TÌM BCNN, ƯCLN CỦA HAI HAY NHIỀU SỐ Trường hợp 1: Nếu hai số đã cho rút gọn được thành phân số tối giản ta làm như sau A a Phương pháp : B b tối giản... Ấn nhiều lần phím =.[r]
Trang 1DẠNG 1 TÍNH TRÀN SỐ Bài 1: Tính: 12578963 x 14375
12578963 x 14375 = (12578 x 103 + 963) x 14375 = 12578 x 103 x 14375 + 963 x 14374
Tính trên máy tính: 12578 x 14375 = 180808750
Vậy: 12578 x 103 x 14375 = 180808750000
Tính trên máy tính: 963 x 14375 = 13843125
Vậy: 12578 x 103 x 14375 + 963 x 14374 = 180808750000 + 13843125 = 180822593125 (tính trên giấy)
Bài 2: Tính B = 1234567892
B = (123450000 +6789)2
= (12345 x 104 )2 + 2 x 12345 x 104 x 6789 + 67892
Tính trên máy tính: 123452 = 152399025
Tính trên máy tính: 2 x 12345 x 6789 = 167620410
Tính trên máy tính: 67892 = 46090521
Tính trên giấy: B = 15239902500000000 + 1676204100000 + 46090521 = 15241578750190521 Vậy: B = 1234567892 = 15241578750190521
DẠNG 2 SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ A CHO B
a Số dư của phép chia số A cho số B (Số bị chia có tối đa 10 chữ số)
Số dư của
A
B = A – B nhân với phần nguyên của A: B
Cách bấm:
A ÷ B = màn hình hiện là kết quả thập phân Đưa con trỏ lên biểu thức sửa lại A – B × phần nguyên của A ÷ B và ấn =
Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 9124565217 cho 123456
Ấn: 9124565217 ÷ 123456 =
Máy hiện kết quả là: 73909,45128
Đưa con trỏ lên biểu thức sửa lại là: 9124565217 - 123456 × 73909 =
Trang 2Kết quả: r = 55713
Tìm số dư trong các phép chia
b Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số
Nếu như số bị chia A là số bình thường nhiều hơn 10 chữ số Ta ngắt ra thành nhóm đầu 9 chữ số (kể
từ bên trái)
Ta tìm số dư như phần a) rồi viết tiếp sau số dư còn lại là tối đa 9 chữ số rồi tìm số dư lần hai Nếu còn nữa thì tính tiếp như vậy
Ví dụ: Tìm số dư: 2345678901234 cho 4567
Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567 được kết quả 2203
Tìm tiếp số dư của 22031234 cho 4567
Kết quả : 26
1/ Tìm số dư của phép chia 2472830304986074 cho 3003 r = 2035
2/ Tìm số dư của phép chia 2212194522121975 cho 2005 r = 1095
c Tìm số dư của số bị chia được cho bằng dạng lũy thừa quá lớn thì ta dùng phép đồng dư thức theo công thức sau:
(mod ) (mod )
(mod ) x x(mod )
a b m n p
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 17659427 cho 293
Giải :
Ta có 176594 208 (mod 293)
1765943 2083 (mod 293) 3 (mod 293)
17659427 39 (mod 293) 52 (mod 293)
Vậy: 17569427 chia cho 293 có số dư là 52
Trang 3Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 232005 cho 100
Giải:
Ta có: 231 23 (mod 100)
232 29 (mod 100)
234 292 (mod 100) 41 (mod 100)
2320 415 (mod 100) 1 (mod 100)
232000 1 (mod 100)
232005 232000 234 23 1 41 23 (mod 100) 43 (mod 100)
Vậy 232005 chia cho 100 có số dư là 43
Ví dụ 3 : Tìm hai chữ số cuối cùng của 232005
Phương pháp :
Cách 1 : Ta dùng phương pháp đồng dư thức tìm số dư khi chia số đó cho 10; 100; 1000;… Lưu ý: Muốn tìm chữ số cuối cùng của một số có lũy thừa quá lớn ta chia số đó cho 10, tìm số dư Nếu tìm 2 chữ số tận cùng thì ta chia số đó cho 100 Nếu tìm 3 chữ số tận cùng thì chia số đó cho 1000,…
Giải: Tương tự như ví dụ 2 Hai chữ số cuối cùng của 232005 là 43
Ví dụ 3 : Tìm chữ số hàng đơn vị của 72002
Giải:
Ta có 71 ≡ 7 (mod 10)
72 ≡ 49 (mod 10) ≡ 9 (mod 10)
74 ≡ 492 (mod 10) ≡ 1 (mod 10)
(74)500 ≡ 1500 (mod 10) ≡ 1 (mod 10)
72000 ≡ 1 (mod 10)
72002 ≡ 72000 72 ≡ 1 9 ≡ 9 (mod 10)
Vậy: Chữ số hàng đơn vị của 72002 là 9
Ví dụ 4 : Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng: A = 22000 + 22001 +22002
Giải:
Ta có A = 22000 (1 + 21 + 22 ) = 7 22000
Trang 4Ta lại có: 210 ≡ 24 (mod 100)
(210)5 ≡ 245 ≡ 24 (mod 100)
2250 ≡ 245 ≡ 24 (mod 100)
21250 ≡ 245 ≡ 24 (mod 100)
22000 = 21250 2250 2250 2250 ≡ 24 24 24 24 ≡ 76 (mod 100)
A = 7 22000 ≡ 7 76 ≡ 32 (mod 100)
Vậy hai chữ số cuối cùng của tổng A là 32
Ví dụ 5: Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng
B = 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006
Giải:
B = 22000 (1 + 21 +22 + 23 + 24 +25 + 26 ) = 127 22000 ≡ 127 76 ≡ 52 (mod 100)
Vậy hai chữ số cuối cùng của tổng B là 52
Cách 2 : Xem số tự nhiên A = nk với k, n là số tự nhiên
Khi k lấy lần lượt những giá trị tự nhiên khác nhau thì trong biểu diễn thập phân của số A = nk
Chữ số cuối cùng hoặc một số cuối cùng của A xuất hiện tuần hoàn Ta chỉ cần tìm chu kì của hiện tượng này và A ở trường hợp nào có giá trị k đã cho
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của 41986
Ta có: 42 = 16
43 = 64
44 = 256
45 = 1024
Chu kì của hiện tượng lặp lại là 2
Suy ra: 42m tận cùng là 6
42m+1 tận cùng là 4
Mà số 1986 có dạng 2m
Vậy chữ số tận cùng của 41986 là 6
Ví dụ 2: Tìm 4 chữ số cuối cùng của số M = 51994
Trang 5Giải :
Ta có: 54 = 625 tận cùng là 0625
55 = 3125 tận cùng là 3125
56 = 5625 tận cùng là 5625
57 = 78125 tận cùng là 8125
58 = 390625 tận cùng là 0625
59 = 1953125 tận cùng là 3125
Chu kì của hiện tượng lặp lại là 4
Suy ra : 54n tận cùng là 0625
54n+1 tận cung là 3125
54n+2 tận cùng là 5625
54n+3 tận cùng là 8125
Mà 1994 có dạng 4n+2
Vậy số M = 51994 có 4 chữ số cuối là 5625
DẠNG 3 TÌM BCNN, ƯCLN CỦA HAI HAY NHIỀU SỐ Trường hợp 1: Nếu hai số đã cho rút gọn được thành phân số tối giản ta làm như sau
Phương pháp :
A a
B b (tối giản) Thì ƯCLN(A,B) = A : a = B : b
BCNN(A,B) = A b = B a
Ví dụ 1: Tìm a) ƯCLN (209865,283935)
b) BCNN (209865, 283935 )
Ghi vào màn hình
209865
17 23
a/ Ấn 209865 ÷ 17 =
Kết quả: ƯCLN(209865,283935) = 12345
b/ Ấn 209865 × 23 =
Trang 6Kết quả: BCNN(209865,283935) = 4826895
VD 2: Tìm ƯCLN (2419580247, 3802197531)
BCNN (2419580247, 3802197531)
Ghi vào màn hình
2419580247
7 11
Ấn 2419580247 ÷ 7 =
Kết quả: ƯCLN (2419580247,3802197531) = 345654321
Ấn 2419580247 × 11 = màn hình hiển thị kết quả là 2,661538272 x1010
Ở đây gặp tình trạng tràn màn hình, ta ghi 266153827 (không ghi chữ số hàng đơn vị vì số này đã được làm tròn)
Muốn ghi đầy đủ đúng số, ta xóa số 2 (chữ số đầu tiên của số 2419580247) để chỉ còn 419580247 ×
11 và ấn =
Màn hình hiện 46115382717 ta đọc kết quả là 26615382717
Kết quả: BCNN (2419580247,3802197531) = 26615382717
Bài Tập:
1.Tìm BCNN, ƯCLN của a= 24614205, b = 10719433
KQ: BCNN (a,b) = 12380945115; ƯCLN (a,b) = 21311
2 Tìm BCNN, ƯCLN của a = 168599421 , b = 2654176
KQ: BCNN (a,b) = 37766270304; ƯCLN (a,b) = 11849
Trường hợp 2:
Nếu hai số đã cho không rút gọn được thành phân số tối giản hoặc rút gọn được nhưng tử và mẫu quá 10 kí tự thì ta làm một trong hai cách sau
Cách 1 : Phân tích ra thừa số nguyên tố và tìm ƯCLN ; BCNN như lớp 6 đã học
Cách 2 : Dùng thuật toán Euclide
Ví dụ 1: Tìm ƯCLN , BCNN của 370368; 196296
370368 : 196296 được số dư r = 174072
196296 : 174072 được số dư r = 22224
174072 : 22224 được số dư r = 18504
Trang 722224 : 18504 được số dư r = 3720
18504 : 3720 được số dư r = 3624
3720 : 3624 được số dư r = 96
3624 : 96 được số dư r = 72
96 : 72 được số dư r = 24
72 : 24 được số dư r = 0
Vậy ƯCLN (370368; 196296) = 24
BCNN (370368; 196296) = 370368 : 24 × 196296 = 3029239872
Ví dụ 2: Tìm ƯCLN; BCNN 350859600 và 150250464
Chia 350859600 cho 150250464 được dư là :50358672
Chia 150250464 cho 50358672 được dư là: 49533120
Chia 50358672 cho 49533120 được dư là :825552
Chia 49533120 cho 825552 được dư là : 0
ƯCLN ( 350859600; 150250464) = 825552
BCNN ( 350859600 ; 150250464) = 63856447200
Tìm ƯCLN, BCNN của ba số nguyên dương A, B, C
1/ Để tìm ƯCLN(A, B, C) ta tìm ƯCLN(A, B) rồi tìm ƯCLN[Ư CLN(A, B), C] 2/ Để tìm BCNN(A, B, C) ta làm tương tự
Ví dụ: Tìm Ư CLN của ba số 51712, 73629, 134431
Giải: Ta tìm ƯCLN(51712, 73629) = 101
Ta tìm tiếp ƯCLN(101, 134431) = 101
ƯCLN(51712, 73629, 134431) = 101
Bài tập:
a/ Tìm ƯCLN của 40096920, 9474372, 51135438
b/ Tìm ƯCLN và BCNN của 416745, 1389150, 864360
DẠNG 4 TÌM ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ 1/ Tìm ước của số a
Trang 8Phương pháp:
Gán A = 0 rồi nhập biểu thức A = A + 1 : a ÷ A Ấn nhiều lần phím =
Ví dụ: Tìm tập hợp các ước của 120
Ta gán A = 0 Nhập A = A + 1 : 120 ÷ A Ấn nhiều lần phím =
Ta có A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}
2/ Tìm các bội của số b
Phương pháp:
Gán A = -1 rồi nhập biểu thức A = A + 1 : b × A Ấn nhiều lần phím =
Ví dụ: Tìm tập hợp bội của 7 nhỏ hơn 100
Ta gán A = -1 Nhập A = A + 1 : 7 × A Ấn nhiều lần phím =
Ta có B = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98}
3/ Tìm
CÁCH KIỂM TRA MỘT SỐ LÀ SỐ NGUYÊN TỐ :
Để kết luận số a là số nguyên tố ( a > 1), chỉ cần chứng tỏ rằng nó không chia hết cho mọi số nguyên
tố mà bình phương không vượt quá a
Vì nếu một số a là hợp số thì nó phải có ước nhỏ hơn a
Ví dụ : Số 647 có là số nguyên tố không ?
Ta có: 647 : 2 12, 72
Gán A = 0 Nhập A = A + 1 : 647 ÷ (2A +1)
Ấn 12 lần phím = mà trên màn hình kết quả là số thập phân thì kết luận 647 là số nguyên tố
Ví dụ 2 Tìm bội số nhỏ nhất của 45 mà khi chia cho 41 thì dư 10
Gán A = 0 Nhập A = A + 1 : (45A – 10) ÷ 41
Ấn nhiều lần phím = đến khi kết quả là số nguyên thì dừng lại
A = 23 thì kết quả là số nguyên
Vậy số cần tìm là 23 × 45 = 1035
DẠNG 5 TÌM ƯỚC NGUYÊN TỐ, PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ
Trang 91 Cách tìm ước chẵn của số m
Gán: 0 = A Nhập A = A + 1 : m ÷ 2A rồi ấn =
Khi thấy không còn chia hết thì dừng
2 Cách tìm ước lẻ của số n
Gán: 0 = A Nhập A = A + 1 : n ÷ (2A +1) rồi ấn =
Ví dụ 1: Tính tổng các ước lẻ của 804257792
Ta thấy số đã cho tận cùng là số chẵn nên ta đi tìm ước chẵn, sau đó mới tìm ước lẻ Nếu đề bài cho
số có chữ số tận cùng là số lẻ thì ta đi tìm ước lẻ thôi
Gán 0 = A Nhập A = A + 1 : 804257792 ÷ 2A Ấn nhiều lần phím =
Khi A = 21 thì cho kết quả là số lẻ, nên ta dừng lại ở A = 20 Khi đó thương là 767
Nên 804257792 = 220 767
Ta tiếp tục tìm ước lẻ 767
Gán 0 = A Nhập A = A + 1 : 767 ÷ (2A +1) Ấn nhiều lần phím =
Đến khi chia hết thì dừng lại 767 = 59 13
Có 4 ước lẻ đó là 767, 59, 13, 1
Tổng các ước lẻ là 767 + 59 +13 +1 =840
Ví dụ 2 : Tìm cá ước nguyên tố của A = 17513 + 19573 + 23693
Ghi vào màn hình 1751 ÷ 1957 và ấn = Màn hình hiện:
17 19
Chỉnh lại màn hình 1751 ÷ 17 và ấn = kết quả ƯCLN (1751,1957) = 103 (số nguyên tố)
Lấy 2369 ÷ 103 = 23
Nên A = 1033 (173 + 193 + 233 ) = 1033 23939
Tới đây, ta đi tìm ước lẻ của 23939
Gán 0 = A Nhập A = A + 1 : 23939 ÷ (2A + 1) Ấn nhiều lần phím =
Đến khi chia hết thì dừng lại 23939 = 647 37 (647 là số nguyên tố)
Vậy A có các ước nguyên tố là 37; 103; 647
Bài tập:
Tìm ước nguyên tố nhỏ nhất, lớn nhất của
Trang 10A = 23693 + 13393 + 17513
B = 13913 + 16053 + 18193
DẠNG 6 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bài 1: Tính chính xác đến 0,001 giá trị của biểu thức:
A = 61,3 + {5,152 - [(11,5 – 5,45)2 + 3,253)]
Ấn trên MTBT chọn Fix sau đó ấn phím 3 để tính chính xác đến 0,001 61,3 + {5,152 - [(11,5 – 5,45)2 + 3,253]} = 16,892
Bài tập: Tính chính xác đến 0,001 giá trị của biểu thức
1/ A = 115,4 – {3,12 – [(12,5 – 6,25)2 + 4,15]}
2/ B = 3,142 – [(2,17 + 1,34)2 + 1,76]
3/ C = [12,34 + (2,343 + 4,972) – 7,562] – 32,672
4/ D = (20,162 + 90,2) – (10,893 + 79,27)2
DẠNG 7 BIỂU THỨC CHỨA CHỮ Biểu thức nhớ SHIFT STO A
Gọi số nhớ RCL A
Ví dụ 1: Tính giá trị của A =
với x = 1,8156 Nhập x = 1,8156 vào biểu thức nhớ 1,8156 SHIFT STO X
Ghi vào màn hình (3X5 – 2X4 +3X2 – X +1) ÷ (4X3 –X2 +3X +5) ấn =
Ta được kết quả A = 1,4965
Ví dụ 2: Tình giá trị của B =
1 1
x x x x
y y y y
với x = 1,8597; y = 1,5123 Nhập x = 1,8597 vào biểu thức X 1,8597 SHIFT STO X
Nhập y = 1,5123 vào biểu thức Y 1,5123 SHIFT STO Y
Ghi vào màn hình (1 + X +X2 +X3 +X4 ) ÷ (1 + Y + Y2 + Y3 + Y4 ) ấn =
Trang 11Ta được kết quả B = 1,8319
Ví dụ 3: Tính C =
2
6
x y xz xyz
xy xz
với x = 2,41 ; y = -3,17 ; z =
4 3
Ấn : 2,41 SHIFT STO X (gán x = 2,41 vào ô nhớ X)
-3,17 SHIFT STO Y (gán y = -3,17 vào ô nhớ Y)
4
3 SHIFT STO A (gán z =
4
3 vào ô nhớ A) Ghi vào màn hình: (3X2Y – 2XA3 +5XYA) ÷ (6XY2 + XA) ấn =
Ta được kết quả C = -0,7819
Bài tập: Tính giá trị các biểu thức :
1/ F =
1 2
1 2
với x =
1
2 ; y =
3 4
2/ G = 5x2 – 23x + 49 với x = 4 ; x = 10
3/ H = 5x3 + 3x2 – 6x + 4 với x = -12
4/ I = 2x3 – 5x2 + 3x + 1 với x = -2,23
DẠNG 8: TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA ĐA THỨC CHO NHỊ THỨC
Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x –a là hằng số bằng f (a)
Ví dụ 1: Chia f(x) = x3 + 4x2 -5 cho g(x) = x – 1
Ta có số dư f(1) = 13 +4.12 – 5 = 0
Bài tập: Tìm số dư của phép chia sau
1/ (x4 +x3 + 2x2 – x +1) : (x -3) KQ: r = 124
2/ (x3 – 9x2 – 35x + 7) : (x – 12) KQ: r = 19
DẠNG 9 TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA ĐA THỨC f(x) CHO
NHỊ THỨC g(x) = ax + b Định lí Bezoul
1/ Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x –a là hằng số bằng f(a)
Trang 122/ Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = ax + b là hằng số bằng f(
b a
)
Ví dụ 1:
a/ Chia f(x) = x5 + 2x3 – x + 4 cho g(x) = x + 1
Có số dư là f(-1) = (-1)5 + 2 (-1)3 – (-1) + 4 = 2
b/ Chia f(x) = 3x3 + 2x2 +5x – 7 cho g(x) = 2x + 1
Có số dư f(
1 2
) = 3 (
1 2
)3 + 2 (
1 2
)2 + 5 (
1 2
) – 7 =
75 8
= -9,375
Ví dụ 2: Tìm n để P(x) = x4 + 7x3+ + 2x2 + 13x + n chia hết cho x + 6
Để P(x) chia hết cho x + 6 P(-6) = 0
(- 222) + n = 0
n = 222 Vậy n = 222
Bài tập:
Bài
1 : Cho đa thức: P(x) = 2x3 + x2 – 15x + m
a/ Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x – 3
b/ Với m vừa tìm ở câu a, hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 2x + 3
c/ Phân tích P(x) thành nhân tử mà mỗi phần tử là một đa thức bậc nhất
d/ Tìm giá trị của m để đa thức Q(x) = x4 + 3x2 + 5x + m chia hết cho x + 2
Bài 2: Cho đa thức P(x) = x5 + 5x4 + 7x3 – 4x2 + 6x + m
a/ Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x + 3
b/ Với giá trị của m vừa tìm, hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 2x – 3
c/ Tìm giá trị m để đa thức Q(x) = x5 + 5x4 + 7x3 – 4x2 – 6x + 3m – 18 có nghiệm x = 2 Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m
a/ Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x + 2
b/ Với m vừa tìm ở câu a, hãy tìm số dư khi chia P(x) cho x – 3
c/ Muốn P(x) có nghiệm x = 2 thì m có giá trị là bao nhiêu?
Trang 13DẠNG 10 TÌM SỐ LẺ THẬP PHÂN n SAU DẤU PHẨY 1/ Tìm số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13
Bước 1: Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1,307692308 (thực chất máy đã thực hiện phép tính rồi làm tròn)
Ta lấy 7 chữ số thập phân hàng đầu tiên là 3076923 (không lấy số 0 ở gần cuối)
Lấy 17 – 13 × 1,3076923 = 1 × 10-7 = 0,0000001
Bước 2: Lấy 1 : 13 = 0,07692307692
Vậy ta tìm được 18 chữ số đầu tiên sau ở hàng thập phân sau dấu phẩy là:
307692307692307692
Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kì gồm 6 chữ số
Ta có 105 3 (mod 6)
Vậy chữ số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là số thứ ba của chu kì Đó chính là số 7
2/ Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy của phép chia 250000 cho 19
Ta có
13157
19 19 Vậy chỉ cần tìm số thập phân thứ 132007 của phép chia 17 : 19
Bước 1: Thực hiện phép chia 17 : 19 = 0,8947368421
Ta lấy 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842
Lấy 17 – 19 × 0,894736842 = 2 × 10-9= 0,000000002
Bước 2: Lấy 2 : 19 = 0,1052631579
9 số ở hàng thập phân tiếp tục là 105263157
Lấy 2 – 19 × 0,105263157 = 17 × 10-9 = 0,000000017
Bước 3: Lấy 17 : 19 = 0,8947368421
9 số ở hàng thập phân tiếp theo là 894736842
Lấy 17 – 19 × 0,894736842 = 2 × 10-9 = 0,000000002
Bước 4: L ấy 2 : 19 = 0,1052631579
9 số ở hàng thập phân tiếp tục là 105263157