Một số nghiên cứu về hệ phương trình g navier stokes hai chiều

khảo [58, 59] và các bài báo tổng quan gần đây [10, 61], những vấn đề cơ bảnđặt ra khi nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chấtlỏng là:• Sự tồn tại, tính duy nhất

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Cung Thế Anh

HÀ NỘI - 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả viếtchung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khiđưa vào luận án Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực vàchưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác

NCS Đào Trọng Quyết

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện tại Bộ môn Toán - Khoa Công nghệ Thôngtin - Học viện Kỹ thuật Quân sự, dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình,chu đáo của TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết

ơn sâu sắc đến Thầy, người đã dẫn dắt tác giả vào một hướng nghiên cứu tuykhó khăn, vất vả nhưng thực sự thú vị và có ý nghĩa

Tác giả vô cùng biết ơn GS TSKH Phạm Thế Long, PGS.TS Đào ThanhTĩnh, PGS.TS Nguyễn Xuân Viên, PGS.TS Tô Văn Ban, TS Trần Đình Kế,

TS Trần Quang Vinh, TS Nguyễn Công Minh đã cổ vũ động viên và truyềncho tác giả nhiều kinh nghiệm quý báu trong nghiên cứu khoa học

Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám đốc, Phòng Sau Đại học,Ban Chủ nhiệm Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự; đặcbiệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Họcviện Kỹ thuật Quân sự và Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giảtrong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình của tác giả, những người đãdành cho tác giả tình yêu thương trọn vẹn, từng ngày chia sẻ, động viên tácgiả vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận án Tác giả thành kính dângtặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành, những người từng ngàyđón đợi và hy vọng ở từng bước trưởng thành của tác giả

Mục lục

Trang phụ bìa 2

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Một số kí hiệu dùng trong luận án 6

MỞ ĐẦU 7

1 LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 7

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 11

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 12

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 12

5 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN 13

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 14

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15

1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN 15

1.1.1 Các không gian hàm 15

1.1.2 Các toán tử 16

1.1.3 Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến 17

1.2 TẬP HÚT TOÀN CỤC VÀ TẬP HÚT LÙI 18

1.2.1 Tập hút toàn cục 18

1.2.2 Tập hút lùi 21

1.3 MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG 25

1.3.1 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 25

1.3.2 Một số bất đẳng thức thường dùng 26

1.3.3 Một số bổ đề và định lí quan trọng 27

Chương 2 NGHIỆM YẾU CỦA HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU 29

2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 29

2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 30

2.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 33

2.4 ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI 40

2.5 MỘT SỐ KẾT QUẢ TRONG TRƯỜNG HỢP Ô-TÔ-NÔM 48

2.5.1 Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục 48

2.5.2 Sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng 48 Chương 3 NGHIỆM MẠNH CỦA HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU 50 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 50

3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM MẠNH 51

3.3 DÁNG DIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM MẠNH 58

3.3.1 Sự tồn tại tập hút toàn cục 58

3.3.2 Sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng 63 3.4 XẤP XỈ NGHIỆM MẠNH 67

3.4.1 Xấp xỉ nghiệm mạnh trong khoảng thời gian hữu hạn 67 3.4.2 Xấp xỉ dáng điệu tiệm cận của nghiệm mạnh 74

Chương 4 HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU VỚI TRỄ VÔ HẠN 79

4.1 ĐẶT BÀI TOÁN 79

4.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 81

4.3 SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG 95

KẾT LUẬN 101

1 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 101

2 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 102

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONGLUẬN ÁN 103

TÀI LIỆU THAM KHẢO 104

MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

H g , V g các không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes

(xin xem chi tiết ở tr 15-16)

V ′

g không gian đối ngẫu của không gian V g

(·, ·) g , | · | tích vô hướng và chuẩn trong không gian H g

((·, ·)) g , ∥ · ∥ tích vô hướng và chuẩn trong không gian V g

∥ · ∥ ∗ chuẩn trong không gian V g ′

⟨·, ·⟩ đối ngẫu giữa V g và V ′

g

| · | p chuẩn trong không gian L p(Ω), với 1 ≤ p ≤ ∞

Id ánh xạ đồng nhất

A, B, C các toán tử dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes (xin

xem chi tiết ở tr 16)

D(A) miền xác định của toán tử A

MỞ ĐẦU

1 LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi

mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, ,dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứunhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, côngnghiệp dầu mỏ, vật lí plasma Một trong những lớp hệ phương trình cơ bảnquan trọng trong cơ học chất lỏng, miêu tả dòng chảy của chất lỏng lí tưởng,nhớt, không nén là hệ Navier-Stokes Hệ phương trình Navier-Stokes được xâydựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng:

và tính duy nhất của nghiệm yếu trong trường hợp ba chiều vẫn là thách thứclớn đối với các nhà toán học cũng như vật lý Tuy nhiên, vì nhu cầu của Khoahọc và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng

và các phương trình, hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngàycàng trở nên thời sự và cấp thiết Như được đề cập đến trong các cuốn chuyên

khảo [58, 59] và các bài báo tổng quan gần đây [10, 61], những vấn đề cơ bảnđặt ra khi nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chấtlỏng là:

• Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui của nghiệm: Nghiệm ở đây

có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh Tính chính qui ở đây có thể làtính chính qui theo biến thời gian (tính giải tích, tính Gevrey) hoặc tínhchính qui theo biến không gian (tính chính qui Hilbert, tính chính quiH¨older, mô tả tập điểm kì dị)

• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi

thời gian t ra vô cùng Trong trường hợp ngoại lực f “lớn”, chúng ta

nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút, đó là một tập compact,bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu

tiệm cận nghiệm; còn khi ngoại lực f “nhỏ” và không phụ thuộc thời

gian, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng,tức là nghiệm của bài toán dừng tương ứng, và chứng minh nghiệm của

hệ đang xét dần đến nghiệm dừng này khi thời gian t ra vô cùng Việc

nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép dự đoán

xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điềuchỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn

• Xấp xỉ nghiệm: Vì các phương trình trong cơ học chất lỏng đóng một

vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học và kĩ thuật nên ta cần

cả những mô tả định tính và định lượng của nghiệm, nói riêng là việctìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (vì nói chung ta không thể tìmđược nghiệm chính xác của phương trình, mặc dù nó tồn tại) Việc xấp

xỉ nghiệm chính xác của phương trình trong khoảng thời gian hữu hạnhoặc xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm là những vấn đề hết sức quantrọng khi áp dụng vào các mô hình thực tế Về mặt toán học, chúng taphải xây dựng các lược đồ xấp xỉ nghiệm, chứng minh lược đồ nhận được

là ổn định và hội tụ về nghiệm chính xác của phương trình Về vấn đềnày đối với hệ Navier-Stokes, xin xem các cuốn chuyên khảo [26, 58, 59]

và những bài báo gần đây [20, 28, 30, 31, 32]

• Bài toán điều khiển được và bài toán điều khiển tối ưu Tìm điều khiển

thích hợp (trên miền con hoặc trên biên) sao cho có thể chuyển quỹ đạocủa hệ từ vị trí này sang vị trí khác mà ta mong muốn, hoặc là tìm điềukhiển thích hợp để nghiệm tương ứng làm cực đại hoặc cực tiểu mộtphiếm hàm cho trước Về hướng nghiên cứu thời sự và khó này, xin xemcác cuốn chuyên khảo [19, 23]

Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, trong những năm gần đây nhiềulớp phương trình và hệ phương trình khác trong cơ học chất lỏng cũng thuhút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học bởi ý nghĩa và tầmquan trọng của chúng, cũng như những khó khăn thách thức về mặt toán họcđặt ra khi nghiên cứu Những phương trình này bao gồm một số mở rộng

hoặc biến dạng của hệ Navier-Stokes: α-mô hình [29], hệ Navier-Stokes-Voigt

[7, 8, 25, 36, 37], hệ Brinkman-Forchheimer [7, 38], hệ mô tả chuyển động củachất lỏng không Newton [21], hệ chất lưu loại hai [49, 50], ; các hệ phươngtrình cặp trong cơ học chất lỏng: hệ Bénard [6, 12], hệ từ thủy động học[57, 60], ; và các mô hình tiệm cận trong cơ học chất lỏng [1, 3, 4, 11, 44].Một trong những lớp hệ phương trình trong cơ học chất lỏng được nghiên

cứu nhiều trong những năm gần đây là lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes, được đưa ra lần đầu tiên bởi J Roh năm 2001 Hệ phương trình g-Navier-Stokes

1 Hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều xuất hiện một cách tự nhiên

khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều trong miền mỏng

Ωg = Ω× (0, g), ở đó Ω là miền hai chiều, và các tính chất tốt của hệ

phương trình g-Navier-Stokes hai chiều sẽ giúp ích cho việc nghiên cứu

hệ phương trình Navier-Stokes trong miền mỏng ba chiều (xem [54, 55])

2 Về mặt toán học, hệ phương trình này là một dạng tổng quát của hệ

phương trình Navier-Stokes cổ điển, cụ thể khi g = const, ta thu lại được

hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển Vì vậy nếu có một kết quả đối

với lớp phương trình này, thì chỉ cần cho g = 1, ta sẽ nhận được kết

quả tương ứng đối với hệ phương trình Navier-Stokes Ngược lại, việcchuyển những kết quả đã biết đối với hệ phương trình Navier-Stokes cho

hệ phương trình g-Navier-Stokes đặt ra những vấn đề toán học lí thú.

Do đó trong những năm gần đây, hệ phương trình g-Navier-Stokes đã được

nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [9, 22, 33, 34, 35, 39, 41, 40,

42, 54, 55, 56, 62, 63, 64]) Các kết quả đã đạt được là sự tồn tại và dáng điệutiệm cận của nghiệm yếu thông qua sự tồn tại tập hút, chủ yếu là trong trườnghợp miền bị chặn với điều kiện biên Dirichlet hoặc điều kiện biên tuần hoàn,hoặc là bài toán Cauchy trong cả không gian Tuy nhiên, vẫn còn nhiều vấn

đề mở cần được nghiên cứu liên quan đến lớp hệ g-Navier-Stokes, chẳng hạn:

• Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi ngoại lực f

phụ thuộc thời gian t (trường hợp không ô-tô-nôm) và miền xét phương

trình không nhất thiết bị chặn (nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré).Khó khăn cơ bản xuất hiện ở đây là các phép nhúng cần thiết chỉ liêntục chứ không compact

• Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm mạnh của hệ

g-Navier-Stokes Phần lớn các kết quả đã biết là đối với nghiệm yếu.

• Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi ngoại lực f

phụ thuộc trễ (hữu hạn hoặc vô hạn) Tình huống này xuất hiện, chẳnghạn, khi ta muốn điều khiển hệ (theo một nghĩa xác định nào đó) bằngcách sử dụng một ngoại lực không chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại

mà còn phụ thuộc vào quá khứ của nghiệm Khó khăn cơ bản cần xử lí ởđây là số hạng chứa trễ Lúc này phương trình đang xét là một phươngtrình đạo hàm riêng có trễ, nên hệ động lực tương ứng rất phức tạp bởi

vì nó vô hạn chiều theo cả biến không gian (do toán tử đạo hàm riênggây ra) và biến thời gian (do số hạng chứa trễ gây ra)

• Xấp xỉ trong khoảng thời gian hữu hạn và xấp xỉ dáng điệu tiệm cận

nghiệm của hệ phương trình g-Navier-Stokes Đây là những vấn đề quan

trọng và có nhiều ý nghĩa trong các áp dụng thực tế Tuy nhiên, theohiểu biết của chúng tôi, chưa có kết quả nào về vấn đề này đối với lớp

hệ phương trình g-Navier-Stokes.

Xuất phát từ những lí do trên, chúng tôi chọn những vấn đề trên làm đề

tài nghiên cứu của luận án "Một số nghiên cứu về hệ phương trình

g-Navier-Stokes hai chiều".

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Luận án này tập trung nghiên cứu những vấn đề sau về hệ phương trình

g-Navier-Stokes hai chiều:

• Sự tồn tại và duy nhất nghiệm (nghiệm ở đây có thể là nghiệm yếu hoặc

nghiệm mạnh)

• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng thông qua sự

tồn tại tập hút và tính ổn định của nghiệm dừng

• Xấp xỉ nghiệm mạnh trong khoảng thời gian hữu hạn và xấp xỉ dáng

điệu của nghiệm mạnh khi thời gian ra vô cùng

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Với các mục đích đặt ra như trên, trong luận án này chúng tôi nghiên cứu các

nội dung sau về hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều:

• Nội dung 1 Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và dáng điệu tiệm

cận của nghiệm yếu của hệ g-Navier-Stokes hai chiều.

• Nội dung 2 Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu tiệm cận

và xấp xỉ nghiệm mạnh của hệ g-Navier-Stokes hai chiều.

• Nội dung 3 Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và dáng điệu tiệm

cận của nghiệm yếu của hệ g-Navier-Stokes hai chiều khi ngoại lực phụ

thuộc trễ vô hạn

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Để nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các phương

pháp và công cụ của Giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉGalerkin, các bổ đề compact, các bổ đề xử lí số hạng phi tuyến Ngoài

ra, khi ngoại lực phụ thuộc trễ thì việc chuyển qua giới hạn số hạngchứa trễ cũng là một trở ngại lớn cần phải vượt qua Để khắc phụcđiều này, chúng tôi sử dụng các kĩ thuật của lí thuyết phương trình đạohàm riêng có trễ, một lí thuyết đang phát triển rất sôi động hiện nay,đặc biệt cho các phương trình trong cơ học chất lỏng (xem, chẳng hạn,[14, 15, 46, 47, 48, 65])

• Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm, chúng tôi sử dụng các

công cụ và phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều(xem [17, 18, 53, 60]), một lí thuyết rộng lớn mới được phát triển hơnhai thập kỉ gần đây, và các phương pháp nghiên cứu tính ổn định nghiệm

của phương trình vi phân Cụ thể khi ngoại lực f "lớn" và phụ thuộc

thời gian, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút lùi.

Trong trường hợp ngoại lực f "lớn" và không phụ thuộc thời gian, chúng

tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút toàn cục Còn khi

ngoại lực f “nhỏ” và không phụ thuộc thời gian, chúng tôi nghiên cứu sự

tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng, tức là nghiệm của bài toán

dừng tương ứng, và chứng minh nghiệm của hệ g-Navier-Stokes dần đến nghiệm dừng này khi thời gian t ra vô cùng.

• Để xấp xỉ nghiệm, chúng tôi sử dụng các công cụ và phương pháp của

Giải tích số và Tính toán khoa học Cụ thể chúng tôi nghiên cứu các lược

đồ phù hợp rời rạc hóa không gian và thời gian để xây dựng dãy nghiệmxấp xỉ của bài toán và chứng minh lược đồ này ổn định, điều này dẫnđến dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm đúng của bài toán

5 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN

Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:

• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu đối với bài toán (1).

Chứng minh được sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi;

sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng yếu Đây là nộidung của Chương 2

• Chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm mạnh đối với bài toán (1).

Chứng minh được sự tồn tại tập hút toàn cục và sự tồn tại, tính ổn địnhcủa nghiệm dừng mạnh Chứng minh được các kết quả về xấp xỉ nghiệmmạnh trong khoảng thời gian hữu hạn và xấp xỉ dáng điệu nghiệm mạnh.Đây là nội dung của Chương 3

• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1) trong

trường hợp ngoại lực phụ thuộc trễ vô hạn; sự tồn tại duy nhất và tính

ổn định của nghiệm dừng yếu Đây là nội dung của Chương 4

Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào

việc hoàn thiện việc nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes Nói riêng các kết quả này, trong trường hợp đặc biệt khi g = 1, áp dụng được đối với

hệ Navier-Stokes hai chiều Như chúng ta đã biết, các hệ phương trình trong

cơ học chất lỏng có nguồn gốc từ các bài toán thực tế khi nghiên cứu chuyểnđộng của chất lưu, do đó các kết quả đạt được trong luận án cũng góp phầntăng khả năng ứng dụng trong thực tiễn

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 03 bài báo trên cáctạp chí khoa học chuyên ngành, 01 bài đang gửi đăng và đã được báo cáo tại:

• Xêmina của Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự;

• Xêmina của Bộ môn Toán học tính toán, Khoa Toán - Cơ - Tin, Trường

Đại học học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội;

• Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư

phạm Hà Nội;

• Xêmina của Bộ môn Toán Cơ bản, Viện Toán ứng dụng và Tin học,

Trường Đại học Bách khoa Hà Nội;

• Hội nghị nghiên cứu các nhà khoa học trẻ, Học viện Kỹ thuật Quân sự,

2011

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và danhmục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương: Chương 1 trình bày một sốkiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương sau; Chương 2 trình bày các kết

quả về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu của hệ g-Navier-Stokes

hai chiều; Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận

và xấp xỉ nghiệm mạnh; Chương 4 trình bày các kết quả về sự tồn tại và dáng

điệu tiệm cận nghiệm của hệ g-Navier-Stokes hai chiều với trễ vô hạn.

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các không gian hàm cần dùng để

nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes và thiết lập các đánh giá cần thiết để xử lí số

hạng phi tuyến trong phương trình Chúng tôi cũng trình bày các kết quả tổngquát về lí thuyết tập hút (tập hút toàn cục, tập hút lùi) và một số kết quả bổtrợ được dùng trong các chương sau

1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN

và chuẩn tương ứng |u|2 = (u, u) g, ||u||2 = ((u, u)) g Từ giả thiết của hàm

g được xét trong luận án (xin xem chi tiết ở §1 các Chương 2, 3, 4), dễ thấy

chuẩn|·| và ||·|| tương đương với chuẩn thông thường trong (L2(Ω))2 và trong

(H01(Ω))2

g, và ⟨., ⟩ chỉ đối ngẫu giữa

g là toán tử xác định bởi ⟨Au, v⟩ = ((u, v)) g Kí hiệu

D(A) = {u ∈ V g : Au ∈ H g }, thì D(A) = H2(Ω, g) ∩ V g và Au = −P g ∆u, ∀u ∈ D(A), trong đó P g là toán tử chiếu trực giao từ L2(Ω, g) xuống H g

Kí hiệu V(O) tương tự như V nhưng đối với tập mở O nằm trong Ω, và cũng

như vậy, V g(O) là bao đóng của V(O) trong H1

0(O, g), H g(O) là bao đóng của V(O) trong L2(O, g), và D(A(O)) = H2(O, g) ∩ V g(O).

1.1.3 Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến

Sử dụng bất đẳng thức H¨older, bất đẳng thức Ladyzhenskaya (với n = 2) sau

c1|u| 1/2 ∥u∥ 1/2 ∥v∥|w| 1/2 ∥w∥ 1/2 , ∀u, v, w ∈ V g ,

c2|u| 1/2 ∥u∥ 1/2 ∥v∥ 1/2 |Av| 1/2 |w|, ∀u ∈ V g , v ∈ D(A), w ∈ H g ,

c3|u| 1/2 |Au| 1/2 ∥v∥|w|, ∀u ∈ D(A), v ∈ V g , w ∈ H g ,

c4|u|∥v∥|w| 1/2 |Aw| 1/2 , ∀u ∈ H g , v ∈ V g , w ∈ D(A), trong đó c i , i = 1, , 4, là các hằng số xác định.

Bổ đề 1.2 ([9]) Cho u ∈ L2(τ, T ; V g ) Khi đó hàm Bu xác định bởi

⟨Bu(t), v⟩ = b(u(t), u(t), v), ∀u ∈ V g , h.k t ∈ [τ, T ], thuộc L2(τ, T ; V ′

Chứng minh Từ Bổ đề 1.1, với hầu khắp t ∈ [0, T ], ta có

|Bu(t)| ≤ c3|u(t)| 1/2 |Au(t)| 1/2 ∥u(t)∥ ≤ c ′

3∥u(t)∥ 3/2 |Au(t)| 1/2

Trong suốt mục này, giả sử X là một không gian Banach và nửa khoảng

cách Hausdorff distX(·, ·) giữa hai tập con A, B của X được định nghĩa như

sau

distX (A, B) := sup

a ∈A binf∈B ||a − b||, với A, B ⊂ X.

2) S(t)S(s) = S(s)S(t) = S(t + s);

3) Ánh xạ t 7→ S(t)u0 liên tục đối với t ∈ [0; +∞);

4) Ánh xạ u0 7→ S(t)u0 liên tục đối với u0 ∈ X.

Ta giới thiệu khái niệm về tính tiêu hao của nửa nhóm

Định nghĩa 1.2 Nửa nhóm S(t) gọi là tiêu hao bị chặn (gọi tắt là tiêu hao)

nếu tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ X sao cho với mọi tập bị chặn B ⊂ X, tồn

tại T = T (B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B0, ∀t ≥ T Tập B0 như vậy được gọi là

một tập hấp thụ đối với nửa nhóm S(t).

Bây giờ ta định nghĩa tính compact tiệm cận

Định nghĩa 1.3 Giả sử X là một không gian Banach Nửa nhóm S(t) gọi là

compact tiệm cận nếu với mọi t > 0, S(t) có thể biểu diễn dưới dạng

là compact trong X, ở đây [γ] là bao đóng của tập γ.

Một hệ động lực gọi là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta có thể

lấy S(1)(t) ≡ 0 trong biểu diễn (1.1) Rõ ràng rằng bất kì hệ động lực tiêu hao

hữu hạn chiều nào cũng là compact

Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.2) được thỏa mãn nếu tồn tại một tập

compact K trong X sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂ X, tồn tại t0(B) sao cho S(2)(t)B ⊂ K, ∀t ≥ t0(B) Nói riêng, một hệ tiêu hao là compact nếu nó

có một tập hấp thụ compact

2) A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t ≥ 0;

3) A hút mọi tập con bị chặn B của X, tức là

lim

t →+∞ dist(S(t)B, A) = 0.

Các tính chất sau đây của tập hút toàn cục là hệ quả trực tiếp của địnhnghĩa

Mệnh đề 1.1 Giả sử S(t) có tập hút toàn cục A Khi đó:

1) Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A (tính cực đại); 2) Nếu B là một tập con đóng hút mọi tập bị chặn của X thì A ⊂ B (tính cực tiểu);

3) A là duy nhất.

Kết quả sau đây nói về cấu trúc của tập hút toàn cục

Định lí 1.1 ([53]) Giả sử nửa nhóm S(t) có tập hút toàn cục A Khi đó mọi quỹ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và các quĩ đạo tuần hoàn, nếu có) đều nằm trên A Hơn nữa, nếu S(t) là đơn ánh trên A thì A là hợp của tất cả các quỹ đạo đầy đủ bị chặn.

Kết quả dưới đây chỉ ra rằng các hệ động lực "trên tập hút toàn cục" sẽquyết định các dáng điệu tiệm cận có thể có của các quỹ đạo riêng lẻ, nghĩa

là sau một khoảng thời gian đủ lớn, bất kì một quỹ đạo nào của phương trìnhgốc trông sẽ giống như một quỹ đạo nào đó trên tập hút trong một khoảngthời gian đủ dài

Định lí 1.2 ([53]) Giả sử nửa nhóm S(t) có tập hút toàn cục A Cho trước một quỹ đạo u(t) = S(t)u0, một sai số ϵ > 0 và một khoảng thời gian T > 0 Khi đó tồn tại một thời điểm τ = τ (ϵ, T ) và một điểm v0 ∈ A sao cho

∥u(τ + t) − S(t)v0∥ ≤ ϵ với mọi 0 ≤ t ≤ T.

Sự tồn tại tập hút toàn cục

Kết quả sau đây là định lí cơ bản về sự tồn tại tập hút toàn cục

Định lí 1.3 [58, Chương 1] Giả sử S(t) là nửa nhóm liên tục trên không gian

Banach X Giả sử S(t) là tiêu hao và compact tiệm cận Nếu B là một tập hấp thụ bị chặn của S(t) thì A = ∩s ≥0∪t ≥s S(t)B là một tập compact khác rỗng và là tập hút toàn cục đối với S(t) Hơn nữa, tập hút toàn cục A là liên thông trong X.

Trong luận án này, ta thường sử dụng hệ quả sau của định lí trên

Hệ quả 1.1 Giả sử S(t) là nửa nhóm liên tục trên không gian Banach X.

Nếu S(t) có một tập hấp thụ compact B thì A = ∩s ≥0∪t ≥s S(t)B là một tập compact khác rỗng và là tập hút toàn cục đối với S(t) Hơn nữa, tập hút toàn cục A là liên thông trong X.

1.2.2 Tập hút lùi

Một quá trình trên không gian Banach X là một họ các ánh xạ phụ thuộc hai

tham biến {U(t, τ)} trong X có các tính chất sau:

U (t, r)U (r, τ ) = U (t, τ ) với mọi t ≥ r ≥ τ,

U (τ, τ ) = Id với mọi τ ∈ R.

Giả sử B(X) là họ các tập con bị chặn khác rỗng của X, và D là một lớp

khác rỗng các tập được tham số hóa ˆD = {D(t) : t ∈ R} ⊂ B(X).

Định nghĩa 1.1 Quá trình{U(t, τ)} được gọi là D-compact tiệm cận lùi nếu

với bất kì t ∈ R, bất kì ˆ D ∈ D, bất kì dãy τ n → −∞, và bất kì dãy x n ∈ D(τ n),dãy {U(t, τ n )x n } là compact tương đối trong X.

Định nghĩa 1.2 Họ các tập bị chặn ˆB ∈ D gọi là D-hấp thụ lùi đối với quá

trình U (t, τ ) nếu với bất kì t ∈ R, bất kì ˆ D ∈ D, tồn tại τ0 = τ0( ˆD, t) ≤ t sao

τ ≤τ0

U (t, τ )D(τ ) ⊂ B(t).

Định nghĩa 1.3 Họ ˆA = {A(t) : t ∈ R} ⊂ B(X) gọi là một tập D-hút lùi đối

với {U(t, τ)} nếu

(1) A(t) là compact với mọi t ∈ R;

(2) ˆA là bất biến, tức là

U (t, τ )A(τ ) = A(t), với mọi t ≥ τ;

(3) ˆA là D-hút lùi, tức là

lim

τ →−∞ dist(U (t, τ )D(τ ), A(t)) = 0, với mọi ˆ D ∈ D, và mọi t ∈ R;

(4) Nếu{C(t) : t ∈ R} là một họ các tập hút đóng khác thì A(t) ⊂ C(t), với

Cho H là không gian Hilbert thực khả li, tập compact K ⊂ H và ε > 0 Kí

hiệu N ε (K) là số nhỏ nhất các hình cầu mở trong H với bán kính ε cần thiết phủ K.

Định nghĩa 1.4 Với mọi tập compact khác rỗng K ⊂ H, số chiều fractal

của K xác định bởi

d F (K) = lim sup

ε ↓0 log(N ε (K)) log(1/ε) .

Xét V ⊂ H là không gian Hilbert thực khả li với phép nhúng V trong H

liên tục, và V trù mật trong H Ta đồng nhất H với không gian đối ngẫu

H ′ , và ta xét V như là không gian con của H ′ , đồng nhất v ∈ V với phần tử

f v ∈ H ′ xác định bởi

f v (h) = (v, h), h ∈ H.

Cho F : V × R → V ′ là họ các toán tử phi tuyến sao cho: với mọi τ ∈ R và

mọi u0 ∈ H, tồn tại duy nhất hàm u(t) = u(t; τ, u0) thỏa mãn

U (t, τ )u0 = u(t; τ, u0), τ ≤ t, u0 ∈ H.

Cho T ∗ ∈ R cố định Giả sử tồn tại họ {A(t) : t ≤ T ∗ } các tập con không

rỗng compact của H thỏa mãn tính bất biến

U (t, τ )A(τ ) = A(t), với mọi τ ≤ t ≤ T ∗ ,

và thỏa mãn, với mọi τ ≤ t ≤ T ∗ và mọi u

0 ∈ A(τ), tồn tại toán tử tuyến tính

liên tục L(t; τ, u0)∈ L(H) sao cho

|U(t, τ)u0−U(t, τ)u0−L(t; τ, u0)(u0−u0)| ≤ γ(t−τ, |u0−u0|)|u0−u0| (1.4)

với mọi u0 ∈ A(τ), trong đó γ : R+ × R+ → R+ là hàm sao cho γ(s, ) không giảm với mọi s ≥ 0, và

lim

Ta giả sử rằng, với mọi t ≤ T ∗ , ánh xạ F (., t) khả vi Gateaux trong V , nghĩa là, với mọi u ∈ V tồn tại toán tử tuyến tính liên tục F ′ (u, t) ∈ L(V ; V ′)

liên tục (do đó, trong trường hợp đặc biệt, với mỗi t ≤ T ∗ , ánh xạ F (., t) khả

vi liên tục Fréchet trong V ).

Vậy, với mọi τ ≤ T ∗ và u

0, v0 ∈ H, tồn tại duy nhất v(t) = v(t; τ, u0, v0) lànghiệm của

1.3.1 Không gian hàm phụ thuộc thời gian

Cho X là không gian Banach thực với chuẩn || · ||.

Định nghĩa 1.5 Không gian L p (0, T ; X), 1 ≤ p ≤ +∞, gồm tất cả các hàm

đo được φ : [0, T ] → X với chuẩn

Khi đó L p (0, T ; X) là một không gian Banach, và nó là phản xạ nếu 1 < p <

+∞ Không gian liên hợp của L p (0, T ; X) là L q (0, T ; X ′ ) với 1/p + 1/q = 1.

Định nghĩa 1.6 Không gian C([0, T ]; X) gồm tất cả các hàm liên tục φ :

[0, T ] → X với chuẩn

∥φ∥ C([0,T ];X) := max

0≤t≤T ||φ(t)|| < ∞.

Khi đó C([0, T ]; X) là một không gian Banach.

Định nghĩa 1.7 L2loc(R; X) là không gian các hàm φ(s), s ∈ R với giá trị trong X, mà bình phương khả tích (theo nghĩa Bochner), tức là,

∫ t2

t1

∥φ(s)∥2ds < + ∞, với mọi khoảng compact [t1, t2] ⊂ R.

• Bất đẳng thức H¨older : Giả thiết 1 ≤ p, q ≤ ∞, 1

trong đó g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0; T ] Khi đó

• Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho ξ(t) là một hàm khả tích,

không âm trên [0, T ] và thỏa mãn với hầu khắp t bất đẳng thức tích phân

Bổ đề 1.6 [59, Định lí 13.3] Giả sử X và Y là hai không gian Banach với

X ds → 0 khi a → 0, đều đối với g ∈ G.

Khi đó G compac tương đối trong L q (0, T ; X) với mọi q, 1 ≤ q < p.

Bổ đề 1.7 ([45, Bổ đề 1.3, tr 12]) Giả sử O là một tập mở bị chặn trong

Rt × R n

x và {g j } là một dãy các hàm trong L p(O), 1 < p < ∞, thoả mãn:

∥g j ∥ L p(O) ≤ C với mọi j ∈ N ∗ .

Khi đó, nếu g ∈ L p(O) và g j → g h.k.n trong O thì g j ⇀ g trong L p(O).

Định lí 1.3 (Định lí hội tụ bị chặn Lebesgue) Cho X là một không gian độ

đo, và {f n } là một dãy các hàm đo được trên X sao cho lim

Định lí 1.4 (Định lí điểm bất động Brouwer) Giả sử u : B(0, 1) → B(0, 1)

là hàm liên tục, trong đó B(0, 1) là hình cầu đóng đơn vị trong RN Khi đó u

có điểm bất động.

Chương 2

Trong chương này chúng tôi xét bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với

hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều trên miền không nhất thiết bị chặn

nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré dưới một lớp khá rộng các điều kiệncủa ngoại lực Đầu tiên chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệmyếu bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin Sau đó chúng tôi chứng minh sự tồntại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của quá trình sinh bởi bài toán.Cuối cùng, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất và tính ổn định củanghiệm dừng yếu khi ngoại lực không phụ thuộc thời gian

Nội dung của chương này dựa trên bài báo [1] trong Danh mục công trìnhkhoa học của tác giả liên quan đến luận án

2.1 ĐẶT BÀI TOÁN

Cho Ω là miền (bị chặn hoặc không bị chặn) trong R2 với biên Γ Chúng ta

xét hệ phương trình g-Navier-Stokes không ô-tô-nôm sau:

Để nghiên cứu bài toán (2.1) chúng ta giả thiết:

(H1) Ω là miền tùy ý (bị chặn hoặc không bị chặn) trong R2 thỏa mãn bất

đẳng thức Poincaré: Tồn tại λ1 > 0 sao cho

• Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu.

• Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi khi ngoại lực f

"lớn" và có thể phụ thuộc thời gian t.

• Sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng yếu khi ngoại lực

f "nhỏ" và không phụ thuộc thời gian.

2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU

Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếubằng phương pháp xấp xỉ Galerkin Trước hết, ta định nghĩa nghiệm yếu củabài toán (2.1)

Định nghĩa 2.1 Hàm u được gọi là một nghiệm yếu của bài toán (2.1) trên

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu được trình bày ở định lí sau

Định lí 2.1 Giả sử các điều kiện (H1) − (H3) được thỏa mãn Khi đó, với mọi u0 ∈ H g , τ ∈ R, T > τ cho trước, bài toán (2.1) có duy nhất một nghiệm yếu u trên khoảng (τ, T ) Hơn nữa, ta có bất đẳng thức sau:

|u(t)|2 ≤ e −σ(t−τ) |u0|2+ e

−σt 2ϵν

Chứng minh (i) Sự tồn tại Sự tồn tại nghiệm yếu dựa trên phương pháp xấp

xỉ Galerkin (kết quả này là trường hợp đặc biệt của Định lí 4.1 ở Chương 4nên chúng tôi không trình bày chi tiết ở đây) Tiếp theo ta đưa ra một số ước

lượng tiên nghiệm của nghiệm u được sử dụng trong các phần sau Từ (2.1),

m0λ 1/21 , và ϵ > 0 được chọn sao cho γ0 − ϵ > 0 Lấy tích

phân bất đẳng thức cuối này trên [τ, t], τ ≤ t ≤ T , ta có

|u(t)|2+ 2ν(γ0− ϵ)

∫ t τ

∥u(s)∥2ds ≤ |u(τ)|2+ 1

2ϵν

∫ t τ

Bất đẳng thức này cho ta ước lượng của u trong không gian L2(τ, T ; V g)∩

L ∞ (τ, T ; H

g ) Viết lại phương trình ở dạng

du(t)

dt = −νAu(t) − B(u(t)) − νCu(t) + f(t),

ta thu được đánh giá của du

(c2 1

Điều này chứng tỏ nghiệm yếu là duy nhất (nếu u0 = v0) và phụ thuộc liêntục vào điều kiện ban đầu.

iii) Chứng minh ước lượng (2.2) Chọn ϵ > 0 trong bất đẳng thức (2.4) sao

trong đó u(t) = u(t; τ, u0) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (2.1) với điều

kiện ban đầu u(τ ) = u0

Trước tiên ta chứng minh tính liên tục yếu của quá trình trên

Bổ đề 2.1 Cho {u0n } là dãy phần tử trong H g hội tụ yếu trong H g đến phần

tử u0 ∈ H g Khi đó

U (t, τ )u0n ⇀ U (t, τ )u0 yếu trong H g , với mọi τ ≤ t, (2.5)

U (t, τ )u0n ⇀ U (t, τ )u0 yếu trong L2(τ, T ; V g ), với mọi τ < T. (2.6)

Chứng minh Cho u n (t) = U (t, τ )u0n và u(t) = U (t, τ )u0 Như trong chứng

minh Định lí 2.1, ta có, với mọi T > τ ,

trong đó C T là hằng số dương không phụ thuộc n Vì vậy, với v = u n (t + a) −

u n (t), phần tử này thuộc V g với hầu khắp t, từ (2.8) ta có

∥u n (t + a) − u n (t) ∥dt. (2.9)

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và (2.7), từ (2.9) ta đi đến kết luận:

∫ T −a τ

∥u n (t + a) − u n (t) ∥2

L2 (Ω√ 2r ,g) dt = 0, ∀T > τ, ∀r > 0,

thu được {v n,r } bị chặn trong L ∞ (τ, T ; L2(Ω√

Vì vậy, bởi quá trình chéo, ta có thể trích ra một dãy con {u n ′ } sao cho

u n ′ → eu *-yếu trong L ∞ loc(R; H g ),

u n ′ → eu yếu trong L2

loc(R; V g ),

u n ′ → eu mạnh trong L2

loc(R; L2(Ωr , g)), r > 0, (2.11)với eu ∈ L ∞

loc(R; H g)∩ L2

loc(R; V g)

Sự hội tụ (2.11) cho phép ta chuyển qua giới hạn trong phương trình với

u n ′ dẫn đến eu là nghiệm yếu của phương trình (2.1), trong đó eu(τ) = u0 Dotính duy nhất nghiệm nên eu = u Do đó, bằng phản chứng, ta đi đến kết luận

dãy {u n } hội tụ đến u trong (2.11) Vậy (2.6) được chứng minh.

Tiếp theo, từ sự hội tụ mạnh trong (2.11) ta cũng có u n (t) hội tụ mạnh trong L2(Ωr , g) đến u(t) với hầu khắp t ≥ τ và với mọi r > 0 Vì vậy, với mọi

v ∈ V,

(u n (t), v) g → (u(t), v) g với hầu khắp t ∈ R.

Hơn nữa, từ (2.9) và (2.10), ta nhận thấy {(u n (t), v) } bị chặn đều và liên tục

đồng bậc trên [τ, T ], với mọi T > 0 Vì vậy

và kí hiệu D σ là lớp tất cả các họ ˆD = {D(t) : t ∈ R} ⊂ B(H g) sao cho

D(t) ⊂ B(0, ˆr(t)), với ˆr(t) ∈ R σ , trong đó B(0, r) là kí hiệu hình cầu đóng trong H g , tâm tại 0 và bán kính r.

Sau đây ta sẽ chứng minh kết quả về sự tồn tại tập hút lùi

Định lí 2.2 Với các giả thiết (H1) −(H3), khi đó tồn tại duy nhất tập D σ -hút lùi ˆ A = {A(t) : t ∈ R} của quá trình {U(t, τ)} liên kết với bài toán (2.1) Chứng minh Cho τ ∈ R và u0 ∈ H g cố định kí hiệu

u(t) = u(t; τ, u0) = U (t, τ )u0, với mọi t ≥ τ.

Để áp dụng Định lí 2.1, ta cần kiểm tra hai điều kiện sau:

i) Quá trình U (t, τ ) có họ ˆ B tập D σ -hấp thụ lùi.

Với ˆD ∈ D σ đã cho Từ (2.2), ta có

|U(t, τ)u0|2 ≤ e −σ(t−τ) r(τ ) +ˆ e

−σt 2ϵν

và xét họ ˆB σ các hình cầu đóng trong H g xác định bởi B σ (t) = B(0, R σ (t)).

Dễ thấy ˆB σ ∈ D σ, và hơn nữa, bởi (2.12) và (2.13), họ ˆB σ là D σ-hấp thụ lùi

với quá trình U (t, τ ).

ii) U (t, τ ) là D σ -compact tiệm cận lùi.

Cho ˆD ∈ D σ , hai dãy τ n → −∞, u0n ∈ D(τ n ) và t ∈ R cố định Ta cần

chứng minh từ dãy{U(t, τ n )u0n } có thể trích ra một dãy con hội tụ trong H g.Thật vậy, do họ ˆB σ là D σ -hấp thụ lùi, với mỗi số nguyên k ≥ 0, tồn tại

τ Dˆ(k) ≤ t − k sao cho

U (t − k, τ)D(τ) ⊂ B σ (t − k) với mọi τ ≤ τ Dˆ(k), (2.15)

do đó, với τ n ≤ τ Dˆ(k),

U (t − k, τ n )u0n ⊂ B σ (t − k).

Vì vậy,{U(t−k, τ n )u0n } là tiền compact yếu trong H g và do B σ (t −k) lồi đóng

nên tồn tại dãy con {(τ n ′ , u0n′)} ⊂ {(τ n , u0n)}, và dãy {w k : k ≥ 0} ⊂ H g, sao

cho với mọi k ≥ 0, w k ∈ B σ (t − k), và

trong đó limH w kí hiệu sự hội tụ theo tôpô yếu trong H g Vì vậy

Do đó, [., ] g xác định tích vô hướng trong V g với chuẩn [.] = [., ]

1 2

g, chuẩn nàytương đương với chuẩn ∥.∥ trong V g

Tiếp theo, từ phương trình (2.3), ta có

d

dt |u(t)|2+ σ |u(t)|2+ 2[u(t)]2 ≤ 2⟨f(t), u(t)⟩.

e σ(s −t)(

⟨f(s), U(s, τ)u0⟩ − [U(s, τ)u0]2)

ds, (2.21)

với mọi τ ≤ t, và u0 ∈ H g Vì vậy, với mọi k ≥ 0 và τ n ′ ≤ t − k,

|U(t, τ n ′ )u0n′ |2 =|U(t, t − k)U(t − k, τ n ′ )u0n′ |2