Lưu ý khi chấm bài: - Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa - Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm điểm..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học: 2014-2015 Môn thi: TOÁN Lớp 9 THCS Ngày thi 25/03/2015.
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu
Câu I: (4,0 điểm) Cho biểu thức
1
A
1 Rút gọn biểu thức A
2 Tìm x để
1 7
A
Câu II: (4điểm)
1 Giải phương trình 2 2
3
2 0.
2 Giải hệ phương trình
2 2
2 ( )(1 ) 4
Câu III: (4điểm)
1 Tìm các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình: 5(x2 xy y ) 7(x 2y) 2
2 Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn :
1
Câu IV: (6điểm)
Cho 3 điểm A , B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C)
Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không thuộc đường thẳng d) Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K
1 Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn
2 Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi
3 Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E Chứng minh P là trung điểm của ME
Câu V: (2điểm)
Cho các số thực dương a b c , , thỏa mãn 2 a b c a2 b2 6.
nhỏ nhất của biểu thức
4
.
P
-
Số báo danh
Trang 2
Họ tên thí sinh: ………
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài 150 phút
(Không kể thời gian giao đề) (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang)
I
1
Điều kiện:
1 0; ; 1 4
x x x
Đặt x a a ; 0 x a 2, ta có:
1
2 1 2
A
0,5
2
1 2 1 1 2 1 1 1
A
A=[(2 a −1 ) (1 −a ) +
a (2 a −1)
(a2−a+1) ].a (a −1) (1 − a)
2 a− 1 −1
0,5
2
1 1 1
a
0,5
A= − 1
a2− a+1 Vậy: A=
−1
x −√x +1<−
1
7⇔ 1
x −√x+1>
1 7
⇔ x −√x+1<7 (do x −√x +1=( √x −1
2)2+3
4>0 )
0,5
⇔ x x 6 0 x 3 x2 0 x 3 0
⇔ 0 x 9
0,5 0,5
Đối chiếu với điều kiện ta được:
0 9 1 , 1 4
x
0,5
II
1
ĐKXĐ:
2 2
1
2 0
2
5 2 0
5 33 2
x
x x
x
x x
x
0,25
Nhận thấy x 0 không là nghiệm của phương trình 0,25
Trang 3Khi x 0 thì
Phương trình đã cho
2 0
0,25
Đặt
2
t x
x
, ta được phương trình biểu thị theo t là
2
t t
0,25
Với
2
2
x
(thỏa mãn)
0,25
Với
2
2
x
(thỏa mãn)
0,25
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là
3 17
2
S
0,25
2
Nhận thấy nếu x 0 thì y 0 và ngược lại
Xét x 0 ; y 0 hệ phương trình tương đương với
( )(1 ) 4 ( )(2 ) 8
0,5
Thay (1) vào (2) ta được
3
1 1 ( ) 8
x y
0,5
1 1
2
1 1
1
x y
x y xy
Vậy hệ có nghiệm (x ; y) là (0 ; 0) ; (1 ; 1)
0,25
0,25
1 Ta có: 5(x2xy y 2) 7( x2 )y (1)
7(x2 ) 5y ( x 2 ) 5 y Đặt x2y5t (2) (t Z ) thì
(1) trở thành x2 xy y 2 7 t (3) 0,5
Từ (2) x 5 t 2 y thay vào (3) ta được 3y215ty25t2 7t 0 (*), coi đây là
Để (*) có nghiệm 0 84t 75t2 0
28 0
25
t
(1)
(2)
Trang 4Vì t Z t 0 hoặc t 1 Thay vào (*) :
0,5 + Với t 0 y1 0 x1 0
+ Với t 1
Vậy phương trình có 3 nghiệm nguyên (x, y) là (0; 0), (-1; 3) và ( 1; 2)
0,5
III
2
Nếu p q thì
2
m
0,25
Do m và p là số nguyên tố nên 4 (m1) m0;m1;m3
Nếu p q thì pq và p + q là nguyên tố cùng nhau vì pq chỉ chia hết cho các ước nguyên
tố là p và q còn p + q thì không chia hết cho p và không chia hết cho q. 0,25
Gọi r là một ước chung của m 2 1 và m 1 ( m 1)( m 1) r ( m2 1) r
0,25
( m 1) ( m 1) r 2 r
suy ra p q m 1, pq m 2 1 p q , là hai nghiệm của phương trình
x m x m vô nghiệm do
suy ra 2 pq m 2 1 và 2( p q ) m 1 p q , là hai nghiệm của
phương trình 2 x2 ( m 1) x m 2 1 0 vô nghiệm do
0,25
Vậy bộ các số nguyên tố (p; q) cần tìm là ( ; ) (2;2); ( ; ) (5;5).p q p q 0,25
C
P A
K B
O
d E
Q M
N I
D
H
Trang 5I là trung điểm của BC (Dây BC không đi qua O)
OI BC OIA = 900
0,5
Ta có AMO = 900
ANO = 900
Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kinh OA
0,5 0,5 0,5
2
AM, AN là hai tiếp tuyến của (O) nên OA là phân giác MON mà MON cân ở O nên
OA MN
ABN đồng dạng với ANC (Vì ANB = ACN, CAN chung)
AB AC = AN2
ANO vuông tại N đường cao NH nên AH AO = AN2
AB AC = AH AO
AHK đồng dạng với AIO (g-g)
Nên
.
AB AC AK
AI
Ta có A, B, C cố định nên I cố định AK cố định
Mà A cố định, K là giao điểm của dây BC và dây MN nên K thuộc tia AB K cố định
0,5
0,5
0,5
0,5
3
Ta có PMQ = 900
MHE QDM (g-g)
PMH MQH 2
1 2
ME = 2 MP P là trung điểm ME
0,5
0,5
0,5
0,5
V
Từ:
2 a b c a b 6 6 c a b a ab b a b
ta có:
0,25
Trang 62 2 2 2
2 2
2 6 c a b a ab b a b c a b 4 0 c a b 2
a b ab
Lại có
2
c a b
a b c b a c abc b c abc a c abc a b c abc a b c
và
2
3
ab bc ca abc a b c ab bc bc ca ab ca
0,25
2
( )
c a b
c a b
ab
0,25
Đặt
2 2
2(1 )
Có
3 4 3 4 8 8 7 8 32 24 8
2(1 ) 2(1 ) 3 3 6 (1 ) 3
2 2
( 2)( 7 22 12) 8
6 (1 ) 3
mà
( 2)( 7 22 12) ( 2)( 7 22 12) 8 8
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t = 2 hay a b c
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
8
Lưu ý khi chấm bài:
- Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
- Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm điểm.
http://violet.vn/lemaihoa1301/