b Chứng minh bất đẳng thức c Tính giá trị của biểu thức có điều kiện Bài 3: 4,0 điểm.. a Chứng minh chia hết b Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn cho trước Bài 4: 4,0 điểm.[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA
TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP
TRƯỜNG
Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian
giao đề) Ngày thi: 22/10/2016
MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA.
điểm).
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 2: (6,0 điểm).
ĐỀ CHÍNH THỨC
Mức độ
Mạch Kiến thức
Nhận biết Thông hiểu
Vận dụng
Cộng Cấp độ thấp Cấp độ cao
Biểu thức đại số
1.a 1,0
1.b,c 2,0
2.c 2,0
5,0 đ
Bất đẳng thức
2.b
Phương trình vô
tỷ Chia hết và nghiệm nguyên
3.a
2,0
3.b 2,0
2.a 2,0
6,0 đ
Chứng minh mối liên quan đại lượng hình học
5 3,0
4.a,b 4,0 7,0 đ
3,0
4 ý 6,0
1 ý 3,0
4 ý
Trang 2a) Giải phương trình
b) Chứng minh bất đẳng thức
c) Tính giá trị của biểu thức có điều kiện
Bài 3: (4,0 điểm).
a) Chứng minh chia hết
b) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn cho trước
Bài 4: (4,0 điểm).
a) Chứng minh về diện tích
b) Chứng minh đẳng thức hình học
Bài 5: (3,0 điểm).
Tính diện tích hình học
PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG
Trang 3KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP
TRƯỜNG
Năm học: 2016 - 2017
Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian
giao đề) Ngày thi: 22/10/2016
Bài 1:(3 điểm)
Cho biểu thức
A
x
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa
b)Rút gọn biểu thức A
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 2:(6 điểm)
a)Giải phương trình: x22015x 2014 2 2017 x 2016
b)Chứng minh rằng :
1 1
2
x y biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0 và x.y > 0 c)Cho x y z, , thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức B x21 y21 y11 z11 z2017 x2017
.
Bài 3:(4 điểm)
a)Với n chẵn (nN) chứng minh rằng: (20n + 16n – 3n – 1)323
b)Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : (y2)x2017 y2 2y1 0
Bài 4:(4 điểm)
Cho tam giác ABC ( có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD,
BE, CF cắt nhau tại H Kéo dài AO cắt đường tròn tại K Gọi G là trọng tâm của D
ABC
a) Chứng minh SAHG = 2SAGO
b) Chứng minh
1
AD+BE+CF=
Bài 5:(3 điểm)
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB C và D là hai điểm nằm trên nửa đường tròn đó sao cho CAB· =45 , DAB0 · =300 AC cắt BD tại M Tính diện tích tam giác ABM theo R
HẾT
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 4PHÒNG GD&ĐT TƯ
NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp trường
Thời gian: 150 phút (không kể thời
1a (1đ)
a) Điều kiện của x để biểu thức A có
nghĩa :
3
2 0
2
1 0
1
2 1
x
x x
x x
1,0đ
1b (1đ)
b) Rút gọn biểu thức A
2
2
A
x
1,0đ
1c (1đ)
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Ta có
2
2
A
Ta có A nhỏ nhất khi
2
x
đạt giá trị nhỏ nhất
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của là A là
4 3
khi 1
2
x
= 0
1 2
x
1,0đ
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 5(2đ)
a) Giải phương trình:
2 2015 2014 2 2017 2016
Điều kiện
2016 2017
x
Phương trình đã cho tương đương với
2 2 1 2017 2016 2 2017 2016 1 0
1 0
2017 2016 1 0
x
x
1,0đ
1
2017 2016 1
x x
1
x
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy x là nghiệm 1
của phương trình đã cho
1,0đ
2b
(2đ)
b) Chứng minh:
1 1
2
x y biết
x 3 + y 3 + 3(x 2 +y 2 ) + 4(x+
y) + 4 = 0 và x.y
> 0
Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4
= 0
(x + y)( x2 – xy +
y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + 4 = 0
( x2 – xy + y2)( x +
y + 2) + ( x + y + 2)2 = 0
( x + y + 2)( x2 – xy + y2 + x + y + 2) = 0
1
2.( x + y + 2)( 2x2 – 2xy + 2y2 + 2x + 2y + 4) = 0
1,0đ
Trang 61
2.( x + y + 2)
(x y) (x 1) (y 1) 2
= 0
x + y + 2 = 0
x + y = -2 mà x.y >
0 nên x< 0, y < 0
Áp dụng BĐT CauChy
ta có
Do đó xy 1 suy ra 1 1
xy hay
2
xy
-2 Mà
M
Vậy
1 1
2
M
x y
(đpcm)
1,0đ
2c
(2đ) c) Cho
, ,
x y z
thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức
21 21 11 11 2017 2017
Ta có:
x y z
(yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz
xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz
(xyz + zx2 + xy2+
yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = 0
1,0đ
x(yz + zx+ y2+ yx)+
z(y2 + yz+ xz+ xy) = 0
(yz + zx+ y2+ yx) ( x+ z) = 0
(x y y z x z)( )( ) 0
1,0đ
Trang 7x y
Thay vào B tính được
B = 0
3a
(2đ)
a) Với n chẵn (n
N) chứng minh rằng: 20 n + 16 n
– 3 n – 1323
Ta có: 323=17.19
20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n)
20n – 119
16n – 3n19 (n chẵn)
Do đó 20n + 16n – 3n –
119 (1)
1,0đ
20n + 16n – 3n – 1= (20n – 3n) + (16n –1)
20n – 3n 17
16n –1n17 ( n chẵn)
Do đó 20n + 16n – 3n –
117 (2)
Mà (17;19) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra 20n +
16n – 3n – 1323
1,0đ
3b
(2đ)
b) Tìm các số nguyên x,y thỏa
2017 2 (y2)x y 2y1 0
Nếu y+2=0 y 2 lúc đó phương trình có dạng 0x20171 0 (vô nghiệm ).
Nếu y 2 thì ta có
2
1,0đ
Vì x,y nguyên nên 1,0đ
Trang 81 2
y nguyên y 2 Ư(1) 1;1
Với
2017
y y x
(loại ).
Với
2017
y y x x
Vậy số nguyên x,y thỏa mãn đề bài là : x=0,y=-1
4
(4đ)
a) Chứng minh
S AHG = 2S AGO
DACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK Nên KC ^ AC
Mà BE ^ AC (gt) Suy ra KC // BE hay
KC // BH Chứng minh tương tự
CH
Nên tứ giác BHCK là hình bình hành
1,0đ
1,0đ
2,0đ
G H
M F
A
E O
C K
D B
Trang 9(3đ)
Gọi M giao điểm của
BC và HK nên
M là trung điểm của BC mà G là trọng tâm của D ABC nên AG = 2
3AM
M là trung điểm của HK nên AM
là đường trung tuyến của D AHK
Mà G thuộc đoạn AM
và AG =
2
3AM nên G
là trọng tâm của D AHK
Ta có O là trung điểm của AK nên HO là đường trung tuyến của
DAHK Nên HO đi qua G do đó
HG = 2GO
DAHG và D AGO có chung đường cao kẻ từ
A đến HO và
HG = 2GO
Do đó S AHG = 2S AGO
b) Chứng minh
1
AD+BE+CF=
Trang 10Ta có:
HD.BC HE.AC HF.AB
SHBC SHAC SHAB
SABC SABC SABC
SHBC SHAC SHAB
SABC
=
=
SABC
SABC = 1
Tính diện tích tam
giác ABM theo R
Gọi N là giao điểm của
AD và BC; H là giao
điểm của MN và AB
Chứng minh
AHM=90 ; mà
CAB=45 (gt) nên
AHM
D vuông cân
MH = AH
MH + HB = AH +
HB = 2R
(1)
1,0đ
*DMHBvuông tại H
HB=MB.cos
MBH
0
cos MBH cos 60
2,0đ
A
N
C M
D
H O
Trang 11 MH=
MB.sinMBH MH
0 MB 3
2
HB=
3
3 =
(2)
Từ (1) và (2) ta có MH +
-+ Vậy:
2 AB.MH 1
-Chú ý:
-Học sinh có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
-Không có điểm vẽ hình
-Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không có điểm
Duyệt đề: Nghĩa Thắng, ngày 21 tháng 10 năm 2016 Nhóm trưởng Giáo viên ra đề
Lê Bá Thuyết Trương Quang An