Phân tích hưởng ứng suất và biến dạng tại đáy vết nứt bằng phương pháp element free galerkin (EFG)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN TẤN TẠI PHÂN TÍCH TRƯỜNG ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG TẠI ĐÁY VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP ELEMENT FREE GALERKIN Chuyên ngành : Công nghệ chế tạo m

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN TẤN TẠI

PHÂN TÍCH TRƯỜNG ỨNG SUẤT VÀ

BIẾN DẠNG TẠI ĐÁY VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP

ELEMENT FREE GALERKIN

Chuyên ngành : Công nghệ chế tạo máy

Mã số : 60.52.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

Đà Nẵng - Năm 2011

Công trình ñược hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Xuân Hùng

Phản biện 1: PGS.TS Trần Xuân Tùy

Phản biện 2: PGS.TS Phạm Phú Lý

Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn thạc sĩ kỹ thuật họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng 8 năm 2011

* Có t`hể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phân tích sự hư hại do sự phát triển và lan truyền của vết nứt là một trong những bài tốn cần thiết để đảm bảo độ tin cậy của các kết cấu dưới tác động của tải cĩ chu kì Vết nứt như là kết quả của những hạn chế về cơng nghệ trong quá trình chế tạo Sự phát triển của vết nứt được mơ hình bằng sự mở rộng liên tục của vết nứt Điều kiện để vết nứt phát triển được dựa vào tiêu chuẩn hệ số cường độ ứng suất

Hệ số cường độ ứng suất cĩ được từ sự phân tích ứng suất

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là khơng phù hợp để phân tích bài tốn phát triển vết nứt vì chi phí tính tốn để chỉnh lý lưới sau mỗi lần mở rộng vết nứt là khá lớn Để khắc phục khĩ khăn này, các nhà khoa học đã tìm ra phương pháp để giải bài tốn phát triển vết nứt một cách hiệu quả, đĩ là các phương pháp khơng lưới Đây là các phương pháp rất tốt để giải các bài toán trị biên mà đặc biệt là các bài toán biến dạng lớn, bài toán nứt Đặc điểm của phương pháp này là chỉ yêu cầu một hệ các điểm nút cùng với các miền ảnh hưởng (miền con) của nó để xây dựng lời giải xấp xỉ mà không cần có sự ràng buộc hay liên hệ giữa các nút Vì vậy việc

thêm hay bớt các nút trong vùng quan tâm được thực hiện dễ dàng

Vào năm 1994, Belytschko, Lu và Gu đã phát triển một phương

pháp khơng lưới mới và được gọi là phương pháp phần tử tự do

Galerkin (Element Free Galerkin (EFG) method) Phương pháp EFG tỏ ra hiệu quả khi xử lý các bài toán cơ học vật rắn nứt, bài toán biến dạng lớn

Vì những lý do trên với mong muốn đĩng gĩp vào việc xây dựng

và phát triển lĩnh vực nghiên cứu các phương pháp Meshlees ở Việt

Nam, Vì vậy tác giả thực hiện đề tài “ Phân tích trường ứng suất

và biến dạng tại đáy vết nứt bằng phương pháp EFG (Element Free Galerkin)”

Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của phương pháp EFG, xây dựng dạng yếu cho bài tốn cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính bằng phương pháp EFG Ứng dụng phương pháp này để phân tích trường ứng suất, biến dạng của tấm cĩ vết nứt Các bài tốn sẽ được phân tích bao gồm:

• Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chịu kéo đơn trục

• Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chịu tải trọng ngang

Phân tích với các thơng số khác nhau để cĩ được lời giải tin cậy

và hiệu quả

Đánh giá kết quả của lời giải EFG với lời giải giải tích và đề xuất

các biện pháp để nâng cao tính chính xác và tốc độ hội tụ của phương pháp

Xây dựng thuật tốn, viết chương trình phân tích và mơ phỏng trường ứng suất, biến dạng, tính hệ số cường độ ứng suất bằng ngơn ngữ lập trình Matlab

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Xây dựng lời giải xấp xỉ cho bài tốn cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính bằng phương pháp EFG Trên cơ sở lời giải xấp xỉ tiến hành xây dựng giải thuật và viết chương trình phân tích và mơ phỏng trường ứng suất, biến dạng, xác định hệ số cường độ ứng suất của bài tốn tấm cĩ vết nứt bằng ngơn ngữ

Để ñạt ñược mục tiêu ñặt ra cần giải quyết các nhiệm vụ cơ bản

sau:

- Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của cơ học phá hủy ñể xây dựng phương trình vi phân mô tả bài toán tấm có vết nứt cùng với các ñiều kiện biên

- Tìm hiểu và ứng dụng phương pháp EFG ñể phân tích trường

ứng suất, biến dạng, hệ số cường ñộ ứng suất bài toán tấm có

vết nứt

- Xây dựng thuật toán và viết chương trình phân tích và mô phỏng trường ứng suất, biến dạng và xác ñịnh hệ số cường ñộ

ứng suất bằng ngôn ngữ lập trình Matlab

- So sánh lời giải của phương pháp EFG so với lời giải giải tích Đánh giá hiệu quả của phương pháp EFG và ñề xuất các biện pháp ñể nâng cao tính chính xác và tốc ñộ hội tụ của phương pháp

- Phương pháp nghiên cứu ứng dụng

- Phương pháp thu thập tài liệu

5 Ý NGHĨA KHOA HỌC CỦA LUẬN VĂN

Phân tích sự hư hại do sự phát triển và lan truyền của vết nứt là một trong những bài toán cần thiết ñể ñảm bảo ñộ tin cậy của các kết cấu dưới tác ñộng của tải có chu kì Điều kiện ñể vết nứt phát triển

ñược dựa vào tiêu chuẩn hệ số cường ñộ ứng suất Hệ số cường ñộ ứng suất có ñược từ sự phân tích ứng suất

Phân tích ứng suất, biến dạng và xác ñịnh hệ số cường ñộ ứng suất của tấm có vết nứt là cơ sở quan trọng ñể ñánh giá khả năng làm việc của chi tiết Làm cơ sở ñể phân tích sự lan truyền và phát triển của vết nứt

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Ngồi phần mở đầu, luận văn bao gồm 4 chương:

Chương 1: Trình bày cơ sở lý thuyết của cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính, tích phân J, dạng miền của tích phân J, hệ số cường độ

ứng suất

Chương 2: Trình bày các khái niệm và cơ sở lý thuyết của phương pháp EFG và ứng dụng phương pháp EFG xây dựng lời giải xấp xỉ cho bài toán cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính, các phương pháp làm giàu cho phương pháp EFG

Chương 3: Trong chương này tác giả ứng dụng phương pháp EFG để phân tích trường ứng suất, biến dạng của các bài toán dưới đây bằng phương pháp EFG:

- Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chịu kéo đơn trục

- Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chịu tải trọng ngang

Các kết quả có được từ phương pháp EFG sẽ được so sánh với lời giải giải tích đã có Tất cả các bài toán này đều được khảo sát trong miền đàn hồi Ngôn ngữ lập trình Matlab được sử dụng để viết chương trình khảo sát các bài toán này Trong mỗi bài toán sẽ được khảo sát với các số lượng nút phân bố, bán kính miền ảnh hưởng, hàm trọng số và số lượng điểm Gauss khác nhau

Chương 4: Kết luận cho luận văn, bao gồm phần đánh giá sai số, tốc độ hội tụ của phương pháp và đề xuất các biện pháp nhằm nâng cao tính chính xác và tốc độ hội tụ của phương pháp EFG Cuối cùng

là hướng phát triển tiếp theo của luận văn

CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT CƠ HỌC PHÁ HỦY ĐÀN HỒI

TUYẾN TÍNH 1.1 GIỚI THIỆU

Trong chương này tác giả tập trung vào các vấn đề sau:

• Xem xét cơ sở của cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính, các tiêu chuẩn của cơ học phá hủy và các phương pháp phân tích chúng

• Định nghĩa bài toán giá trị biên của vật thể có vết nứt cho trường hợp ứng xử của vật liệu là đàn hồi tuyến tính

• Nghiên cứu phương pháp EFG cho bài toán đàn hồi tuyến tính của vết nứt đơn

• Đánh giá độ tin cậy, hiệu quả và độ chính xác của lời giải phương pháp EFG so với lời giải giải tích

• Mở rộng ứng dụng bài toán EFG cho các bài toán phức tạp như bài toán nhiều vết nứt

1.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC TIÊU CHUẨN CỦA

CƠ HỌC PHÁ HỦY ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

1.2.1 Bài toán giá trị biên

1.2.2 Tiêu chuẩn năng lượng

1.2.3 Hệ số cường độ ứng suất

Irwin [3] đã phân tích mối liên hệ giữa năng lượng tới hạn và sự phân bố ứng suất gần đỉnh vết nứt và đã đưa ra khái niệm hệ số cường độ ứng suất Hệ số cường độ ứng suất biểu thị mức độ tập trung ứng suất tại vùng gần đỉnh vết nứt

1.2.4 Mối quan hệ giữa suất giải phóng năng lượng và hệ số cường độ ứng suất

Nếu sự chảy dẻo xảy ra trong giới hạn nhỏ (độ lớn của vùng chảy dẻo tại đỉnh vết nứt nhỏ), các hệ số K và G hoàn toàn có thể mô tả trạng thái ứng suất và biến dạng gần đỉnh vết nứt Tuy nhiên, đối với những vật liệu có độ bền cao mà vùng chảy dẻo tại đỉnh vết nứt lớn thì các hệ số K và G không còn chính xác trong việc mô tả sự ứng xử đàn dẻo của loại vật liệu này Để xác định được đại lượng năng lượng sao cho mô tả chính xác ứng xử đàn dẻo của vật liệu có độ bền cao, cần phải sử dụng tích phân J

1.2.6 Tính toán tích phân J và hệ số cường độ ứng suất

Các phương pháp: suất giải phóng năng lượng biến dạng, ngoại suy chuyển vị, mở rộng vết nứt ảo, tích phân J và một số phương pháp khác đã được phát triển để tính toán hệ số cường độ ứng suất và giá trị tích phân J Thông thường có hai dạng chính, dạng trực tiếp và dạng gián tiếp Phương pháp trực tiếp xác định hệ số cường độ ứng suất từ trường ứng suất và biến dạng trong khi đó phương pháp gián tiếp là năng lượng dựa vào và được thiết lập từ tích phân J và suất giải phóng năng lượng Trong đề tài này tác giả sử dụng phương pháp tích phân J để tính toán hệ số cường độ ứng suất và giá trị tích phân J

1.2.7 Dạng miền của tích phân J

Có một số khó khăn phát sinh khi tính tích phân J bằng phương pháp số Do sự biến động và mất liên tục của trường ứng suất và biến dạng tại đáy vết nứt làm sinh ra sai số đáng kể trong việc tính toán tích phân J tại những vùng quanh vết nứt Vì vậy để cải thiện việc tính toán tích phân J, dạng miền của tích phân

J phải được chọn hợp lý

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP EFG CHO BÀI TOÁN CƠ HỌC PHÁ

HỦY ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

2.1 GIỚI THIỆU

Trong phần mở đầu chúng ta đã bàn luận về những thuận lợi và những khó khăn của phương pháp EFG khi giải các bài toán cơ học rạn nứt Trong chương này tác giả trình bày các khái niệm và

cơ sở lý thuyết của phương pháp EFG và ứng dụng phương pháp

EFG xây dựng lời giải xấp xĩ cho bài toán cơ học rạn nứt đàn hồi tuyến tính

2.2 XẤP XĨ KHÔNG LƯỚI BỞI PHƯƠNG PHÁP EFG

Phương pháp EFG là một trong những phương pháp không lưới Trong các phương pháp không lưới, miền bài toán được mô tả bởi một bộ các nút Sự đóng góp của mỗi nút trong phép xấp xĩ EFG được định nghĩa bởi hàm trọng số của miền xác định của mỗi nút Miền xác định này được gọi là miền ảnh hưởng của mỗi nút Hàm trọng số được định nghĩa sao cho miền xác định của các nút phủ đầy trên toàn miền khảo sát

Phương pháp EFG dựa trên phép xấp xĩ bình phương tối thiểu động [15] Theo phương pháp này, xấp xĩ h( )

Ơû đây: p T( )x =p1( )x p2( )x p k( )x  là một

cơ sở bậc k, p xi( ) là hàm cơ sở và

Chú ý rằng hàm dạng EFG (2.12) không thỏa mãn tính chất delta-Cronecker: φ δI ≠ ij vì vậy h( )

u x ≠ u Thông số nút uI

không phải là giá trị nút của h( )

I

u x do đó đây là một phép xấp

xỉ Vì vậy cần phải chỉnh lý điều kiện biên chính

Trong phép xấp xỉ bình phương tối thiẻu động, kích thước của miền ảnh hưởng d mI đóng vai trò rất quan trọng Nên chọn d mI

đủ lớn để miền ảnh hưởng bao hàm được các nút cần thiết trong miền con Ωx(N ≥m) và để chắc chắn ma trận [ ] A (2.7) không

bị suy biến Nếu chọn d mI quá nhỏ có thể dẫn đến sai số quá lớn trong phép tính tích phân Gauss của các đại lượng trong ma trận hệ thống Ngược lại, nên chọn d mI đủ nhỏ để phép xấp xỉ MLS có được tính chất địa phương- “phần tử” (local character) của nó

2.3 DẠNG YẾU CỦA BÀI TOÁN CƠ HỌC PHÁ HỦY

ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

Để phân tích trường ứng suất và biến dạng cũng như đi xác định các thông số đặc trưng của bài toán cơ học phá hủy như: tích

phân J, hệ số cường độ ứng suất bằng phương pháp EFG thì dạng biến phân (dạng yếu) cần phải được thiết lập

Dạng biến phân của phương trình (1.1) có dạng:

delta-2.4 MÔ HÌNH BÀI TOÁN CƠ HỌC PHÁ HỦY BẰNG PHƯƠNG PHÁP EFG

Khi phân tích bài toán cơ học phá hủy bằng phương pháp EFG cần phải quan tâm một số vấn đề sau: vết nứt sinh ra sự mất liên tục trong vật liệu và tạo ra trường ứng suất suy biến ở đáy vết nứt Để thể hiện được sự suy biến của vùng đáy vết nứt và thu được nghiệm chính xác cần phải lựa chọn hàm trọng số, chọn cơ sở và chọn sự phân bố của các nút trong miền bài toán hợp lý

2.4.1 Sự phân bố các nút trong miền bài toán

Thông thường trong phương pháp EFG, người ta thường phân bố các nút đều Tuy nhiên đối với những bài toán có biên phức tạp, bài toán có vết nứt thì cần phải có một giải pháp phân bố các nút hợp lý Với bài toán cơ học phá hủy, các nút có thể được thêm vào quanh vết nứt và gần đáy của vết nứt để nâng cao độ chính xác của lời giải

Việc bố trí các nút gần đỉnh vết nứt theo dạng ngôi sao là dạng hợp lý nhất và mang lại lại giải chính xác nhất trong phân tích bằng phương pháp EFG Số lượng các vòng, khoảng cách giữa các vòng và số nút trên từng vòng được lựa chọn tùy thuộc vào từng bài toán

2.4.2 Tích phân số

Độ chính xác của tích phân số là một trong những yếu tố ảnh hưởng đến độ chính xác của lời giải cuối cùng Trong tất cả các bước tính toán ma trận độ cứng, véctơ lực, tích phân J đều sử dụng tích phân số Phương pháp tích phân được sử dụng trong luận văn này là phương pháp tích phân Gauss Phương pháp này cần phải chia miền bài toán thành các ô, được gọi là ô lưới nền Thông thường các ô lưới nền này không phụ thuộc vào sự phân bố của các nút Trong mỗi ô lưới nền số điểm Gauss tối thiểu được sử dụng là 4 4× điểm Gauss Đa thức Gauss bậc cao hơn có thể được dụng cho mỗi ô lưới nền để nâng cao độ chính xác của lời giải nhưng chi phí tính toán sẽ tăng theo

2.4.3 Phương pháp EFG với cơ sở làm giàu

Một số phương pháp đã được phát triển để làm giàu phương pháp EFG Các phương pháp này dựa trên cơ sở tổ hợp các hàm để xấp xĩ trường chuyển vị gần đỉnh vết nứt Các kỹ thuật làm giàu có thể được chia làm hai loại: làm giàu bên ngoài và làm giàu bên trong Làm giàu bên ngoài dựa trên việc thêm hàm làm giàu vào hàm thử Trong khi đó kỹ thuật làm giàu bên trong, hàm làm giàu được thêm vào cơ sở Kỹ thuật làm giàu bên trong thực hiện dễ hơn nhưng cần thêm chi phí tính toán và cần phải nghiạch đảo ma trận mômen bởi vì kích thước cơ sở lớn hơn

2.4.4 Sử dụng hàm không liên tục xấp xỉ tại vùng lân cận vết

nứt

2.4.5 Độ chính xác của phương pháp

Hình 2.7 Các nút phân bố đều và đa thức Gauss4 4× được

sử dụng cho mỗi ô lưới nền

Vết nứt

Điểm Gauss

Nút

- Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chịu kéo đơn trục

- Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chịu tải trọng ngang

Các kết quả có được từ phương pháp EFG sẽ được so sánh với lời giải giải tích đã có

Tất cả các bài toán này đều được khảo sát trong miền đàn hồi Ngôn ngữ lập trình Matlab được sử dụng để viết chương trình khảo sát các bài toán này

3.2 BÀI TOÁN TẤM VÔ HẠN CÓ VẾT NỨT CẠNH CHỊU

KÉO ĐƠN TRỤC

3.2.1 Mô hình và thông số phân tích

Xét tấm làm việc trong miền đàn hồi dưới điều kiện ứng suất phẳng Mô hình bài toán như hình 3.1

Với các thông số hình học và vật liệu:

• Môđun đàn hồi của vật liệu: E = 3.107 N/mm2

• Lực kéo ở hai dầu tự do: σ = 1 N

• Chiều dài tấm: W = 5 mm

• Chiều cao tấm: 2H = 10 mm

• Chiều dài vết nứt: a = 2mm

• Hệ số poisson: ν = 0,3

a H

H

σ

σ

W

Hình 3.1 Tấm phẳng vô hạn có vết nứt cạnh

3.2.2 Kết quả phân tích

Hình 3.8 So sánh ứng suất vùng gần dáy vết nứt giữa nghiêm giải tích

và lời giải bằng phương pháp EFG

Bảng 3.1 Trường ứng suất gần đỉnh vết nứt

a H

H

W

Hình 3.15 Tấm phẳng vô hạn có vết nứt cạnh

σ

3.3 BÀI TOÁN TẤM VÔ HẠN CÓ VẾT NỨT CẠNH CHỊU

TẢI TRỌNG NGANG

Xét tấm làm việc trong miền đàn hồi dưới điều kiện ứng suất phẳng Mô hình bài toán như hình 3.15

Với các thông số hình học và vật liệu:

• Môđun đàn hồi của vật liệu: 7

3.10

E= N/mm2

• Lực kéo ở hai dầu tự do: σ =1 N

• Chiều dài tấm: W =1 mm

• Chiều cao tấm:H =1 mm

• Chiều dài vết nứt: a=0.45 mm

• Hệ số poisson: ν =0, 3