MỘT số QUÁ TRÌNH rã VI PHẠM số LEPTON TRONG các mô HÌNH 3 3 1 SIÊU đối XỨNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN VIỆN VẬT LÝ LÊ THỌ HUỆ MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON TRONG CÁC MÔ HÌNH 3-3-1 SIÊU ĐỐI XỨNG Chuyên ngành: vật lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VN

VIỆN VẬT LÝ

LÊ THỌ HUỆ

MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON TRONG CÁC

MÔ HÌNH 3-3-1 SIÊU ĐỐI XỨNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Hà Nội-2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VN

VIỆN VẬT LÝ

LÊ THỌ HUỆ

MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON TRONG CÁC

MÔ HÌNH 3-3-1 SIÊU ĐỐI XỨNG

Chuyên ngành: vật lý lý thuyết và vật lý toán

bộ giáo dục và đào tạo viện hàn lâm khoa học

và công nghệ vnviện vật lý

lê thọ huệ

Một số quá trình rã vi phạm số lepton trong các mô hình 3-3-1 siêu đối xứng

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Tôi xin cảm ơn TTVLLT, nơi tôi trực tiếp làm việc đã có những hỗtrợ và động viên cần thiết trong thời gian tôi làm NCS Tôi xin cảm ơnphòng sau đại học-Viện Vật lý và Viện Vật lý đã giúp đỡ tôi hoàn thànhcác thủ tục hành chính trong học tập nghiên cứu và bảo vệ luận án.Cuối cùng, tôi xin dành sự biết ơn tới gia đình đã động viên ủng hộ

và hỗ trợ vô điều kiện về mọi mặt để tôi có thể yên tâm nghiên cứu vàhoàn thành luận án này

Lời cam đoan

Tôi xin đảm bảo luận án này gồm các kết quả chính mà bản thân tôi đãthực hiện trong thời gian làm nghiên cứu sinh Cụ thể, chương mở đầu

và chương một là phần tổng quan giới thiệu những vấn đề cơ sở có liênquan đến luận án Trong chương hai tôi đã sử dụng kết quả nghiên cứu

mà tôi đã thực hiện cùng với thầy hướng dẫn và hai đồng nghiệp TS

Đỗ Thị Hương, GS TS M.C Rodriguze Chương ba tôi sử dụng các kếtquả đã thực hiện cùng với thầy hướng dẫn và hai đồng nghiệp TS ĐỗThị Hương và Ths Phạm Thùy Giang Chương bốn tôi sử dụng các kếtquả nghiên cứu cùng thầy hướng dẫn và TS Đỗ Thị Hương

Cuối cùng tôi xin khẳng định các kết quả có trong luận án "Một sốquá trình rã vi phạm số lepton trong các mô hình 3-3-1 siêu đối xứng"

là kết quả mới không trùng lặp với các kết quả của các luận án và côngtrình đã có

Mục lục

1 Giới thiệu chung các mô hình 3-3-1 và cơ sở lý thuyết

1.1 Mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải 3

1.2 Mô hình 3-3-1 tối thiểu 6

1.3 Lý thuyết siêu đối xứng 8

1.3.1 Giới thiệu 8

1.3.2 Đại số Poincare và các spinor 10

1.3.3 Siêu không gian và siêu trường 13

1.3.4 Một số qui tắc xây dựng Lagrangian siêu đối xứng 18 1.3.5 Phân loại các đóng góp vào Lagrangian SUSY 22

1.3.6 Khai triển các số hạng F -term và D-term 24

2 Một số mô hình 3-3-1 siêu đối xứng 26 2.1 Mô hình 3-3-1 tiết kiệm siêu đối xứng 26

2.2 Mô hình 3-3-1 tối giản siêu đối xứng 31

2.2.1 Sự sắp xếp hạt trong mô hình 31

2.2.2 Lagrangian 33

2.2.3 Phá vỡ đối xứng tự phát và khối lượng các hạt

trong SUSYRM331 382.2.4 Phổ khối lượng vật lý của các hạt trong SUSYRM331 392.2.5 Số hạng vi phạm số lepton thế hệ trong mô hình 412.3 Kết luận 41

3.1 Biểu thức giải tích cho toán tử hiệu dụng 4 chiều và tỉ lệ

rã nhánh 433.2 Biện luận kết quả theo giải số 533.3 Kết luận 57

4 Một số quá trình rã vi phạm số lepton của τ và Z boson

4.1 Biểu thức giải tích cho toán tử hiệu dụng 4 chiều và tỉ lệ

rã nhánh 594.1.1 Hệ số đỉnh hiệu dụng và toán tử hiệu dụng τµγ 594.1.2 Toán tử hiệu dụng Zτµ và Z0τ µ 604.1.3 Toán tử hiệu dụng τµµµ 624.1.4 Tỉ lệ rã nhánh 624.1.5 Đóng góp từ đỉnh hiệu dụng Hµτ vào τ → µµµ 654.2 Giải số và biện luận kết quả 66

4.2.2 Trường hợp tan γ nhỏ và phổ hạt slepton nhẹ 704.3 Kết luận 79

A Khối lượng hạt và các yếu tố tác trong mô hình SUSYE331 94

A.2 Hệ số đỉnh tương tác trong SUSYE331 96A.3 Hệ số đỉnh cho quá trình rã Higgs→ µτ 97A.4 Hệ số đỉnh cho quá trình rã cLFV cho Z boson và lepton τ 101

C Tính các hệ số tương tác hiệu dụng trong mô hình 3-3-1

C.1 Các đóng góp vào quá trình rã τ → µγ 108C.2 Đóng góp vào Z → µτ 112C.2.1 Các đóng cho AZ

L,R 112C.2.2 Các đóng góp vào CZ

L,R 115C.2.3 Các đóng góp vào DZ

L,R 116C.3 Các đóng góp vào Z0 → µτ 118C.3.1 Đóng góp vào A1Z 0

L,R 118C.3.2 Đóng góp cho A2Z 0

L,R 118C.3.3 Đóng góp vào CZ 0

L,R 120C.3.4 Đóng góp vào DZ 0

L,R 120C.4 Đóng góp vào Bµ L,R

L,R to τ → 3µ 121

Các ký hiệu chung.

Trong luận án này tôi sử dụng các kí hiệu sau:

Mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải (nói chung) ν331

Máy gia tốc năng lượng cao (Large Hadron collider) LHC

Danh sách bảng

1.1 Tích B và L cho các đa tuyến trong mô hình 3-3-1 với

neutrino phân cực phải 5

1.2 Số lepton khác không L của các trường trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải 6

1.3 Tích B và L cho các đa tuyến trong mô hình 3-3-1 tối thiểu 8 3.1 Hệ số tương tác Higgs-fermion-fermion ccủa SUSYE331 so với SM 56

A.1 Các đỉnh tương tác lepton-slepton-gaugino xét đến bậc cây 98 A.2 Các đỉnh tương tác Higgs-Higgsino-gaugino 99

A.3 Đỉnh tương tác Higgsino-lepton-slepton 100

A.4 Đỉnh tương tác Slepton-slepton-Higgs 101

A.5 Hệ số đỉnh chứa photon 101

A.6 Z Các đỉnh chứa boson 104

A.7 Z0 Các boson 105

R|2 biểu thị theo hàm của |µρ|/ ˜mR với bốn đường khácnhau tương ứng với bốn tỉ lệ khác nhau của các tham số

trong mô hình SUSYE331: 1) xanh da trời–m0 = ˜mR =

˜

mL ; 2) xanh lá cây–3m0 = ˜mR = ˜mL ; 3) vàng- m0 =

˜

mR = 3 ˜mL; 4) đỏ–m0 = ˜mR = ˜mL/3 Hai đường ngang

màu đen tương ứng với hai giá trị 10−5và 10−3 của |50∆ρ

R|2.Hình bên phải tương ứng dải 0 ≤ µρ/mSUSY ≤ 10, hình

bên trái tương ứng 0 ≤ µρ/mSUSY ≤ 30 533.3 |∆ρ

L|2 biểu thị theo hàm của |µρ|/ ˜mL với bốn đường khácnhau tương ứng với bốn tỉ lệ khác nhau của các tham số

trong mô hình SUSYE331: 1) xanh da trời–m0 = ˜mR =

˜

mL ; 2) xanh lá cây–3m0 = ˜mR = ˜mL ; 3) vàng– m0 =

˜

mL = 3 ˜mR; 4) đỏ–m0 = ˜mL = ˜mR/3 Đường ngang màu

đen tương ứng với giá trị 10−3 của |50∆ρ

L|2 543.4 Đồ thị biểu diễn |∆ρR| 2

|∆ρL | 2 theo hàm phụ thuộc |µρ|/ ˜mL tươngứng bốn cách chọn khác nhau cho tỉ lệ các tham số trong

SUSYE331: 1) xanh da trời–m0 = ˜mR = ˜mL ; 2) xanh

lá cây–3m0 = ˜mR = ˜mL ; 3) vàng–m0 = ˜mL = 3 ˜mR; 4)

đỏ–m0 = ˜mL = ˜mR/3 Đường ngang màu đen hình bên

trái tương ứng với giá trị |∆ρR | 2

|∆ρL | 2 = 1 Hai đường ngangmàu đen của hình bên phải tương ứng với hai giá trị |∆ρR| 2

|∆ρL| 2

bằng 2 × 10−3 và 0.1 553.5 Đường bao |∆ρR | 2

|∆ρL | 2, ˜mR/ ˜mL vs |µρ|/mSU SY với ˜mR = ˜mν R,

m0 = mλ = ˜mL = ˜mν L = mSU SY Vùng màu đỏ tương ứng

với |∆ρR | 2

|∆ρL | 2 ≥ 0.5 55

3.6 Đồ thị dạng đường bao biểu diễn BR(H → µτ)/BR(H →

τ τ ) theo hai biến ˜mg và |µρ|/mSU SY Các tỉ lệ khác được

cố định: m0 = mλ = ˜mg và ˜mR = ˜mν R = ˜mL = ˜mν L =

mSU SY Hình bên trái cả hai vùng màu xanh và vàng đều

biểu diễn phần không gian tham số thoả mãn BR(H →

µτ )/BR(H → ττ) ≥ O(10−3) 564.1 Đồ thị đường bao Dγ(b)

L với tan γ = 3.0, mL˜3 = m˜L3 =

m˜R3 và mL˜2 = m˜L2 = m˜R2 = 300 GeV, θL = θ˜ L =

θ˜ R = π/4 và µρ = 140 GeV (1TeV) cho hình bên trái

(phải) Các đường nét liền và đường nét đứt tương ứng

mB = 300 GeV và mB = −300 GeV 724.2 Đồ thị đường bao Dγ(b)

L với tan γ = 3.0, mL˜2 = m˜L2 =

m˜R2 và mL˜2 = m˜L2 = m˜R2 = 1 TeV, θL = θ˜L = θ˜R =

π/4 và µρ = 140 GeV (1TeV) cho hình bên trái (phải)

Các đường nét liền và đường nét đứt tương ứng biểu diễn

mB = 300 GeV và mB = −300 GeV 734.3 Đồ thị đường bao Dγ

L với tan γ = 3., mL˜2 = 1 TeV, θL =π/4, θR = θ˜L = θ˜R = 0, ALτ µ = 0 (LFV chỉ tồn tại trong

phần { ˜mL, ˜τL} ) Để minh hoạ ba bộ giá trị số được chọn

cho vùng không gian tham số (mB, mλ, mL˜3, mR˜) [GeV]:

(200, 300, 300, 200) (nét liền) , (100, 400, 100, 200) (nét

gạch nối), (100, 500, 300, 100) (chấm nối) Ví dụ, đường

chính giữa tương ứng với Dγ

L = 0 , hai đường bên giới hạnvùng tham số thoả mãn |Dγ

L| ≤ 2.5 × 10−9 [GeV−2] 744.4 Đường bao biểu diễn Dγ(a)

R (hình trái) và đường bao biểudiễn Dγ(b)

R (hình bên phải) theo hai tham số mR˜3 và mB.Các tham số khác được cố định như sau: tan γ = 3., mR˜2 =

1 TeV, θL = θ˜L = θ˜R = 0, θR = π/4 và µρ = 150 GeV 754.5 Hình biểu diễn mối tương quan giữa AZ

họa, các giá trị số cho (mB, mλ, mL˜2 mL˜R) được chọn

tương ứng là (100, 300, 1000, 100)[GeV] (hình bên trái) và

(100, 500, 1000, 100) [GeV] (hình bên phải) 77

4.6 Các tỉ lệ rã nhánh Z → µτ (hình trái) và τ → 3µ (hình

phải) biểu diễn theo hàm phụ thuộc biến mB Các giá trị

số chọn cho không gian tham số (mλ, µρ, mL˜2, mL˜3, mR˜)

[GeV] được chọn cho 3 trường hợp: (300, 150, 1000, 100,

100)-đường màu đen, (400, 200, 1000, 100, 100)- 100)-đường xanh lá

cây, (500, 150, 1000, 100, 100)- đường xanh da trời 78

4.7 Hình vẽ đường bao cho các tỉ lệ rã nhánh τ− → µ−µ+µ−

(đường chấm chấm), Z → µτ (đường nét đứt) và τ → µγ

(đường nét liền đen) với Aτ = 0 và (mλ, mL˜2, mL˜3, mR˜) =

(400, 150, 1000, 100, 200) 79

4.8 Hình biểu diễn các đường bao trong mặt phẳng µρ− mR˜3

(hình trái) và tỉ lệ rã τ → 3µ (hình phải) trong trường hợp

tan γ = 3 và Aτ = 0 Các đường bao được ký hiệu tương

ứng là BR(τ → µγ) (đường nét liền đen), fD γ (đường

chấm đứt) và BR(τ → 3µ) (đường gạch nối) Các giá trị

số được chọn cho không gian tham số là (mB, mL˜, mR˜2) =

A.1 Qui ước hướng của các đường vô hướng và fermions trong

giản đồ Feynmans so với chiều xung lượng tương ứng V

ký hiệu cho photon A, các boson trung hòa Z hoặc Z0 105

C.1 Các giản đồ cho đóng góp vào Cγ

L,R 108C.2 Các giản đồ cho đóng góp vào Dγ(a)

L [1-3] và Dγ(a)

R [4] 109C.3 Các giản đồ cho đóng góp vào Dγ(b)

L [1-10] và Dγ(b)

R [11,12] 110C.4 Các giản đồ cho đóng góp vào Dγ(c)

L [1-6] và Dγ

R [7,8] 111C.5 Các giản đồ cho đóng góp vào AZ(a)

C.6 Các giản đồ đóng góp vào AZ(b)

L,R (góc trái) và AZ(c)

L,R (gócphải) 114

C.7 Các giản đồ đóng góp vào CZ

L,R (CZ 0

L,R ) Chỉ có giản đồcuối cho đóng góp vào CZ

R (CZ 0

R ) Chú ý giản đồ đầu tiênchỉ cho đóng góp vào CZ

L còn giản đồ thứ 5 chỉ cho đónggóp vào CZ 0

L 115C.8 Các giản đồ cho đóng góp vào DZ(b)

L 116C.9 Các giản đồ cho đóng góp vào DZ(c)

L,R (DZ 0 (c)

L,R ) 117C.10 Các giản đồ đóng góp vào A(2Z 0 )

L (hai dòng đầu) và A(2Z 0 )

R

(dòng thứ 3) Ta ký hiệu H0

k ∈ {χ02, χ002 } và λi,j với cácchỉ số i, j thỏa mãn i, j = {B, 8} và i 6= j 119C.11 Các giản đồ cho đóng góp vào Bµ L,R

BµL,R

R (dòng thứ ba) λi và λj tương ứng ký hiệu các

gaug-ino với λi and λj ∈ {λB, λ3, λ8} 122

Mở đầu

Hiện nay vật lý hạt cơ bản đang nằm trong kỷ nguyên của máy giatốc năng lượng cao Các mô hình vật lý đều chờ đợi các tín hiệu vật lýmới từ các máy gia tốc này để kiểm chứng các dự đoán cũng như giớihạn vùng không gian tham số mô hình Đặc biệt, trong khoảng thời giancuối năm 2012 và đầu 2013, máy gia tốc năng lượng cao LHC (LargeHadron Colidder) tại CERN-Thuỵ Sĩ với hai thiết bị dò độc lập CMS vàATLAS đã đồng thời phát hiện ra một loại hạt vô hướng mang các đặcđiểm tương tự như hạt Higgs (Higgs-like) với khối lượng đo được khoảng125-126 GeV Đây chính là loại hạt cuối cùng được tiên đoán bởi SM màtrước đó thực nghiệm chưa tìm thấy Việc khẳng định hạt mới này cóthực sự là Higgs trong SM hay không sẽ được tiếp tục phân tích trongthời gian tới với lượng dữ liệu khổng lồ để lại từ LHC Đặc biệt hơn làkhi LHC nâng năng lượng va chạm lên 14 TeV, các nhà vật lý đều trôngđợi sự xuất hiện của nhiều tín hiệu vật lý mới Các tín hiệu này khôngnằm trong dự đoán của SM mà nằm trong các mô hình vật lý mới là các

mô hình mở rộng SM Một trong số các tín hiệu được trông chờ nhất

là các quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ của các hạt lepton thôngthường Như ta đã biết cho đến nay, SM vẫn dự đoán chính xác tất cảcác kết quả thực nghiệm đo được ngoại trừ phép đo khối lượng neutrinokhẳng định neutrino có khối lượng khác không cho dù rất nhỏ Điều nàykhẳng định SM phải là lý thuyết hiệu dụng của một mô hình vật lý tổngquát hơn Thí nghiệm phát hiện sự dao động neutrino [1] cũng cho thấy

có sự trộn giữa các lepton trung hoà Vì vậy sự vi phạm số lepton thế hệtrong phần lepon mang điện rất có thể xảy ra Ta đã biết trong SM, sốlepton thế hệ (family, flavor number) bảo toàn tuyệt đối Vì vậy các quátrình rã loại này là một tín hiệu khẳng định vật lý mới Một lớp các môhình mở rộng SM đơn giản nhất là mô hình SM thêm các neutrino phâncực phải Các mô hình loại này cho các tín hiệu cLFV rất nhỏ, khó cóthể quan sát được bởi thực nghiệm hiện nay [3, 45] Nhiều mô hình mở

rộng SM khác lại cho tín hiệu cLFV rất lớn, ví dụ các tỉ lệ rã cLFV củacác lepton τ, µ rất lớn, giá trị cực đại tính được có thể vượt quá các giớihạn hiện nay cho bởi thực nghiệm [2, 18, 40] Lúc này, người ta lại dùngchính các kết quả đo được để giới hạn vùng không gian tham số của môhình Đây là hướng nghiên cứu rất thời sự hiện nay, được dùng để khảosát hầu hết các mô hình vật lý mở rộng SM.

Một lớp mô hình rất phổ biến khác được hầu hết các nhóm vật lý biếtđến và quan tâm là các mô hình siêu đối xứng hoá trực tiếp SM-SUSY.Đặc điểm chung của SUSY là sự xuất hiện các hạt bạn đồng hành siêuđối xứng (SUSY) của các hạt ban đầu trong mô hình không siêu đốixứng do lý thuyết SUSY sắp xếp các hạt có spin sai khác nhau 1/2 vàotrong cùng một đa tuyến gọi là siêu đa tuyến Chính sự xuất hiện củacác hạt này làm cho Lagrangian của mô hình có khả năng tồn tại cácđỉnh vi phạm LFV trong các tương tác hạt mới, ví dụ các slepton Vìthực nghiệm hiện nay chưa phát hiện được các hạt bạn đồng hành SUSYcủa các hạt SM nên người ta cho rằng SUSY phải bị phá vỡ Nếu SUSYkhông bị phá vỡ, các hạt trong cùng một siêu đa tuyến phải có khốilượng bằng nhau và vì vậy phải tồn tại các hạt bạn đồng hành siêu đốixứng có khối lượng bằng khối lượng các hạt thông thường Thực nghiệmhiện nay đã loại trừ các hạt mới có khối lượng nhỏ hơn vài chục GeV

Và vì vậy SUSY phải bị phá vỡ, đồng thời các tham số phá vỡ SUSYphải cho đóng góp lớn vào khối lượng của các hạt bạn đồng hành SUSY

để đảm bảo khối lượng các hạt này lớn hơn giới hạn loại trừ của cácmáy gia tốc hiện nay Khi đó các tham số phá vỡ SUSY chỉ đóng gópvào ma trận khối lượng của các hạt bạn đồng hành SUSY sẽ sinh ra sựsai khác nhau trong hai ma trận khối lượng của các hạt thông thường

và bạn đồng hành SUSY tương ứng Người ta gọi đặc điểm này là sựchéo hóa không đồng thời của các ma trận khối lượng, là một trong cácnguồn gốc sinh ra các đỉnh LFV trong các mô hình SUSY Nếu xét vềmặt toán học, sự chéo hóa không đồng thời này được hiểu là khi có sựxuất hiện của các tham số phá vỡ SUSY, hai ma trận khối lượng nói trênkhông còn thỏa mãn điều kiện luôn chéo hóa đồng thời khi cùng thựchiện một phép chuyển cơ sở Vì vậy thông thường để đảm bảo mô hìnhphù hợp với SM đồng thời tránh sự phân bậc giữa các phần tử trong

ma trận trộn khối lượng lepton, người ta thường giả thiết ma trận khốilượng lepton có dạng chéo, tương ứng với sự bảo toàn tuyệt đối số lepton

thế hệ trong phần lepton của mô hình Do sự chéo hóa không đồng thời,

ma trận khối lượng của các slepton trong cơ sở này không có dạng chéo

và chính các phần tử nằm ngoài đường chéo chính của ma trận này lànguồn sinh các quá trình LFV Nói khác đi, các slepton chính là cáchạt vi phạm số lepton sinh ra các đỉnh LFV Thông qua các đóng gópbậc cao (xét đến một vòng trong luận án này) các hạt mới đóng vai tròhạt truyền sẽ gây ra các kênh rã vi phạm cLFV Với SUSY, các đỉnhtương tác loại này thường được giả thiết nằm trong phần phá vỡ đốixứng mềm (soft-term) là phần chứa các hằng số tương tác độc lập vớicác hạt không siêu đối xứng Giả thiết này đã được tìm hiểu từ rất sớm[4] và hiện nay vẫn được tiếp tục khảo sát [18] Các kênh rã cLFV trongSUSY có thể rất lớn vượt quá các giới hạn thực nghiệm đã được thiếtlập hiện nay [48, 49, 47], nếu phổ các hạt bạn đồng hành siêu đối xứngnằm trong thang năng lượng O(100) GeV Với các giá trị khối lượng hạtsiêu đối tác lớn hơn thang năng lượng kể trên, khả năng phát hiện cáchạt này trong các máy gia tốc sẽ rất khó Trong MSSM, trường hợp giớihạn đơn giản nhất của SUSY, người ta chỉ ra được vùng không giantham số trong thang O(100) GeV thoả mãn các giới hạn thực nghiệmvới điều kiện tan γ-tỉ số giữa hai VEVs tương ứng hai thành phần Higgstrung hoà-phải đủ nhỏ [18] Với giá trị tan γ lớn, vùng tham số của môhình bị dịch về thang khối lượng lớn cỡ O(1) TeV Tuy nhiên, với giá trịtan γ lớn khả năng phát hiện kênh rã LFV H → µτ ở LHC là rất lớn.Rất nhiều công trình gần đây đã tập trung vào nghiên cứu vấn đề này

Ví dụ, các công trình [15, 18] chỉ ra được BR (H → µ+τ−) ∼ 10−4 nếu

mH/MSU SY ∼ 10−1 trong MSSM Trong mô hình siêu đối xứng tối thiểuchứa neutrino phân cực phải [23] dự đoán tỉ lệ rã LFV Higgs có thể đạtgiá trị 10−4 Một số công trình khác cũng khai thác vấn đề này cho các

mô hình khác nhau như [24] cho trường một lớp rộng các mô hình chứaLFV, [25] các mô hình hai Higgs, [24, 26, 27, 28, 29, 30] cho MSSM và

νMSSM , [27, 29] cho ν MSSM, [31] cho mô hình "little Higgs" (LTH) Ngoài các mô hình nói trên, lớp mô hình mở rộng nhóm chuẩn vàcác phiên bản siêu đối xứng cũng được tập trung nghiên cứu trong hai

thành SU(3)L, gọi là mô hình 3-3-1 SU(3)C× SU(3)L × U(1)X được đưa

ra nhằm giải quyết một số câu hỏi cơ bản mà SM không giả thích được[66, 67]:1) số thế hệ hạt là ba; 2) sự lượng tử hoá điện tích [68]; 3) sự

phân bậc trong khối lượng quark, Trong các mô hình này, số trườngvector chuẩn tăng lên nhiều hơn so với trong SM Hơn thế nữa, do cáclepton phân cực phải được xếp trong cùng một đa tuyến (tam tuyến,phản tam tuyến) mở rộng từ nhóm SU(2)L của SM nên mô hình loại nàyngay từ đầu đã chứa các yếu tố vi phạm số lepton thế hệ Các bosonchuẩn mới xuất hiện trong mô hình đều mang số lepton và chúng chính

là các hạt truyền trong các quá trình rã vi phạm số lepton của mô hình.Tuy nhiên trong một số mô hình, ví dụ trong mô hình E331 các quátrình rã này chỉ xảy ra trong phần lepton trung hòa (neutrino) [69] Một

số mô hình với neutrino phân cực phải chứa quá trình ra cLFV cũng

đã được khảo sát [16] Tuy nhiên điểm yếu nhất ở mô hình này là phổHiggs sinh khối lượng cho các hạt trong mô hình khá phức tạp Một số

mô hình có phổ Higgs đơn giản thì khối lượng một số quark hoặc leptonlại bằng không ở gần đúng bậc cây, và chỉ có khối lượng khi người ta xétđến đóng góp bậc cao, hay xét đến các tương tác hiệu dụng không táichuẩn hoá được Hơn thế nữa một số mô hình, ví dụ E331, không có hạtnào đóng vai trò là hạt vật chất tối Để khắc phục các vấn đề này, người

ta tiến hành siêu đối xứng hoá các mô hình 3-3-1 nói trên Mô hình siêuđối xứng xây dựng từ các mô hình 3-3-1 đều có phổ Higgs tăng nhiềuhơn để đảm bảo sự khử dị thường sinh ra từ các higgsino Vì vậy để chéohoá được ma trận khối lượng Higgs, người ta có xu hướng chọn mô hình

có phần Higgs đơn giản nhất Hiện nay có 2 mô hình mới được xây dựngthoả mãn điều kiện này là [8] và [55] Với mô hình thứ nhất, phổ Higgs,sfermion, gaugino và một số hiện tượng luận khác đã được xét chi tiết[11, 12, 34] Công bố sau là một phần kết quả của luận án này, cụ thểtrình bày trong chương 2

Cũng như MSSM, các mô hình siêu đối xứng hóa trực tiếp các môhình 3-3-1 đều chứa rất nhiều nguồn LFV Đặc biệt, với các đóng gópcủa cả phần có từ 3-3-1 và đóng góp từ nhiều hạt mới xuất hiện trong lýthuyết SUSY, các quá trình rã LFV này có thể có tỉ lệ rã nhánh rất lớn.Nếu dựa vào các số liệu thực nghiệm về dao động neutrino[1], người tathấy rằng góc trộn ντ− νµ là lớn nhất và rất gần với giá trị trộn cực đại[7] Vì vậy, trong MSSM, nhiều công trình đã tập trung vào nghiên cứucác kênh rã cLFV có liên quan đến góc trộn lớn này Trong [15, 18] đãgiả thiết góc trộn các slepton trong MSSM là cực đại và xây dựng cácbiểu thức giải tích tính các quá trình rã cLFV Trong luận án này chúng

tôi đã sử dụng kết quả tính từ các công bố này để áp dụng cho trườnghợp SUSYE331 Trong giới hạn mô hình MSSM, một số quá trình rã như

H → µτ có thể phát hiện được bởi thực nghiệm trong tương lai gần.Ngược lại một số quá trình rã cLFV của lepton hiện nay, là đối tượngkhảo sát trong luận án này, có giới hạn trên xác lập từ thực nghiệm nhưsau [47, 48, 49]:

Trong số các quá trình rã LFV, quá trình rã Higgs→ µτ cũng rấtđược quan tâm, nhất là khi hiện nay Higgs đầu tiên đã được tìm thấy

từ LHC Ta có thể dự đoán được các quá trình rã Higgs LFV như đã xétcho MSSM [15] sẽ cho tín hiệu lớn hơn nhiều nếu xét trong SUSY331

Lý do là các đóng góp bậc một vòng sẽ tăng lên rất nhiều do số hạt mớităng lên trong SUSY331 Vì vậy SUSY331 dự đoán tín hiệu cho kênh rã

H → µτ lớn hơn nhiều so với dự đoán từ MSSM Khảo sát chi tiết chokênh rã này trong SUSYE331 được xét chi tiết trong công bố [19], vàđây cũng là các kết quả viết trong trong chương 3 của luận án này Tuy

nhiên rất nhiều hạt mới xuất hiện cũng cho đóng góp vào các bổ đínhbậc bậc cao sinh ra các quá trình rã LFV, làm cho các tỉ lệ rã LFV này

có giá trị có thể lớn hơn nhiều so với MSSM Để phù hợp với các giớihạn trên của thực nghiệm cho các quá trình rã LFV, phổ khối lượng củacác hạt bạn đồng hành SUSY phải rất lớn và nằm ngoài vùng phát hiệncủa các máy gia tốc năng lượng cao hiện nay Vì vậy công bố [65] tậptrung vào việc khảo sát, đánh giá và giới hạn vùng không gian tham sốcủa mô hình SUSYE331 thoả mãn một số điều kiện giới hạn bởi thựcnghiệm về các quá trình rã LFV Các kết quả này được tổng hợp trongchương 4 của luận án Chương này mới chỉ xét một số trường hợp đặcbiệt và chỉ ra một số trường hợp riêng chứng tỏ SUSYE331 vẫn tồn tạivùng không gian tham số chứa các slepton nhẹ mà các máy gia tốc hạthiện nay (LHC, ILC, ) có thể phát hiện được trong tương lai gần Luận

án này đã thiết lập được các biểu thức giải tích cụ thể cho các quá trìnhcLFV trong SUSYE331 Chúng vẫn tiếp tục được sử dụng cho các khảosát mới cho các quá trình rã LFV khác, ví dụ như trong phần quark, Đây là kết quả quan trọng nhất của luận án Với mô hình SUSYRM331,luận án mới chỉ đề cập đến các đỉnh vi phạm số lepton, mà không khảosát cụ thể bất ký quá trình nào Đây là một cơ sở ban đầu cho việc tìmhiểu các hiệu ứng cLFV trong thời gian tới

Tổng quan tình hình nghiên cứu

bé của các hạt bạn đồng hành siêu đối xứng (superpartner) Điều này

dự đoán khả năng các nhà thực nghiệm khó có thể phát hiện được cáchạt này trong giới hạn năng lượng máy gia tốc hiện nay Tương tự nhưvậy, với các mô hình siêu đối xứng hoá các mô hình 3-3-1 chúng ta cần

có các dự đoán và khảo sát vùng tham số của mô hình để so sánh vớicác mô hình đã biết Các dự đoán và so sánh này giúp ta xác định đượcvùng không gian tham số của mô hình theo giới hạn hiện nay của thựcnghiệm Đây là lý do chính để chúng tôi tiến hành nghiên cứu các quátrình vi phạm số lepton trong các mô hình 3-3-1 siêu đối xứng mở rộng

mô hình chuẩn

Mục đích nghiên cứu

• Xây dựng mô hình 3-3-1 tối giản siêu đối xứng SUSYRM331

• Nghiên cứu sự vi phạm số lepton trong mô hình SUSYE331 thôngqua một số kênh rã Higgs, tau và Z boson

Đối tượng nghiên cứu

• Các đỉnh tương tác vi phạm số lepton trong SUSYE331 và SUSYRM331

• Các kênh rã cLFV Higgs → µτ, τ → µγ, τ → 3µ và Z → µτ trongSUSYE331

Nội dung nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu

• Phương pháp lý thuyết trường lượng tử

• Khảo sát số bằng phần mềm mathematica 7.0

Chương 1

Giới thiệu chung các mô hình 3-3-1

và cơ sở lý thuyết siêu đối xứng

Trong chương này, chúng tôi tóm lược các cơ sở chính để thiết lập và xâydựng một mô hình 3-3-1 siêu đối xứng (SUSY331) Chúng tôi sẽ bắt đầu

từ hai mô hình 3-3-1 hai lớp mô hình 331 điển hình ban đầu gồm: Môhình tối thiểu [66] và mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải [67] Các

mô hình kể trên đều là sự mở rộng của mẫu Glashow-Weinberg-Salamtheo hướng mở rộng nhóm chuẩn: từ SU(2)L thành SU(3)L Chúng đãđược dùng để xây dựng các phiên bản siêu đối xứng tương ứng trongmột số công bố gần đây Trong phần cuối của chương chúng tôi giới thiệutóm tắt về lý thuyết siêu đối xứng nói chung dựa vào một số tài liệu viếtrất chi tiết như [44, 58, 59, 60] Phần này được dùng để tìm các đỉnhtương tác cụ thể của SUSYE331 được liệt kê trong phần phụ lục

1.1 Mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải

Trong mô hình này neutrino phân cực phải được đưa vào đáy củatam tuyến SU(3)L mở rộng từ lưỡng tuyến SU(2)L của SM Do vậy cácneutrino phân cực trái và phải được xếp trong cùng một tam tuyến [67]:

fLa = (νLa, eaL, (νLc)aL) ∼ (1, 3, −1/3), eaR ∼ (1, 1, −1), (1.1)trong đó a = 1, 2, 3 là chỉ số thế hệ Đối với quark, hai thế hệ quark đầuđược gán là các phản tam tuyến, còn thế hệ thứ ba là một tam tuyến:

QiL = (diL, − uiL, DiL)T ∼ (3, ¯3, 0), (1.2)

uiR ∼ (3, 1, 2/3), diR ∼ (3, 1, −1/3), DiR ∼ (3, 1, −1/3), i = 1, 2,

Q3L = (u3L, d3L, TL)T ∼ (3, 3, 1/3), (1.3)

u3R ∼ (3, 1, 2/3), d3R ∼ (3, 1, −1/3), TR ∼ (3, 1, 2/3)

Mô hình này xuất hiện các quark mới không có trong SM là DiL, DiR, TL

và TR Vì vậy, chúng được gọi là các quark ngoại lai (exotic quark).Trong mô hình này toán tử điện tích có dạng

Phá vỡ đối xứng tự phát xảy ra theo sơ đồ sau đây

SU(3)L⊗ U(1)X h|χ|i

−→ SU(2)L ⊗ U(1)Y h|ρ|i,h|η|i





Trường X0 là trường chuẩn không mang điện nhưng không Hermitic vàmang số lepton bằng 2 nên có tên gọi là bilepton Từ các tương tác củacác trường boson chuẩn mang điện với các ferrmion ta thấy các quark

ngoại lai U và D cũng mang số lepton bằng 2 Hơn thế nữa, từ số liệuthực nghiệm [81]

Br(µ → e + νe + ˜νµ) < 1.2 % với 90% CL (1.7)người ta thu được giới hạn dưới cho khối lượng bilepton mang điện

MV ≥ 230 GeV [67] Đồng thời Bilepton trung hòa X0 còn cho quátrình tán xạ neutrino đặc trưng cho mô hình νiνi → νjνj, i 6= j [75]

Vì các lepton và phản lepton tương ứng (neutrino) nằm trong cùngmột đa tuyến nên các mô hình 3-3-1 kể trên có xuất hiện các quá trìnhvật lý vi phạm số lepton thông thường L Vì vậy, người ta xây dựngmột toán tử bảo toàn mới, ký hiệu L, thông qua L bằng cách lấy tổhợp tuyến tính L = xλ3 + yλ8 + zX + LI trong đó λ3 and λ8 là các

vi tử SU(3)L Lời giải trong công bố [76] (xem thêm [77]) cho kết quả

B = BI, cũng được liệt kê trong bảng 1.1 Từ bảng này người ta tính

Bảng 1.1: Tích B và L cho các đa tuyến trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải.

được số lepton L cho các trường thành phần và liệt kê các thành phần

có số lepton khác không trong bảng 1.2

Bảng 1.2 cho thấy chỉ các trường Higgs trung hoà có số lepton L = 0mới có thể có VEV khác không Ngược lại, nếu trường Higgs trung hoàcòn lại (có L 6= 0) cũng có VEV khác không thì mô hình sẽ xuất hiệncác nguồn rã vi phạm số lepton Tuy nhiên sự vi phạm số lepton này làđiều tự nhiên xảy ra trong các mô hình 3-3-1 khi sắp các thành phầntrái và phải của lepton vào cùng một tam tuyến Vì vậy sự tồn tại giá

Bảng 1.2: Số lepton khác không L của các trường trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải.

mô hình 3-3-1 ban đầu; giới hạn được các giá trị VEV dựa vào các sốliệu thực nghiệm; giải thích được sự vi phạm số lepton chỉ trong phầnlepton trung hoà, Chính vì tính đơn giản trong phần Higgs của E331

mà phiên bản siêu đối xứng của mô hình này đã được xây dựng trong[8], bởi nhóm nghiên cứu của GS Long và hiện nay các mô hình này vẫnđang được tiếp tục được nghiên cứu chi tiết hơn về hiện tượng luận.Một lớp mô hình 3-3-1 khác được xây dựng bằng cách xếp hai leptonphân cực trái và lepton mang điện phân cực phải đã có trong SM vàocùng một (phản) tam tuyến SU(3)L Các mô hình loại này vì vậy khôngcần thêm các lepton mới (neutrino phân cực phải) Chúng được gọi chung

là mô hình 3-3-1 tối thiểu (Minimal 3-3-1) Chúng tôi tóm lược một sốđặc điểm chung của các mô hình loại này như sau đây

1.2 Mô hình 3-3-1 tối thiểu

Nhóm đối xứng chuẩn SU(3)C ⊗ SU(3)L⊗ U(1)X cho tương ứng 3 vi tử

có ma trận biểu diễn chéo: λ3, λ8 và toán tử đơn vị I Vì vậy toán tửđiện tích phải là tổ hợp tuyến tính của các vi tử này,

Để điện tích của các hạt phù hợp các giá trị đã có trong SM người ta tìmđược α = 1, còn giá trị của β sẽ phụ thuộc vào đặc điểm sắp xếp hạt cụ

thể trong các mô hình 3-3-1 khác nhau: β = √3

2 trong mô hình 3-3-1 tốithiểu, còn β = − 1

2 √

3 trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải.Trong mô hình 3-3-1 tối thiểu (M331), người ta xếp tất cả cácleptons trong cùng một thế hệ đã có ở SM vào cùng một phản tamtuyến SU(3)L [66]

fLa = (eaL, − νLa, (ec)aL) ∼ (1, ¯3, 0), (1.10)trong đó a = 1, 2, 3 là chỉ số thế hệ Hai thế hệ đầu của quark mỗi thế

hệ được xếp vào cùng một tam tuyến, còn thế hệ thứ ba được xếp vàomột phản tam tuyến:

00

Cũng như trong mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải, do tam tuyếnlepton chứa cả lepton lẫn phản lepton, nên sẽ tồn tại sự vi phạm số leptonthế hệ Le, Lµ, Lτ Từ các đỉnh tương tác Yukawa, người ta lập đượcbảng 1.3 liệt kê các giá trị của B và L cho các đa tuyến trong mô hình[77] Công thức (1.8) vẫn đúng trong trường hợp này Ta thấy các trường

Bảng 1.3: Tích B và L cho các đa tuyến trong mô hình 3-3-1 tối thiểu.

Lý thuyết siêu đối xứng là một hướng mở rộng không tầm thường đốixứng không-thời gian trong thuyết tương đối hẹp Vật lý hạt cơ bản gắnliền với việc phân loại hạt thông qua các đối xứng tương ứng với bấtbiến của tác dụng S Nếu xét đến giới hạn SM, chúng ta đã biết có hailoại đối xứng cơ bản sau:

• Đối xứng không-thời gian (còn gọi là đối xứng ngoài) ví dụ cácphép biến đổi Poincare, biến đối Lorent tác dụng trực tiếp lên toạ

độ không-thời gian của hệ vật lý Chính đối xứng này phân loại cáchạt theo khối lượng và spin

• Đối xứng trong: Là các đối xứng biến đổi qua lại các thành phầntrường xếp trong cùng một đa tuyến:

Φa(x) → MabΦb(x),trong đó các chỉ số a, b là các chỉ số thành phần của trường, Ma

b làbiểu diễn của toán tử đối xứng Đối xứng trong phân loại hạt theotương tác, theo các số lượng tử như điện tích, màu,

Nhóm đối xứng trong SM là tích trực tiếp của nhóm đối xứng ngoài(đối xứng Lorent) và nhóm đối xứng trong (nhóm chuẩn SU(3)C×

SU (2)L × U(1)Y) vì tất cả các vi tử của nhóm đối xứng ngoài đềugiao hoán với mọi vi tử của nhóm đối xứng trong Người ta gọi đây

là cách mở rộng tầm thường nhóm đối xứng ngoài

Lý thuyết siêu đối xứng tương ứng với sự mở rộng không tầm thườngnhóm đối xứng ngoài bằng cách xây dựng nhóm đối xứng mới baogồm các vi tử Lorentz và các vi tử mới không giao hoán với ít nhấtmột các vi tử Lorentz Người ta chỉ ra được các vi tử này là các vi

tử phản giao hoán có các tính chất sau:

1 Không giao hoán với phép quay

Như vậy vi tử này có phép quay Lorentz không sơ đẳng và cóspin khác không Nó sẽ liên hệ các hạt có spin khác nhau Cụthể hơn Qi biến đổi fermion thành boson và ngược lại

Q|fermioni = |bosoni,

Do vậy lý thuyết bất biến siêu đối xứng phải có bậc tự do boson

và fermion bằng nhau Các fermion và boson biến đổi qua lạilẫn nhau dưới tác dụng của Q được xếp vào cùng một đa tuyếngọi là một siêu đa tuyến Siêu đối xứng thống nhất hai thànhphần có đặc điểm thống kê spin khác nhau

2 Bất biến với phép biến đổi tịnh tiến không thời gian

3 Phản giao hoán tử {Q, Q+} là toán tử của năng lượng E vàxung lượng P

Nếu ta lấy tổng theo tất cả các tổ hợp khả dĩ, thì số hạng tỷ lệvới xung lượng triệt tiêu và chỉ còn lại số hạng tỷ lệ với nănglượng

X

Do các tính chất trên nên toán tử Q có tính chất của spinor Trongsiêu đối xứng người ta có thể làm việc với spinor Majorana hoặcWeyl Tuy nhiên làm việc với spinor Weyl sẽ gọn hơn Trong kýhiệu hai thành phần, spinor Majorana bốn chiều có dạng

{Qα, ¯Qβ˙} = 2(σµ)α ˙βPµ, (1.23)trong đó σµ = (1, σi), ¯σµ = (1, −σi) Đại số trên chứa cả hai loại giaohoán tử và phản giao hoán tử nên được gọi là đại số Lie phân bậc(graded Lie algebra) Chú ý rằng Qi có thể mang chỉ số i = 1, 2 Ncủa nhóm đối xứng trong Khi đó người ta gọi là N siêu đối xứng.Trong phần này chúng tôi chỉ quan tâm đến trường hợp N = 1 Từgiao hoán tử (1.22), ta thấy đối xứng ngoài (đại số Poincare) và đốixứng trong Q, ¯Q kết hợp một cách không tầm thường Phần tiếptheo chúng tôi liệt kê các yếu tố cơ bản nhất cần thiết để xây dựngLagrangian tổng quát nhất

Đại số Poincare tương ứng với đối xứng không-thời gian trong lýthuyết tương đối hẹp tác dụng lên các tọa độ không-thời gian xµ

Do vậy người ta chỉ xét đến nhóm Lorentz này Nhóm Poincaré cócác vi tử ký hiệu Mµν và Pσ thỏa mãn đại số

[Pµ, Pν] = 0,[Mµν, Pσ] = i (Pµηνσ − Pνηµσ) , (1.25)Các vi tử Mµν của nhóm Lorentz có thể mô tả các vi tử quay Ji vàcác boost Lorentz theo các liên hệ:

Ji = ijkMjk; Ki = M0i, i, j, k = 1, 2, 3, (1.26)

Vì vậy các phép biến đổi Lorentz liên hệ với các phép quay quanh

ba trục không gian và các boost Lorentz dọc theo chúng Cụ thểbiến đổi Lorentz của hạt spin J cho bởi

|Ji → ei(Ja θ a +K b ω b )

Các vi tử nhóm Lorentz có biểu diễn theo hai lớp vi tử (không cótính hermitian hoặc phản hermitian) trong đó mỗi lớp vi tử độc lậpthỏa mãn đại số SU(2) Cụ thể người ta đặt

Tác dụng của phép biến đổi chẵn lẻ (x0, ~x) → (x0, −~x) cho kết quả

Ja → Ja, Ka → −Ka, dẫn đến La ↔ Na Các kết quả trên cũngcho thấy sự tương ứng SO(3, 1)↑ ' SU(2) ⊕ SU(2), đồng thời spin

~

J = ~j1 + ~j2 Như vậy biểu diễn của nhóm Lorentz có thể đặc trưngbởi hai số bán nguyên (j1, j2) đặc trưng cho các biểu biễn của haiđại số SU(2) ở trên Biểu diễn (j, j) tương ứng hạt có spin nguyên2j Hai biểu diễn spinor đơn giản nhất là (0,12) và (12, 0) tương ứngvới các trạng thái hạt hai thành phần, ψL- weyl trái và ψR-weylphải Hai trạng thái này vì vậy biến đổi khác nhau dưới phép biếnđổi Lorentz Cụ thể, biểu diễn (1

2, 0) tương ứng với La = 12σa và

Na = 0 (hay Ja = 12σa, Ka = −2iσa) cho biến đổi Lorentz của ψL:

ψL → e(iσa2 θ a +σb2 ω b)ψL.Trong khi đó biểu diễn (0,1

˙α ≡ (χα)†

Để phân biệt các spinor Weyl trái và phải, người ta qui ước các chỉ

số không chấm trên (α, β, ) chỉ được ký hiệu cho weyl trái còncác chỉ số có chấm trên ( ˙α, ˙β, ) chỉ được dùng cho weyl phải.Tổng trực tiếp của hai biểu diễn weyl trái và phải nói trên chính làbiểu diễn Dirac quen thuộc

Phần này chúng tôi chỉ tập trung vào biểu diễn Lagrangian theocác trường spinor hai thành phần.

Trong lý thuyết SUSY, ta phải xây dựng siêu trường cΦ(X) 1 thỏamãn các điều kiện:

– Là hàm của các tọa độ X trong siêu không gian (superspace).– Biến đổi theo nhóm siêu Poincaré

Người ta xây dựng siêu không gian bằng cách thêm vào không gianminkowsky thông thường các tọa độ Grassmann phản giao hoán.Các biến Grassman có liên quan tới các tọa độ mở rộng xuất hiệntrong siêu không gian được định nghĩa như sau Trước tiên người taxây dựng nhóm siêu Poincaré bằng cách mở rộng không tầm thườngnhóm Poincare Cụ thể bộ hai vi tử fermion Qα, Q†˙α được thêm vàonhóm Poincaré, với vai trò tương tự như các vi tử Pµ trong cáctọa độ thông thường Tương ứng trong siêu không gian có thêmcác tọa độ Grassmann θα, ¯θ˙α Hệ tọa độ siêu không gian được kýhiệu là X = (xµ, θα, ¯θ˙α) Các hàm biểu diễn siêu trường mới đềuphụ thuộc tất cả các biến trên Φ ≡c Φ(X) =c cΦ(xµ, θα, ¯θ˙α) Các siêutrường được định nghĩa theo khai triển cụ thể các biến Grassman.Một siêu trường vô hướng tổng quát S(xb µ, θ, ¯θ) được khai triển cácbiến Grassmann θα, ¯θ˙α như sau:

ˆS(xµ, θ, ¯θ) = ϕ(x) + θψ(x) + ¯θχ†(x) + (θθ)M (x)

+ (¯θ ¯θ)N (x) + (θσµθ)V¯ µ(x) + (θθ)(¯θ¯λ(x))+ (¯θ ¯θ)(θρ(x)) + (θθ)(¯θ ¯θ)D(x) (1.30)Như đã nhận xét ở trên, người ta xét S(xb µ, θα, ¯θ˙α) liên quan tới haiphép biến đổi:

– Biến đổi theo qui tắc biến đổi toán tử trường đối với nhóm siêuPoincaré

– Biến đổi theo qui tắc biến đổi của vector Hilbert trong khônggian hàm,

b

S(xµ, θα, ¯θ˙α) 7→ ei(Q+¯ ¯Q)S =b S(x−ic(σb µθ)+ic∗(θσµ¯), θ+, ¯θ+¯),trong đó  là tham số, Q là biểu diễn của Qα, c là hằng số phứcliên hệ với phép tịnh tiến

vế hai phép biến đổi siêu trường nói trên, tính đến bậc nhất của ,

ta được liên hệ giao hoá tử của Sb với Qα:

ihS, Q + ¯ ¯b Qi = i(Q + ¯ ¯Q)S = δb S.b (1.31)Biết được biểu thức cụ thể của Qα, ¯Q˙α và Pµ, người ta thu đượccác biến phân tương ứng của từng số hạng khai triển có trong S.b

Trong đó người ta đặc biệt chú ý tới δD là một vi phân toàn phần

δD = i

2∂µ



σµλ†− ρσµ¯

Số hạng này sẽ cho đóng góp vào Lagrrangian siêu đối xứng

Siêu trường tổng quát có nhiều đặc điểm cơ bản đã có trong nhiềutài liệu chuẩn hiện nay

Siêu trường vô hướng tổng quát Sb không phải là biểu diễn tối giảncủa siêu đối xứng nên người ta tìm các biểu diễn tối giản bằng cáchgiảm đi số thành phần độc lập của siêu trường tổng quát Cụ thểngười ta đặt thêm các điều kiện ràng buộc vào siêu trường tổngquát như sau:

1 Siêu trường chiral cΦ thoả mãn : ¯D˙α cΦ = 0

2 Siêu trường phản chiral Φ thoả mãn điều kiện Dc¯ αΦ = 0.ˆ¯

3 Siêu trường vector (siêu trường thực) Vc thoả mãn : Vc† = Vc

4 Siêu trường tuyến tính Lb thoả mãn điều kiện DDL = 0 vàb b

L† = L.b

Thông thường ta chỉ cần xét đến siêu trường chiral (phản chiral)

và siêu trường vector vì hai loại siêu trường này chứa đủ các loạitrường vật lý có trong SM

Siêu trường chiralSiêu trường chiral cΦ thoả mãn điều kiện D˙α cΦ = 0 Đây còn gọi làsiêu trường chiral phân cực trái (left-handed), là siêu trường chứacác spinor phân cực trái, với biểu thức có dạng:

c

Φ cũng thoả mãn điều kiện chiral

– Nếu cΦ là siêu trường chiral thì Φ = cΦ† là siêu trường chiral (antichiral)

phản-– cΦ†cΦ và (cΦ†+ cΦ) là các siêu trường thực nhưng không phải làchiral hay phản chiral

Siêu trường phản chiral

Làm tương tự trường hợp siêu trường chiral ta được khai triển cụthể của siêu trường antichiral như sau:

Siêu trường vector (vector superfield) tổng quát nhất V (x, θ, ¯c θ) =

c

V†(x, θ, ¯θ) Siêu trường vector có 8 bậc boson độc lập tương ứng với

8 bậc fermion độc lập Người ta chứng minh được siêu trường này

có thể viết ở dạng gọn hơn bằng cách loại bỏ các thành phần không

có ý nghĩa vật lý Siêu trường vector viết trong dạng này được gọi

là siêu trường vector viết theo chuẩn Wess Zumino, được mô tả bởibiểu thức

b

VW Z(x, θ, ¯ θ) = (θσµθ)V¯ µ(x) + (θθ)[¯ θ¯ λ(x)] + (¯ θ ¯ θ)[θλ(x)] + 1

Thông thường ta chỉ xét trường vector trong chuẩn này

Một số đặc điểm của siêu trường vector:

1 Gồm các thành phần vật lý: Vµ tương ứng với bậc tự do boson(ví dụ :hạt vật lý (γ, W±, Z, gluon); λ và ¯λ tương ứng các bậc

tự do fermion (các gaugino) D là trường khuyết thiếu, khôngphải trường vật lý được định nghĩa sau

2 Các luỹ thừa của Vc W Z xác định như sau:

Cường độ siêu trường của trường chuẩn giao hoán

Cường độ siêu trường chuẩn được định nghĩa trên cơ sở mở rộngđịnh nghĩa cường độ trường chuẩn thông thường Cụ thể, khi chưasiêu đối xứng hoá, cường độ trường chuẩn được định nghĩa theo:

Khai triển theo các trường thành phần (của siêu trường vector tươngứng) theo hệ biến (y, θ, ¯θ), trong đó yµ = xµ+ iθσµθ, ta được:¯

trong đó ta ký hiệu

σµν ≡ i

4(σ

µσ¯ν − σνσ¯µ)αβ.Cường độ siêu trường chuẩn không giao hoán

Đối với nhóm chuẩn không giao hoán, số bậc tự do của nhóm tươngứng với số vi tử Ta của nhóm Để khai thác kết quả có được từnhóm chuẩn giao hoán, người ta dùng định nghĩa:

b

Λ =ΛbaTa, V =c VcaTa, hTa, Tbi = ifabcTc, (1.38)trong đó qui ước tổng được lấy theo chỉ số lặp nếu không chú thích

gì thêm

Tương tự như nhóm chuẩn giao hoán ta cần (cΦ†e2q bVcΦ) bất biếndưới phép biến đổi chuẩn mở rộng cΦ 7→ eiq bΛcΦ, nhưng do đặc tínhkhông giao hoán của Λ vàb Vc trong trường hợp này làm cho Vc khôngbiến đổi như trong trường hợp nhóm chuẩn giao hoán Dựa vào địnhnghĩa cường độ trường Fµν, trong trường hợp của lý thuyết khôngsiêu đối xứng Yang Mills, biến đổi thành UFµνU−1 dưới các phépbiến đổi unitary, người ta định nghĩa được đại lượng

Wα ≡ −8q1 ( ¯D ¯D)(e−2q bVDαe2q bV) (1.39)thoả mãn điều kiện hiệp biến chuẩn (q tương tự như g trong SU(2)L).Lúc này trong chuẩn Wess Zumino, cường độ trường siêu đối xứngkhai triển được theo các trường thành phần như sau:

h

Va(y, θ, ¯ θ) + ifabcVb(y, θ, ¯ θ)Vc(y, θ, ¯ θ) i

với

Fµνa ≡ ∂µVνa − ∂νVµa + qfabcVµbVνc,

Dµλ¯a

≡ ∂µλ¯a+ qfabcVµb¯λc (1.41)

Như vậy chúng tôi đã xây dựng các siêu trường cần thiết cho việcxây dựng Lagrangian bất biến siêu đối xứng Phần tiếp theo chúngtôi tóm tắt một số qui tắc chung để xây dựng một Lagrangian tổngquát thỏa mãn điều kiện bất biến siêu đối xứng, bất biến chuẩn vàtái chuẩn hóa được.

Ta xét lần lượt các trường hợp: siêu trường chiral, siêu trường vector

và cường độ siêu trường

Lagrangian cho siêu trường chiral

Để tìm L(Φ) sao cho δL là một vi phân toàn phần dưới tác dụngcủa các phép biến đổi SUSY, ta lợi dụng các tính chất đã biết sau:– Đối với một siêu trường vô hướng tổng quát S = +(θθ)(¯b θ ¯θ)D(x),

số hạng D biến đổi một lượng bằng vi phân toàn phần:

δD = i

2∂



σµλ − ρσ¯ µ¯

– Đối với một siêu trường chiral cΦ = + (θθ)F (x), số hạng

F-term cũng biến đổi một lượng bằng vi phân toàn phần:

Đối với lý thuyết tái chuẩn hoá được, người ta cần tìm Lagrangianviết theo các thành phần trường có số chiều bằng 4 Như chúng tabiết thứ nguyên [ϕ] = 1 và cần có [L] = 4 Xét đối với siêu trường,

so sánh thứ nguyên với các trường thành phần, đồng thời đối chiếuvới thứ nguyên của các trường thông thường, ta được

[cΦ] = [ϕ] = 1, [ψ] = 3

2.Trong khi đó khai triển siêu trường chiral Φ = ϕ+√2θψ+(θθ)F + cho kết quả:

[θ] = −1

2, [F ] = 2.

Từ đây, người ta thấy F không phải là loại trường vô hướng đãbiết Nó chính là hàm của các thành phần trường vô hướng khi siêutrường thỏa mãn điều kiện "on-shell" Điều kiện [L] = 4 cho tươngứng các điều kiện :

[KD] ≤ 4 trong K = + (θθ)(¯θ¯θ)KD,[WF] ≤ 4 trong W = + (θθ)WF

Trong trường hợp tổng quát người ta xác định Lagrangian theo cácthành trường thành phần bằng cách khai triển Taylor siêu trườngquanh giá trị cΦ ∼ ϕ, ví dụ (lưu ý ∂W∂ϕ = ∂W∂ bΦ

bΦ=ϕ):

∂2W

∂ϕ2 (1.44)Phần Lagrangian phụ thuộc vào trường F có dạng đơn giản sau:

Người ta xác định F bằng cách xét phương trình Euler-Lagrangian

ở điều kiện "on-shell":

∂W

∂ϕ

2

≡ −V(F )(ϕ)

Như vậy ta thiết lập được thế vô hướng tương ứng với F -term Thếnày chỉ phụ thuộc vào các trường vô hướng là thành phần của siêutrường chiral Ta có hai chú ý sau

Siêu thế tổng quát Trong trường hợp lý thuyết có nhiều siêutrường chiral, siêu thế viết ở dạng tổng quát nhất như sau [60]:

13!yijk cΦicΦjcΦk, (1.47)trong đó

Siêu thế W (Φi) ở trên được khai triển Taylor theo các giá trị cΦi = ϕi

theo công thức sau (chú ý ∂W

∂ϕ i = ∂W∂ bΦ

i

(cΦi − ϕi)(Φcj − ϕj)

| {z } +(θψ i )(θψ j )+

∂2W

∂ϕi∂ϕj. (1.49)Chúng ta có thể thấy phần Lagrangian phụ thuộc vào F -term dothế này đóng góp, khi chưa xét đến phương trình trường, chỉ là các

Siêu tổng quát Trong trường hợp lý thuyết có nhiều siêutrường chiral, siêu vi? ??t dạng tổng quát sau [60]:

13 ! yijk... class="page_container" data-page="40">

Người ta xác định F cách xét phương trình Euler-Lagrangian

ở điều kiện & #34 ;on-shell& #34 ;:

∂W

∂ϕ

2... cΦicΦjcΦk, (1. 47 )trong

Siêu W (Φi) khai triển Taylor theo giá trị cΦi