2 tan x−1
( 1+tan2x )+tan x=
2 2−1 1+22+2=
3
Trang 33b VT=(sin C )(−cosB )+2 cos B
2 sin
B
2.cosC
=-sinC.cosB +sinB.cosC =sin(B-C)=VP (đpcm)
1 điểm
4(3 đ)
4a
4b
4c
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ
x − y + 4 = 0
x + 3 y = 0
⇔
¿
x =− 3
y = 1
¿
{ ¿ ¿ ¿
¿
Vậy B(-3;1)
1 điểm
Gọi Δ là đường thẳng qua M và song song với AB
Vì Δ song song với AB nên Δ có dạng: x-y+c=0 ( c≠4 )
M thuộc Δ nên c=
4
3 Vậy Δ có pt : x− y +
4
3=0
1 điểm
Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD Suy ra I là tâm đường tròn
ngoại tiếp hcn ABCD
Gọi N là giao của BD và Δ ⇒N (−1;1
3)
Vì ABCD là hcn nên I thuộc đường trung trực của MN
Pt đường trung trực d của MN là : x+y=0
Khi đó I là giao của d và BD ⇒I (0;0)
Vậy đường tròn cần tìm có tâm I và bán kính R=IB= √10 nên có pt:
x2+y2=10
1 điểm
5 Ta có x+y+z=1 ⇒ z=1−x− y thay vào bđt ta dược:
(3x+4 y+5−5 x−5 y )2≥44 xy+44( x+ y)(1−x− y)
⇔48 x2+16 x(3 y−4)+45 y2−54 y+25≥0(1)
Ta coi VT của (1) là một tam thức bậc hai của x với hệ số của x2 là
48>0
Khi đó
Δ ' x=64 (3 y −4 ) 2 −48 (45 y 2 −54 y +25 )=−176(3 y−1 ) 2 ≤0
⇒VT (1)≥0 ∀ x , y (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi
x=1
2
y=1
3
z=1
6
¿
{ ¿ { ¿ ¿¿
¿
0,5 điểm 0,5 điểm
Lưu ý: Học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.