Bài tập tính thể tích khối chóp biết góc giữa hai mặt phẳng ôn thi THPT môn Toán

TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP BIẾT GÓC GIỮA HAI MẶTPHÁT PHẲNG TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1.. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP BIẾT GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG.[r]

Trang 1

Phân tích hướng dẫn giải.

1 Dạng toán: Tính thể tích khối chóp, biết góc giữa hai mặt phẳng.

+ Xác định được góc Trong quá trình xác định góc phải tránh bẫy khi đưa về góc giữa hai đường thẳng cắt nhau nó là góc không tù.

+ Cần chọn ẩn (Là chiều cao hay cạnh đáy nếu giả thiết chưa có) sau đó sử dụng giả thiết góc để tìm ẩn.

bên.

sin ϕ = d(M, (α))

d(M, d) ở đây d = (α) ∩ (β), M ∈ (β).

VABCD = 2S4ABC· S4ABD

3AB · sin ϕ ⇒ sin ϕ = 3VABCD· AB

Trang 2

SA ⊥ IC, SA ⊥ IB ⇒ SA ⊥ (IBC) tại I.

VS.ABC = VA.IBC + VS.IBC = 1

hoặc BIC = 120‘ ◦.

/ a

/

a √ 2

60◦A

2 =

2x2− (a√2)22x2

= a

√3

1

2IB · IC · SA sinBIC =‘

16

Å

a√63

Phân tích hướng dẫn giải.

1 Dạng toán: Đây là dạng toán tính thể tích khối chóp có lồng ghép góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp.

3S · h.

2 Hướng giải:

B3: Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải.

Trang 3

SA (4SBA = 4SCA).

BK2+ CK2− BC22BK · CK

= 12

/ a

60◦

A B

C

S

K H

2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

Câu 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, với AB >√

5, BC = 2 Các cạnh

√2

√3

4 .

Lời giải.

Trang 4

MàSA = SB = SC ⇒ HA = HB = HC Suy raH là tâm đường

x22HA (1).

Từ SH ⊥ (ABC) ⇒SA; (ABC)) =⁄ SAH ⇒‘ SAH = 60‘ ◦

2 ⇒ SH =

√3

2 SA =

√3

2 · 9

√2

4 =

9√68cos 60◦ = HA

4 =

9√2

8 .Gọi I = AH ∩ BC mà AB = AC ⇒ IB = IC = BC

8 · 2√2 = 3

√3

Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. E là điểm trên cạnhAD sao cho

5 .

Lời giải.

Trang 5

và (BCD) bằng

Lời giải.

⇒ S4ACD = 3V

BH =

a2√5

3 Đặt CD = 2x.

2√53

⇒ x = √a

3 ⇒ CD = √2a

3 ⇒ BM =√BC2− CM2 = a

√6

2 = sinAM B ⇒’ AM B = 45’

◦ ⇒((ACD), (BCD)) = 45◦.

Trang 6

Câu 4 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD, đáy ABCD là hình thoi, góc BAD = 60’ ◦ Gọi M

và AM = 4 Độ dài cạnh AB bằng bao nhiêu nếu thể tích khối lăng trụ bằng 12?

⇒ (AM, (ABCD)) = (AM, AM ) =AM A = 60’ ◦.

Câu 5 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 cạnh đáy bằng 1, khoảng cách từ tâm của

√12

√2

4 ·

√3

4 =

3√2

16 .

A

B C

A0

B0

C0

M I

Trang 7

Kẻ AI ⊥ SB ⇒ CI ⊥ SB và góc giữa hai mặt phẳng (SBA) và (SBC)

Do CBA = 90’ ◦ ⇒ 180◦ > AIC > 90‘ ◦ ⇒ AIC = 180‘ ◦ − α ⇒ cosAIC =‘

3 a Vậy VS.ABC = 1

3 ·1

2 · 25a3= 125

√7a3

16 =

5√7a2

2 Vậy VS.ABC = 1

3· 25a

3 ·5

√7a2

125√7a3

18 .

S

A

B C

Câu 7 Cho hình chóp S.ABC có BC = 2BA = 4a, ’ABC = BAS = 90‘ ◦ Biết góc giữa hai mặt

Trang 8

chóp S.ABE.

2BC = 2a.

Kẻ AI ⊥ SB ⇒ EI ⊥ SB và góc giữa hai mặt phẳng (SBA)

và (SBC) cũng là góc giữa hai mặt phẳng (SBA)và (SBC)là

Do ’CBA = 90◦ ⇒ 180◦ > AIE > 90‘ ◦ ⇒ AIE = 120‘ ◦ ⇒

2 =

2√3a2

3 Vậy VS.ABC = 1

3· √6a

3 ·4

√3a2

8a3

3 .

AB

C

S

IE

D

Câu 8 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SAB =‘ SCB = 90‘ ◦ góc giữa

√2a3

12 .

Lời giải.

Trang 9

Do ’ABC = 60◦⇒AIC = 120‘ ◦ ⇒ 2AI

2− AC22AI2 = −1

4 a

3 =

√2a3

I M

2 =

a2

2 Dựng

C H

√2a2+ x2.

HF =

…3

4 =

√

x2+ 2a2

√2x2+ 2a2 ⇒ x = a.

3a, SBA =‘ SCA = 90‘ ◦ và hai mặt

Trang 10

√2a3

⇒ BC2= 3a2 = 2a2+ a2= AB2+ AC2 ⇒ 4ABC vuông tại A.

Dựng SD ⊥ (ABC) Dễ chứng minh được ABDC là hình chữa

h2+ 1 ·

√2

6 .

√2a3

3√6

a √ 3

3 .

Trang 11

Vì SC = SM = SN = 12 nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

N H

Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a,SAB =‘ SCB = 90‘ ◦,

3√3

3 .

Lời giải.

DoSAB =‘ SCB = 90‘ ◦ nên hình chópS.ABC nội tiếp mặt cầu tâm

I

H

Trang 12

Câu 14 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, AB = a, ’BAC = 120◦, SBA =‘ SCA =‘

√3

√3a3

I

√3

8 =

xa√3

12 .

Câu 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, SAB =‘ SCB = 90‘ ◦ Gọi M là

3√13

3.

Lời giải.

Trang 13

I ∈ BD ⇒ AC ⊥ BD.

CG k BD.

3AN =2

S

A

B C

D

I G M

N

S

A

C D

M

N E

P H F

Trang 14

⇒ F D = 4a

3 (3).

3 Vậy VS.ABC = 1

9 .

Câu 16 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B,

√3a3

4 .

Lời giải.

SB = SC.

BD ⇒

SD = BD tan’SBD = √a

3 ·√3 = a Vậy VS.ABC = 1

3· S4ABC· SD = 1

3· a

2√3

4 · a = a

3√3

12 .

S

A B

C D

Câu 17 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AB = a Gọi I là trung điểm

Trang 15

2 , BH = 4

3BI =

2a√2

3 .

tanIKC =‘ IC

IK ⇔ IK = IC

tan 30◦ = a

√6

2 .

tanIKC =‘ IC

IK ⇔ IK = IC

tan 60◦ = a

√6

I K

Do SB ⊥ (AKC) ⇒ SB ⊥ IK nên 4BIK vuông tại K và BK =√

IB2− IK2 = a

√3

Trang 16

2 ; HK = BD

2 =

a√22

Gọi O = AC ∩ BH, O là tâm hình vuông.

là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Có IJ ⊥ SA ⇒ IJ k AB ⇒ I là trung điểm SB, hay I = d ∩ SC.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

rS.ABC = AI =pIJ2+ J A2; IJ = AB

2 =

a√3

Do AH k (SBC) ⇒ d (A, (SBC)) = d (H, (SBC)) = HK (K là hình chiếu của H lên SC và BC ⊥(SHC) ⇒ HK ⊥ (SBC)) ⇒ HK = a√2 Tam giác SHC vuông tại H ⇒ SH = a√

Câu 20 Tứ diện ABCD có BC = 3, CD = 4, ’ABC = BCD =’ ADC = 90’ ◦, (AD, BC) = 60◦ Cosin

√43

43 .

Lời giải.

Trang 17

02+ (−9√

3)2+ (−12)2·p(21√

3)2+ 02+ (21)2 = 2

√43

√7

√14

√

7 =

√42

7 .

Câu 22 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, SA = BC và ’BAC = 120◦ Hình

và (AM N ) bằng

Trang 18

ASD.

SA Với AD = 2R4ABC = 2 BC

sin 120◦ =

√3

3 SA.

√3

3 ⇒ASD = 30‘ ◦ ⇒ ((ABC), (AM N )) = 30◦.

Câu 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, AB = a, ’BAC = 120◦,SBA =‘ SCA =‘

√3

√3a3

√3a2+ x2

S

A

B K

8 =

xa√3

2 (3a2+ x2)

Trang 19

√30

5 .

Lời giải.

Vậy (SBC) ⊥ (SDC) theo giao tuyến SC.

√

√30

5 .

S

C D

H

Câu 25 Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác đều ABC có cạnh bằnga Biết rằng các mặt bên

3√6

4 .

Lời giải.

3AN =

a√3

3 và SA = SB = SC = a√

3

⇒ SH =√SA2− AH2=

…3a2− 3a

2

9 =

2a√63

⇒ VS.ABC = 1

3SABC · SH = 1

3 · a

2√3

4 · 2a

√6

a3√2

M

N K

Trang 20

C H

4 · a√2 = a

3√6

12 Vậy Vmin = min

ß

a3√2

6 ,

a3√612

™

= a

3√6

Do AD k (SBC) ⇒ d(D, (SBC)) = d(A, (SBC)) = 1

2d(E, (SBC)) Hay d(E, (SBC)) = 2 · d(D, (SBC)) = 2a

√3

F O

Trang 21

EI =

2a√33

…

1 − (2

3)2

Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnha, tam giác SAB và tam giác

√3

EF ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SEF ) ⇒ (ABCD) ⊥ (SEF ).

EF của (ABCD) và (SEF ).

2· SF2

SE2+ SF2 = SE

2· SF2(SE + SF )2− 2SE · SF (1).

√3

SH2· a23a2− 2SH · a ⇒ SH = a.

Trang 22

3√15

3√5

D E

I

S

D I K

Hạ SE ⊥ (ABC) tại E ta có

®

AB ⊥ SE

AB ⊥ SA ⇒ AB ⊥ (SAE) ⇒ AB ⊥ AE ⇒BAE = 90’ ◦.

3EI

⇒ d (B, (SAC)) = 1

3d (E, (SAC)) ⇒ d (E, (SAC)) = 3 ·

2a√21

21 =

2a√21

7 Do

®

CA ⊥ BD

CA ⊥ SE

⇒ CA ⊥ (SEI) ⇒ (SAC) ⊥ (SEI).

Hạ EK ⊥ SI tại K ta có EK ⊥ (SAC) tại K suy ra d (E, (SAC)) = EK ⇒ EK = 2a

√21

2 · 6a

√5

a3√15

10 .

Câu 29 Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tạiA,AB = a,BAC = 120’ ◦, SBA =‘ SCA =‘

Trang 23

a

a S

A B

C H

K

120◦

BK2+ CK2− BC22BK · CK

= 3

4 ⇔

2BK2− BC22BK2

= 3

4 (1) Đặt SH = x, (x > 0).

2 3a2+ x24a2+ x2 .

2a2 3a2+ x24a2+ x2 − 3a22a2 3a2+ x24a2+ x2

... data-page="8">

chóp< /h3> S.ABE.

2BC = 2a.

Kẻ AI ⊥ SB ⇒ EI ⊥ SB và góc hai mặt phẳng< /h3> (SBA)

và (SBC) cũng góc hai mặt phẳng< /h3>...

Câu 30 Cho khối chóp< /h3> S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, AB = a, tam giác SAB

3 Thể tích khối chóp cho bằng

và (SBC) là góc hai đường thẳng AE và CE.

AC = AB

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	520,15 KB