Định lí radon nikodym cho các hàm dung lượng và các nửa độ đo

Nhờ đó mà chúng ta biết đợc sự tồn tại của đạo hàm Radon-Nikodym đối với các độ đo σ - hữu hạn.. Trong quá trình nghiên cứu và phát triển lý thuyết hàm dung lợng và các hàm tập tổng quát

Mở đầu 1

Chơng 1: Các hàm tập luân phiên 2

Chơng 2: Định lý Radon-Nikodym cho các hàm dung lợng 11

1 Phân tích Hahn cho các hàm dung lợng 11

2 Định lý Radon-Nikodym cho các hàm dung lợng 22

Chơng 3: Định lý Radon-Nikodym cho các nửa độ đo 27

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49

Mở đầu

Định lý Radon-Nikodym là một trong những định lý quan trọng và có nhiều ứng dụng trong giải tích toán học Nhờ đó mà chúng ta biết đợc sự tồn tại của

đạo hàm Radon-Nikodym đối với các độ đo σ - hữu hạn.

Trong rất nhiều bài toán trong thống kê toán học, xác suất hình học, chúng

ta có thể thay thế “độ đo xác suất” bởi “hàm dung lợng” Tuy nhiên cho đến bây giờ lý thuyết về hàm dung lợng vẫn cha đợc phát triển rộng rãi và đầy đủ

nh lý thuyết độ đo

Trong quá trình nghiên cứu và phát triển lý thuyết hàm dung lợng và các hàm tập tổng quát hơn, việc biểu diễn định lý Radon-Nikodym là một vấn đề thời sự đã và đang đợc nhiều nhà toán học quan tâm nh Huber, Strassen, Graf, N.T Hung, N.T Nhu, T.H Wang

Luận văn nhằm trình bày một số kết quả nghiên cứu của Graf về định lý Radon-Nikodym cho các hàm dung lợng và tổng quát hơn của N.T Hung, N.T Nhu và Tonghui Wang cho các nửa độ đo

Với mục đích nh vậy, luận văn đợc chia làm ba chơng

Chơng 1, tác giả trình bày khái niệm và các cách xây dựng hàm tập cực đại, sau đó chứng minh đợc tính chất quan trọng của hàm tập cực đại là luân phiên bậc vô hạn

Chơng 2, tác giả trình bày cách xây dựng và chứng minh định lý Nikodym cho các hàm dung lợng theo nghĩa của Mokobodzki bằng việc chứng minh các kết quả này của Graf [8]

Radon-Chơng 3, trình bày cách xây dựng và chứng minh định lý Radon-Nikodym cho lớp các nửa độ đo Sau đó chỉ ra đợc mối liên hệ giữa lớp nửa độ đo này và lớp các hàm dung lợng theo nghĩa ở trên bằng cách chứng minh lại các kết quả của N.T Hung, N.T Nhu và Tong Hui Wang

Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn đầy nhiệt tình, chu đáo của PGS.TS Nguyễn Nhụy, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy

Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán,

tổ Giải tích, khoa Sau đại học đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình học tập

và nghiên cứu tại trờng

Cuối cùng, tác giả muốn chân thành cảm ơn NCS Lê Xuân Sơn, ngời đã cho tác giả nhiều lời khuyên hữu ích trong suốt quá trình hoàn thành luận văn

Tác giả

Chơng 1 Các hàm tập luân phiên

Định nghĩa 1.1 Giả sử U là một tập cho trớc và U là σ - đại số các tập con

của U Hàm tập u: U → [0, ∞) đợc gọi là cực đại, nếu

u(A ∪ B) = max{u(A), u(B)} với mọi A, B ∈U

Mệnh đề 1.2 (i) Hàm tập cực đại u là đơn điệu tăng, tức là với mọi A, B ∈U

A u

1 = max{u(A1), u(A2), , u(An)}

Chứng minh (i) Giả sử u là hàm tập cực đại và A, B ∈ U thoả mãn A ⊂ B khi đó ta có

u(B) = u(A ∪ B) = max{u(A), u(B)}

chứng tỏ u(B) ≥ u(A)

(ii) Kết luận này thu đợc bằng phơng pháp quy nạp

Định nghĩa 1.3 - Giả sử J là một tập con khác rỗng của U Ta nói rằng J là một ideal (tơng ứng σ- ideal) nếu nó khép kín đối với phép lấy hợp hữu hạn (t-

ơng ứng hợp đếm đợc) và nó có tính di truyền, tức là nếu A ∈ J, B ∈U và B ⊂

A thì B ∈ J

- Giả sử {J t : t ≥ 0} là một họ các ideal Họ này đợc gọi là tăng nếu t < s thì

J t⊂ Js

Mệnh đề 1.4 Cho U là một tập, u là σ - đại số các tập con của U Giả sử

{Nt : t ≥ 0} là một họ tăng các ideal cho trớc trong u, khi đó hàm tập u:

u→ [0, ∞) đợc xác định bởi

u(A) = inf{t ≥ 0 : A ∈Nt} (1)

là cực đại.

Chứng minh Với A, B ∈u, ta cần chứng minh

u(A ∪ B) = max{u(A), u(B)}

Với mỗi A ∈u ta đặt T(A) = {t ≥ 0: A ∈Nt}

Khi đó u(A) = inf{t ≥ 0 : t ∈ T(A)}

Theo giả thiết { Nt : t ≥ 0} là họ tăng các ideal, hơn nữa vì A ⊂ A ∪ B và B

⊂ A ∪ B nên ta có

u(A) ≤ u(A ∪ B) và u(B) ≤ u(A ∪ B)

Do đó u(A ∪ B) ≥ max{u(A), u(B)}

Ngợc lại, giả sử u(A) ≤ u(B),ta suy ra T(B) ⊂ T(A) Vì Nt là ideal nên với A

,B∈ Nt thì A ∪ B ∈Nt Bây giờ lấy bất kỳ t ∈ T(B) thì t ∈ T(A) kéo theo t

∈ T(A ∪ B) Điều đó chứng tỏ T(B) ⊂ T(A ∪ B) Vì vậy

u(A ∪ B) ≤ u(B) = max{u(A), u(B) }

Do đó ta nhận đợc u(A ∪ B) = max{u(A), u(B) }

Mệnh đề 1.5 Cho U là một tập, u là σ - đại số các tập con của U Khi đó

bất kì một hàm tập cực đại u : u → [0, ∞) đều đợc biểu diễn dới dạng sau u(A) = inf{t ≥ 0 : A ∈ Jt}

ở đây {J t : t ≥ 0} là một họ tăng các ideal nào đó trong U

Chứng minh Trớc tiên, với mỗi t ∈ [0, ∞) chúng ta đặt

A u

1 = max{u(A1), , u(An)}≤ t

Suy ra n

i i

A

1

= ∈ Jt Chứng tỏ Jt khép kín đối với phép hợp hữu hạn

Hơn nữa, Jt có tính di truyền Thật vậy, giả sử A ∈ J t , B ⊂ A, B ∈ U thì

u(B) ≤ u(A) ≤ t (theo Mệnh đề 1.2 (i)), chứng tỏ B ∈ Jt

Rõ ràng u(A) ≤ inf{t ≥ 0: A ∈ Jt} Ngợc lại, bằng cách chọn t0 = u(A) thì A∈

J to Do đó u(A) = t 0≥ inf{t ≥ 0 : A ∈ Jt}

Vì vậy với cách đặt của họ Jt nh trên và u là hàm tập cực đại Khi đó u sẽ

đ-ợc biểu diễn dới dạng

u(A) = inf{t ≥ 0 : A ∈ Jt}

Nhận xét 1.6 Nh vậy, một họ tăng các ideal { Nt : t ≥ 0} cho trớc cảm sinh

ra một hàm tập cực đại u : U → [0, ∞) đợc xác định ở Mệnh đề 1.4 theo công

thức (1) Đến lợt mình, hàm tập cực đại u : U → [0, ∞) cảm sinh ra một họ tăng các ideal {J t : t ≥ 0} theo Mệnh đề 1.5 Hai họ {Nt : t ≥ 0} và {J t : t ≥ 0}

đợc xác định ở Mệnh đề 1.4 và 1.5 nói chung không trùng nhau Chúng sẽ trùng nhau nếu họ {Nt : t ≥ 0} là “liên tục phải” theo nghĩa sau

Ví dụ 1.7 < Về hàm tập cực đại đợc xây dựng bằng họ tăng các ideal >

Giả sử U là một không gian cho trớc và hàm f: U → [0, ∞), với mỗi t

Thật vậy, giả sử A, B ∈ Jt Khi đó ta có

A ∩{f > t}∈N và B ∩{t > t}∈N.

Ta suy ra (A ∩ {f > t}) ∪ (B ∩ {f > t}) = (A ∪ B) ∩ {f > t} ∈ N (vì N là ideal) Vậy A ∪ B ∈ Jt Tức Jt khép kín đối với phép hợp hữu hạn

Hơn nữa, nếu A ∈ Jt , B ⊂ A, B ∈U, ta có A ∩{f > t}∈N

và để ý rằng B ∩{f > t} ⊂ A ∩{f > t}∈N (do B ⊂ A)

nên B ∩{f > t}∈N (vì N là ideal), tức B ∈ Jt

Vậy Jt có tính di truyền, do đó theo định nghĩa {J t: t ≥ 0} là họ các ideal.Mặt khác, với s > t thì {f > s}⊂{f > t} và với A ∈ Jt tức A ∩ {f > t}∈N ta suy ra A ∩{f > s}∈N (vì N là ideal) Do đó A ∈ Js.

Vậy {J t : t ≥ 0} là họ tăng các ideal xác định bởi (2) theo Mệnh đề 1.4 hàm tập u xác định bởi

u(A) = inf{t ≥ 0: A ∩{f > t} ∈N }

= inf{t ≥ 0: A ∈ Jt}

là cực đại trong U

Ví dụ 1.8 <Về hàm tập cực đại đợc xây dựng bằng họ tăng các σ -ideal>

Cho P là độ đo xác suất trên không gian đo đợc (U, u ), f : U → [0, ∞) là hàm đo đợc, bị chặn Ta xác định

N = {A ∈u : P(A) = 0}

và Jt = {A ∈u : P(A ∩{f > t}) = 0} với mỗi t ∈ [0,∞)

Khi đó N là một σ - ideal, còn {J t : t ≥ 0} là họ tăng các σ - ideal Thật

vậy, với bất kỳ A1, , An, ∈N, khi đó P(An) = 0 với n = 1, 2,

) (

n n n

A

 = 0 (vì P là một độ đo)chứng tỏ ∞

= 1

A ∈N hay N khép kín với phép hợp đếm đợc

Hơn nữa, nếu A ∈N, B ∈u và B ⊂ A thì ta có P(B) ≤ P(A) = 0,suy ra P(B)

= 0 hay B ∈N tức N có tính di truyền Do đó N là một σ - ideal

Bây giờ ta chứng minh họ {J t : t ≥ 0} với

≤ ∑∞

= 1

n

P(An∩{f > t}) = 0nên ∞

u(A) = inf{t ≥ 0 : A ∩{f > t} = φ} = supx∈A f(x).

Thật vậy, với trờng hợp N = {φ}, tức với mọi A ∈u thì P(A) > 0

Đặt At = {t ≥ 0 : A ∩ {f > t} = φ}, khi đó vì A ∩ {f > t} = φ nên ta có

f(x) ≤ t với mọi x ∈ A.Từ đó suy ra supx∈A f(x) ≤ t Bất đẳng thức này đúng với

mọi t ∈ At nên supx∈A f(x) ≤ u(A)

Đặt t’ = supx∈A f(x) ta suy ra A ∩{f > t’} = φ nên u(A) ≤ t’ = supx∈A f(x).

Do đó u(A) = supx∈A f(x).

Từ kết luận trên với I là tập chỉ số bất kỳ ta dễ dàng suy ra

i I

I i i

A u

sup ( ) sup sup ( ) sup{ ( i)}

I i A

x I i A

x I

Định nghĩa 1.9 Giả sử U là tập cho trớc, u là σ - đại số các tập con của U, hàm tập u: u → [0,∞) đợc gọi là luân phiên bậc vô hạn nếu với bất kỳ A1,

i n

I

I n

i

A u

, , 1

1 1

) 1 (

ở đây |I| đợc kí hiệu là lực lợng của tập I

Định lý 1.10 Mỗi hàm tập cực đại đều luân phiên bậc vô hạn.

Chứng minh Giả sử u là hàm tập cực đại trên u (σ - đại số các tập con của tập đã cho U) và bất kỳ A1, , An∈u Ta chứng minh khẳng định sau

1

 {u(A i)} (3)

ở đây J(n) = {I : φ ≠ I ⊂{1, , n}}

Ta sẽ chứng minh khẳng định này bằng phơng pháp quy nạp

Với n = 2 ta có vế trái của (3) là

u(A1) + u(A2) - u(A1∪ A2)

= u(A1) + u(A2) - max{u(A1), u(A2)}

= min{u(A1), u(A2)}

nên khẳng định đúng với n = 2

Giả sử (3) đúng đến n, ta cần chứng tỏ nó cũng đúng với n +1

Với A1, A2, , An +1∈u, không mất tính tổng quát ta có thể xem

u(A1) = 1≤mini≤n+1{u(A i)} và u(An +1) = 1≤maxi≤n+1{u(A i)}

Khi đó sử dụng giả thiết quy nạp trên ta có

) ( )

1 ( )

1

) (

1 )

J I

I I

i i n

∈

+

' 1

), ( '

1 '

) 1 (

I

n n J I

n- C2

n + C3

n - + (-1)n C n

n)u(An +1) = u(A1) = 1≤mini≤n+1{u(A i)}

Vậy khẳng định (3) đúng

Từ Mệnh đề 1.2 ta có

n i n

i i A u

min

 {u(A i)} (4)

với Ai ∈u, i = 1, 2, , n.

Kết hợp (3) và (4) ta nhận đợc kết luận của định lý

Định nghĩa 1.11 - Cho (R n , d) là một không gian metric, A ⊂ Rn Kí hiệu diam(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A},

và gọi diam(A) đợc gọi là đờng kính của tập A

- Họ {A n} đợc gọi là một δ - phủ của tập A nếu {A n} là một họ đếm đợc (hoặc hữu hạn) phủ A gồm các tập có đờng kính cực đại bằng δ tức là

A ⊂ ∞

= 1

n n

A và 0 < diam(An) ≤δ với mọi n

Định nghĩa 1.12 - Cho (Rn , d) là một không gian metric, A ⊂Rn và 0

s

diamA là một δ - phủ của A (5)

Rõ ràng với 0 <δ2 < δ1 thì mọi δ2 - phủ A cũng là δ1 - phủ A nên Hδs2(A) ≥ Hδs1

(A) Vì vậy khi cho δ → 0 thì Hδs(A) tăng dần đến một giới hạn Ta đặt

Hs(A) = lim ( )

0H s A

δ

δ → , (6)

và gọi Hs(A) đợc gọi là độ đo Hausdorff s- chiều của tập A

Mặt khác, từ (5) ta thấy nếu δ < 1 thì Hδs(A) không tăng khi s tăng, theo (6) thì Hs(A) cũng không tăng Cụ thể, với t > s và {A n} là δ - phủ của A ta có

(diamAn)t - s≤δt - s hay (diamAn)t≤δ t - s (diamAn)s

Ta gọi dimH(A) là chiều Hausdorff của tập A

Hệ quả 1.13 Chiều Hausdorff của một tập con A trong không gian metric

(Rn , d) là luân phiên bậc vô hạn.

Chứng minh Giả sử với tập A bất kỳ thoả mãn A ⊂Rn và

dimH(A) = inf{s ≥ 0 : Hs(A) = 0}

là chiều Hausdorff của nó

Để chứng minh dimH(A) là luân phiên bậc vô hạn, theo Định lý 1.10 ta chứng minh nó là cực đại Thật vậy, bằng cách xác định

Ns = {A ⊂Rn : Hs(A) = 0}

Khi đó với mỗi s ≥ 0, Ns là một σ - ideal Hơn nữa { Ns : s ≥ 0} là một họ tăng

Thật vậy, giả sử Ai ⊂ Rn, i = 1, 2, với ε > 0 tùy ý, với δ > 0 và với số tự

nhiên i, từ (5) ta suy ra tồn tại dãy {A i, k} thoả mãn Ai ⊂ ∞

= 1 ,

k k i

i k

s k i i

A ∈Ns tức Ns khép kín với phép hợp đếm đợc

Bây giờ, giả sử A ∈ Ns , B tuỳ ý sao cho B ⊂Rn thoả mãn B ⊂ A Từ (5) ta

suy ra Hδs(B) ≤ Hδs(A), do đó từ (6) và Hs(A) = 0 ta có Hs(B) = 0 tức B ∈ Ns Vì vậy Ns có tính di truyền

Phần còn lại ta chứng minh rằng {Ns } là dãy tăng, nghĩa là phải chứng minh rằng nếu s < t thì Ns ⊂ Nt Lấy A ∈ Ns ,ta có Hs(A) = 0 Từ Định nghĩa 1.12 rõ ràng Ht(A) = 0 do đó A ∈Nt Vậy {Ns : s ≥ 0} là một họ tăng các σ

Chơng 2

Định lý Radon - Nikodym cho các hàm dung lợng

Đ1 Phân tích Hahn cho các hàm dung lợng

Định nghĩa 2.1.1 [8] - Cho (U, u) là một không gian đo đợc (U là một tập và

u là một σ - đại số các tập con của U) Một ánh xạ u : u →R+ = [0, +∞) đợc gọi

là hàm dung lợng nếu nó thoả mãn các điều kiện sau đây

(i) u(φ) = 0

(ii) Với mọi A, B ∈u ta có u(A ∪ B) ≤ u(A) + u(B)

(iii)Với mọi A, B ∈u nếu A ⊂ B thì u(A) ≤ u(B)

(iv) Với mọi dãy tăng {A n}n∈ N trong u thì

∈  = → ∞

n N

n n

A

(Khi đó ta viết An↑ A ⇒ u(An) ↑ u(A))

- Cho hàm dung lợng v: u→R+ và một tập A ∈u Kí hiệu vA = v|u ∩ A

và gọi vA là hạn chế của v lên u ∩ A ở đây u ∩ A = {B ∈ u : B ⊂ A}.Khi

đó vA là một hàm dung lợng trên A

Ví dụ 2.1.2 (i) Mỗi độ đo hữu hạn là một hàm dung lợng.

(ii) Giả sử M là một họ các độ đo hữu hạn trên u với sup{u(U)

: u ∈ M} < +∞ Khi đó hàm r : u → R+ đợc xác định bởi r(A) = sup{u(A) : u ∈ M} là một hàm dung lợng

Định nghĩa 2.1.3 Cho (U, u ) là một không gian đo đợc và u,v : U→R+ là các hàm dung lợng

(a) Cặp (u, v) đợc gọi là có tính chất phân tích yếu, và kí hiệu là W.D.P, nếu với mọi α ∈R+, tồn tại một tập Aα∈u thoả mãn

αv Aα≤ u α và v A c

α

α ≥ u A c

α,

ở đây Aαc là phần bù của Aα trong U

(b) Cặp (u, v) đợc gọi là có tính chất phân tích mạnh, và kí hiệu là S.D.P, nếu với mọi α ∈R+, tồn tại Aα∈u thoả mãn các điều kiện sau

(i) Với mọi A,B ∈u nếu B ⊂ A ⊂ Aα thì α[v(A) - v(B)] ≤ u(A) - u(B)

(ii) Với mọi A ∈u ta có α[v(A) - v(A ∩ Aα)] ≥ u(A) - u(A ∩ Aα)

Nhận xét 2.1.4 (1) Giả sử (u, v) có S.D.P Khi đó chúng cũng có W.D.P

Thật vậy, giả sử Aα là tập đợc xác định trong định nghĩa S.D.P Với A ∈ u mà

A ⊂ Aα, chọn B = φ, từ (i) trong Định nghĩa 2.1.3 ta có

αv(A) = α[v(A) - v(φ)] ≤ u(A) - u(φ) = u(A)

Do đó αv Aα≤ u α

Với A ∈u và A ⊂ Ac

α từ (ii) trong Định nghĩa 2.1.3 ta có

αv(A) = α[v(A) - v(A ∩ Aα)] ≥ u(A) - u(A ∩ Aα) = u(A)

Do đó v A c

α

α ≥ u A c

α.(2) Với (u, v) là một cặp độ đo thì hai tính chất phân tích trong Định nghĩa 2.1.3 là tơng đơng Hơn nữa, với u, v là hai độ đo bất kỳ, khi đó chúng thoảmãn các điều kiện (a) và (b) trong Định nghĩa 2.1.3

Thật vậy, rõ ràng nếu u, v là các độ đo thì tơng tự (1) ta cũng suy ra nếu (u, v) có S.D.P thì nó có W.D.P

Bây giờ ta còn phải chứng minh nếu nó có W.D.P thì nó cũng có S.D.P Thật vậy, với B ⊂ A ⊂ Aα ta có A\ B ⊂ Aα Từ giả thiết αv Aα≤ u αsuy ra

αv(A\B) ≤ u(A\B) ⇔ α[v(A) - v(B)] ≤ u(A) - u(B) với mọi α∈R+

Hơn nữa, với mọi A∈u từ giả thiết αv A c

Tiếp theo với u, v là 2 độ đo bất kì và α∈R+ thì αu - v là một độ đo dấu, do

đó theo định lý phân tích Hahn cho các độ đo, tồn tại Aα ∈u sao cho (αu - v) Aα ≤ 0 và (αu - v) A c ≥ 0 với Ac

α là phần bù của Aα trong U Vì vậy nếu u, v là hai độ đo bất kì thì u, v thoả mãn W.D.P

Định nghĩa 2.1.5 Cho (U, u ) là một không gian đo đợc và u, v:u →R+ là các hàm dung lợng Ta nói rằng

(a) v đợc gọi là trội trên u nếu với mọi A ∈u ta có uA≤ vA

(b) Trội của v trên u đợc gọi là ổn định nếu với mọi A, B ∈u, uA ≤ vA và uB

Với mỗi α∈R+, gọi Aα là tập đợc xác định trong định nghĩa W.D.P

Bởi vì βv(Aα\ Aβ) ≥ u(Aα\ Aβ) nên u(Aα\ Aβ) = 0.

Bây giờ ta chứng minh rằng với mọi β∈R+ thì βv Eβ≤ u Eβ (3)

Thật vậy, nếu β = 0 thì hiển nhiên (3) đúng

Nếu β > 0 xét tập tùy ý B ∈u mà B ⊂ Eβ Với mọi α ∈ [0, β) ∩Q ta có B

β ≥ (4)

Thật vậy, nếu β = 0, từ định nghĩa E0 suy ra (4) thoả mãn

Nếu β > 0, với bất kỳ B ∈u sao cho B ∩ Eβ = φ Khi đó

u(B) = sup{u(B ∩ Aαc) : α∈ [0, β) ∩Q}.

Rõ ràng, từ định nghĩa hàm dung lợng ta có u(B) ≥ u(B ∩ Ac

k

c c

n k

c

n k n

c c

k n k

A B

1 1

\ '

c c

n

k

c

k n k

n

A B u

1 1

1

\ '

α α

≤ ( ) ( ∑ )

=+

k

c

k n

A B

≥ sup{u(B ∩ Aαc ) : α∈ [0, β) ∩Q} = u(B)

Kết hợp (1), (2), (3) và (4) ta suy ra tồn tại ánh xạ u - đo đợc f :

U → [0, +∞] thoả mãn

αv{f ≥ α}≤ u{f ≥ α} và αv{f < α}≥ u{f < α} với mọi α∈R+

(c) ⇒ (b) Với giả thiết của (c) ta chứng tỏ với mọi α ∈ R+ thì u trội trên

αv Cho α > 0 và A, B ∈ u thoả mãn αv A ≤ u A và αv B ≤ uB ta cần chứng minh

αv(A ∪ B) ≤ u(A ∪ B)

Với 0 < β < α khi đó từ giả thiết (c) ta có

u(A ∩{f < β}) ≤βv(A ∩{f < β}) ≤ αβu(A ∩{f < β}).

Suy ra u(A ∩{f < β}) = 0 Tơng tự ta nhận đợc v(A ∩{f < β}) = 0

Hoàn toàn tơng tự, ta cũng chứng minh đợc trội của αv trên u là ổn định.

Bây giờ ta sẽ chứng minh u có tính trội ngặt trên αv.

Với mỗi α∈R+, giả sử A ∈u thoả mãn αv(A) < u(A), ta xác định

Bởi vì trội của u trên αv và của αv trên u là ổn định nên ta dễ dàng suy ra B

và C là các σ - ideal trong u Do đó tồn tại A ∈B và B ∈C sao cho

v((A ∪ B)c) = inf{v((A’ ∪ B’)c) : A’∈B , B’∈C}

và u((A ∪ B)c) = inf{u((A’ ∪ B’)c) : A’∈B, B’∈C}

Điều này dẫn đến mâu thuẫn vì C = (A ∪ B)c.

(ii) Nếu αv(C) ≥ u(C) thì βv(C) > u(C) Từ tính trội ngặt của βv trên u suy

ra tồn tại B’ ∈C sao cho

B’ ⊂ C và v(C \ B’) < v(C)

Từ đó ta có

B ∪ B’∈C và v((A ∪ B ∪ B’)c) = v(C \ B’) < v(C)

Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết đặt ra,vì vậy v(C) = 0

Hoàn toàn tơng tự ta có u(C) = 0

(iii) u đợc gọi là liên tục tuyệt đối với v và viết u << v nếu với mọi A ∈ u

thoả mãn v(A) = 0 thì u(A) = 0

(iv) Cho hàm đo đợc f : U → [0, ∞], khi đó ∫

Chứng minh Cho f, g: U → [0, ∞] là các hàm phân tích của (u,v) Với

p,q∈Q+ = Q ∩R+ thỏa mãn p < q ta xác định Ap,q = {f < p}∩{g ≥ q}

Khi đó ta có {f < g} = ∪{A p,q: p, q ∈Q+, p < q}

Bởi vì q.v(Ap,q) ≤ u(Ap,q) ≤ p.v(Ap,q), nên v(Ap,q) = 0

Vì v là hàm dung lợng nên nó có tính chất σ - bán cộng, nên ta suy ra v({f

< g}) = 0

Thay đổi vai trò của f và g ta cũng có v({g < f}) = 0

Do đó v({f ≠ g}) = 0 hay f và g là v- tơng đơng

Hoàn toàn tơng tự ta có thể chỉ ra f và g là u - tơng đơng

Nhận xét 2.1.9 (1) Cho (u, v) có W.D.P và f là một hàm phân tích của

(u,v) Khi đó (v,u) có W.D.P và 1f là một hàm phân tích của (v,u)

(2) Nếu u và v là các độ đo và u << v, khi đó f là hàm phân tích của (u,v) nếu và chỉ nếu f là đạo hàm Radon-Nikodym của u đối với v

Mệnh đề 2.1.10 Cho (U, u) là một không gian đo đợc và u,v: u → R+là các hàm dung lợng thoả mãn (u,v) có W.D.P Hơn nữa, cho f : U → [0, ∞]

là một hàm phân tích của (u,v) Khi đó các khẳng định sau là tơng đơng

(i) u << v

(ii) ∀A ∈u : u(A) = 0 ⇔ ∫

A fdv = 0

Chứng minh (ii) ⇒ (i) Giả sử với mọi A ∈u mà v(A) = 0 Khi đó với mọi

α∈R+ vì A ∩{f ≥α}⊂ A nên v(A ∩{f ≥α}) ≤ v(A) = 0, từ đó suy ra

Suy ra u(A) = 0, nghĩa là u << v

(i) ⇒ (ii): Giả sử u << v tức với mọi A ∈ u nếu v(A) = 0 thì u(A) = 0 Ta chứng minh rằng u(A) = 0 ⇔ ∫

A fdv = 0 Thật vậy(1) Nếu u(A) = 0 chứng minh giống trên suy ra ∫

A fdv = 0

(2) Nếu ∫

A

fdv = 0, theo định nghĩa của tích phân thì

v(A ∩{f ≥α}) = 0 với mọi α ∈ (0, ∞).

Vì u << v nên

u(A ∩{f ≥α}) = 0 với mọi α∈ (0, ∞)

Do đó u(A ∩{f > 0}) = 0

Với mọi α∈ (0, ∞) ta có αv(A ∩{f = 0}) ≥ u(A ∩{f = 0})

Suy ra u(A ∩{f = 0}) = 0 Vậy u(A) = 0

Mệnh đề 2.1.11 Cho (U, u) là một không gian đo đợc và u,v: u → R+ là các hàm dung lợng Khi đó (u,v) có S.D.P nếu và chỉ nếu có các điều kiện sau:

(i) (u,v) có W.D.P

(ii) Với mọi α ∈ R+, mọi A ∈ u mà αv A ≤ uA và với mọi B ∈ u thoả mãn

B ⊂ A ta có α[v(A) - v(B)] ≤ u(A) - u(B)

(iii) Với mọi α∈R+, mọi A,B ∈u thoả mãn B ⊂ A, αv B ≤ uB và αv A \ B≥ uA \ B

ta có α[v(A) - v(B)] ≥ u(A) - u(B)

Chứng minh (⇒) Giả sử (u,v) có S.D.P ta chứng minh chúng có (i), (ii) và (iii)

Từ Nhận xét 2.1.4 nếu (u,v) có S.D.P thì nó có W.D.P nên ta có (i)

(1) Ta chứng minh (u,v) có (ii)

Cho α ∈ R+, mọi A ∈ u mà αv A ≤ u A và B tùy ý thuộc u mà B ⊂ A, nh trong chứng minh (c) ⇒ (b) ở Mệnh đề 2.1.6 ta có

v(A ∩ Aβc) = 0 = u(A ∩ Aβc) với mọi β∈ [0, α)

Do đó β[v(A) - v(B)] = β[v(A ∩ Aβ) - v(B ∩ Aβ)]

≤ u(A ∩ Aβ) - u(B ∩ Aβ) = u(A) - u(B),

với mọi β tùy ý thuộc [0, α).Do đó ta có (ii), tức là

α[v(A) - v(B)] ≤ u(A) - u(B)

(2) Bây giờ ta chứng minh nếu (u,v) có S.D.P thì nó thoả mãn (iii)

Cho α ∈R+, với mọi A,B ∈u thoả mãn B ⊂ A, αv B≤ uB và αv A \ B≥ uA \ B.Với α = 0 thì (iii) đợc thoả mãn (vì uA\ B = 0)

Do đó nếu α > 0, ta cũng có

v[(A \ B) ∩ Aγ] = 0 = u[(A \ B) ∩ Aγ],

với mọi γ∈ (α, +∞) Vì thế

(II) α[v(B) - v(B ∩ Aγ)] ≤ u(B) - u(B ∩ Aγ).

Nhân (II) với αγ rồi lấy (I) trừ đi (II) ta thu đợc

γ[v(A) - v(B)] ≥ u(A) - u(B ∩ Aγ) - αγ u(B) + αγ u(B ∩ Aγ)

= u(A) + (αγ -1)u(B ∩ Aγ) - αγ u(B)

≥ u(A) - αγ u(B).

Cho γ→α khi đó từ bất đẳng thức trên ta có (iii)

α[v(A) - v(B)] ≥ u(A) - u(B)

(⇐) Giả sử (Aα)α ∈R+là các tập trong định nghĩa W.D.P Khi đó ta có

(1) Với A, B tùy ý thuộc u mà B ⊂ A ⊂ Aα, thì từ (ii) ta nhận đợc

α[v(A) - v(B)] ≤ u(A) - u(B)

(2) Cho A ∈u tùy ý Khi đó theo định nghĩa W.D.P thì

αv A∩ α ≤ u A∩Aα và αv A\ Aα ≥ uA\ Aα

Do đó theo điều kiện (iii) ta suy ra

α[v(A) - v(A ∩ Aα)] ≥ u(A) - u(A ∩ Aα)

Chứng tỏ (u,v) có S.D.P

Ví dụ 2.1.12 (1) Ta sẽ xét một ví dụ về cặp hàm dung lợng (u,v) thoả mãn

(ii) và (iii) trong Mệnh đề 2.1.11 nhng chúng không có S.D.P

Cho U = [0, 1] và u là σ - đại số các tập A ⊂ [0, 1] thoả mãn A hoặc Ac

không quá đếm đợc

Xác định v : u → R+ cho bởi v(A) = 0 nếu A = φ

1 nếu A ≠φ

0 = φ

1 nếu A ∩  2 

1 ,

Rõ ràng u và v là các hàm dung lợng trên u và (u, v) thoả mãn các điều kiện (ii) và (iii) trong Mệnh đề 2.1.11 Cặp (u, v) không có S.D.P bởi vì u không có tính trội ngặt với

2

1

v do 1 [ ]0,21 không là u - đo đợc nên nó không phải là hàm phân tích của (u, v) Chú ý rằng u << v

(2) Tiếp theo ta sẽ chỉ ra các hàm dung lợng u và v thoả mãn (u, v) có W.D.P và hơn nữa thoả mãn (iii) trong Mệnh đề 2.1.11 nhng không có S.D.P.Cho U = {1, 2} và u là tập tất cả các tập con B(U) của U

Xác định u,v: u →R+ cho bởi

Dễ kiểm tra u, v là các hàm dung lợng, hàm f : U →R+ xác định bởi

f(x) = 1x là một hàm phân tích của (u, v), hơn nữa (u, v) thoả mãn (iii) của Mệnh đề 2.1.11

Bởi vì U ⊂{f ≥ 12} mà 12(v(U) - v{1}) > u(U) - u({1}), nên (u, v) không thoả mãn (ii) của Mệnh đề 2.1.11 Do đó (u, v) không có S.D.P

(3) Ví dụ này chỉ ra tồn taị cặp hàm dung lợng thoả mãn W.D.P và điều kiện (ii) của Mệnh đề 2.1.11 nhng không có S.D.P.

Cho U, u và v đợc xác định nh ví dụ trên Xác định u : u→R+ cho bởi

Nhng từ α(v(A) - v(B)) < u(A) - u(B) nên (iii) trong Mệnh đề 2.1.11 không

đợc thoả mãn Do đó (u, v) không có S.D.P, hơn nữa dễ thấy u << v

Đ2 Định lý Radon - Nikodym cho các hàm dung lợngMột số phép chứng minh định lý Radon - Nikodym cho các độ đo đã sử dụng phân tích Hahn cho các độ đo Với các hàm dung lợng ta cũng thiết lập phép chứng minh tơng tự Nhng đầu tiên ta cần nhắc lại định lý Radon-Nikodym cho các độ đo và một số định nghĩa

Định nghĩa 2.2.1 Cho (U, u) là một không gian đo đợc và u, v: u →R+ là các hàm dung lợng Ta nói rằng u là một tích phân không xác định của v nếu tồn tại một hàm u - đo đợc f: U →R+ mà

Định lý 2.2.2 (Định lý Radon - Nikodym cho các độ đo) [13]

Giả sử u là σ - đại số các tập con của U và u, v là hai độ đo σ - hữu hạn trên u thoả mãn u << v Khi đó tồn tại hàm tập u - đo đợc không âm f trên U

thoả mãn u = fv Hơn nữa, nếu f là một hàm tập không â’ m u - đo đợc trên U thoả mãn u = f v’ thì f = f’ hầu khắp nơi trên U

Khi đó hàm f đợc gọi là đạo hàm Radon- Nikodym của u đối với v và kí hiệu là f = du dv

Chứng minh Xem Ole.A.Nielsen [13] hoặc Paul.R.Halmos [9]

Định lý 2.2.3 (Radon-Nikodym cho các hàm dung lợng) [8]

Cho (U, u) là một không gian đo đợc và u, v: u →R+ là các hàm dung

l-ợng Khi đó u là một tích phân không xác định của v nếu và chỉ nếu (u,v) có S.D.P và u << v.

Chứng minh (⇒) Giả sử f: U →R+ là đo đợc thoả mãn u = fv Rõ ràng u là liên tục tuyệt đối với v

Cho α ∈R+ và A, B ∈u sao cho B ⊂ A ⊂{f ≥α}

= α∫

0

(v(A) - v(B))dt + ∞∫

α [v(A ∩{f ≥ t}) - v(B ∩{f ≥ t})]dt ≥α(v(A) - v(B))

Bây giờ cho α∈R+ và A ∈u tùy ý Khi đó ta có

= ∞∫

0 [v(A ∩{f ≥ t}) - v(A ∩{f ≥α}∩{f ≥ t})]dt = α∫

0

[v(A ∩{f ≥ t}) - v(A ∩{f ≥α})]dt ≤α(v(A) - v(A ∩{f ≥α}))