Tuyen tap de thi thu dai hoc 2014 mon toan laisac de91 2014

Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt đồ thị hàm số C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác ABD là tam giác đều trong đó D là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số C.. Hình chiếu của đỉnh

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm)

Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số:

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C)của hàm số

2 Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác ABD là tam giác đều trong đó D là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (C)

Câu II (2.0 điểm)

1 Giải phương trình sau: 3sin 3x+ +2 sin x(3 8 cos x)− =3cos x

2 Giải hệ phương trình sau:

(x, y )



∈



− − = −

Câu III (1.0 điểm) Tính tích phân sau:

π

+

=∫4 4 4 0

sin x 1

cos x

Câu IV (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và ABC=60o Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của OA Góc giữa mặt phẳng (SCD) và

mặt phẳng đáy bằng 60o Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi đường

thẳng AO và mặt phẳng (SCD)

Câu V (1.0 điểm) Cho a, b, x, y là bốn số dương thỏa mãn a5+b5 =2 và x, y≤4 Hãy tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:

2 2

P xy(a b )

+

PHẦN RIÊNG (3.0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2.0 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD, CD=2AB Biết A(2; 1)− , B(4;1) và điểm M( 5; 4)− − thuộc đáy lớn của hình thang Hãy xác định tọa độđỉnh C và

D của hình thang

2 Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 2;3), B( 2; 2; 3), C(1;1; 5), D(3; 1; 2)− − − − − và một điểm M thuộc đường thẳng CD Viết phương trình mặt phẳng (ABM) biết thể tích khối tứ diện M.ABC gấp hai lần thể tích khối tứ diện M.ABD

Câu VII.a (1.0 điểm) Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức

w= −(1 2i)z 3+ biết z là số phức thỏa mãn: z+ =2 5

B Theo chương trình Nâng cao.

Câu VI.b (2.0 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo AC nằm trên đường thẳng : x y 1 0

∆ + − = Điểm M(4;9) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB, điểm N( 5; 2)− − nằm trên đường thẳng chứa cạnh AD Biết AC = 2 2 Hãy xác định tọa độđỉnh C của hình thoi ABCD

2 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2+y2+ −z2 4x+2y+6z 12− =0 và đường thẳng (d): x= +5 2t; y=4; z= +7 t Viết phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc mặt cầu (S)

tại điểm M(5; 0;1) biết đường thẳng ∆ tạo với đường thẳng (d) một góc ϕthỏa mãn cos 1

7

ϕ = ⋅

Câu VII.b (1.0 điểm) Giải hệ phương trình sau:

2

2







- Hết -

SỞ GD & ĐT BẮC NINH

TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 2012-2013

Môn: TOÁN; Khối B, D

Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề.

Ngày thi 13/04/2013

Cảm ơn ( beyeu79@gmail.com ) gửi tới  www.laisac.page.tl

I

(2.0 điểm)

1 (1.0 điểm) Khảo sát…

• Tập xác định: D=ℝ

• Sự biến thiên:

→−∞ = +∞

→+∞ = +∞

= 2 3+ = ⇔ = ⇒ = −2

Bảng biến thiên: x −∞ 0 +∞

y ' – 0 +

y +∞ +∞

CT

−2

3

0.25 Hàm số đạt CT tại xCT =0 ; yCT = −2 3, hàm số không có cực đại Hàm số nghịch biến trên (−∞;0) và đồng biến trên (0;+∞) 0.25 0.25 2 (1.0 điểm) Viết phương trình đường thẳng… Ta có:   −     2 D 0; 3 Do A, B∈(C)và∆ABDđều ⇒ AB//Ox và A, B đối xứng nhau qua Oy (Do tính chất đối xứng của (C)) Do đó, ta giả sử:   + − ∈     4 2 a a 2 A a; (C) 6 2 3 với a>0   ⇒ − + −    4 2 a a 2 B a; 6 2 3 0.25 Khi đó,∆ABD đều   ⇔ = ⇔ = ⇔ = + +    2 4 2 2 2 2 2 a a AB AD AB AD 4a a 6 2 0.25   ⇔ +  = ⇔ + =   2 4 2 4 2 2 a a a a 3a 3a 6 2 6 2 (do a>0) a a (a )(a a ) a A ; a a (Voâ nghieäm vì ) ⇔ + − = ⇔ − + + =  =   ⇔ ⇒    + + = ∆ = − <    3 2 2 3 6 3 0 3 3 6 0 3 7 3 3 3 6 0 21 0 0.25 ∆là đường thẳng đi qua A và song song Oy⇒phương trình đt∆ là y= ⋅7 3 0.25 II (2.0 điểm) 1 (1.0 điểm) Giải phương trình: 3sin 3x 2 sin x(3 8 cos x)+ + − =3cos x ⇔3sin 3x 3sin x+ + −2 8sin x cos x=3cos x ⇔3.2 sin 2x cos x−4 sin 2x 2 3cos x+ − =0 0.25 SỞ GD & ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối B, D (Đáp án – thang điểm gồm 06 trang) • Đồ thị:

- Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận trục Oy

làm trục đối xứng

Trang 2/6

II

(2.0 điểm)

⇔2 sin 2x(3cos x 2) 2 3cos x− + − =0

π



= =



− =



− =

1 sin 2x sin

2 sin 2x 1 0 2 6 3cos x 2 0 2

cos x

3

0.25

⇔ = + π ⇔ = + π

0.25

2 (1.0 điểm) Giải hệ phương trình…

(I)

0.25

a Với  =

⇒



(I)

b Với x, y≠0, từ (I) ⇒ 3 3 = + − ⇔ 3 3 = − 2 2+ +

⇔ 3 3+ 2 2− − =

x y x y 2xy 8 0 ⇔ − 2 2+ + =

xy

⇔

+ + = ∆ = − <

 2 2

2

0.25

Với xy=2 Thay vào (I) ta được:



⇔

=

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là (3 3 )

4; 2

0.25

III

(1.0 điểm)

Tính tích phân …

Ta có:

1 2

▪ Tính

=∫4 4 =∫4 2 2 + − 2 + +  1

0

0.5

▪ Tính

=∫4 =∫4 ⋅ =∫4 + 2 = ⋅

0.25

Vậy = + = − + + = + ⋅π π

1 2

IV

(1.0 điểm)

Tính thể tích khối lăng trụ …

S

A

D H

K L

M

O

60 o

60 o

4a

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là = o

SKH 60

0.25

∆OCD vuông tại O có = o ⇒ = o = ⋅ 3 =

2

∆HCKcó OL//HK ⇒ OL =OC =2⇒HK=3OL=3 3a⋅

∆SHKvuông tại H ⇒ = o =3 3a⋅ =9a⋅

S.ABCD ABCD

0.25

▪ Tính góc giữa AO và mặt phẳng (SCD)

Trong mp (SHK) kẻ HM⊥SK (M∈SG)⇒HM⊥(SCD) (doCD⊥(SHK))

⇒ M là hình chiếu của H trên (SCD) Mà AO∩(SCD)=C

⇒ MC là hình chiếu của AO trên (SCD)

⇒ Góc giữa đường thẳng AO và (SCD) là HCM

0.25

∆HMKvuông tại M ⇒ = o =3 3a⋅ 3 =9

9 a

0.25

V

(1.0 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất…

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

5+ + + + ≥5 5 5 5 = 2

5+ + + + ≥5 5 5 5 = 2

Suy ra: 5+ 5+ ≥ 2+ 2 ⇔ +2 2 ≤

0.25

Do đó ≥ 2 + 2+ = + +

x 2y 24 x y 12 P

xy.2 2y x xy Xét hàm số f(x)= x + +y 12

2y x xy với x∈(0;4] và y là tham số

Ta có: = 2 − 2− ≤ 2 − 2− = − < ∀ ∈

x 2y 24 4 2.0 24 8

⇒f '(x)nghịch biến trên (0;4] ⇒f(x)≥f(4)

0.25

Suy ra: P≥f(4)= + + = + =2 y 3 5 y g(y)

y 4 y y 4 với y∈(0;4]

Ta có: g '(y)= − 52 + ≤ −1 5 + = −1 1 <0 ∀ ∈y (0;4]

⇒g(y) nghịch biến trên ( ; ]0 4 ⇒g(y)≥g(4)=5 / 4 1+ =9 / 4

0.25

Ta có:

∆

ABCD ABC

S 2S 4a.4a.sin 60 8 3a

Từ giả thiết ta có: AH=HO=1OC

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi L là

chân đường cao hạ từ O của ∆OCD

Kẻ HK//OL(K∈CD) ⇒HK⊥CD (1)

Mà H là hình chiếu của S trên mặt

phẳng (ABCD)⇒SH⊥CD (2)

Từ (1), (2)⇒CD⊥(SHK)

Trang 4/6

V

(1.0 điểm) Vậy giá trị nhỏ nhất của P=9

4 khi a= =b 1;x= =y 4 0.25

VI.a

(2.0 điểm)

1 (1.0 điểm) Tìm tọa độ đỉnh C, D

C D

I

0.25

Gọi I là trung điểm của AB⇒I(3;0) và H là hình chiếu của I trên CD

⇒ H là trung điểm của CD DoIH⊥AB⇒IHnhận AB=(2;2) là 1 VTPT

⇒ phương trình IH là: 2 x 3( − +) 2(y 0)− = ⇔ + − =0 x y 3 0

MàH=IH∩CD⇒tọa độ điểm H là nghiệm của hệ:

H(1;2)

0.25

Giả sử C c;c 1( + ∈) CD

Do H là trung điểm của CD ⇒ =CD = ⇔ 2 = 2

0.25

⇔ − 2 =

− = −  = − ⇒ − = −

Vậy tọa độ hai điểm C, D thỏa mãn đề bài là:C(3;4), D( 1;0).−

0.25

2 (1.0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng…

Mặt phẳng (ABM) đi qua điểm A có phương trình dạng:

− + − + − = 2+ + ≠2 2

∈ ⇔ − + − = ⇔ = −

0.25

Ta có: M.ABC = M.ABD ⇔ ⋅ ∆ABM = ⋅ ∆ABM

⇔d(C,(ABM))=2d(D,(ABM)) − − − −

2

⇔ +b 8c =2 2a 3b 5c (2) − −

0.25

Thay (1) vào (2) ta được:

= −





+ = + ⇔

= −



7

▪ Với b= −2c.Do 2+ + ≠2 2 ⇒ ≠

a b c 0 c 0 Chọn c= −1⇒a= =b 2

⇒phương trình mặt phẳng (ABM) là:2x+2y z 3− − =0

0.25

▪ Vớib= −26c

7 Do 2+ + ≠2 2 ⇒ ≠

a b c 0 c 0 Chọn c= −7⇒b=26,a=14

⇒phương trình mặt phẳng (ABM) là:14x+26y 7z− −45=0

0.25

VII.a

(1.0 điểm)

Tìm tập hợp…

Giả sử w= +a bi (a, b∈R)

Ta có:w= −(1 2i)z 3+ ⇔ + = −a bi (1 2i)z 3+ 0.25

− + −

⇔ + =

−

a 1 (b 4)i

Đường thẳng AB nhận AB=(2;2) là 1 VTCP⇒ n ( ; )= −1 1



là VTPT của đt AB

⇒ Phương trình đường thẳng AB là:

− − + ⇔ − − =

CD//AB⇒ CDnhận n= −(1; 1)



là l VTPT

Mà M∈CD ⇒phương trình CD là:

1 x 5 1 y 4 0 x y 1 0

VII.a

(1.0 điểm) Theo giả thiết:

− + −

−

a 1 (b 4)i

(a 1) (b 4) 5 5 ⇔ − 2+ − 2 =

(a 1) (b 4) 125

0.25

Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn đề bài là đường tròn tâmI(1;4) bán kínhR=5 5 0.25

VI.b

(1.0 điểm)

1 (1.0 điểm) Xác định tọa độ đỉnh C

A

B

C D

M

N

GọiH=MM '∩AC⇒tọa độ điểm H lànghiệm của hệ: − + =

⇒ −

 + − =



H( 2;3)

Do H là trung điểm  = − = −



x ' 2x x 8

y ' 2y x 3

0.25

Do ABCD là hình thoi ⇒M '∈AD MàN∈AD⇒đường thẳng AD nhận

M'N ( ; )= 3 1



là 1 VTCP ⇒n' ( ; )= −1 3



là một VTPT của AD ⇒ phương trình đường thẳng AD là: 1(x 8) 3(y 3)+ − + = ⇔ − − =0 x 3y 1 0

0.25

MàA=AC∩AD

⇒ tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: − − =  =

A(1;0)

0.25

Giả sử C(c;1 c)− ∈AC Theo giả thiết ta có: = ⇔ 2 =

= ⇒ −



⇔ − + − = ⇔ − = ⇔

= − ⇒ −



Vậy tọa độ điểm (C) thỏa mãn đề bài là:(3; 2),( 1;2)− −

0.25

2 (1.0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng (P)…

(S): − 2 + + 2 + + 2 = ⇒

(x 2) (y 1) (z 3) 26 (S) có tâm I(2; 1; 3)− − và bkính R= 26

IM (3;1;4), u (2;0;1)

 

là 1 VTCP của (d)

Giả sử u2 =(a;b;c)



là 1 VTCP của đường thẳng ∆ 2 + + ≠2 2

Do∆tiếp xúc mặt cầu (S) tại M ⇒IM⊥u2 ⇔3a+ +b 4c= ⇔ = − −0 b 3a 4c (1)

 

0.25

Mà góc giữa đường thẳng∆ và đường thẳng (d) bằng ϕ

+

+ +

1 2

1 2

 

 

Thay (1) vào (2) ta được: + = 2 + + 2+ 2

7 2a c 5 a (3a 4c) c ⇔ 2+ + 2 = 2+ 2 + + 2+ 2

= −





= −



11

0.25

▪ Với a= −3c,do 2+ + ≠2 2 ⇒ ≠

a b c 0 c 0 Chọnc= −1⇒a=3;b= −5

⇒ phương trình đường thẳng∆ là:

= +





= −



 = −



x 5 3t

y 5t

z 1 t

=

n (1;1)



là 1VTPT của AC Lấy M'là điểm đối xứng với M qua AC

DoMM '⊥AC⇒MM ' nhận n



làm 1 VTCP

⇒ MM ' đi qua M và nhận u= −(1; 1)



là 1 VTPT⇒ phương trình đường thẳng MM'

là: 1(x− −4) 1(y 9)− = ⇔ − + =0 x y 5 0

Trang 6/6

VI.b

(1.0 điểm) ▪ Vớia= −13c

11 , do 2 + + ≠2 2 ⇒ ≠

a b c 0 c 0 Chọn c= −11⇒a=13, b=5

⇒ phương trình đường thẳng∆ là:

= +





=



 = −



x 5 13t

y 5t

z 1 11t

0.25

VII.b

(1.0 điểm)

Giải hệ phương trình…

Đặt ( )

( )



=



> ⇒





2

x

y

(u, v 0)

3 v

hệ trở thành: − = −





2 2

u 4v 32

(u 2v)(u 2v) 32 u 2v 8 u 2

(t / m)



=  =

 = =



2

2

y 2 y 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:( ) (2;2 , − 2;2 )

0.25

▪ Chú ý: Các cách giải đúng khác đáp án cho điểm tối đa

Cảm ơn ( beyeu79@gmail.com ) gửi tới  www.laisac.page.tl