Bài tập tìm cực trị của hàm số hợp f(u(x)) khi biết đồ thị hàm số ôn thi THPT môn Toán

TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỢP F U X KHI BIẾT ĐỒ PHÁT THỊTRIỂN HÀM SỐ ĐỀ MINH HỌA LẦN 1.. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.[r]

⇒ g0(x) = u(x) · f0

ïu(x)ò

– g0(x) = 0 ⇔



u(x) = 0

f0

ïu(x)

ò

= 0

• Lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) khi biết đồ thị hàm số y = f0(x)

B1 Xác định giao điểm của đồ thị hàm số y = f0(x) với trục hoành.

B2 Xét dấu của hàm số y = f0(x), ta làm như sau

∗ Phần đồ thị của f0(x) nằm bên trên trục hoành trong khoảng (a; b) thì f0(x) > 0,

x ∈ (a; b)

∗ Phần đồ thị của f0(x) nằm bên dưới trục hoành trong khoảng (a; b) thì f0(x) < 0,

x ∈ (a; b)

• Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) = f (x) + u(x) khi biết đồ thị hàm số y = f0(x)

B1 Đạo hàm g0(x) = f0(x) + u0(x) Cho g0(x) = 0 ⇔ f0(x) = −u0(x)

B2 Xác định giao điểm của đồ thị hàm số y = f0(x) và đồ thị hàm số y = −u0(x)

B3 Xét dấu của hàm số y = g0(x), ta làm như sau

∗ Phần đồ thị của f0(x) nằm bên trên đồ thị −u0(x) trong khoảng (a; b) thì g0(x) > 0,

Åu(x)

∇ Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của hai cực trị.

• Tính chất đổi dấu của biểu thức:

Gọi x = α là một nghiệm của phương trình: f (x) = 0 Khi đó

∇ Nếu x = α là nghiệm bội bậc chẳn

Å(x − α)2, (x − α)4,

ã thì hàm số y = f (x)không đổi dấu khi đi qua α

∇ Nếu x = α là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ

Å(x − α), (x − α)3,

ã thì hàm số

y = f (x) đổi dấu khi đi qua α

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm hợp f

Åu(x)

ã khi biết đồ thị hàm số f (x)

2 HƯỚNG GIẢI

B1 Tính đạo hàm của hàm số: g(x) = f x3+ 3x2
.

B2 Dựa vào đồ thị của hàm f (x) ta suy ra số nghiệm của phương trìnhg0(x) = 0

B3 Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) = f x3+ 3x2
và suy ra số cực trị.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Từ bảng biến thiên, ta thấy.

• Đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = h(x) tại 1 điểm.

• Đường thẳng y = b cắt đồ thị hàm số y = h(x)tại 3 điểm.

• Đường thẳng y = c cắt đồ thị hàm số y = h(x) tại 1 điểm.

ò

2 HƯỚNG GIẢI

B1: Lập bảng biên thiên của hàm số y = f (x)

∇ Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) xác định cực trị của hàm số y = f (x)

Đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = h(x) tại 1 điểm.

Đường thẳng y = b cắt đồ thị hàm số y = h(x) tại 3 điểm.

Đường thẳng y = c cắt đồ thị hàm số y = h(x) tại 1 điểm.

Như vậy phương trình g(x) = 0 có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.

x2+ 2x + 2 = −1p

x2+ 2x + 2 = 1p

Cho hàm số f (x), bảng biến thiên của hàm

sốf (x) như sau.Số điểm cực trị của hàm số

Ta có khi x = 1

2 ⇒ 4x2− 4x = −1 và f (−1) = −3 6= 0

Mặt khác: 4x2− 4x = (2x − 1)2− 1 ≥ −1 nên:

4x2− 4x = a vô nghiệm.

4x2− 4x = b có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

4x2− 4x = c có 2 nghiệm phân biệt x3, x4

4x2− 4x = d có 2 nghiệm phân biệt x5, x6.

Vậy phương trình y = 0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có 7 điểm cực trị.

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f0(x) trên khoảng (−∞; +∞) Đồ thị

của hàm số y = f (x) như hình vẽ Đồ thị của hàm số y = (f (x))2 có bao

nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

A 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

B 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

C 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

D 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

x y

O

Lời giải.

Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số như hình bên Hàm số g(x) =

f −x2+ 3x
có bao nhiêu điểm cực đại?

x y

x = 3 ±

√172

√17

3

3 +√17

Dựa vào đồ thị suy ra:

X Phương trình (1) có hai nghiệm x = 0 (nghiệm kép) và x = a (a > 2)

X Phương trình (2) có một nghiệm x = b (b > a)

Vậy phương trình g0(x) = 0 có 4 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b Suy ra hàm sốg(x) = f

Từ bảng biến thiên, ta thấy.

• Đường thẳng y = a < 0 cắt đồ thị hàm số y = h(x) tại 2 điểm.

• Đường thẳng y = b ∈ (0; 4) cắt đồ thị hàm số y = h(x)tại 4 điểm.

• Đường thẳng y = c > 4 cắt đồ thị hàm số y = h(x) tại 0 điểm.

Như vậy, phương trình g0(x) = 0 có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.

Cho hàm sốy = f (x)có đạo hàm liên tục trên R Đồ thị hàm số y = f0(x)

như hình vẽ sau Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) + 2x là

x y

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f (x) như hình

vẽ bên dưới Hỏi đồ thị hàm số g(x) = f (x) + 3x có bao nhiểu điểm cực

Cho hàm sốy = f (x) có đạo hàm trên R Đồ thị hàm sốy = f0(x)như hình

vẽ bên dưới Hàm số g(x) = 2f (x) + x2 đạt cực tiểu tại điểm

Dựa vào đồ thị ta suy ra g0(x) = 0 ⇔

Chọn phương án C

Đồ thị hàm số f0(x) cắt đồ thị hàm số y = 5 − x2 tại hai điểm A(0; 5), B(2; 1).

Trong đó x = 0 là nghiệm bội bậc 2; x = 2 là nghiệm đơn.

Vậy hàm số có 1 điểm cực trị.

Chọn phương án B

Câu 18.

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên Hàm số g(x) =

f −x2+ 3x
có bao nhiêu điểm cực trị?

x y

x = 3 ±

√172

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên

dưới Hàm số y = f (x2) có bao nhiêu điểm cực

Gọi x = a, với 1 < a < 4 là điểm cực tiểu của hàm số y = f (x)

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x) như sau

f (−√a)

f (0)

f (√a)

f (√a)

• Phương trình x2 = a + 5 < 0, a < −5 nên phương trình vô nghiệm.

• Phương trình x2 = b + 5 > 0, −5 < b < −2 nên phương trình 2 nghiệm phân biệt.

• Phương trình x2 = c + 5 > 0, −2 < c < 3 nên phương trình 2 nghiệm phân biệt.

• Phương trình x2 = d + 5 > 0, d > 3 nên phương trình 2 nghiệm phân biệt.

Nhận xét: 7 nghiệm trên khác nhau đôi một nên phương trình g0(x) = 0 có 7 nghiệm phân biệt Vậy hàm số g(x) = f x2− 5
có 7 cực trị.

2 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

• x2+ 2x + 1 − c = 0 có ∆ = 4c > 0, c > 3 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Nhận xét: 5 nghiệm trên khác nhau đôi một nên phương trình g0(x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt Vậy hàm số g(x) = f(x + 1)2 có 5 cực trị.

Chọn phương án A

ã là

ã

Å

x2+ 1x

Ta có h0(x) = x

2− 1

x2 Cho h0(x) = 0 ⇔ x = ±1

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy.

X h(x) = a có 2 nghiệm phân biệt, với a < −2

X h(x) = b vô nghiệm, với −2 < b < 2

X h(x) = c có 2 nghiệm phân biệt, với c > 2

Do đó điểm cực tiểu của hàm số g(x) trùng với điểm cực tiểu của hàm số y = f (x).

Vậy điểm cực tiểu của hàm số là x = ±1

3 2

g0(x)g(x)

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f0(x) trên R và đồ thị của hàm số

y = f0(x) như hình vẽ Hàm số g(x) = f x2− 2x − 1
đạt cực đại tại

giá trị nào sau đây?

A x = 2 B x = 0 C x = −1 D x = 1

x y

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R thoả mãn f (2) = f (−2) = 0

và đồ thị của hàm số y = f0(x) có dạng như hình bên dưới Hàm số

y = f2(x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f0(x) như hình bên và

f (−2) = f (2) = 0 Hàm số g(x) = [f (3 − x)]2 nghịch biến trên khoảng

nào trong các khoảng sau?

Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f0(x)như hình bên Hàm

số g(x) = f (|3 − x|) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng

sau

A (−∞; −1) B (−1; 2) C (2; 3) D (4; 7)

x y

Kết hợp điều kiện x ≤ 3, ta được −1 < x < 2.

Vậy hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−1; 2)

2; +∞

 D (−1; +∞)

x y

Kết hợp đồ thị ta suy ra f0(u) > 0, với 0 < u < 1 (4).

Từ (1) và (4) ⇒ g(x) ngược dấu với dấu của nhị thức h(x) = x + 1

Bảng biến thiên

xh(x)

g0(x)g(x)

x = −2

3.Bảng biến thiên

x

g0(x)g(x)

Để phương trình |f (1 − 3x) + 1| = m có nhiều nghiệm nhất ⇔ đường thẳng y = m cắt đồ thị

y = |g(x)| tại nhiều điểm nhất ⇔ 0 < m < 2

2 nên số nghiệm của phương trình |f (t)| = 10

3bằng số nghiệm của 3 |f (2x − 1)| − 10 = 0

Bảng biến thiên của hàm số y = |f (x)| là

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f0(x) trên R Đồ thị của hàm số y = f0(x)

như hình vẽ Đồ thị của hàm sốg(x) = f3(x)có bao nhiêu điểm cực trị?

x y

Vì f2(x) > 0, với mọi x ∈R nên g0(x) = 0 ⇔ f0(x) = 0 ⇔ x = ±1

Từ đó suy ra g(x) = f3(x) có hai điểm cực trị.

Chọn phương án B