Tổng hợp các dạng toán thi vào lớp 10 THPT

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình fx = gx II Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = fx hoặc y = gx để tìm tung độ giao điểm.. Chú ý: Số nghiệm c

1 3 1 1   3 1 .

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

c) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 2 3.

I.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm.

Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA).

Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4).

Giải:

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.22 a = 1

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y

= -2(x + 1) Đường thẳng (d) có đi qua A không?

Giải:

Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)

II.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II)

Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm.

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên.

III.Quan hệ giữa hai đường thẳng.

Xét hai đường thẳng : (d1) : y = a1x + b1.

(d2) : y = a2x + b2 a) (d1) cắt (d2) a1 a2.

b) d1) // (d2)

c) d1) (d2)

d) (d1) (d2) a1 a2 = -1

IV.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.

Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y).

Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số

V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = cx2 (c 0).

1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

cx2 = ax + b (V) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx2 để tìm tung độ giao điểm.

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P).

2.Tìm điều kiện để (d) và (P).

a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt.

b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (V) có nghiệm kép.

c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (V) vô nghiệm

VI.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết.

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

1.Quan hệ về hệ số gúc và đi qua điểm A(x0;y0)

Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuụng gúc tỡm hệ số a.

Bước 2: Thay a vừa tỡm được và x0;y0 vào cụng thức y = ax + b để tỡm b.

2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2).

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nờn ta cú hệ phương trỡnh:

Giải hệ phương trỡnh tỡm a,b.

3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0;y0) và tiếp xỳc với (P): y = cx2 (c 0).

+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nờn cú phương trỡnh :

y0 = ax0 + b (3.1) +) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xỳc với (P): y = cx 2 (c 0) nờn:

Pt: cx2 = ax + b cú nghiệm kộp

(3.2) +) Giải hệ gồm hai phương trỡnh trờn để tỡm a,b.

VII.Chứng minh đường thẳng luụn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).

+) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luụn đi qua với mọi m, thay x0;y0

vào phương trỡnh đường thẳng chuyển về phương trỡnh ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đỳng với mọi m.

+) Đồng nhất hệ số của phương trỡnh trờn với 0 giải hệ tỡm ra x0;y0.

a tìm hoành độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y= 3x-1.

b tìm toạ độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 6x - 9/2.

c tìm giá trị của a,b sao cho đ/thẳng y = ax + b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).

d tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).

e biện luận số giao điểm của (p) với đờng thẳng y=2m+1(bằng hai phơng pháp đồ thị và đại số).

f cho đờng thẳng (d): y=mx-2 Tìm m để

+(p) không cắt (d).

+(p)tiếp xúc với (d) tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó?

+ (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.

+(p) cắt (d).

Bài tập 2.

cho hàm số (p): y = x2 và hai điểm A(0;1) ; B(1;3).

a viết phơng trình đờng thẳng AB tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho.

b viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P).

c viết phơng trình đờng thẳng d1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P).

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

d chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đờng thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt C,D sao cho CD = 2.

b tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hãy:

+ Chứng minh các đờng thẳng a,b song song với nhau.

+ tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b.

+ Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2 tìm toạ độ giao điểm của (a) và (d).

cho hàm số yb=b2x2 (P) và yb=b3xb+bm (d)

a khi mb=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d).

b tính tổng bình phơng các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m.

c tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m.

Bài tập 6.

cho hàm số y = -x2 (P) và đờng thẳng (d) đi qua N(-1;-2) có hệ số góc k.

a chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai

điểm A,B tìm k cho A,B nằm về hai phía của trục tung.

b gọi (x1;y1); (x2;y2) là toạ độ của các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng S = x1+ y1+

+ x = m2-m+1 + x = (m-n)2

c các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không thuộc đồ thị hàm số? tại sao.

d không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đồ thị hàm số y= x-6

Bài tập 8

cho hàm số y = x2 (P) và y = 2mx - m2 + 4 (d)

a.tìm hoành độ của các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng y = (1- 2)2.

b.chứng minh rằng (P) với (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt tìm toạ độ giao

điểm của chúng với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất.

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

a tìm a và b để đờng thẳng (d) đi qua các điểm M, N.

b xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng MN với các trục Ox, Oy.

c lập phơng trình đờng trung trực (d) của đoạn thẳng AB.

d tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P).

Bài tập 13

a viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 tại điểm A(-1;2).

b cho hàm số y=x2 (P) và B(3;0), tìm phơng trình thoả mãn điều kiện tiếp xúc với (P) và đi qua B.

c cho (P) y=x2 lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P).

d cho (P) y=x2 lập phơng trình d song song với đờng thẳng y=2x và tiếp xúc với (P).

e viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y=-x+2 và cắt (P) y=x2 tại

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

11

11

x y

x x

y y

x y

Lu ý: - NhiỊu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy.

- Cã thĨ thư l¹i nghiƯm cđa HPT võa gi¶i.

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp thế)

1.1: 3

)

x y a

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

b) Cuừng hoỷi nhử vaọy neỏu heọ phửụng trỡnh coự nghieọm  2 1; 2 

Baứi 6: Giaỷi heọ phửụng trỡnh sau: 2x x y3y  12

by ax

b ay x

a) Giải hệ khi a = 3 ; b = -2

b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y) = ( 2 ; 3 )

Bài 9: Giải các hệ phơng trình sau:

5

2 2

1

y x y

x

y x y

8 4

3

y x

y x

2

3 2 4

2 3

y x

y x

(đk x;y2 )

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

* Kiến thức: HS giải đợc các bài toán thực tế bằng cách lập HPT.

* Kĩ năng: - HS đợc củng cố kĩ năng phân tích tìm lời giải, trình bày lời giải bài toán bằng cách lập HPT.

Bài 1 Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngợc chiều

nhau và gặp nhau sau 2 giờ Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B

Bài 2 Một ngời đi xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định Nếu vận tốc tăng14

km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ nếu vận tốc giảm 2 km/h thì đến B muộn 1 giờ Tính quãng

đờng AB, vận tốc và thời gian dự định.

Bài 3 Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngợc chiều nhau và

gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngợc dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nớc) và vận tốc dòng nớc là 3 km/h.

Bài 4 Một ca nô xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km hết 7 giờ Một lần khác ca nô

xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km cũng hết 7 giờ Tính vận tốc của dòng nớc và vận tốc thật của ca nô.

Bài 5 Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 120 km Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ 30 phút

nên để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc thêm 5 km/h nữa trên quãng đờng còn lại Tính thời gian xe chạy.

Bài 6 Hai ngời đi ngợc chiều về phía nhau.M đi từ A lúc 6 giờ sáng về phía B N đi từ B

lúc 7 giờ sáng về phía A Họ gặp nhau lúc 8 giờ sáng Tính thời gian mỗi ngời đi hết quãng

đờng AB Biết M đến B trớc N đến A là 1 giờ 20 phút.

HPT:

2 1

113

Bài 7 Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A và B ngợc chiều về phía nhau Tính quãng

đ-ờng AB và vận tốc của mỗi xe Biết rằng sau 2 giờ hai xe gặp nhau tại một điểm cách chính giữa quãng đờng AB là 10 km và xe đi chậm tăng vận tốc gấp đôi thì hai xe gặp nhau sau 1 giờ 24 phút.

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

HPT:

102

1 ( 2 ) 2( )5

Bài 8 Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 HS nếu chuyển 5 HS từ lớp 9A sang lớp 9B thì số

HS ở hai lớp bằng nhau Tính số HS mỗi lớp?

Bài 9 Hai trờng A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng tuyển

Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trờng A đạt 80%, trờng B đạt 90%

Hỏi mỗi trờng có bao nhiêu HS lớp 9 dự thi vào lớp 10?

Bài 10 Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể Nếu

chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ

Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể?

Bài 11 Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ Nếu tổ một làm trong

5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì đợc 30% công việc.

Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu?

Bài 12 Một thửa ruộng có chu vi 200m nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng đi

5m thì diện tích giảm đi 75 m2

Tính diện tích thửa ruộng đó?

Bài 13 Một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi

bằng nhau Nhng do số ngời đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê thêm 1 ghế mới đủ chỗ

Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế?

DạngIV Phơng trình bậc hai - hệ thức vi-ét

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

* NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = -1 vµ x2 = c

Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau

TT C¸c ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo  TT C¸c ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo '

c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3 d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2

e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) - 11 f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5 g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1 h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7 i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2) k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

Bài tập 7:

Cho phơng trình : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - 1 = 0

a) Giải phơng trình với m = -2

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt

c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2x2

Bài tập 8:

Cho phơng trình : 2x2 - 6x + m +7 = 0

a) Giải phơng trình với m = -3

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 4

c) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt

d) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm

e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện x1 = - 2x2

Bài tập 9:

Cho phơng trình : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0

a) Giải phơng trình với m = 4

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt

c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 3x2

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

x = -1 Tìm nghiệm còn lại.

Bài tập 14: Cho phơng trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0

a) Giải phơng trình với m = - 5

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào m

e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Bài tập 15: Cho phơng trình bậc hai

(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0

a) Giải phơng trình với m = 3

b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2

c) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

f) Khi phơng trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại

Bài tập 16:Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0

a) Giải phơng trình với m = - 2

b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2 Tìm nghiệm còn lại

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x1 + x2 = 8

e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x1 + x2

Bài tập 17: Cho phơng trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phơng trình có hiệu hai nghiệm bằng 2

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 không phụ thuộc m

Bài tập 18: Cho phơng trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a

c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x1 + x2

Bài tập 19: Cho phơng trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x2 x1

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài tập 22: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình

mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện 2 1

x x x x







Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3.

d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

Bài tập 30: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình.

x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0 Tìm m để x12 x22 có giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 31: Cho phơng trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

A = x1x2 + 2x1 + 2x2

Bài tập 32: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) Tìm m sao cho

2 nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn 10x1x2 + x12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị

đó.

Dạng V Bài tập Hình tổng hợp

Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại

H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P

Chứng minh rằng:

1 Tứ giác CEHD, nội tiếp

2 Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn

3 AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC

4 H và M đối xứng nhau qua BC

5 Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF

2 -

1

1 1 P

Mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp

Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE  AC => BEC = 900

BE

 => AD.BC = BE.AC

4 Ta có C1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ABC)

C2 = A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

=> C1 =  C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB  HM =>  CHM cân tại C

=> CB cũng là đơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC

5 Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn

=> C1 = E1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)

Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp

C1 = E2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)

E1 = E2 => EB là tia phân giác của góc FED

Chứng minh tơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF

Bài 2 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H Gọi O là tâm đờng tròn

ngoại tiếp tam giác AHE

1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp