TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 LẦN THỨ NHẤT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông.. SA =
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013
LẦN THỨ NHẤT
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số: 2
1
x
y
x
+
=
- (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b) Chứng minh rằng đường thẳng y = x + 2 là một trục đối xứng của đồ thị hàm số (1).
tan cot
x x
x
+
Câu 3 (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
x + - x + m x - x - x - x = m
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
6
0
3 cot( ) 4
os2x
x
c
-
= ò
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA = a và vuông
góc với mặt phẳng (ABC). M, N lần lượt là trung điểm AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM)
và mặt phẳng (ABC) bằng 45 0 . Tính thể tích hình chóp S.ABNM và khoảng cách từ D đến
mặt phẳng (SBM).
Câu 6 (1,0 điểm) Cho số thực a. Chứng minh rằng:
2a -2a+ +1 2a -( 3 1)- a+ +1 2a +( 3 1)+ a + ³ 1 3
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm M(0; 2), N(5; 3), P( 2; 2),
Q(2; 4) lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD. Tính diện tích
hình vuông đó.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3),
C(2; 1; 3), D(1; 1; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với AB và CD sao cho khoảng cách từ đường thẳng AB và khoảng cách từ đường thẳng CD đến mặt phẳng (P) bằng
nhau.
Câu 9.a (1,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi cặp số nguyên k, n (0£k£ - n 2013) ta có:
2013 n k 2013 n k 2013 n k 2013 n k n k 2013
C C +C C + +C C + + +C C + = C + +
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình
(x-1) +(y -2) = 4 và đường thẳng (d) có phương trình x y + 7 = 0. Tìm trên (d) điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến của (C) là MA, MB(A, B là hai tiếp điểm) sao
cho độ dài AB nhỏ nhất.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; 2; 2) và mặt phẳng (P) có
phương trình x y z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với (P)
và cắt Oy, Oz lần lượt tại M, N sao cho OM = ON ¹ 0.
Câu 9.b (1,0 điểm).
Chứng minh rằng, với mọi cặp số nguyên k, n (1 k£ £ ) ta có n kC n k = nC n k - - 1 1 .
Tìm số nguyên n > 4 biết rằng 2 0 5 1 8 2 (3 2) n 1600
C + C + C + + n+ C =
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM
LẦN THỨ NHẤT
Môn: TOÁN; Khối A và khối A1 (ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM NÀY CÓ 06 trang)
a) 1.0đ
TXĐ: D= R \ 1 { }
2
3
( 1)
x
= - < " Î
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥;1), (1;+¥ ) 0,25 Giới hạn:
Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng khi x®1 ,- x ® 1 +
Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang khi x ® ±¥ 0,25
Bảng biên thiên:
t 1 +
y'
1 +
0,25
Đồ thị:
0,25
b) 1.0đ
Câu 1
(2.0đ)
Gọi I(1; 1), đồ thị hàm số đã cho là (C)
x
y
f x ( ) = x+2 x1
1
4
2
2 O 1 2 3 5/2
Trang 3Phép tịnh tiến hệ trục Oxy ® IXY theo OI uur
= (1; 1): 1
1
= +
ì
í
= +
î Hàm số đã cho trở thành 1 1 2 3
X
+ +
+ -
0,25
Đường thẳng y = x + 2 trở thành 1+Y = (1 + X) + 2
Trong hệ trục IXY mỗi M(X; Y) Î (C) Y 3
X
Û = , với X ¹ và hiển 0
nhiên Y ¹ 0
Khi đó Y 3 X 3 M'( Y; X )
Mặt khác M(X; Y) và M'( Y; X) đối xứng với nhau qua đường thẳng
Câu 2
(1.0đ)
ĐK: s in2x¹ 0
0,25
tan cot sin 2 4
x
+
2
1
1 sin 2
1 sin cos
2 sin 2 4 cos sin
x
-
2
1
x
-
2
p
,
4 2
x p kp k
Û = + Î Z thỏa điều kiện.
KL: Nghiệm của phương trình đã cho là ,
4 2
x p kp k
Phương trình x+ 1-x+2m x( 1-x) -24 x( 1 -x) = m 3 (1)
Điều kiện : 0£x £ 1
duy nhất thì điều kiện cần là 1 1
2
x= -xÛ x = Thay 1
2
x = vào (1) ta được:
1
m
m
=
ì
= ±
* Với m = 0, (1) trở thành:
2
x- -x = Û x =
Câu 3
(1.0đ)
* Với m = 1, (1) trở thành:
( ) ( ) ( )
4
4
Trang 41 0 1
2
x
ì - - =
ï
- - =
ï
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
0,25
* Với m = 1 thì (1) trở thành:
4
x+ -x- x -x = - x -x Û x- -x = x- - x
Ta thấy 0, 1
2
x= x = thỏa phương trình.
Phương trình (1) có hơn một nghiệm.
Ta có
3
2
2
1 tan x cos 2x
1 tan x
-
=
2
2
tan( )
tan 1
4 os2x (t anx+1)
x
x
c
-
+
2
1
cos
x
1
x p t
= Þ =
= Þ =
0,25
Câu 4
(1.0đ)
Suy ra
1
1
3
3
2
0
0
dt
I
-
0,25
Câu 5
(1.0đ)
· Gọi H là giao điểm của BM và AN.
Do M, N là các trung điểm nên BM ^ AN
SA mp ABCD
BM SH
BM AN
^
ì
í
^
î
·
SA^AHÞ SHA nhọn
Suy ra · SHA là góc giữa hai mặt phẳng: (ABCD) và (SBM) nên
· 45 0
SHA =
AS
0,25
0,25
Trang 5Trong tam giác vuông ABM: 12 1 2 1 2
AB + AM = AH
dt(ABNM) = dt(ABCD) dt(BCN) dt(MND)
= 5
Suy ra thể tích hình chóp S.ABNM là:
.
0,25
· Gọi F là trung điểm BC. Ta có DF//BM nên DF //mp(SBM).
Gọi E là giao điểm của DF và AN
Suy ra d(D, mp(SBM)) = d(E, mp(SBM))
Gọi K là hình chiếu của E trên đường thẳng SH thì EK ^ mp SBM ( )
Từ đó d(D, mp(SBM)) = d(E, mp(SBM)) = EK
M trung điểm AD nên H là trung điểm AEÞ HE = HA = a
Để ý rằng · KHE = 45 0
2
a
EK
Vậy ( , ( ))
2
a
Ghi Chú: · d(D, mp(SBM)) = d(A, mp(SBM))
· Có thể giải bằng PP tọa độ
2a -2a+ +1 2a -( 3 1)- a+ +1 2a +( 3 1)+ a + ³ 1 3
Û + - + çç - ÷÷ +ç + ÷ + çç + ÷ ÷ +ç + ÷ ³
(1)
Trong mặt phẳng Oxy, chọn A(0; 1), B 3; 1
2 2
-
, C 3; 1
2 2
, M(a; a).
Khi đó, (1) Û MA + MB + MC ³ 3 (2) 0,25
Tam giác ABC đều tâm O và OA = OB = OC = 1
Suy ra (2) tương đương MA + MB + MC ³ OA + OB + OC (3)
Thực hiệm phép quay tâm A góc 60 0 .
C®C M ® M Suy ra MA = MM', MC = M'C'.
Khi đó:
MA + MB + MC = MB + MM' + M'C' ³ BC' = OA + OB + OC 0,25
Câu 6
(1.0đ)
Dấu đẳng thức xảy ra khi chỉ khi
M º O Û a = 0
M
C
B
C'
Trang 6Ghi chú: ·Có thể giải bằng PP véc tơ
· Không dùng các bất đẳng thức không có trong SGK để chứng minh.
Đường thẳng chứa cạnh AB: ax + b(y 2) = 0
Đường thẳng chứa cạnh BC: b(x 5) a(y + 3) = 0
d(P; (AB)) = d(Q; (BC))
2 ( 2 2) (2 5) ( 4 3)
i) a = 7, b = 1: d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) = 2 Þ dt(ABCD) = 2
0,25
Câu
7a(1.0đ)
ii) a = 1, b = 3: d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) = 10 Þ dt(ABCD) = 10
0,25
Mặt phẳng (P) song song với AB và CD có một cặp véc tơ chỉ phương:
( 1; 0; 3), ( 1; 0; 3)
0,25
nên có một véc tơ pháp tuyến là éëuuur uuur AB CD , ù =û (0; 6; 0) -
Suy ra phương trình mp(P): y + D = 0 0,25
AB và CD song song (P) nên d(AB,(P)) = d(A,(P))
và d(CD,(P)) = d(C,(P)) d(AB,(P)) = d(AB,(P)) Û d(A,(P)) = d(C,(P))
Câu
8a(1.0đ)
D
+ = - +
é
Û =
ê + = -
ë
.
Suy ra phương trình (P): y = 0 0,25
2013 n k 2013 n k 2013 n k 2013 n k n k 2013 (0 2013)
C C +C C + +C C + + +C C + =C + + £k £n - (*) VP(*) là hệ số của x k + 2013 trong khai triển (1+ x ) n + 2013
0,25
VT(*) là hệ số của x k + 2013 trong khai triển 2013
(x+1) (1+ x ) n 0,25
Mặt khác (1+ x ) n + 2013 = (x+1)2013 (1+ x ) n 0,25
Câu
9a(1.0đ)
Hệ số của x k + 2013 trong khai triển (1+ x ) n + 2013 bằnghệ số của x k + 2013 trong
khai triển 2013
(x+1) (1+ x ) n
Đường tròn (C) có tâm I(1; 2), bán kính R = 2. Gọi H là giao điểm của
IM và AB thì IM ^ AB và HA = HB.
d(I, d) = 3 2 > R. Suy ra qua mọi M thuộc (d) đều kẻ được tiếp tuyến
Tam giác AMI vông ở M có:
Từ đó suy ra, AB nhỏ nhất khi chỉ khi IM nhỏ nhất , khi chỉ khi M là
Câu
7b(1.0đ)
MÎ d Û M x x+ ÞMI = -x - - x
uuur
,
d có véc tơ chỉ phương a = (1; 1)
r
Trang 7( ) 0 1 5 0 2 ( 2;5)
MI^ d ÛMI auuur r = Û - - -x x= Ûx= - ÞM -
0,25
Gọi M(0; a; 0), N(0; 0; b), trong đó ab ¹ 0
Ta có uuuurAM = -( 3; 2+a; 2),uuur AN = -( 3; 2;b + 2)
0,25
Khi đó, một véc tơ pháp tuyến của (Q):
[ , ] (2 2 ;3 ;3 )
Q
nuur= uuuur uuur AM AN = a+ b ab b a +
Véc tơ pháp tuyến của (P): n =uur P (1; 1; 1) - -
0,25
( )P ^( )Q Ûn P ^n Q Ûn n P Q =0Ûab- - = a b 0
uur uur uur uur
(1)
OM = ON Û a = b Ûa= ± b
i) a = b : (1)Ûa = 0 (loại) hoặc a = 2
a = 2 thì b = 2, ta có n =uur Q (12;6; 6) Þ
Phương trình (Q):
2x + y 2 + z = 0 Û 2x + y + z 2 = 0 0,25
Câu
8b(1.0đ)
ii) a = b: (1)Ûa = 0 (loại)
Vậy, phương trình (Q): 2x + y + z 2 = 0 0,25
Ta có
1
1
!( )! ( 1)! ( 1) ( 1) !
-
-
-
n
3 (1 1) 2(1 1) 1600 3 2 2 1600 3 2 2 100
-
0,25
Câu
9b(1.0đ)
7
n
