Phương pháp lượng giác trong việc giải toán thuộc chương trình trung học phổ thông

Hơnnữa sách giáo khoa cũng không chỉ ra việc định hướng, tìm tòi lời giải bằngphương pháp lượng giác và cũng chưa chú trọng đến rèn luyện kỹ năng này.Bên cạnh đó trong các kỳ thi tuyển s

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1: TS Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩKhoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 28 tháng 5 năm 2011

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Dạy học toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện các mục đích vàchức năng của giáo dục toán học Đối với học sinh phổ thông, giải toán làmột trong những hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Đây là một loạihình hoạt động riêng biệt, phổ biến và rất cần thiết nhằm giúp học sinh nắmvững kiến thức và ứng dụng chúng vào thực tiễn một cách có hiệu quả.Một trong những nhiệm vụ cơ bản của dạy học toán là bồi dưỡng chohọc sinh kỹ năng tìm tòi, phát hiện và vận dụng các phương pháp vào việcgiải toán Vận dụng phương pháp lượng giác vào việc giải toán là một trongnhững biện pháp để giải quyết nhiệm vụ này Trong chương trình toán họcphổ thông, học sinh cũng đã được làm quen với phương pháp lượng giác, tuynhiên với một thời lượng không nhiều và chỉ ở một mức độ nhất định Hơnnữa sách giáo khoa cũng không chỉ ra việc định hướng, tìm tòi lời giải bằngphương pháp lượng giác và cũng chưa chú trọng đến rèn luyện kỹ năng này.Bên cạnh đó trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi toán trong

và ngoài nước thường xuất hiện những bài toán mà lời giải của chúng có thểtìm được bằng phương pháp lượng giác

Với mục đích tìm hiểu phương pháp lượng giác và hệ thống một cách đầy

đủ những ứng dụng của phương pháp lượng giác trong chương trình toántrung học phổ thông, tôi chọn đề tài luận văn cho mình là: "Phương pháplượng giác trong việc giải toán thuộc chương trình trung học phổ thông "

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống lớp các bài toán giải được bằng phương pháp lượng giác

- Đưa ra quy trình giải cho từng lớp bài toán

- Định hướng cho học sinh cách nhận biết các dấu hiệu trong một bài toán

có thể vận dụng phương pháp lượng giác để giải

- Nhằm nâng cao năng lực tư duy cho học sinh, cần thiết phải xây dựng

chuỗi các bài toán từ một bài toán gốc nào đó (bằng phương pháp tương tựhóa, tổng quát hóa ).

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Chương trình toán bậc trung học phổ thông, đặc biệt là bộ môn lượnggiác

- Phương pháp lượng giác trong đại số, giải tích và hình học

- Các ứng dụng của phương pháp lượng giác

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tư liệu: sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo, cáctạp chí toán học tuổi trẻ và các tài liệu liên quan

- Phương pháp tiếp cận: sưu tầm, phân tích, tổng hợp, hệ thống

5 Nội dung luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 3 chươngChương 1, trình bày sơ lược các kiến thức về lượng giác như: một số địnhnghĩa, tính chất, các công thức lượng giác cơ bản Ngoài ra để làm cơ sởcho các chương sau, các bổ đề thường dùng và các bất đẳng thức lượng giácquen thuộc trong tam giác cũng được giới thiệu trong chương này

Chương 2, trình bày phương pháp lượng giác trong đại số và giải tích,bao gồm ứng dụng của phương pháp lượng giác trong chứng minh đẳng thức

và bất đẳng thức; trong giải phương trình, bất phương trình và hệ phươngtrình; trong bài toán cực trị; trong bài toán tìm nguyên hàm và tính tíchphân

Các ứng dụng của phương pháp lượng giác trong hình học được trình bàytrong chương 3 bao gồm ba phần: các bài toán về đường tròn; các bài toán

về elip và hypebol; các bài toán hình học phẳng khác

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại sơ lược những kiến thức cơ bản về lượng giác như:Một số định nghĩa, các tính chất cơ bản Phần cuối của chương trình bàymột số bất đẳng thức lượng giác trong tam giác và các bổ đề sẽ được dùngtrong các chương sau

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC

TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Chương này trình bày phương pháp lượng giác trong đại số và trong giảitích, cụ thể là dùng phương pháp lượng giác để chứng minh các hệ thứcđại số, chứng minh các bất đẳng thức đại số; giải phương trình, bất phươngtrình, hệ phương trình; giải các bài toán cực trị; tìm nguyên hàm và tínhtích phân

và bất đẳng thức

Để áp dụng phương pháp lượng giác vào chứng minh đẳng thức và bấtđẳng thức đại số ta cần dựa vào các dấu hiệu sau đây:

Dấu hiệu 1: Nếu trong bài toán có |x| 6 k (với k > 0) thì đặt x = k sin α

(với α ∈ [− π2;π2]) hoặc đặt x = k cos α (với α ∈ [0; π])

Dấu hiệu 2: Nếu trong bài toán có biểu thức x2+ y2 = k2 (với k > 0) thìđặt:

½

x = k sin α

y = k cos α với α ∈ [0; 2π]

Dấu hiệu 3: Nếu trong bài toán có điều kiện x > k (với k > 0) thì đặt

x = cos α k , α ∈ [0; π2) ∪ [π; 3π2 ) Khi đó x2− k2 = k2(cos12α − 1) = k2tan2α, (với

tan α > 0)

Dấu hiệu 4: Nếu trong bài toán có biểu thức x2+ k2 thì đặt: x = k tan α,

α ∈ (− π2; π2) Khi đó x2+ k2 = k2(1 + tan2α) = cosk22α (với cos α > 0)

Như vậy chứng minh một đẳng thức hay một bất đẳng thức đại số bằngphương pháp lượng giác ta thực hiện qua ba bước:

Bước 1: Biến đổi, phân tích để nhận biết các dấu hiệu có trong bài toán.Bước 2: Lượng giác hóa bài toán, nghĩa là chuyển đổi bài toán chứng minhđẳng thức hay bất đẳng thức đại số thành bài toán chứng minh đẳng thứclượng giác hay bất đẳng thức lượng giác.

Bước 3: Chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức lượng giác tương ứng

và kết luận

Bài toán 2.1 Cho a, b thỏa mãn: |b| 6 |a| Chứng minh rằng:

|a + b| + |a − b| = |a +pa2 − b2 | + |a −pa2 − b2 |

Giải:

Bước 1: Biến đổi, phân tích để nhận biết các dấu hiệu có trong bài toán

Để giải bài toán trên ta xét hai trường hợp:

Ta có (2.1) ⇔ |1 + sin α| + |1 − sin α| = |1 + cos α| + |1 − cos α|

⇔ 1 + sin α + 1 − sin α = 1 + cos α + 1 − cos α

⇔ 2 = 2 (hiển nhiên đúng)Vậy đẳng thức cần chứng minh là đúng

Bài toán 2.2 Chứng minh rằng:

Giải: Điều kiện: |x| 6 1 nên đặt x = cos α, α ∈ [0; π]

Nếu có biểu thức: X = 1−ab a+b , thì đặt

Như vậy để giải phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình đại

số bằng phương pháp lượng giác ta thực hiện qua ba bước:

Bước 1: Nhận biết các dấu hiệu có trong bài toán và đặt ẩn phụ

Bước 2: Lượng giác hóa bài toán nghĩa là sau khi đặt ẩn phụ, chuyểnphương trình, bất phương trình hay hệ phương trình đại số thành phươngtrình, bất phương trình hay hệ phương trình lượng giác

Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình lượnggiác tương ứng và kết luận

Bảng 2.1 Biểu thức đại số và biểu thức lượng giác tương ứng:

Biểu thức đại số Biểu thức lượng giác

cos 2t

2x2 − 1 2 cos 2t − 1 = cos 2t

1 − 2x2 1 − 2 sin2t = cos 2t

4x3 − 3x 4 cos 3t − 3 cos t = cos 3t

3x − 4x3 3 sin t − 4 sin3t = sin 3t

(2.2) ⇔

r (sin t

2 + cos

t

2)2 ·

hr (2 cos 2 t

2)3−

r (2 sin2 t

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =

√

2 2

Bài toán 2.4 Với giá trị nào của tham số m bất phương trình sau có

Vì t ∈ [0; π2] nên: t

2 + π4 ∈ [ π4;π2] do đó: √2

2 6 sin(2t + π4) 6 1.Hay bất phương trình sin(2t + π4) 6 √1

m có nghiệm khi và chỉ khi:

Bài toán 2.5 Giải hệ phương trình:







2x + x2y = y 2y + y2z = z 2z + z2x = x

Đặt x = tan t ⇒

½

t 6= ± π4 + kπ

t 6= π2 + kπ , (k ∈ Z).Khi đó hệ phương trình thành:







y = 1−tan 2 tan t2t = tan 2t

z = 1−tan 2 tan 2t22t = tan 4t

x = 1−tan 2 tan 4t24t = tan 8t

Kết hợp với x = tan t ta được: tan 8t = tan t ⇔ t = kπ7 , k ∈ Z. Suy ra

Vậy hệ phương trình đã cho có 7 nghiệm:

Để giải bài toán cực trị bằng phương pháp lượng giác ta cần dựa vào dấuhiệu có trong bài toán như đã trình bày trong phần "chứng minh đẳng thức

và bất đẳng thức" Tuy nhiên trong một số bài toán các dấu hiệu này khôngxuất hiện ngay từ đầu, người làm phải biến đổi các điều kiện hoặc các hàm

số đã cho để làm xuất hiện các dấu hiệu quen biết

Tóm lại, để giải bài toán cực trị bằng phương pháp lượng giác ta thựchiện qua ba bước:

Bước 1: Nhận biết các dấu hiệu trong bài toán hoặc biến đổi giả thiết làmxuất hiện các dấu hiệu trong bài toán

Bước 2: Lượng giác hóa bài toán, tức là chuyển bài toán đại số sang bàitoán lượng giác

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giáctương ứng và kết luận

Bài toán 2.6 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

P = 3y

2 − 4xy

x2 + y2

Bước 2: Lượng giác hóa bài toán.

P = 3 sin2t − 4 sin t cos t = 3( 1 − cos 2t

P = 32 − (2 sin 2t + 32 cos 2t) và kết luận

Ta có ³2 sin 2t + 3

2cos 2t

´26

h

22 + (3

2)

2 i (sin22t + cos22t) = 25

Vậy : P min = −1 khi y

a)

Bước 1: Nhận biết các dấu hiệu có trong bài toán và đổi biến

Trong bài toán có chứa √ a2− x2, (a = 2) nên đặt

x = 2 sin t, (t ∈ [− π2;π2]) ⇒ dx = 2 cos t dt Khi đó:

Bước 3: Tìm nguyên hàm I = 2R (1−sin sin t2t)dt và kết luận

Ta có I = 2

Z

dt sin t − 2

Đặt u = cos t ⇒ du = − sin t dt, khi đó:

A =

Z

−du (1 − u)(1 + u) =

1 2

Z sin4t

cos 6t dt

= −1

4

Z tan4t · 1

cos 2t dt = −

1 4

Z tan4t d(tan t)

Z sin2tdt = 4a

r

x 2a −

1 2

√ 2ax − x2

r

2a − x 2a =

p

x(2a − x) a

´

Bài toán 2.8 Tính các tích phân sau:

(1 − cot2u)(1 + cot2u)du

cot2u(1 + cot2u) =

3.1.1 Định nghĩa

3.1.2 Phương trình đường tròn

3.1.3 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

3.1.4 Một số bài toán về đường tròn

Một số bài toán về đường tròn có thể giải được bằng phương pháp lượnggiác theo cách sau:

Bước 1: Chuyển đổi bài toán hình học thành bài toán lượng giác

Bước 2: Giải bài toán lượng giác

Bước 3: Kết luận

Bài toán 3.1 Cho đường tròn (C) có phương trình: x2+y2−4x−6y+4 = 0 a) Xác định tọa độ các đỉnh B, C biết 4ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn (C) và A(5; 3)

b) Tìm điểm N(x2; y2) ∈ (C) sao cho: x22 + y22 đạt giá trị lớn nhất; đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải: Ta có phương trình tham số của đường tròn½ (C) là:

M ∈ (C) nên M (2 + 3 sin t; 3 + 3 cos t), t ∈ [0; 2π), bài toán trở thành: Tìmđiểm M ∈ (C) sao cho AM = 3 √3, tức là:

AM2 = 27 ⇔ (3 − 3 sin t)2 + (3 cos t)2 = 27

Bước 2: Giải bài toán lượng giác

(3 − 3 sin t)2 + (3 cos t)2 = 27 ⇔ sin t = −12 ⇒

"

cos t = −

√

3 2

cos t =

√

3 2

Bước 3: Kết luận

B³1

2;

6 + 3√3 2

´

, C³1

2;

6 − 3 √3 2

´

3.2 Các bài toán về elip và hypebol

3.2.1 Định nghĩa

3.2.2 Phương trình của elip và hypebol

3.2.3 Phương trình tiếp tuyến của elip và hypebol

3.2.4 Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng với elip và hypebol

3.2.5 Một số bài toán về elip và hypebol

Một số bài toán về elip và hypebol có thể giải được bằng phương pháplượng giác theo cách sau:

Bước 1: Chuyển đổi bài toán hình học thành bài toán lượng giác

Bước 2: Giải bài toán lượng giác

Họ tiếp tuyến (∆1) của (H) có phương trình:

3x − y − 3 √ 5 = 0; 3x + y − 3 √ 5 = 0; 3x + y + 3 √ 5 = 0; 3x − y + 3 √5 = 0

3.3.1 Hệ thức Hê-rông trong tam giác và trong tứ giác

Ta có công thức Hê-rông tính diện tích 4ABC khi biết độ dài ba cạnh là

S =pp(p − a)(p − b)(p − c)

Đối với tứ giác khi biết độ dài bốn cạnh thì công thức tính diện tích tương

tự như trên là rất khó Ta xét trường hợp đặc biệt khi tứ giác nội tiếp trongmột đường tròn với bài toán sau:

Bài toán 3.3 (Công thức tính diện tích của tứ giác nội tiếp)

Gọi a, b, c, d là độ dài các cạnh của một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn, ký hiệu q = a+b+c+d2 Chứng minh rằng diện tích tứ giác được tính bằng công thức: S = p(q − a)(q − b)(q − c)(q − d)

Giải:

Gọi B = [b ABC và D = \b ADC, áp dụng định lý hàm số cosin trong4ABC

và 4ACD ta có: AC2 = a2 + b2− 2ab cos b B = d2 + c2 − 2cd cos b D

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên B + bb D = 1800 ⇒ cos b B = − cos b D

Do đó: cos bB = a

2 + b2 − c2 − d22(ab + cd)

Mặt khác: sin2B = 1 − cosb 2B = (1 − cos bb B)(1 + cos b B)

O A

Hình 3.1: Hình minh họa Bài toán 3.3.

2(ab + cd) sin b B

= p(q − a)(q − b)(q − c)(q − d) Nhận xét 3.1 Đặc biệt hơn nữa, một tứ giác vừa nội tiếp, vừa ngoại tiếp đường tròn thì: S = √ abcd

Chứng minh.

Xét tứ giác ABCD nội tiếp, ta có: S =p(q − a)(q − b)(q − c)(q − d)

Vì ABCD ngoại tiếp một đường tròn nên:

a + c = b + d = q

³

= r(tan O1+ tan O2+ tan O3+ tan O4)

´.Khi đó: q − a = c; q − b = d; q − c = a; q − d = b, suy ra: S = √ abcd

B

C D

d

r 1 2

3 4

a

b

c O

Hình 3.2: Hình minh họa phần chứng minh của Nhận xét 3.1.

3.3.2 Điểm Broca

Định nghĩa 3.1 Cho 4ABC, điểm P nằm trong 4ABC sao cho:

[

P AB = \ P BC = [ P CA được gọi là điểm Broca của 4ABC

Bài toán 3.4 Cho 4ABC và giả sử điểm Broca P đã được xác định,

độ dài các cạnh trong tam giác lần lượt là: AB = 13 , BC = 14 , AC = 15

và tan [P AB = m n ( m, n nguyên tố cùng nhau) Tìm m + n

z a

b c

Hình 3.3: Hình minh họa Bài toán 3.4.

Đặt P AB = \[ P BC = [ P CA = α và P A = x, P B = y, P C = z

Áp dụng định lý hàm số cosin trong 4P AB, 4P BC, 4P CA ta có:

Cho 4ABC, D là một điểm trên cạnh BC Đặt AD = d, BD = m,

Chứng minh Áp dụng định lý hàm số cosin vào 4ABD và 4ACD ta có:

c2 = m2 + d2 − 2md cos c D1 ⇔ nc2 = nm2+ nd2 − 2mnd cos c D1 (3.4)

b2 = n2 + d2 − 2nd cos c D2 = n2 + d2 − 2nd cos c D1 (do c D1 + cD2 = 1800)

⇔ mb2 = mn2 + md2+ 2mnd cos c D1 (3.5)Cộng (3.4) và (3.5) vế theo vế ta được

m

c =

n b

Giải: Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp 4ABC.

Q O

P B

Hình 3.5: Hình minh họa Bài toán 3.5.

Ta có OP = OQ = OR = r

Không mất tính tổng quát, giả sử min{AP, BQ, CR} = AP

Đặt x = tan A2, y = tan B2, z = tan C2

Kết hợp với điều kiện: xy + yz + zx = 1 ta được:

5y2+ 5z2 + 8yz − 6y − 6z + 2 = 0 ⇔ (3y − 1)2 + (3z − 1)2 = 4(y − z)2

(Vì giả sử u 6= 0 (hoặc v 6= 0 ) thì phương trình thành: 5t2 + 8t + 5 = 0

(với t = u v hoặc t = u v ) có ∆0 = −9 < 0 nên vô nghiệm)

Vậy các tam giác này đồng dạng với tam giác có độ dài cạnh là 5, 5, 8

2 ´Ưng dụng phương pháp lượng giác để giải một số bài toán thuộc chương

trình trung học phổ thông, cụ thể là: "chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số; giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình; giải bài toán cực trị; bài toán tìm nguyên hàm và tính tích phân; giải các bài toán về đường tròn, elip, hypebol và các bài toán hình học phẳng khác".

3 Hy vọng rằng phương pháp lượng giác được trình bày trong luận văncòn tiếp tục được mở rộng và hoàn thiện hơn nhằm có thể giải đượcnhiều lớp bài toán khác

4 Nội dung của luận văn có thể là một tài liệu tham khảo cho học sinhphổ thông cũng như những ai quan tâm đến phương pháp lượng giáchóa