tổng hợp toàn bộ dạng tích phân lượng giác

tổng hợp toàn bộ dạng tích phân lượng giác

vO QUOC ANH

THỊ VÀO ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG

TỪ 1977 ĐẾN 2000 TRONG TOÀN QUỐC

LOI NOI DAU

Học sinh thường lúng túng khi làm những bài toán "tích phân ham s

lượng giác" khi thi vào các trường Đại học va Cao dang, phan vi 1

giác" thuộc chương trình lớp 11, và "tích phân” học ở cuối học kỳ II lớp 12

Để giúp đỡ học sinh tu luyện tập, chúng tôi giới thiệu “Tuyển tập 400 bài

toán tích phân hàm số lượng giác”

Phần một : Giới thiệu các công thức và kiến thức về lượng giác, tích phân

Phần hai : 400 đề bài toán (193 bài tự luyện tập, 207 dé thi)

Phan ba : Phần giải các bài toán

Phần đề thi được tuyển chọn gồm những bài toán thi đại học đã ra từ

năm 1977 đến năm 2000 của 60 trường Đại học và Cao đẳng trong toàn

quốc từ Thái Nguyên, thủ đô Hà Nội, Hải Phòng, Đà Nẵng, Quy Nhơn

Thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, Nha Trang, Đà Lạt

Hy vọng cuốn sách sẽ giúp ích nhiều cho các em học sinh trong việc - :

Cuốn sách có thể có những thiếu sót, mong các độc giả góp ý

gc sinh nhung tai ligu quy gid phuc vu cho học

| fe time time time

„P Đội ngũ scan của TVDT gôm 5 người với đầy

CHUONG | - :

NHỮNG ĐIỀU CẦN NHỚ VÀ CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG Gi

1 ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ CUNG

Radian là số đo một cung có độ dài bằng bán kính

2 TÊN GỌI CÁC TRỤC SIN, COSIN, TG VA COTG

>

sin’a = (1 + coso\(1 ~cosa) |

cos’ = (1 + sina)(1 ~ sina)

9 CUNG BU NHAU ava ea) :

Sỉn (t~ œ) =sinœ |

cos (7 — a) =~ cosa

{8t —Œ) =—tgœ CO[B(t — œ) =— cotgoœ

11 CUNG HƠN NHAU 5 (ava pte

cos(a+b) = cosacosb — sinasinb cos2a

cos(a—b) = cosacosb + sinasinb =

sin(at+b) = sinacosb + sinbcosa =l-

sin(a—b) = sinacosb — sinbcosa sin2a = 2sina

tg(at+b) = teat teh tg2a= 2c

tga + tgb = eu)

ce osb

sin(a —b tga — tgb stat )

cosa.cosb

sin(a +b

cotga + cotgb = sunt = )

sina.sinb sin(a —b

cotga — cotgb = Sn rab)

DAO HAM CAC HAM SO LUONG GIAC:

sin’ x f: x — cos(ax + b) f" : x + ~asin(ax + b)

f: x — sin(ax + b)

Chit ¥: [f@dax = f feat = [fqdu = F(b) - F@)

B Cac tinh chat:

iy [tex=o phi [reves =—frenae

72 Tinh tich phan:

77-78 Tinh: 1Í SIA 4-cos* 2x

79-80 Tinh: 4/ pc ax sin” Xx 2I pie _ sin2x

0

93 Tinh tich phan:

ess tion (8 1+cos? kẽ 2Ï a“ +sinˆx

GIGI HAN CUA TICH PHAN

128 Cho l= [xr sin xxdx - Chtfng minh lim |, =0 j ee

129 Cho I= |e _XS"X_4x 1+ cos x Chứng minh :

sin” 2sin2™

kì min fe a 1+cos?* 14cos? <" COR

n n

130 Tinh gigi han: tim 4(sin® + sin2% +, +sin Noon n n

131 Tính giới hạn:

WV [x? sin?xdx < [x sin? J S [x sin*xdx J 2/ 1sinx => i f

135 Với mọi xe[0,z/4] Chứng minh : In(1+tgx)<tgx

Tinh:

Tính tích phân:

184 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường

y = sinx va y = cosx vdi x e [O,z⁄2]

185 Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y =a rcsinx, y = arccosx và y = 0

186 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

Y = arctg x, y=arccotgx va y=0;-

187 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

: O<x<n, O<y<sin*x

188 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

ee SR OY OC ae es

2l y=cosx y=0, x30) xen

190 Tinh thé tich hinh tran xo AY giới hạn bởi các

đường y =cosÊ x + sin® x ,¥Y=0;x= 0,x=z/2 quay

quanh trục Ox

191 Cho D là miền giới hạn bởi các đường

y = Vcos" x +sin* x y=0 X=2 Bex

(Đại hoc BK — Y Dược 1 Of

¥ 196 Vdi mdi sé nguyén tu nhién, xét : |,

Chứng minh: =-(.<l 2n = 2)

Đại học Kinh tế TP.Hồ Chí Minh.1986

197 Chứng minh : arcsinsinx| + arcsincosx = 5 (vxeR)

đoạn [-x,x] nếu: Ïfo9gœ0wx= 0

Hãy chứng tỏ rằng hàm U„(x) = cosmx trực giao với các hàm

U,(x) = coskx (k z m) và V„(x) = sinnx (m e N;n eN;keN)

Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP HCM (1993)

204 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox

hình phẳng S giới hạn bởi các đường :

_ Dai hoc Su pham TP.HCM

221 Cho f(x) la ham’sé lién tuc trên đoạn (0, 4]

Chứng minh rằng: [xf(sinx)dx= Z ƒftsin x)dx 3

Đại học Luật TP HCM z

X222 Tính tích phân: _ ƒ *Š” xt 6 9+CoOs" xX Đại hoc Y dược TP HGM

X 223 Tinh tich phan : [M —sinxdx Đạihọc Kiển trúc Hà Nội

`

®

229 Tính tích phân [sin" xdx trong đó n là số { nhiên cho trước 3 :

Hoc vién Quan hé Quéc té

231 Tính giới hạn noe g lim [x" sin(sx)dx (neN)

Đại học Ngoại thương

261 Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) = sin x tas sin2x) |

Đại học Quốc gia Hả Nội

205 Hprelieiphan: 2 3sinx +cos x

Cao đẳng sư phạm Hà Nội.(2000,A)

Đại học Dân lập Văn Lang TP.HCM

274 Tính tích phân : i i (eee dx 6 1¥Cos* %

Đại hoc Dân lập Văn Lang TP.HCM

2 Tinh tich phan :

6

Bai hoc Quéc gia TP.HCM

œ 278 Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = Sin3xsin4x -

tgx + cot g2x Dai hoc Ngoai thương Hà Nội

279 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

f(x) = (sin*x + cos*x) (sin®x + cos®x)

Hoc vién Quan hé quéc té

Ỹ Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông

x 302 Tim các giá trị của x thoả mãn phương trình:

ƒcost —x?)dt= sinx Viện Đại học Mở Hà Nội

X_303 Tính tích phân : Ƒ sinx cos? xdx

V311-312 1/Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos*x.cos3x

2/ Tim họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos*x.cos2x

Đại học Ngoại thương

313 Cho hàm số f(x) liên tục trên tập số thực R và với mọi x e R

đều có: f(x) + f(-x) = V2~2cos2x

Đại học Sư

* Cao đẳng Hải quan

316 Cho hai tích phân sau:

chứng minh bất đẳng las cos* x)(1+ si" x) _ 12

Đại học Quốc gia TP.HGI

325 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong có p

trình:

y = (2 * cosx)sinx và ba đường thẳng y=0;x= a x= 2

2 Đại học Công đ

331 Tinh tich phan: 1= J Sax [—*—ax+ Jxarctaxde

Đại học Giao thông

Đại học Tài chính Kế toán

335.Tính [SP *XÖax (œ là hằng số) cos? x Đại học Xây dựng

Dai hoc Giao théng Van ti

Tinh tich phan: f= ite

357 Tính tích phân: Ta si)

Đại học Giao thông Vận tải

358 Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = sin#2x 3

Đại học Kinh tế Quốc dân

359 Tính tích phân: I= fe* cos xdx

Đại học DL Kỹ thuật Công nghệ TP.†

362 Chứng minh rằng với hai số tự nhiên m, n khác nhau:

Joemxeosmex = [sine sine = 0

Học viện Ngân hàng (A)

Đại học Quốc gia Hà Nội (A

đủ) ve

369 Tinh tích phân: fxtg?xdx Đạihọc Nông

Học viện Quan hệ Quốc tế

383 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong có

phương trình y = Sin®xcos3x, trục Ox va hai đường thẳng x = 0

Vàx=Z 2

Đại học Bách khoa Hà Nội

384 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Dan li, y=Ixl-x

Đại học Thái Nguyên

387 Tính tích phân: Ícos” x sin? xdx

0

Cao đẳng Sư phạm NT-MG TW1

388 Tính tích phân: —«‘ = Ícos°xcosBxdx - 0 :

1/ Ta có: I=ƒcos° xdx = [cos” x cos xdx

= [ÍI- sin? x}†sinx

= fdsinx — [sin? xdsinx

=~[Ít+2cotg2x + cot g*x}d cot gx

J=cotgx— 2cotg*x— 1, aC

> gx 27018 oe

5 _eete|- “cotgˆx +o

i ete f f-cos? x} cos? ‘3

[tgx(t+ ta*x}itax = fig? di + fratige

Bice t= fee 61+sinx

Dat u=n-x Khi x=

COS2xcos3x = 3 (cos5x + cosx)

ies} J= Í(cos5x + cos x)dx

Ta có: l= Jcos xcos 2x cos Q 3xdx

Biét cosacosb = 2 leos(a+P) + cos(a-b)]

Suy ra: cosxcos2xcos3X = cos2x.cos3Xcosx

= 5 c0s2x (cos4x + cos2x) _ 2 (cos4xoos2x + cos?2x)

= ~ arccos | zo a She ~1) lage

=-2V1-xaresinVx + [x dx + C1 1=-2X1- x aresinvx + 2x + C

sige 4 sinax-+ a [einaxdx + c 4

A527 een henson eG

Từ (1) = I=uv~ ƒvdu= e* sinx~ ƒe" cosdx = ©” sinx =J (2)

J= Je* cos xdx = [cosxde”

Chú ý: Biết Je*dx= Jde* =e*

Suy ra: Íe“mdaroto), guse +C

"— 1Ï(Sinx + osx)+(sinx~ COS x)

6 Sinx +cosx 2¢ siNx + cos x

alg 4 SinX — cos x)

5 Is alas: ke

= 4Í” _ 1Íd(Cos x + sinx)

2 S512 in

I=uv- ÍVdu= sinxIn(1 + cosx) + [_Š!" X 1+cosx

= sinxIn(1 + cosx) + ƒ(1~ cosx)dx +

= | = sinxIn(1 + cosx) + x — sinx + C

| ooh inh: I= [—— cos xdx =

soni Bom] oe

Tra có fea c si 1 nl: dx 2)

cos® x cos? x cos? x cos” x

ai aay

Thế (3) vào (2) ta được: d)ổ

cos xd(cosx) [ d(cosx) ¥

= = (1— cos? x)? cos x(1— cos? x?