Sáng kiến kinh nghiệm bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông phần 2

sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem

Trang 1

sang kien nghiem

sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem

sang kien nghiem

sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem sang kien nghiem

sang kien nghiem

« Đây là sáng kiến kinh nghiêm đã được sở giáo dục đào tạo Hà Nội xếp loại B năm 2015 xin

2

1 )'

x x

x

a

ln

1 '

1)   u  '   u   1 u / 2) 1  '   2 ' (  0 )

2

' )'

u

u u

4)  sin u  '  u ' cos u

5)  cos u  '   sin u u ' 6)  

cot  

8)   e u '  e u u ' 9)   a u '  a u ln a u ' 10)  

a u

u u

a

ln

' '

11)  

u

u u

' '

.

d cx

c b d a d

cx

b ax

Cho hàm số y =f(x) xác định trên (a,b) và có đạo hàm trên (a,b)

Kí hiệu d(f(x)) được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại x

Và d ( f ( x ))  f ' ( x ) d ( x ) Nhi■u event thú v■, event ki■m ti■n thi■t th■c 123doc luôn luôn t■o c■i gia t■ng thu nh■p online cho t■t c■ các thành viên c■a website

123doc s■u m■t kho th■ vi■n kh■ng l■i h■n 2.000.000 tài li■t c■nh v■c: tài chính tín d■ng, công ngh■ thông tin, ngo■i ng■, Khách hàng có th■ dàng tra c■u tài li■u m■t cách chính xác, nhanh chóng

Mang l■i tr■ nghi■m m■i m■ cho ng■■i dùng, công ngh■ hi■n th■ hi■■■■n online không khác gì so v■i b■n g■c B■n có th■ phóng to, thu nh■ tùy ý

Luôn h■■ng t■i là website d■■■u chia s■ và mua bán tài li■u hàng ■■u Vi■t Nam Tác phong chuyên nghi■p, hoàn h■o, cao tính trách nhi■m ■ng ng■■i dùng M■c tiêu hàng ■■■a 123doc.net tr■ thành th■ vi■n tài li■u online l■n nh■t Vi■t Nam, cung c■p nh■ng tài li■■■c không th■ tìm th■y trên th■■■ng ngo■i tr■ 123doc.net

123doc cam k■t s■ mang l■i nh■ng quy■n l■t nh■t cho ng■■i dùng Khi khách hàng tr■ thành thành viên c■a 123doc và n■p ti■n vào tài kho■n c■a 123doc, b■n s■■■■c hng nh■ng quy■n l■i sau n■p ti■n trên website

Th■a thu■n s■ng 1 CH■P NH■N CÁC ■I■U KHO■N TH■A THU■N Chào m■ng b■■■■i 123doc

Trang 2

sang kien nghiem

Ta cò n dùng kí hiệu F ( x ) b F ( b ) F ( a )

Ta cò n gọi  a b là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm dưới dấu tích phân.

6) Phương pháp đổi biến số

Định lí : Cho hàm số f(x) liên tục trên   a b ;

Giả sử hàm số x   (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn   ,  sao cho

b a

Trang 3

sang kien nghiem

) ( ) ( )

( )

Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:

 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv uv dx  ' bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv v x dx  ' ( )

 Bước 5: Áp dụng công thức trên.

2 Thực trạng thực tế khi chưa thực hiện SKKN và giải pháp mới

Khảo sát thực tế: Cho học sinh lớp 12A10 gồm 40 học sinh làm một đề gồm 3 câu hỏi trong thời gian 45 phút



x xdx

Trang 4

sang kien nghiem

Bài toán 3 : Tính tích phân sau

 2

0 cos



xdx x

Kết quả học sinh khi chưa được triển khai SKKN

* Giải pháp mới: Tôi đưa ra 6 bài toán trong đó

1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.

- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.

- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng.

- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải

2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh,

- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề

- Phương pháp: phương pháp giải toán.

3 Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )

- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế

- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.

Trang 5

sang kien nghiem

4 Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với

từng loại đối tượng học sinh, Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập

5 Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Hệ thống kiến thức cơ bản.

- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.

- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập tổng quát, hoặc cụ thể hóa bài toán đó

- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả, bài toán mới Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.

(

x

x e

e d

1 ln 2

1

) 2

1

0 1

0

e e

2 1 ( 2

2 2

1 2

1 ln 2

1 2

1

) 2 1 ( 2

0 1

0

e e

x

u

x

2 1

1

3 0

1 ln

2

1 2

3 2

1 3

e u

- Tuy nhiên sử dụng cách 1 ở một số bài tập có nhiều ưu điểm

+ Không cần thực hiện các phép đổi cận không cần thiết.

+ Cách làm khá ngắn gọn, đơn giản, không mất nhiều thời gian.

Trang 6

sang kien nghiem

- Ở cách 2 biến đổi dài hơn nhưng một số bài tập tích phân phức tạp và cồng kềnh thì phương pháp đổi biến là sự lựa chọn thích hợp để tránh nhầm lẫn.

- Trong khi giảng dạy giáo viên nên định hướng cho học sinh làm bài tập bằng nhiều cách, vừa có mục đích khắc sâu, củng cố kiến thức, qua đó các em có thể chọn cho mình cách giải thích hợp, tối ưu nhất cho mỗi dạng bài tập đồng thời phát triển tư duy sáng tạo cho các em.

- Trong quá trì nh học, một phương án được gọi là phát triển tư duy nếu các bài

tập giải xong để tạo nên các bài tập khác Giáo viên làm mẫu trước sau đó hướng dẫn các em làm theo.

Cách tạo ra các bài tập mới từ 1.1

x

x x

 1    0

2 2

2 1

Khi giải bài tập này ta làm như sau:

dx e

e x

e

x

x x

 1   

0

2 2

x

x x

0

2 2 1

) 2 1

2 1 ( Sau đó tiếp tục làm như trên.

dx e

e x

e

x

x x

 1   

0

2 2

e

e x

0 2

2

1 sin



e

e e x

x

x x

) 2 1 )(

cos (sin



= dx

e

e x e x e x x

x

x x

x

cos 2 sin 2 cos sin



= dx

e

x x

e x x



Trang 7

sang kien nghiem

Vậy ta có bài tập mới

2)Tính tích phân

dx e

x x

e x

0 1 2 e dx x

e x

x

3

2 1 ln 2

1  e

=1-3

2 1 ln 2

1  e ) Tương tự ta có thể sáng tạo một loạt các bài tập sau:

1.2) Tính tích phân

a)  4  

0 1 sin 2

) 2 sin

2 sin sin 2 cos

1

0 4

) 2 sin 1

0 4

sin 1

) 2 sin 1 ( 2

sin 1

4

2 sin sin 2 cos

sin



dx x

x x

2 cos 2 sin sin sin

4

2 sin 1

2 cos (sin



2 ln 2

1 cos 4

2 ln 2

1 ) 1 2

2



1.3) Tính tích phân

Trang 8

sang kien nghiem

a)  4  

0 sin cos

) cos sin

(



x x

x

x x

x

xdx x

cos sin

cos cos

x

x x x x

x



x x

x

x x x x x

cos cos

sin sin

sin ln cos

sin

) cos sin

0 4

x x

x

x x

sin ln cos

sin

) cos sin

0 4

x x

x d

Theo khảo sát ở phần trước, theo phương pháp truyền thống thông thường nếu học sinh làm xong bài toán  4 

0 sin cos

cos



x x

x

xdx x

giáo viên dừng lại ngay Sẽ không có định hướng để các em tiếp tục phát triển

tư duy, chính vì vậy không có nhiều em giải chính xác bài toán thi đại học

A-2011, nhưng nếu người thầy sử dụng theo phương pháp mới đưa ra các bài toán tương tự và liên hệ chúng với nhau nhờ đó học sinh có thể dễ dàng giải được các bài toán tưởng chừng khá phức tạp.Từ đó giúp tư duy của các em linh hoạt hơn.Các em giải khá nhanh bài tập này.

x

x x x x

x

4

cos cos

sin



dx x x

x

x x

cos sin

cos 1

4 0

cos sin

cos

x x x

x

xdx x

1 2

2 ln 4



x x

x

x x x x x

cos cos

sin sin



x x

x

x x x x

x x

cos )

cos sin

( sin



x x

x

x x

cos sin

cos (sin

x

x x

1 2

Trang 9

sang kien nghiem



+  4 x dx

0 2 cos

0 2

1  = 2 1 

2

0 4

0

2

1 2

sin 4



+  4 x dx

0 cos 2

4 sin 2 1 2

2

2 cos 1

x

0 cos 2 4 sin 2

2 sin



(ĐH-A-2006) Giải

Trang 10

sang kien nghiem

sin 3 1 (

0 2

3 1

3 1 3

=

3

2 )

x

0 1 sin 2 4 sin 2

2 sin



=

3

2 )

dx x x

x

0 cos 2 4 sin 2

2 sin

2 4 1 4

t dt

Tổng quát:

sin cos

cos sin 2



x b x a

xdx x



dx x x

Trang 11

sang kien nghiem

= sinx(A+B) +cosx( B –A)

3

B

A A

B

B A

x x

cos sin

2

7 cos

sin 2

x x

x x x

x

cos sin

sin 2

7 cos 2

7 cos sin 2 cos sin

x x

x

cos sin

2 sin 2

1 cos 4 sin

cos sin

2 sin 2

1 cos 4

sin

3



dx x

x

x x

2 2 sin 3 cos

10



dx x

x

x x

b)  2   

0

2

cos sin

2 2 sin 5 cos

14



dx x

x

x x

3



dx x

x x

Trang 12

sang kien nghiem

Vậy ta có cách làm như sau:

2 sin

cos ) 1 (sin



dx x

1 2

t x



dx x

) 1 (

dt t



1 1

cos



dx x

x x

cos 2 sin sin

3



dx x

x x

x

cos sin ) 2 (sin 5



dx x

x x

x Với cosx = (sinx+2) ’ Đặt sinx + 2 = t thì dt = cos x dx

2 , 2

5



dx x

x x x

cos sin 5



dx x

x x



t dt t

Trang 13

sang kien nghiem

 2

0 2

0 sin 2 1

2 cos

x x

x

1

) 2 ( 2

1

dt t

1

)

2 1 ( 2

1

dt t

2 1 2 sin

sin 2 1



dx x x

Đây chính là đề B-2003

3.4 Tính tích phân  2 

0

2 1 cos

cos sin 2



dx x

x x

*) Xét hàm số

x

x x

cos

1

cos

1

dt t

t

2 ln 2 1 ln

2 2 2 )

1 2

1

2 1

*) Biến đổi

Trang 14

sang kien nghiem

x x

cos 1

cos 2 sin

1 ln

2

1 2

3

2 1 3

1 2

) 2

1

(

dx e

e e x

x

x x

 1   

0

2 2

2 1

2

dx e

e x e x

x

x x

1 2

) 2 1 (

dx e

e e x

x

x x

( ĐH – A_2010)

3.6) Tính tích phân:  4 

0 sin cos

cos



dx x x

x

x x

2 4

, 1

t x

2 

*) Xét bài toán

Trang 15

sang kien nghiem

Tính tích phân:  4  

0

) cos sin

.

cos 1

(



dx x x



dx x x

x

x x

.



dx x

x x

x x x x

2 

Ta có bài toán: Tính tích phân  4   

0 sin cos

cos ).

1 ( sin



dx x x

x

x x x

x

( Đại học A-2011 )

3.7) Tính tích phân:  3 ln . ln  1 dx

x x x

1 ln

(

e

dx x x

x

2 2 3

e e dx

2 2 ln

1 ln

e e

dx x x

4 4 1 2 ln 4

4 8 2

4 2

2

2 4

ln

1 ln ln

e

dx x

x

x x

x

1 2 ln 4

) ( )).

( ( )

(

x d x

g

x g x g f x

) ( )).

(

x d x

g

x g x g f

k 

+ Đặt t= g(x)

+ Đổi cận và tính tích phân theo t

Biểu thức f(x) có thể có hoặc không có thành phần k.f(x) ở trường hợp này

k =0

Trang 16

sang kien nghiem

Bài toán 4:Tính tích phân:

Giải:

Đặt t = sinx  dt cos  dx

2 , 0

( t t

6

1 6

1 4

Giải:

Đặt t = sinx  dt cos  dx

2 , 0

0

2 2

4 ( 1 t ) dt t

0

4 2

1 7

2 5

- Đặt t = sinx ( ưu tiên mũ chẵn)

- Đổi cận và tính tích phân theo t

Giải:

Đặt t = cosx  dt   sin xdx

2 , 0

Trang 17

sang kien nghiem

0

2

8 ( 1 t ) dt t

1 9

1 )

- Đặt t = cosx ( ưu tiên mũ chẵn)

Giải:

Đặt t = cosx  dt   sin xdx

2 , 0

0

2

5 ( 1 t ) dt t

=

24

1 8

1 6

1 )

- Đặt t = cosx(nếu k>n), t = sinx (k < n) ( ưu tiên mũ lớn hơn)



xdx x

Tiêu đề	Sáng Kiến Kinh Nghiệm Bồi Dưỡng Tư Duy Sáng Tạo Thông Qua Giải Bài Tập Tích Phân Ở Trường Phổ Thông Phần 2
Trường học	Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	sáng kiến kinh nghiệm
Năm xuất bản	2015
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	3,73 MB