Nguyên lý bao hàm & loại trừ và ứng dụng

Công thức xác định số phần tử của hợp một số tập hữu hạn thường được dùng trong nhiều bài toán đếm.. Trong lý thuyết tổ hợp, nguyên lý bao hàm và loại trừ là phương pháp đếm nâng cao giả

Chién

NGUYEN LY BAO HAM & LOAI TRU VA

UNG DUNG

Phan bién 1: TS Cao Van Nuoi

Phản biện 2: PGS TS Trần Dao Đống

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

tốt nghiệp thạc sĩ khoa học tại Đại học Đà Nẵng ngày

29 tháng 05 năm 2011]

TOM TAT LUAN VAN THAC Si KHOA HOC

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- _ Thư viện trường Đại học sư phạm, Dai hoc Đà

3

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cùng với sự phát triển với tốc độ nhanh của công nghệ thông

tin, lý thuyết tổ hợp đã trở thành lĩnh vực toán học quan trọng và cần

thiết cho nhiều lĩnh vực khoa học và ứng dụng Nhiều bài toán hiện

nay được giải quyết băng cách quy chúng về các bài toán tổ hợp

Lý thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bó, sắp xếp các phần tử

của một hoặc nhiều tập hợp, thoả mãn một số điều kiện nào đó

Các bài toán tổ hợp rất phong phú và đa dạng: bài toán tồn tai,

bài toán đếm, bài toán liệt kê và bài toán tối ưu Trong các bài toán

đó thì bài toán đếm được ứng dụng rộng rãi và đa dạng Từ các cấu

hình tổ hợp cơ bản người ta hình thành nên hệ thống các cấu hình tổ

hợp mở rộng và nâng cao

Công thức xác định số phần tử của hợp một số tập hữu hạn

thường được dùng trong nhiều bài toán đếm Một trong những công

thức đó là nguyên lý bao hàm và loại trừ của tập hợp Sử dụng

nguyên lý này và phối hợp một số phương pháp khác trên tập hợp

chăng hạn phương pháp ánh xạ, ta có thể giải một số dạng toán

Trong lý thuyết tổ hợp, nguyên lý bao hàm và loại trừ là

phương pháp đếm nâng cao giải các bài toán đếm, nó có nhiều ứng

dụng hay Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán

quốc tế, thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng

các bài toán liên quan đến dạng này hay được đề cập và thường thuộc

loại rất khó

Chính vì các lý do trên, tôi đã nghiên cứu và chọn:

“NGUYÊN LÝ BAO HÀM & LOẠI TRỪ VÀ ỨNG DỤNG 7 làm

đê tài luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Từ các ứng dụng nguyên lý bao hàm và loại trừ giải lớp các bài

toán tương tự cụ thể

3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: nguyên lý bao hàm và loại trừ

Phạm vi nghiên cứu: nội dung của nguyên lý bao hàm và loại trừ, ứng dụng của nguyên lý này

4 Phương pháp nghiên cứu Gián tiếp thông qua các tài liệu: sách, giáo trình, tạp chí toán học tuổi trẻ, truy cập các trang web

Trực tiếp thông qua sự hướng dẫn của thầy và việc trao đổi

thảo luận với các bạn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài góp phần nghiên cứu, hỗ trợ học sinh khi học phần tổ

hợp, giải một số bài toán số học mà việc giải chúng có nhiều ứng dụng trong trong các lĩnh vực toán học, tin học

6 Nội dung luận văn

1) Mở đầu

2) Chương 1 Đại cương về tổ hợp 3) Chương 2 Nguyên lý bao hàm và loại trừ 4) Chương 3 Ứng dụng của nguyên lý bao hàm và loại trừ 5) Kết luận

CHƯƠNG 1 DAI CUONG VE TO HỢP

1.1 Sơ lược lịch sử

1.2 Các quy tắc đếm cơ bản

1.2.1 Quy tắc tương ứng một - một Nếu tồn tại tương ứng

một — một giữa các phần tử của các tập hữu hạn À, vaA,, thi A,

và ÀA; có cùng số các phần tử

Gia sr A,, A,, A, 1a cdc tập hữu hạn bất kỳ Ta định nghĩa

tích Đề-các của A,, A„ A„, kí hiệu là A, x A„, .x A„, là tập

bao gdm tất cả các bộ có thứ tự (a, Ay, vey a, ) gdm n thanh phan

A,, 4, ., 4, saocho a, € A,, a, € A, , a, € A,

1.2.2 Quy tắc nhân Nếu Ai, A; A,„ là các tập hữu hạn bất

kỳ và A¡ X A, .< A„ là tích Đề các của các tập đó thì

|A¡x4; x x 4| =|A¡|4:|-]

A,

1.2.3 Quy tắc cộng Nếu A,, A„ A „ là các tập hữu hạn đôi

một rời nhau, tức là Á, 1A, = Ø nếu ? # 7 thì

|Á, 2A, 2 —24,|=|A|+|A;|+ +|A,

Ở đây |A,| là lực lượng ( số các phần tử ) của tập A

1.3 Cấu hình tổ hợp cơ bản

1.3.1 Chỉnh hợp lặp

® Định nghĩa Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác

nhau là một bộ có thứ tự gồm k thành phân lấy từ n phần tử đã cho

Các thành phần có thể được lặp lại

Nếu ta ký hiệu số chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử của A

bằng AR (n, k) thì

AR (n, k) =n‘

1.3.2 Chỉnh hợp không lặp

® Định nghĩa Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm k thành phản lấy từ n phần tử đã cho Các thành phần không được lặp lại Chỉnh hợp không lặp đơn giản gọi là chỉnh hợp

Kí hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử của A là A(n, k)

ta có

A(n,k) =4(n-k)!

1.3.3 Hoan vi khong lap

® Định nghĩa Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một

cách sắp xếp thứ tự các phần tử đó

Hoán vị có thể coi là trường hợp riêng của chỉnh hợp không lặp chập k của n trong đó k = n Ta có số hoán vị là

P(n) =n!

1.3.4 Hoan vi vong quanh

Số hoán vị vòng quanh của n phần tử khác nhau (Q,) được tính bằng công thức

Q, =(n-1)!

1.3.5 Tổ hợp

® Định nghĩa Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ không kể thứ tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử

7

đã cho Nói cách khác ta có thể coi một tổ hợp chập k của n phần tử

khác nhau là một tập con có k phần tử từ n phần tử đã cho

Nếu ta ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử của A bằng Cán,

k) thi

n

—— khilsk<n

C(n,k)= k\(n—k)!

0 khik >n Mỗi tổ hợp chập k của n phản tử của A có thể xem như là | tap

con lực lượng k của A Vì vậy C(n, k) chính bằng sỐ các tập con lực

lượng k của A Với k= 0, vì chỉ có | tap con của A lực lượng 0 1a tap

rỗng nên ta có thể định nghĩa một cách tự nhiên răng Cín, 0) = 1 Khi

đó đăng thức Cứ, k) = n! cũng đúng cho cả k = 0

k\(n—k)!

1.4 Cấu hình tổ hợp mở rộng

1.4.1 Hoán vị lặp

® Định nghĩa Hoán vị lặp là hoán vị trong đó mỗi phần tử

được ấn định một số lần lặp lại cho trước

Ký hiệu số các hoán vị có lặp của các phần tử

`

a,,4,, ,a, Voi tham sô lặp M,, M,, .,M la

P(m; m,, m,, ,m,)-

® Định lý 1 Số hoán vị lặp của n phần tử khác nhau, trong đó

phân tử thứ nhất lap m, lần, phần tử thir hai lap m, 1an, , phan tir

thứ n lap m, 1an 1a

m!

P (m; m), M, M,) =" ( 5 1> 29 +

8

vol m=m,+m,+ +m,

® Hệ qua Giả sử tập S có n phần tử, trong đó có n, phan tir

kiéu 1, n, phan tử kiểu 2, , nN, phan tử kiểu k Khi đó số các hoán

vị n phân tử của S là

P (n: HỊ, "y ,fy ) =

1.4.2 Té hop lap

® Định nghĩa Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử khác nhau là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử đã

cho, trong đó các phần tử có thể được lặp lại

® Định lý 2 Giả sử X có n phần tử khác nhau Khi đó số tổ

hợp lặp chập k từ n phần tử của X, ký hiệu CRí(n, k), là

CR(n, k)=C(K+n— I,n- 1)=€C(k+n- I1, k)

1.4.3 Phân hoạch của tập hợp Số Sterling loại 2 và số Bell Giả sử A là tập hữu hạn với l4| =n, con k là I số nguyên dương Ta cũng giả sử Á, = A

S là sơ đồ sắp xếp “tập {X,, Ä, X,} voi X,, X,, , X;, cũng là các “tập” để ta xếp các phần tử của A¡ vào ”,

R, là điều kiện “mọi phần tử của A, đều được sắp xếp vào một trong các “tập” X,, X,, , X,”,

Ñ, là điều kiện “với mọi ¡ = 1, , k có ít nhất một phần tử của

A, duge xép vao X,”.

Khi đó, một cấu hình tổ hợp trên A, theo S thoa man cdc diéu

kiện #, và #, được gọi là một phân hoạch của A thành k khối

Số tất cả các phân hoạch thành k khối của một tập A lực lượng

n được gọi là số Sterling loại 2 và được ký hiệu là S(n, k) Dễ thấy

rằng S(n, k) = 0 nếu k > n Ta cũng quy ước răng S(n, 0) = 0

Số 1, = S(n, 1) + S(n, 2) + + S(n, n) được gọi là SỐ

Bell Như vậy, số Bell chính là số tất cả các phân hoạch của tập A lực

lượng n

Viéc tinh S(n, k) va 7) sẽ được trình bày trong phan ứng dụng

của nguyên lý bao hàm và loại trừ

1.4.4 Phân hoạch thứ tự tô hợp

® Định nghĩa Cho X là tập n phần tử khác nhau, z <øm và

Š$ C X cótr phần tử Một phân hoạch {S,, Sy 5} có thứ tự của

S gọi là I phân hoạch thứ tự tô hợp chập r của X Nếu r = n, thì gọi là

phân hoạch thứ tự của X

Cho các số nguyên dương Hị, n,, ,H, — thỏa

H +, + + n, =r Số các phân hoạch thứ tự tô hợp chập r của

X dạng {S,, Sy ` có

S| =n, S,| =N,, |S, | =n, được

ký hiệu là C(m; m,, m„, „my )

® Định lý3

CÍn; nụ, n,, ,n„ } = =e Bln yy sty 1) nị1.n ! n, l(n — r)l ne

C(n; Ny Noy ++ Nn, ) được gọi là hệ sô đa thức

1.4.5 Phân hoạch không thứ tự tổ hợp

® Định nghĩa Cho X là tập n phần tử khác nhau, các số nguyên dương ?, ñ;, ,1„, Và Dị, Ð;, , 0, thỏa

NP, + nN, P» + T Hạ Dụ =n

Một hệ thống các tập con của X gồm P, tap luc lượng n,, p, tap luc lugng n,, , p, tập lực luong n, goi 1a phan hoach khong

thu tu cua X

® Định lý 4 Số phân hoạch không thứ tự của X với p, tập lực

lượng ”ứ,, Pp, tap luc luong n,, , p, tap luc luong n, 1a CÍn;n, ,m, „1.„ , Ly „ít, „- , Hy ) _ n}

Pi'Po!. Py! Dị I(n, 1)” Py (n, )” DP I(n, 1)” (trong tử số C{n: 1, .VfH, Hạ, , Hạ, Hy, 2 nụ ) số n, lap lai p, lần, số n, lap lai p, lần, số H, lặp lại lần)

ộ Vídụ9 () Số cách chia 21 học sinh vào 3 lớp học buổi sáng, buổi

chiều và buổi tối, mỗi lớp 7 sinh viên là

21!

C(21; 7,7, B177) Sản 7) = (phân hoạch thứ tự)

(ii) Số cách chia 21 học sinh thành 3 tổ, mỗi tổ 7 học sinh là

C(21; 7, 7, 7) 21!

= (phân hoạch không thứ tự)

II

CHƯƠNG 2 NGUYÊN LÝ BAO HÀM VÀ LOẠI TRỪ

2.1 Nguyên lý bao hàm và loại trừ dạng kinh điển

2.1.1 Công thức 1 (Nguyên lý bao hàm và loại trừ cho hai

tập hợp)

Có bao nhiêu phần tử trong hợp của hai tập hữu hạn phần tử?

Số các phần tử trong hợp hai tập A và B bằng tổng các phần tử của

mỗi tập trừ đi số phần tử của giao hai tập hợp, tức là

Nếu A là một thành phần của X, phần bù của A trong X kí hiệu

A Nếu A, B là hai thành phần của X thì

nAOB]=n(X)—n(AB)=n(X)—[n(A)+ n(b)]+ n(An 8)

Nhưng (AUB) =AN B, vi vay

n(AB)=n(X) —[n(A) + n(B) | + n(AnB)

2.1.2 Công thức 2 (Nguyên lý bao hàm và loại trừ cho ba

tập hợp)

Với 3 tập A, B,C thì

|Avøđ=|A|+|B|+|Cc|—|Am|—-|gmđ|—|C¬Al+|A¬nd

Cho tap hop A và các tập con A,, A,, A, C A Khi đó

Aina, n=

|A|-|A,]—|A,]—|A,] +]A, 7.A,|+]A, 0 A5|—|A, 0A, 9 A,

12 2.1.3 Công thức 3 (Nguyên lý bao hàm và loại trừ dạng

kinh điển) X.,UX,tQ JX

1 2 n = >,|X,|- > |X, 0%, |+

1<i, <n 1Si,<i, Sa

"=5 IX; SX, O OX, |+ +(CD"”

1Si, <i, < i, Sn X;X,Ññ ¬X,

Hay |X, 2X; .2X„Í= 3 (D“ˆXứn,k)

k=l Trong đó: X (n, k) = > LX, VX, 0 0X,|

1Si,< <i, Sn ,

Trong tong X(n, k), bd (i, i,, , i, ) lay tất cả các tổ hợp chap k của n va nhu vay X(n, k) là tổng của Cín, k) số hạng Nói riêng ta có

X(n, 1) =|X,| + |X,| + + |X,

và Xứ, n) =|X, Ð X; n ¬X,

2.1.4 Công thức 4 (Sieve)

X,n X,n nXz | =3) (1° X(n,k)

k=0

Trong đó: X(n, 0) = [|X|

vaxXa,ky= > IX, AX, 0 0X,

1Si, < <i, Sn Vke=1, ,n

2.1.5 Tổ hợp lặp tổng quát

® Định nghĩa Tổ hợp lặp tống quát chập k từ n phần tử khác

nhau là nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần

tử đã cho, trong đó phần tử thứ ¡ lặp lại không quá k, lần (i = 1, , n),

Voi k, + +k, 2k.

Nếu kí hiệu tổ hợp lặp tổng quát chập k từ n phần tử trong đó

phần tử thứ ¡ lặp lại không quá *, lần Gi = 1, , n), voi

k,+ +k, >k là C (k,, , k„) ta có

CẺ (k, , k„)= C(k+n—1,k) + Sr 3Ì CÍn-I+k-[k, + +R, +m) 1)

2.2 Nguyên lý bao hàm và loại trừ dạng tổng quát

Cho tập X và tập II = {đớ, a, | gồm m tính chất đối với

các phần tử của X

Với tập k (l<k<m) tính chất {đ, , } —II, ký hiệu

X, Loved , latap phân tử trong X thỏa các tính chat Œ, ,Œ, Và 1 k

n( a, pee ) = IX,

Tiép theo, ky higu s = |X|

S, = » n(đ, ở, ) Vk ==1,2, ,m

l<i,< <j, <m

é, là số phan tử thỏa mãn đúng k tính chất, k = 0, 1, .,m

Và ƒ, là số phân tử thỏa mãn ít nhất k tính chất, k = 0, 1, ., m

® Công thức 5

e = 5, -C(K+L 1).s,4, + C(K+2, 2).8,,5 — + (-1)"" C(m, m—k).s,,

® Công thức 6

Fe = 5

C(k,1).s,,, + C(k +1, 2).s,, — + (-1)"" C(m-1, m-k).s,

CHUONG 3 UNG DUNG CUA NGUYEN LY BAO HAM

VA LOAI TRU

Dựa vào nguyên lý bao hàm và loại trừ ta có thể đếm được số phần tử trong một tập X không thoả mãn bất kỳ một tính chất nào trong n tính chất

Thật vậy, với mọi k = 1,2, n kí hiệu X, = { xe X /x thoả mãn tính chất k } Khi đó Xx, = { xe X /x khong thoa man tính chat } Như vậy, số phần tử trong X không thoả mãn một tính chất nào trong n tính chất bằng số phần tử của tập hợp 8 X, Ta có thể tính

i=l

được (\X bằng cách sử dụng công thức Sieve

i=l

Theo ý tưởng của nguyên lý bao hàm và loại trừ , có một số bài toán, việc đếm trực tiếp các cấu hình thoả yêu cầu nhiều khi phức tạp, khi đó ta thường giải bài toán ngược (hay bài toán lấy phần bù)

để từ đó suy ra kết quả yêu cầu Ta có ví dụ sau:

Ví dụ Một túi đựng 15 quả cầu đỏ, 7quả cầu xanh Chọn ngẫu nhiên 10 quả cầu Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 10 quả đó có nhiêu nhât là 6 quả màu xanh?

Giải

Chọn 10 quả cầu bắt kỳ trong 22 quả cầu, số cách chọn là

22!

C (22,10) = ——_———— = 646.646

1022-10)!

Chon 10 qua cầu trong đó có đúng 7 quả cầu xanh và 3 quả

cầu đỏ, số cách chọn là

C(7,7).C(3,15) =455

15 Vậy số cách chọn để trong 10 quả đó có nhiều nhất là 6 quả

màu xanh là:

646646 — 455 = 646191

(Chú ý: Nếu giải một cách trực tiếp thì ta phải chia thành 7

trường hợp)

3.1 Bài toán đếm số nguyên dương không chia hết cho một số

Có bao nhiêu số nguyên dương từ I đến 1000 mà không chia

hết cho 2, không chia hết cho 3 và cũng không chia hết cho 7?

Giải Ký hiệu A ={1, 2, 3, ,1000}, A, = {ae A/a khong

chia hét cho 2}, A, = {ae A/ a khdng chia hét cho 3}, A,=

{ae A/a khdng chia hét cho 7} Khi dé A\(A, UA, UA,) là tập

tất cả các số từ 1 đến 1000 mà không chia hết cho 2, không chia hết

cho 3 và cũng không chia hết cho 7

Theo nguyên lý bao hàm và loại trừ, ta có

JA\(A, U A; U A,)|=]A|-|A, U A; VU A,

= 1000 -714 =286 3.2 Bài toán xác định số nghiệm nguyên của một phương

trình với một số ràng buộc nào đó

Phương trình x, + x; + x; =lI có bao nhiêu nghiệm, trong

đó x,,x; và x; là các số nguyên không âm với x¡ <3, x; <4 và

x, 56?

Giải Để áp dụng nguyên lý bao hàm và loại trừ, gọi tổng số

nghiệm là |A| ; nghiệm có tính chất A, là x, > 3, có tính chất A; là

l6

*; >4 và có tính chất A„ là x; >6 Khi đó số nghiệm thỏa mãn

các bất dang thc x, $3, x, $4 vax, <6 bang

ANA, OA,

I4|—|A.|-|A;|—|A;|+|A.n4;|+|A.4,|+|A; n4;|—|A 4; OA;|

= 78- 36 - 28- 15+6+1+0-0=6 3.3 Sàng Eratosthenes

Nguyên lý bù trừ cũng có thể được dùng để tìm số các số nguyên tố nhỏ hơn một số nguyên dương nào đó Cần nhớ rằng một hợp số chia hết cho một số nguyên tố không lớn hơn căn bậc hai của

nó Do đó, để tìm các số nguyên tố không vượt quá 100 thì điều cần chú ý đầu tiên là một hợp số nhỏ hơn 100 phải có một thừa số nguyên

tố không lớn hơn 10 Vì nhỏ hơn 10 chỉ có các số nguyên tố là 2, 3,

5, 7, nên các số nguyên tố không vượt quá 100 gồm bốn số nguyên tố trên và tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn 100 không chia hết cho

2, 3, 5, 7 Để áp dụng nguyên lý bao hàm và loại trừ , ta gọi A, là

tinh chat chia hét cho 2, A, 1a tính chất chia hết cho 3, A, là tính

chat chia hét cho 5, A, 1a tinh chất chia hết cho 7 Vậy số nguyên tố không vượt quá 100 là

A, OA, OA, OA,| +4 =214+4=25

Do đó có 25 số nguyên tố không vượt quá 100

3.4 Bài toán đếm số các số nguyên dương nhỏ hơn số nguyên dương n và nguyên tố cùng nhau với n ( @ - hàm Euler) Hai số nguyên được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng không có ước số chung khác 1 Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu

bằng @(n) số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n mà nguyên

tố cùng nhau với n Hàm Ø(n) được gọi là Ø - hàm Euler

Bài toán: Hãy tính giá trị của Ø(z) theo n

Giải Giả sửn= /¡Ð; ” Є là phân tích chính tắc của n

thành tích các thừa số nguyên tố, ở đây @,G,, ,Œ, là các số

nguyên dương Ta cũng giả sử A = {1, 2, .n}, A, ={ae A/a

chia hết cho p, },i=1, 2, .,k Khi đó

H

A, Cy A, Œ# j),

ale

ify

Áp dụng nguyên lý bao hàm và loại trừ , ta được

p(n) = |A \(A, UU A,,)| = |A|=|A„ UU A,,|

n n n n kl n

P P, P\P2 PraPe P\ PoP

4-1I5)

3.5 Bài toán tìm sô xáo trộn của một hoán vị có n phan tir

Trước tiên ta lưu ý: Cho tập hợp có n phần tử Khi đó mỗi

hoán vị của n phản tử trên sao cho không có phản tử nào ở nguyên vị

trí ban đầu được gọi là một xáo trộn của tập n phần tử đã cho Số tất

cả các xáo trộn được gọi là số mất thứ tự

Ví dụ hoán vị 21453 là một xáo trộn của 12345 vì không có sỐ

nào ở nguyên vị trí ban đầu của nó Tuy nhiên, 21543 không phải là

một xáo trộn của 12345 vì hoán vị này để số 4 ở nguyên vi tri ban

đầu của nó

Giả sử kí hiệu D, là số mất thứ tự của một tập có n phần tử

Bây giờ ta xét bài toán sau:

Bài toán: Hãy tìm số mất thứ tự của một tập có n phần tử

Giải Giả sử A là tập tất cả các hoán vị của tập X,

A, ={ac A/ x, la diém bat dong cia a} Khi d6 A\ (A, U U A, )

la tập tất cả các hoán vị của x ma không có điểm bắt động nào Theo nguyên lý bao hàm và loại trừ, ta có

|A+2 2A|= 3;|A|— 3) |AnAj+-.+(0""|Ao oA,

I<i<n I<i<j<n

Vay

D, =|A\(A,U U A, )

=|A|-|A, U U A,

ni =|

I! 2! 3! n}

3.6 Bài toán bỏ thư Có n lá thư và n phong bì ghi sẵn địa chỉ

Bỏ ngẫu nhiên các thư vào các phong bì sao cho mỗi phong bì chỉ

chứa một thư

a) Hỏi xác suất để không lá thư nào đúng địa chỉ bao nhiêu 2 b) Hỏi xác suất để đúng r lá thư đúng địa chỉ là bao nhiêu (r < n) ?

Sử dụng nguyên lý bao hàm và loại trừ, ta có

1 1 1

a) Xác suât cân tìm là [1 ED =|

b) Xác suât cân tìm là — m1 1_ 1 „ (])

r! I! 2! 3! (n — r)!

19 3.7 Bài toán đếm số các hàm toàn ánh

Nguyên lý bù trừ cũng có thể được dùng để xác định số các

hàm toàn ánh từ tập có n phần tử đến tập c6 k phan tử

Bài toán: Cho hai tập hợp X và Y có |X|=n Y|=k, n>k

Hãy đếm số toàn ánh từ tập X vào tập Y

Giải Ký hiệu T là tập hợp tất cả các toàn ánh từ X vào Y

Theo nguyên lý bao hàm và loại trừ, ta có

k

IT |= >> (1) C(k,r)(k - r)"

r=0

3.8 Bài toán xếp n cặp vợ chồng (Lucas)

Một bàn tròn có 2n ghế Cần sắp n cặp vợ chồng sao cho đàn

ông ngồi xen kẽ đàn bà và không có cặp vợ chồng nào ngồi cạnh

nhau (có tính đến vị trí chế và thứ tự chỗ ngồi) Hỏi có bao nhiêu

cách xếp?

Giải Gọi số phải tìm là Mí,„ Theo nguyên lý bao hàm và loại

trừ, ta có

2n

C(Œn—k, k).(n— k)!

a ).(n—k)

M„=2n1Š CŨ

k=0

3.9 Bài toán tính số Sterling loại 2

Bài toán: Tính số Sterling loại hai S (n, k) qua n va k

Giải — Mỗi phân hoạch k khối của tập X có n phần tử có thể

xem như một phân bố n phan tử của tập X vao k thing B,, , B,

(không kề thứ tự) sao cho thùng nào cũng có phần tử của X Hoán vị

cdc thing B,, ,B,, ta thay một phân bố như vậy sẽ sinh k! hàm

toàn ánh từ tập X vào tập {B,, B, } Suy ra

20

klS(n,k)= S (1) C(&k,r)(k—r)" > S(n,k)= mà (—lI) C(&k,r)(k — r)”

r=0 3.10 Một số bài toán sử dụng nguyên lý bao hàm và loại trừ trong kỳ thi Olympic quốc tế, thi học sinh giỏi quốc gia và tạp chí toán học tuổi trẻ

Bài 1 Một hoán vị {x,,x,,, ,x,}cua tập hợp

{l,2, , 2n} với n nguyên dương, được gọi là có tính chất P nếu lx,—x„j|=n với ít nhất một giá trị ;e {I,2, ,2n - 1} Chứng minh răng với mỗi số n, số hoán vị có tính chất P lớn hơn sô hoán vị

không có tính chât P

Giai Dat M = {1, 2, wn ntint2, ,2n} Luu y

|I—(n +1)|=n và J2—(n+2)|=n- Gọi A, là tập tất cả các hoán vị

của M sao cho trong các hoán vị đó, hai phần tử k và k + n đứng kề

nhau Gọi A là tập tất cả các hoán vị có tính chất P Ta thay A={Ja, nên

k

I=|U^

k

Vì đây là tổng các số hạng của dãy đơn điệu giảm và đan dau

=> |A.|—- 3 |A.n4,|+ SA, 04, 04, k k<h k<h<m

nhau nên

|lA|>3,4.-3_lA.n4,|

k k<h

Ngoài ra |A,| = 2(2n —1)! và |A, ¬A,|= 4(2n—2)1

Do đó |A| > (2n - 2) 2ncn =J~ =1