bài tập phương trình và hệ phương trình 10 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) Đề xuất: Với a ,b,c >0 14) Đề xuất : (Với a + 2 < b ) 15)
Trang 22
Trang 4GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1) 5 x2 + 14 x − 9 − x2 − x − 20 = 5 x + 1
2) x5 − 15 x3 + 45 x − 27 = 0
3)
25
x
11
2
+
−
4) 4 ( x − 2 )( 4 − x ) +4 x − 2 +4 4 − x + 6 x 3 x = x3 + 30
5)
=
−
−
= +
−
0 x 500 yx
y
0 y 2000 xy
x
2 3
2 3
6) 5 27 x10 − 5 x6 +5 864 = 0
7) x2 + x − 1 + − x2 + x + 1 = x2 − x + 2
8)
= +
−
= +
−
= +
−
3 2
3 2
3 2
x 64 z 48 z
12
z 64 y 48 y
12
y 64 x 48 x
12
9)
+
= +
+
= +
+
= +
2001 5
19
2001 5
19
2001 5
19
y y 1890 x
z
x x 1890 z
y
z z 1890 y
x
10)
+ +
=
+
+ +
=
+
+ +
=
+
x x x 1
z
2
z z z 1
y
2
y y y 1
x
2
2 3
2 3
2 3
11) ( x − 18 )( x − 7 )( x + 35 )( x + 90 ) = 2001 x2
12)( 2001 − x ) (4 + 2003 − x )4 = 2000
2
x 1
x x 2 x
x
1
+
+
=
−
Đề xuất: ( )
2
2
x a
x x c b cx
bx a
+
+ +
=
−
Với a ,b,c >0
14) x − 2 + 4 − x = 2 x2 − 5 x − 1
Đề xuất :
2
b a x 2
a b 2
a b x
a b x b a
x
2 2
+ −
−
−
−
−
−
=
− +
−
(Với a + 2 < b )
15)3 3 x2 − x + 2001 −3 3 x2 − 7 x + 2002 −3 6 x − 2003 =3 2002
Trang 516) 4004 x 2001
2002
2001
x
17) ( )( )
1 c b a b b
c x a x b
a c a a
b x c x b c
a
c
c
b x
a
−
−
−
− +
−
−
−
− +
−
−
−
−
Trong đó a;b;c khác nhau và khác không
x 1978 1
1978
1
19) x ( x2 − 1 ) = 2
20) x + 2 x + + 2 x + 2 3 x = x
21) 1 − x2 +4 x2 + x − 1 +61 − x − 1 = 0
22)
2
3
2 x
−
=
−
23)3 x2 − 2 = 2 − x3
24) 1 + 1 − x2 [ ( 1 + x )3 − ( 1 − x )3] = 2 + 1 − x2
1 y
4 2
x
36
−
−
−
−
=
−
+
−
26) x4 − 10 x3 − 2 ( a − 11 ) x2 + 2 ( 5 a + 6 ) x + 2 a + a2 = 0
27) Tìm m để phương trình :
( x2 − 1 ) ( x + 3 )( x + 5 ) = m
có 4 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn
1 x
1 x
1 x
1
x
1
4 3 2
1
−
= + + +
28)
= +
−
= +
−
= +
−
2 x z 2 z
z
2 z y 2 y
y
2 y x 2 x
x
2 4
5
2 4
5
2 4
5
Tìm nghiệm dương của phương trình
29)18 x2 − 18 x x − 17 x − 8 x − 2 = 0
30) 417 − x8 −3 2 x8 − 1 = 1
31) x2 + 2 − x = 2 x2 2 − x
=
+ +
= + +
8
xyz
z y x 8 z y
33)19 + 10 x4 − 14 x2 = ( 5 x2 − 38 ) x2 − 2
5
x 12 x
210 x
6125
5
x
2
2
=
− +
+
Trang 6
=
− +
−
=
− +
−
=
− +
−
0 8 y 12 y
6
z
0 8 z 12 z
6
x
0 8 x 12 x
6
y
2 3
2 3
2 3
36)( x + 3 x + 2 )( x + 9 x + 18 ) = 168 x
37) Tìm m để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm
+
= +
= +
2 m y
x
256 y
x
8
8
8
38) x = 2 − x 3 − x + 5 − x 3 − x + 5 − x 2 − x
1
x
2
2
+
= +
+
Đề xuất: x x a 1 ( a 1 )
1 x
a
>
+ +
= + +
40)13 x − 1 + 9 x + 1 = 16 x
2
27 1
3
28 x 24 x
27
.
42) 5 x − 1 +3 9 − x = 2 x2 + 3 x − 1
43)
+ +
+ + +
+
= +
+
= +
+
1 y x
z y z y
y x x
z z
y
y
x
1 z y
x
44) x3 − 3 x2 + 2 ( x + 2 )3 − 6 x = 0
45)
−
=
−
−
=
−
−
=
−
yz c y
a
z
c
xy a x
c
y
b
xz c z
b
x
a
Trong đó a;b;c ∈ R*+
46)( x2 − 12 x − 64 )( x2 + 30 x + 125 ) + 8000 = 0
47)( x − 2 ) x − 1 − 2 x + 2 = 0
48)
= + +
+ + +
+
= +
+ +
n 3 8 x
8 x 8
x
n x
x x
n 2
1
n 2
1
Trang 749) Cho hệ phương trình:
1 b
; bn 1 b x
n x
n
1
i
2 i
n
1
=
− +
=
∑
∑
=
=
CMR:Hệ phương trình có nghiệm duy
nhất x1 = x2 = = xn = 1
50) 3 − x = x 3 + x
Tổng quát: bx + c = x px + q với a ; b ; q ; p ∈ R & q2 = − 3 pb
x 1 1 x 2004
Tổng quát: ( ) ( )2
d d x c b
ax = + − − với a;b;c;d;e là các hằng
số cho trước
52) 4 x2 − 4 x − 10 = 8 x2 − 6 x − 10
=
−
= +
3 2
y
x
1 y 3
2
x
3
3
54)
−
= +
−
−
= +
x 17 y 8 y xy 8
x
49 xy
3
x
2 2
2 3
55)16 x4 + 5 = 6 3 4 x3 + x
56)
+
−
= +
+
−
= +
+
−
= +
1 z x 2 1
z
z
1 y z 2 1
y
y
1 x y 2 1
x
x
3 2
3 2
3 2
57)3 3 x + 1 +3 5 − x +3 2 x − 9 −3 4 x − 3 = 0
Tổng quát:
3
3 2 1 3
2 1 3
3 3
3
2 2
3
1
58)
=
+
=
+
2 x
y
2 y
x
3
3
Tổng quát: ( k N )
2 x y
2 y x
3 k
3 k
∈
= +
=
+ + +
59) x2 − x − 1000 1 + 8000 x = 1000
60) x + 5 + x − 1 = 6
61) Tìm nghiệm dương của phương trình:
x
1 x 3 x
1 1 x
1 x
x
Trang 862) x +4 x ( 1 − x )2 +4 ( 1 − x )3 = 1 − x +4 x3 +4 x2( 1 − x )
63)( x3 + 1 )3 = 81 x − 27
64)3 x + 1 −3 x − 1 =6 x2 − 1
65) 2 ( x2 − 3 x + 2 ) = 3 x3 + 8
66)
=
− +
−
=
− +
−
=
− +
−
0 27 z 27 z
9
x
0 27 y 27 y
9
z
0 27 x 27 x
9
y
2 3
2 3
2 3
67) ( 30 x 4 x ) 2004 ( 30060 x 1 1 )
2
+ +
=
−
68) 5 x2 + 14 x + 9 − x2 − x − 20 = 5 x + 1
69)
= +
= +
= +
2004 x
4 z
x
30
2004 z
4 y
z
30
2004 y
4 x
y
30
2
2
2
70) x2 + 15 = 3 3 x − 2 + x2 + 8
71) x3 − 3 3 x2 − 3 x + 3 = 0
72)
=
− +
−
=
− +
−
=
− +
−
0 8 z 12 z
6
x
0 8 y 12 y
6
z
0 8 x 12 x
6
y
2 3
2 3
2 3
73)3 3 x2 − x + 2002 −3 3 x2 − 6 x + 2003 −3 5 x − 2004 =3 2003
74) x3 + 1 = 3 3 3 x − 1
75) x2 − 4 x + 2 = x + 2
Bài tập tương tự:
a)20 x2 + 52 x + 53 = 2 x − 1
b) − 18 x2 + 17 x − 8 = 1 − 5 x
c) 18 x2 − 37 x + 5 = 14 x + 9
28
9 x
+
= +
76)3x7 + 332 x2 + 3128 = 316 x3+1
Trang 977) Cho 0 < a < c < d < b ; a + b = c + d
GPT: x + a2 + x + b2 = x + c2 + x + d2
78) x2 − 4 x + 6 = 2 x2 − 5 x + 3 + − 3 x2 + 9 x − 5
79)
= +
= +
= +
x x z
z
2
z z y
y
2
y y x
x
2
2
2
2
80) x2 − x + 19 + 7 x2 + 8 x + 13 + 13 x2 + 17 x + 7 = 3 3 ( x + 2 )
81) 4 − x2 + 4 x + 1 + x2 + y2 − 2 y − 3 =4 x4 − 16 + 5 − y
82) x2 − 8 x + 816 + x2 + 10 x + 267 = 2003
83)
= + +
+
=
+
=
+
1 xz yz
xy
z
1 z 5 y
1 y 4 x
1
x
3
84)
+
−
= +
+
−
= +
2 2
2 2
x 1 x 21
y
y 1 y 21
x
85) 1 − x2 = 4 x3 − 3 x
86) x2 + x + 1 − x2 − x − 1 = m
Tìm m để phương trình có nghiệm
87) Tìm a để phương trình có nghiệm duy nhất
a x x 2 8 x 4 x
88)
= + +
= + +
= +
+
350 z
y
x
10 z
y
x
0 z y
x
7 7
7
2 2
2
89)
= +
+
−
=
− + +
2121 4
30 y 2001
x
2121 2001
y 4 30
x
90)3 ( 2 x2 + 1 − 1 ) ( = x 1 + 3 x + 8 2 x2 + 1 )
91) 2 ( x2 + 2 ) − 5 x3 + 1 = 0
Trang 10
=
−
= + +
= + +
8
1
xyz
4
3 xz yz
xy
2
3 z y
93)
−
+
=
=
−
−
− +
y 5
6
x 3 5
y
x
5
x 9 y x
x
y x
x
2 2
2 2
94)
6
5 1 x 4 x
1 x 3 x 1 x
2
x
1 x
x
2
2 2
2
= + +
+ + + + +
+
+
606 z
1369 3
y
1 5
x
25
−
−
−
−
−
−
=
−
+
−
+
−
x 3
10 x
2
−
+
−
97)3 x2 − 7 x + 8 +3 x2 − 6 x + 7 −3 2 x2 − 13 x − 12 = 3
98) x3 − 6 3 6 x + 4 − 4 = 0
3
3 1
x
3
x2 − + = − 4 + 2 +
100)
5
2 2
x
x
1
2
3
= +
+
Trang 11HƯỚNG DẪN GIẢI 100 BÀI PT & HPT
1) ĐK: x 5 ≥
Chuyển vế rồi bình phương:
2
2
2)
2
Đặt: x- 1 = y
2
3) ĐK: x 0;x ≠ ≠ − 5
Đặt x+5 = y ≠ 0 ( )2
2 2
y y
4) ĐK: 2 x 4 ≤ ≤
Áp dụng Cauchy: 4 ( ) ( ) ( )
2
− + −
Áp dụng Bunhia: ( 4 4 )2
x 2 − + 4 x − ≤ 2
Nếu x = 0 ⇒ = ⇒ y 0 ( ) 0;0 là no
Trang 12Nếu x 0.Rút x ≠ 2− y2 từ (1) thế vào (2) ta có:
y 0 2000y
≠
−
6) 5 27 x10 − 5 x6 +5 864 = 0
Vì x = 0 không là nghiệm của pt nên chia cả 2 vế cho x6 ta được pt:
5 x
27 32 x
27 4 5 6
5 6
4
27
1 5 x
2
6 6
4 4 4 6
4
27
1 5 x
1 x
1 3
x 3
x 3
x x
2
7) x2 + x − 1 + − x2 + x + 1 = x2 − x + 2
ĐK:
≥ + +
−
≥
− +
0 1 x x
0 1 x x
2 2
Áp dụng Cauchy:
2
2 x x 2
1 1 x x 1 x x
2
x x 2
1 1 x x 1 x
x
2 2
2
2 2
2
+ +
−
= + + +
−
≤ + +
−
+
= +
− +
≤
− +
1 x 1 x x 1
x
x2 + − + − 2 + + ≤ +
Từ PT ⇒ x2 − x + 2 ≤ x + 1 ⇔ ( x − 1 )2 ≤ 0
8)
( ) ( ) ( )
= +
−
= +
−
= +
−
3 x 64 z 48 z
12
2 z 64 y 48 y
12
1 y 64 x 48 x
12
3 2
3 2
3 2
G/s (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình trên thì dễ thấy ( y; z; x); (z; y; x) cũng là nghiệm của hệ do đó có thể giả sử :
x = max{x; y; z}
Từ 12 x2 − 48 x + 64 = 12 ( x2 − 4 x + 4 ) + 16 ≥ 16
2 y 16
y3 ≥ ⇒ ≥
⇒
Tương tự x ≥ 2 ; z ≥ 2
Trừ (1) cho (3): y3 – x3 = 12(x2 – z2) – 48(x-z)
⇔ y3 – x3 = 12(x– z)(x+z-4)
VT≤ 0 ; VT ≥ 0 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z
Trang 13
+
= +
+
= +
+
= +
2001 5
19
2001 5
19
2001 5
19
y y 1890 x
z
x x 1890 z
y
z z 1890 y
x
Ta đi cm hệ trên có nghiệm duy nhất x = y = z
Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ ⇒ − − −( x; y; z) cũng là nghiệm của hệ
⇒ không mất tính tổng quát ta giả sử ít nhất 2 trong 3 số x, y, z không âm
Ví dụ: x 0; y 0≥ ≥ Từ phương trình ( )1 ⇒ ≥z 0
Cộng từng vế phương trình ta có:
(z2001+1890z) (+ x2001+1890x) (+ y2001+1890z) (= z19+z5) (+ x19+x5) (+ y19+y 5)
Ta có: 0 t 1< ≤ ⇒t2001+1890t t≥ 19+t5
t +1890 t≥ +t (đúng)
t 1> ⇒t +1890t t> +t Thật vậy: t2001+1890 1 t> + 2000cô si≥ 2t1000
>t18+t4(đpcm) Vậy x = y = z
Bài 10: + Nếu x < 0 từ( )3 2z 1 0 z 1 y 1 x 1
⇒ + < ⇒ < ⇒ < ⇒ <
Cộng 3 phương trình với nhau:
x 1+ x 1− + +y 1 y 1− + +z 1 z 1− =0(*)
Với x 1; y 1;z 1 ( )*
< − < − < − ⇒ vô nghiệm
x 0; y 0;z 0
⇒ > > >
Gọi (x; y;z là nghiệm của hệ phương trình, không mất tính tổng quát ta giả sử:)
x max x;y;z=
Trừ (1) cho (3) ta được:
2 x z− = y x x− + +y xy x y 1+ + +
VT 0
VP 0
≤
≥
dấu " "= ⇔ = = ⇒x y z
Bài 11: PT⇔(x2+17x 630 x− ) ( 2+83x 630− ) =2001x 2
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình ⇒chia 2 vế phương trình cho x2
Ta có: x 17 630 x 83 630 2001
+ − + − =
Đặt: x 630 t
x
− =
Bài 12: t/d: pt: ( ) (4 )4
x a+ + +x b =c Đặt: y x= +a b+
Trang 14Bài 13: Đk: 0 x 1< ≤
PT 1 x 1 2x 12 (*)
+ + x 1
2
= là nghiệm pt (*)
+ 1 x 1
2 < ≤ : VP 1
VT 1
>
<
+ 0 x 1
2
< < : VT>1
VP<1