Ảnh hưởng của các thăng giáng chân không điện từ trong tương tác giữa nguyên tử với trường đã được lượng tử hóa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ******************** LÊ VĂN QUÂN ẢNH HƯỞNG CỦA CÁC THĂNG GIÁNG CHÂN KHÔNG ĐIỆN TỪ TRONG TƯƠNG TÁC GIỮA NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG ĐÃ ĐƯỢC LƯỢNG TỬ HÓA

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

*********

Chuyên nghành : Quang học

VINH, 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

********************

LÊ VĂN QUÂN

ẢNH HƯỞNG CỦA CÁC THĂNG GIÁNG CHÂN KHÔNG ĐIỆN TỪ TRONG TƯƠNG TÁC GIỮA NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG ĐÃ ĐƯỢC

LƯỢNG TỬ HÓA.

LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ Chuyên nghành: Quang học

Mã số: 60.44.01.09

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN HUY CÔNG

VINH, 2012

Lời Cảm Ơn ! Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, PGS.TS Nguyễn Huy Công, đã tận tình hớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo khoa Vật

Lý, phòng sau Đại học - Trờng Đại Học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy

và hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin đợc dành cho ngời thân, gia đình và Trờng THPT Nguyễn Trãi – Lơng Sơn – Hòa Bình, đặc biệt là tập thể lớp cao học 18 - chuyên ngành quang học Vật Lý - Trờng

Đại Học Vinh, trong suốt thời gian qua đã cổ vũ, động viên để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình.Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả kính mong đợc sự chỉ dẫn của các nhà khoa học và các bạn đồng nghiệp.

Vinh, tháng 09 năm 2012 Tác giả

Lê Văn Quân

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn……… 1

Mục lục……… 2

Lời mở đầu……….……… 4

CHƯƠNG 1 : SỰ LƯỢNG TỬ HÓA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 8

1.1.Mở đầu 8

1.1.1.Sự cần thiết phải lượng tử hóa trường……… 8

1.1.2 Các cách lượng tử hóa trường điện từ……….………8

1.2.Các toán tử sinh, hủy và các toán tử véc tơ trường………13

1.3 Các trạng thái lượng tử của trường……… ………18

1.3.1 Các trạng thái có số pho ton xác định……… …… 18

1.3.2 Các trạng thái kết hợp……… … 19

1.3.3 Các trạng thái nén của trường………24

1.4 Trạng thái và thăng giáng của chân không điện từ………… ………26

Kết luận chương 1……… 28

CHƯƠNG 2 : ẢNH HƯỞNG CỦA CÁC THĂNG GIÁNG CHÂN KHÔNG TRONG TƯƠNG TÁC CỦA NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG ĐÃ ĐƯỢC LƯỢNG TỬ HÓA 29

2.1.Haminltơnnian của hệ nguyên tử + trường khi trường được lượng tử

hóa 29

2.2 Một số kết quả thu được từ tương tác của hệ (nguyên tử+trường) đã được lượng tử hóa 38

2.2.1 Sự dịch chuyển Lamb – Retherford……….……… 49

2.2.2 Bức xạ ngẫu nhiên 55

2.2.3 Quy tắc vàng Fermi 61

Kết luận chương 2 63

Kết luận 64

Tài liệu tham khảo 66

***************@********************

LỜI MỞ ĐẦU

Cơ học Newton đã giải quyết xong các bài toán về chuyển động của các vật thuộc mọi kích cỡ - từ chuyển động của các hành tinh tới hạt cát đang rơi Riêng

các bài toán và những vấn đề về phần điện và từ thì đã được giải quyết thông qua

lý thuyết điện từ của Maxwell với cơ sở là hệ phương trình Maxwell

Đến cuối thế kỉ 19, có một số hiện tượng cơ học và hiện tượng điện từ, khôngthể giải quyết được nếu sử dụng các phương trình của cơ học Newton và hệ cácphương trình Maxwell Đầu thế kỷ XX, vật lý lượng tử ra đời đã giải thích đượcmột loạt các hiện vật lý như hiệu ứng quang điện, bức xạ vật đen, hiệu ứngCompton, v.v…

Vật chất được lượng tử hoá Quy luật vận động của hạt vật chất không còn tuântheo các phương trình Newton của cơ học cổ điển Để mô tả quá trình vận độngcủa thế giới vi mô chúng ta phải xây dựng một lý thuyết cơ học mới, đó là cơ họclượng tử Vận động của hạt vật chất được diễn tả thông qua cái gọi là hàm sóng vậtchất (sóng de Broglie) Quy luật vận động của hàm sóng này tuân theo phương trìnhSchrodinger

Trường vật lý là một dạng vật chất nên khi vật chất được lượng tử hoá thìtrường cũng phải được lượng tử hoá Như chúng ta đã biết một trường vật lýđược lượng tử hoá là một trường trong đó các véc tơ trường được biểu diễn quacác toán tử Trong các trường vật lý thì trường điện từ với các véc tơ trường làvéc tơ cường độ điện trường và véc tơ cảm ứng từ được xem là trường vật lýquan trọng nhất Chính vì thế , khi nói đến sự lượng tử hoá một trường vật lý,chúng ta thườngđề cập ngay đến việc lượng tử hoá trường điện từ

Khi trường điện từ được lượng tử hoá, thì ta thay thế các véc tơ trường cổđiển của cường độ điện trường và cảm ứng từ tương ứng bằng các toán tử Phép

đo một giá trị nào đó trong một trạng thái cụ thể của trường chính là giá trị kỳ

vọng của các toán tử đặc trưng cho đại lượng đó trong trạng thái đã cho Nhưvậy, các giá trị kỳ vọng như thế phụ thuộc vào việc trường tồn tại ở trạng tháinào Trong trạng thái có số hạt xác định, thì giá trị trung bình (giá trị kỳ vọng)của trường bằng không nhưng các giá trị thăng giáng của trường lại khác không.

Từ trước đến nay, thông thường chúng ta xét tương tác của hệ nguyên tử vớitrường kích thích theo quan điểm bán cổ điển, tức là xem hệ nguyên tử đã đượclượng tử hóa còn trường kích thích vẫn là một trường cổ điển có các véc tơtrường thỏa mãn các phương trình Maxwell Khái niệm chân không điện từ lúc

đó được hiểu là một vùng hoàn toàn trống rỗng, không những không có một photon nào mà cũng không có một năng lượng nào cả

Tuy nhiên, như chúng ta đã biết, khi trường điện từ được lượng tử hóa [1],

[2], [3], chúng ta đã thu được biểu thức hamiltonian của trường là 

Trường hợp n  0, tức là ở trạng thái trong đó không có pho ton nào thì

trường vẫn có năng lượng là  

2

1

và ta gọi trạng thái này là trạng thái chânkhông điện từ Chính vì vậy khi xét tương tác của nguyên tử với một trường kíchthích nào đó, chúng ta xem toàn bộ trường và nguyên tử này được ‘nhúng’ vàotrong chân không này

Ngay cả khi hệ nguyên tử nằm trong chân không điện từ, vì nó có năng lượng nênchính chân không điện từ này sẽ đóng vai trò của một nhiễu lượng tử, đóng góp vàoquá trình xẩy ra ngay trong nguyên tử, tức là ảnh hưởng đến sự thay đổi của cácthông số nguyên tử theo thời gian

Vấn đề đặt ra là khi có mặt chân không điện từ (theo quan điểm lượng tử) thìbản thân chân không này có ảnh hưởng như thế nào đến các quá trình xẩy ratrong hệ lượng tử hay không? Ảnh hưởng đó được thể hiện như thế nào? Cónhững hiệu ứng nào có thể được giải thích thông qua sự có mặt của chân khôngđiện từ hay không? Đây chính là vấn đề mà chúng tôi muốn đề cập đến trongbản luận văn này Chính vì vậy, đề tài của luận văn mà chúng tôi lựa chọn có têngọi là:

“Ảnh hưởng của các thăng giáng chân không điện từ trong tương tác của nguyên tử với trường đã được lượng tử hóa”

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luậnvăn chia làm hai chương :

Chương 1 : Luận văn trình bày tổng quan về sự cần thiết phải lượng tử hóa

trường điện từ, nêu các cách để lượng tử hóa trường điện từ thông qua các toán

tử sinh, hủy pho ton Dựa trên cơ sở trường được lượng tử, luận văn khảo sát vềcác trạng thái lượng tử cụ thể của trường, đó là các trạng thái có số pho ton xácđịnh, các trạng thái kết hợp và các trạng thái nén Trên cơ sở đó, luận văn đề cậpmột cách cụ thể hơn về trạng thái chân không điện từ cũng như về khái niệmthăng giáng của chân không điện từ

Chương 2 : Là nội dung chính của luận văn Trong chương này, luận văn

trình bày tương tác của hệ với trường đã được lượng tử hoá Trên cơ sở củaHamiltonian toàn phần của hệ và trường và xuất phát từ phương trình ma trậnmật độ, luận văn đã đưa ra được một số kết quả về sự thay đổi theo thời gian củamột số thông số lượng tử của hệ Cụ thể là luận văn đã tính toán được xác suấtxuất hiện hạt ở các mức năng lượng khi có mặt trường kích thích cũng như khi

hệ lượng tử chỉ tồn tại trong chân không điện từ

Từ đó, luận văn đã trình bày và đưa ra cách giải thích một số hiệu ứng thôngqua việc hệ nguyên tử tồn tại trong chân không điện từ Cụ thể, trong chươngnày, luận văn đã trình bày về sự có mặt và sự ảnh hưởng của chân không điện từtrong các hiệu ứng về sự dịch chuyển các mức năng lượng (Dịch chuyển Lambe

- Retherford), hiệu ứng về quá trình bức xạ ngẫu nhiên cũng như về quy tắc vàngFermi

CHƯƠNG I

SỰ LƯỢNG TỬ HOÁ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 1.1.Mở đầu.

1.1.1 Sự cần thiết phải lượng tử hoá trường:

Như chúng ta đã biết, từ cơ học lượng tử, vật chất đã được lượng tử hoá.Trường vật lý cũng là những dạng vật chất nên, về nguyên tắc, nó cũng phảiđược lượng tử hoá

Một trường vật lý được lượng tử hoá là một trường, trong đó các véc tơtrường được biểu diễn qua các toán tử Trong các trường vật lý thì trường điện từvới các véc tơ trường là véc tơ cường độ điện trường E và véc tơ cảm ứng từ B

được xem là trường vật lý quan trọng và thường gặp nhất Chính vì vậy, khi nóiđến sự lượng tử hoá một trường vật lý, chúng ta đề cập ngay đến việc lượng tửhoá trường điện từ

1.1.2 Các cách lượng tử hoá trường điện từ:

 Trình bày theo cách tiên đề hoá: Vì chúng ta đã biết rằng, các véc tơ

trường được biểu diễn qua thế véc tơ A nên cách lượng tử hoá đơn giản nhất là

đưa ra ngay biểu thức toán tử thế véc tơ Aˆ, xem nó như một tiên đề, rồi từ các

mối liên hệ: Brot A và

t

A E

 Trình bày sự lượng tử hoá trường dựa trên cơ sở của sự lượng tử hoá năng lượng của dao động tử điều hoà Các hạt vật chất được xem như các dao

động tử Vì vậy nếu biết cách lượng tử hoá năng lượng của dao tử, chúng ta sẽbiết cách lượng tử hoá trường điện từ

Ở chương này, chúng ta sẽ trình bày sự lượng tử hoá trường theo cách thứ hai Trong cơ học lượng tử, chúng ta đã trình bày sự lượng tử hoá năng lượng củanguyên tử hyđrô bằng cách xem nguyên tử hyđrô như một dao động tử điều hoà.Điện tử chuyển động xunh quanh hạt nhân xem như là một dao động tử Trên cơ

sở biểu thức năng lượng của dao tử (động năng và thế năng của dao tử), biểu

diễn qua xung lượng và toạ độ: 2 ˆ 2

2

ˆ

q m

p E E

E d  t   , ta chuyển ngay sang đượctoán tử năng lượng bằng cách thay thế xung lượng và toạ độ sang các toán tửxung lượng và toán tử toạ độ tương ứng:

2 2

2 2 2

ˆ 2

1 2

ˆ ˆ 2

1 2

ˆ

m

p q k m

p H

Ở trên chúng ta thấy rằng từ biểu thức năng lượng của dao tử điều hoà biểudiễn qua xung lượng và toạ độ, chúng ta dễ dàng lượng tử hoá được năng lượngcủa dao tử bằng cách thay xung lượng và toạ độ bằng các toán tử tương ứng Vậynếu chúng ta chỉ ra được rằng năng lượng của trường điện từ biểu diễn qua các

véc tơ trường lại cũng có thể biểu diễn được qua những đại lượng tương ứng vớixung lượng và toạ độ của dao tử thì chúng ta cũng sẽ biết cách lượng tử hoánăng lượng của trường bằng việc thay các đại lượng đó bằng các toán tử tươngứng.

Muốn vậy, chúng ta hãy xuất phát từ hệ phương trình Maxwell đối với trườngđiện từ tự do lan truyền trong chân không:

B E

  q t kz

L t

có thể biểu diễn véc tơ B dưới dạng:

  p t kz

L c

t z

 (1.8)Lấy đạo hàm (1.8) theo t một lần nữa, ta được:

 (1.9)Phương trình (1.9) chính là phương trình dao động của dao động tử điều hoà cótần số , đồng thời các phương trình (1.7) và (1.8) là các phương trình

hamiltonian đối với dao động tử đó và chúng ta có thể viết chúng dưới dạng cácphương trình hamiltonian:

; ;

q

H dt

dp p

H dt

H    (1.11) Đây là hamiltonian mô tả dao động tử điều hoà có tần số  và có khối lượngbằng 1 đơn vị, chính là (1.2)

Biểu thức cổ điển của năng lượng trường điện từ được cho bởi công thức:

2 0

1 2

2

1

 (1.14)Lấy tích phân theo z cho ta:

1 sin 1 cos 12

0

2 0

 kz dz L kz dz

L

L L

Kết quả chúng ta nhận được:

 2 2 2

2

1

p q H

W     (1.15)

Như vậy năng lượng của một mốt của trường có dạng hoàn toàn giống nhưdạng hamiltonian (1.2) đã biết đối với dao tử điều hoà Bây giờ thì ý nghĩa củacác hệ số được đưa ra ở trên để xác định trường (1.5) và (1.6) trở nên rõ ràng, đó

là chúng ta đã đưa vào để cho năng lượng của trường biểu diễn qua các biến sốmới q, p có dạng hamiltonian của dao động tử điều hoà Bằng cách đó chúng ta

đã có cơ sở để lượng tử hoá trường

1.2 Các toán tử sinh, huỷ và các toán tử véc tơ trường

Nếu các biến số mới q, pđược giải thích như là toạ độ và xung lượng của dao

tử thì có thể ngay lập tức sử dụng cách lượng tử hoá thông thường (standar), tức

là thay các biến số cổ điển q, p bằng các toán tử q ˆˆ , p thoả mãn hệ thức giaohoán sau:

qˆ ,pˆ i (1.16) Khi đó năng lượng cổ điển của trường trở thành hamiltonian lượng tử:

t z

; ˆ ˆ 2

  â â  kz

L t

a i H a

dt

d

ˆ , ˆ ˆ



 (1.26)

Sử dụng (1.22), chúng ta tính được giao hoán tử này Cụ thể là:

H a   â â â   â ââ ââ â  â â ââ â   â

,

ˆ

) là một trạng thái riêng củahamiltonian (1.22) với trị riêng lớn hơn một lượng   so với trị riêng của trạngthái n Tiến hành một cách tương tự đối với trường hợp toán tử huỷ â, chúng

ta nhận được trạng thái mới â n  với trị riêng nhỏ hơn một lượng   so với trịriêng của trạng thái n Nghĩa là:

Hˆâ n W n  â n 

(1.33)

Vì hamiltonian (1.22) là dương nên trị riêng của nó không thể âm Điều này cónghĩa là phổ các giá trị riêng có giới hạn dưới Nếu trạng thái có năng lượng thấpnhất được gọi là trạng thái cơ bản thì từ (1.31), ta có:

2

1 0 2

1 0 0

2

1 0

1 ˆ ˆ

ˆ   (1.38)

Ta lại thu được biểu thức định nghĩa của toán tử số hạt (1.28): aˆaˆ n Đồngthời ta cũng thấy rằng trạng thái n cũng là trạng thái riêng của toán tử số hạt:

n â â

hay: c n  n

Tác dụng các toán tử huỷ và sinh lên trạng thái n-pho ton (thông thường trạng

thái này còn được gọi là trạng thái có số hạt xác định hay trạng thái Fock) ta

được các kết quả sau:

  0

!

â n

 (1.40)

1.3 Các trạng thái lượng tử của trường

Trước khi xét tương tác của trường với hệ hai mức theo quan điểm lượng tử,

trong chương này, chúng ta đề cập đến các loại trạng thái lượng tử của trường

1.3.1 Các trạng thái có số pho ton xác định

Trong phần trên, khi trình bày về sự lượng tử hóa trường, chúng ta đã đưa ratrạng thái lượng tử n  n  n , chúng là các trạng thái riêng của Hamiltoniancủa trường và đồng thời đó là các trạng thái riêng của toán tử số pho ton Đối vớimột trường đơn mốt, các trạng thái này được đánh số bằng các số nguyên

Trong thực tế, việc tạo ra những trạng thái này là rất khó thực hiện, thôngthường được xem là các trạng thái lý tưởng

Trong trạng thái có số pho ton xác định, chúng ta thấy rằng, các giá trị trung

bình của trường trong trạng thái n bằng 0

ˆ sin ˆ

sin

ˆ ˆ sin ,

ˆ

0

0 0

n n kz E

n a n kz E n a n kz E

n a a n kz E n

Tương tự ta cũng tính được với :

đó nếu giá trị trung bình của cường độ điện trường E và của cảm ứng từ B

trong trạng thái đó bằng 0 thì có nghĩa là khi tính năng lượng qua các cường độtrường thì năng lượng đó lại bằng 0 Thực ra ở đây, khi lấy trung bình của cáctoán tử trường trong trạng thái có năng lượng xác định, chúng ta đã lấy trungbình về pha Trong lúc đó số hạt ở một trạng thái và pha ở trạng thái đó lại tuântheo hệ thức bất định Nghĩa là nếu số hạt đã xác định thì pha của trường ứng vớitrạng thái đó phải bất định Như vậy, sở dĩ có sự mâu thuẫn như ở trên là dochúng ta đã lấy trung bình về pha, trong lúc pha lại bất định

â    (1.43) Giữa trạng thái kết hợp với trạng thái có số pho ton xác định có mối liên hệnhư sau [2], [3]:

  (1.44)Thông số  là một số phức tùy ý nên ta có thể viết dưới dạng: 

n

n e

n n

2 2

nˆ n   2 (1.46) Chúng ta thấy rằng, trạng thái kết hợp có   0 cũng là trạng thái Fock với0



n , đó là trạng thái chân không, tức là trạng thái có năng lượng thấp nhất củadao tử điều hòa Chúng ta cũng nhận thấy rằng các trạng thái kết hợp không trựcgiao Cụ thể là:

         

* 2 2 2

2

2

1 2 1 0

* 2

1 2 1

(1.47) tức là: 2  2



e

(1.48)

Như chúng ta đã nhắc lại ở mục trên, các trạng thái kết hợp là không trực giao

và về thực chất là các trạng thái cơ bản được dịch chuyển của dao động tử điềuhòa Với định nghĩa như trên, các trạng thái kết hợp có nhiều tính chất vật lý đặcbiệt, đáng quan tâm như sau:

- Tính không xác định của số pho ton:

Giá trị trung bình số pho ton trong trạng thái kết hợp  được xác định bởiphương trình:

 nˆ    2 (1.49) Ngoài ra chúng ta còn có:

 nˆ 2    4   2 (1.50) Như vậy chúng ta nhận được độ bất định của số pho ton là:

n

e n n e

n P

n n n n

2 2

n n

e (1.54)Tương tự, ta có thể tính được nˆ 2 :

2 0

2 2

n

P n

1 2 2

2

2 2 4

! 1

! 2

2 2

Rõ ràng các kết quả (1.54) và (1.55) phù hợp với các kết quả (1.49) và (1.50)

mà chúng ta đã nhận được bằng cách lập luận khác Độ lệch toàn phương trungbình số pho ton đối với phân bố Poisson là:

nˆ 2 nˆ 2 nˆ



 ; (1.56)

đó chính là kết quả đặc trưng đối với phân bố này

- Tính không xác định của toán tử trường.

Giá trị kỳ vọng của toán tử trường điện trong trạng thái kết hợp là:

e V i

sin 2

2 2

ˆ

0

* 0

(1.57) Chúng ta thấy rằng ở đây  có thể giải thích như là biên độ của trường còn

 như là pha ban đầu của trường Giá trị trung bình của trường, trong trạng tháikết hợp, phải có biên độ và pha xác định, tương tự như trường cổ điển Cũng cầnphải nhớ lại rằng, chúng ta nói về giá trị trung bình, còn trường là lượng tử, khácvới trường cổ điển ở chỗ là nó gây nên các thăng giáng lượng tử Để tính độ lớncủa các thăng giáng lượng tử, chúng ta cần phải tính giá trị kỳ vọng của bìnhphương trường:

E E E V

0

2 2

2

ˆ ˆ

Chúng ta cũng nhận thấy rằng các trạng thái kết hợp không trực giao Cụ thểlà:

* 2

1 2

!

n

n n

e n

trạng thái kết hợp trở nên trực giao Do tính không trực giao của nó nên ban đầu

ta không xem chúng như là các trạng thái cơ sở trong việc mô tả các trạng tháilượng tử của trường Tuy nhiên, mặc dù có tính không trực giao, nhưng các trạngthái kết hợp vẫn được xem là các trạng thái cơ sở để mô tả trường

1.3.3 Các trạng thái nén của trường

Sự lượng tử hoá trường điện của sóng ánh sáng, dưới dạng sóng phẳng, đượcxác định bởi biểu thức [1], [5]:

  e â  i t i k r â i t i k r 

V i

t r

ˆ 2 ,

k t i r

k t i k r k t

âe i t r E

ở đây: 0  /20V Thừa số pha e thể hiện sự dịch chuyển pha của i2

trường đi một lượng  / 2

Chúng ta nhớ lại rằng các toán tử sinh, huỷ không phải là các toán tử héc mít,tuy nhiên, chúng ta có thể tạo nên từ chúng hai tổ hợp héc mít như sau [5], [7]: :    

2

1 ˆ

; 2

1 ˆ

2

1 (1.64)Biến đổi ngược lại, chúng ta có: aˆ X1 iX2; â X1 iX2 (1.65)Đặt (1.65) vào (1.62) chúng ta nhận được biểu thức mới đối với trường điện:

ˆ 2 cos

ˆ 2 ,

ˆ

2 1

r

Các toán tử Xˆ 1, Xˆ 2 được xem là các biên độ lượng tử của hai thành phần trườnglệch nhau về pha một lượng   / 2 sin   / 2  cos  Các toán tử này thoảmãn hệ thức giao hoán:

Xˆ1,Xˆ2i/ 2 (1.67)

Từ đó ta có hệ thức bất định đối với 2 toán tử này là:

X1, X2  1 / 4(1.68)

   

 2  2 2

2 1 2

1 2

1

4

1 4

â â ââ â

X X

1 1 2

2 

X (1.71)

Trạng thái bị nén (hay trạng thái nén) của trường là trạng thái, trong đớ độ bấtđịnh của một trong hai toán tử bị nén (nén) nhỏ hơn độ bất định của toán tử đóđối với trạng thái kết hợp (chân không):

X i  ; i

4

1 2

1 hoặc 2 (1.72) Phù hợp với hệ thức bất định (1.68), độ bất định của toán tử thứ hai phải tănglên để tích của hai toán tử vẫn thoả mãn

Từ (1.70) và (1.71), đối với trạng thái kết hợp ta có:

X1 X2 14 (1.73)

Điều này có nghĩa trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định cực tiểu (hệ

thức bất định có dấu bằng) Như vậy đối với trạng thái kết hợp, độ bất định của

cả hai thành phần vuông góc của cầu phương của trường là như nhau và khôngphụ thuộc vào biên độ và pha Độ bất định cũng giống như đối với chân không

Ta thấy rằng tính bất định của trường điện trong trạng thái kết hợp không phụthuộc vào biên độ của trường Ở trên ta đã biết độ bất định này đúng bằng thănggiáng lượng tử của chân không Với ý nghĩa đó, chúng ta có thể giải thích đượctrạng thái kết hợp như là trạng thái cổ điển có biên độ phức α với các thăng giáng

bổ sung của chân không

1.4 Trạng thái chân không điện từ và thăng giáng của nó.

Trạng thái chân không điện từ là trạng thái trong đó không có photon nào cả.Tuy nhiên, chúng ta cũng thấy rằng, khác với trạng thái chân không thường,

trạng thái chân không điện từ có mang năng lượng  

2

1

0 

W Chính vì vậy,

chân không điện từ vẫn có ảnh hưởng lên quá trình tiến hoá của các thông số đặctrưng cho hệ lượng tử.

Như chúng ta đã biết, các giá trị kỳ vọng của trường phụ thuộc vào việctrường tồn tại ở trạng thái nào Trong trạng thái n (trạng thái n-pho ton), nănglượng của trường có giá trị xác định W n Khi khảo sát giá trị trung bình (kỳvọng) của các véc tơ trường trong các trạng thái này thì giá trị đó bằng 0, khôngphụ thuộc vào việc trường có bao nhiêu photon Nếu bỏ qua các khái niệm gọi là

cổ điển thì có thể nói rằng trạng thái n-pho ton tương ứng với trường có biên độhoàn toàn xác định, trong lúc đó pha của nó lại hoàn toàn ngẫu nhiên, nằm trongkhoảng từ 0 đến 2  Tại nơi có vị trí gần như xác định thì phải giả thiết là phacủa trường là hoàn toàn bất định

Chúng ta hãy tính giá trị trung bình của bình phương của trường:

n kz

E

n â â n kz E

n t z

E

n x

2 2

0 2

2 2 2

2

0

2 2

2 0 2

sin 2

1 2

)

( sin

sin ,

E E E E n sinkz

2

1 2

2 2

Như vậy E xác định biên độ các thăng giáng chân không của trường Mặc dùgiá trị trung bình cuả trường bằng 0 nhưng trường vẫn gây nên các thăng giáng

lượng tử Các thăng giáng này là khác 0 thậm chí cả đối với trường hợp chânkhông

Tương tự, nếu xét cho trường từ, chúng ta cũng tìm được thăng giáng củacảm ứng từ Bˆ

Từ những sự giải thích và lập luận ở trên, chúng ta thấy có một sự khác biệtkhá quan trọng so với những quan niệm cổ điển Khi nói đến chân không, theoquan điểm cổ điển, đó là một vùng không gian trống rỗng không có bất kỳ mộtđại lượng nào trong đó và do vậy cũng chẳng có cái gì để có sự thăng giáng cả.Tuy nhiên, khi làm việc và tính toán với khái niệm trường được lượng tử hoá,chúng ta lại thu được các thăng giáng lượng tử, thậm chí ngay cả đối với trạngthái chân không điện từ Trong chương 2, chúng ta sẽ xét ảnh hưởng của chânkhông điện từ lên tương tác của trường với hệ lượng tử

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Nội dung cơ bản của chương này là trình bày sự lượng tử hoá trường điện từ

và các trạng thái lượng tử của nó Trong số các trạng thái lượng tử của trường,chúng ta quan tâm đến hai loại trạng thái cơ bản nhất đó là trạng thái có số hạtxác định và trạng thái kết hợp

Trạng thái có số hạt xác định là một trạng thái hoàn toàn lý tưởng Trạng tháinày hết sức thuận lợi để mô tả trường về mặt lý thuyết Tuy nhiên, chính vì đây

là loại trạng thái lý tưởng còn trong thực tế việc tạo nên được loại trạng thái này

là hết sức khó khăn, đòi hỏi phải có những thiết bị và những công đoạn hết sứcphức tạp, không đơn giản

Loại trạng thái thường gặp trong thực tế chính là loại trạng thái kết hợp.Chính vì vậy, đây là loại trạng thái mà các nghiên cứu trong lĩnh vực quang họclượng tử thường đề cập

Đối với trạng thái chân không của trường điện từ, nếu xem xét trong khuônkhổ trường cổ điển thì chân không điện từ là một trạng thái hoàn toàn trống rỗng,trong đó không có bất kỳ một đối tượng nào và do đó không có một năng lượngnào cả Với việc xem xét trong khuôn khổ trường đã được lượng tử hoá thì trạngthái chân không điện từ không phải là một trạng thái hoàn toán trống rỗng Ởtrạng thái đó, trường vẫn có một năng lượng xác định, gọi là năng lượng không

Trong chương này chúng ta trở lại vấn đề tương tác của nguyên tử hai mứcvới trường điện từ Tuy nhiên cái khác ở đây là chúng ta khảo sát tương tác khitrường đã được lượng tử hoá Trong các tài liệu về quang học lượng tử, người

ta đã sử dụng hamitonian tương tác với trường trong sự gần đúng lưỡng cực dướidạng [1]:

A  r H F

c

e p m

ˆ

k k

Từ (2.1) ta có thể tách ra hai phần: phần chỉ liên quan đến nguyên tử có dạng:

1

2

ˆ ˆ ˆ

ˆ

mc

e A p mc

e H

H

H T       (2.4)

Trong tất cả các tính toán vật lý, sự đóng góp của thành phần thứ hai là khôngđáng kể, đặc biệt là khi cường độ trường quá yếu Trong những trường hợp nhưvậy, H ˆ 1 Hˆ 2 Khi đó hamiltonian tương tác lượng tử sẽ là:

e a i k r a  i k r 

V

p mc

e H

k

k T

ˆ

0 1



Ở đây tổng theo k có nghĩa là lấy tổng theo tất cả các mốt

Chúng ta thừa nhận rằng hamiltonia của nguyên tử thoả mãn phương trình:

HˆA i W i i (2.6)

Để xác định các yếu tố ma trận pij của toán tử pˆ ta sử dụng định nghĩa pˆ m rˆ

và phương trình chuyển động trong biểu diễn Heisenberg :

r H A

i m

, ˆ 1

HˆA W1 1 1 W2 2 2

(2.9)

Với cách chọn mốc tính năng lượng thích hợp, Hamiltonian này có thể viết lạidưới dạng khác như sau:

H A E E I   ˆz

2

1 2

1

2

 (2.10)

Trong đó: I là toán tử đơn vị trong không gian 2 chiều của các trạng thái nguyên

tử, còn z là một trong số ba toán tử Pauli được xác định từ cơ học lượng tử:

0 1 ˆ

; 0

0 ˆ

; 0 1

1 0

Như chúng ta đã biết, đối với nguyên tử hai mức thì chỉ có hai thành phần của

ma trận không nằm trên đường chéo chính của toán tử xung lượng mới kháckhông Mặt khác, chúng ta giả thiết rằng các yếu tố của ma trận chuyển lưỡng cực

là thực ij  ji   Khi đó, chúng ta nhận được kết quả sau:

*

21 12 21

21 ˆ ;

e

m i

p     (2.12)

ở đây  ˆ là toán tử mô men chuyển lưỡng cực

Từ phương trình (2.7) và (2.12), ta suy ra:

2 HˆT 1  i21A; 1HˆT 2 i21A;

(2.13)