Điều kiện đủ để ổn định mũ của phương trình vi phân phi tuyến theo biến thời gian

Trên cơ sở các tài liệu về phương trình vi phân và lý thuyết ổn định chúng tôi nghiên cứu đề tài " Điều kiện đủ để ổn định mũ của phương trình vi phân phi tuyến theo biến thời gian″.. Tr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ VIẾT CHIẾN

ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ ỔN ĐỊNH MŨ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN

THEO BIẾN THỜI GIAN

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Mã số : 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SÜ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS PHAN LÊ NA

VINH – 2009

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 3

Chương 1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định phương trình vi phân……….……… 5

1.1.Các định nghĩa .5

1.2 Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính. 6

1.3 Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 7

1.4 Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng……… ….……….….9

1.5 Hàm có dấu xác định 12

1.6 Tính ổn định và ổn định tiệm cận của nghiệm. 14

1.7 Sự ổn định mũ 16

Chương 2 Tính ổn định mũ của phương trình vi phân phi tuyến theo biến thời gian……… … 18

2.1 Hàm Lyapunov 18

2.2 Hàm tựa Lyapunov……….22

2.3 Các điều kiện ổn định mũ ……… … 25

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO. .35

MỞ ĐẦU

Trong thực tế khi khảo sát các hoạt động xung quanh chúng ta như hệ độnglực học, hệ sinh thái học, môi trường hay khảo sát sự ổn định dân số thì chúng

ta hay quan tâm đến tác động ban đầu của hệ

Để khảo sát sự ổn định của những quá trình trên người ta thường mô hìnhhoá toán học các hệ đó Thông qua các hệ toán học con người muốn can thiệpvào hoạt động của hệ thống, giữ cho hệ thống không thoát ly quá xa trạng tháicân bằng được thiết lập trước Do đó lý thuyết ổn định đã và đang được quantâm nghiên cứu một cách sâu rộng, mạnh mẽ và nó được ứng dụng trong nhiềulĩnh vực khác nhau như kinh tế, khoa học kỹ thuật, tính toán…Như vậy lý thuyết

ổn định đóng một vai trò quan trọng của lý thuyết định tính phương trình viphân

Chúng ta đã biết đến hai phương pháp nghiên cứu đem lại thành công lớncủa lý thuyết ổn định của nhà toán học người Nga Liapunov Đây là hai phươngpháp giúp việc nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân đạt hiệu qủanhất Trên cơ sở các tài liệu về phương trình vi phân và lý thuyết ổn định chúng

tôi nghiên cứu đề tài " Điều kiện đủ để ổn định mũ của phương trình vi phân phi tuyến theo biến thời gian″ Trong khuôn khổ của luận văn này chúng tôi

trình bày điều kiện đủ cho tính ổn định mũ của phương trình vi phân phi tuyếntheo biến thời gian, nhờ sử dụng phương pháp Lyapunov với hàm số không nhất

thiết khả vi Với mục đích đó luận văn đươc trình bày gồm hai chương sau:

Chương 1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định phương trình vi phân.

Dựa trên các cơ sở đã có về lý thuyết ổn định, trong chương này chúng tôi

trình bày các khái niệm cơ bản, các định nghĩa, các định lý về tính ổn định, ænđịnh mũ của lý thuyết ổn định phương trình vi phân đã được trình bày trong cáctài liệu tham khảo ([1],[2],[3]) Các kiến thức ở chương này hỗ trợ cho các kếtquả chương 2 của luận văn

Chương 2 Tính ổn định mũ của phương trình vi phân phi tuyến theo biến thời gian

Đây là phần chính của luận văn Với mục đích của chương này là đưa ra điềukiện đủ cho sự ổn định mũ của một dạng phương trình vi phân phi tuyến theo

biến thời gian Đưa ra một dạng ổn định của hàm tựa hàm Lyapunov, chứng

minh chi tiết điều kiện đủ cho tính ổn định mũ của phương trình vi phân phituyến theo biến thời gian

Chương này được cấu tạo như sau: Trong phần một giới thiệu hàm Lyapunov.Phần hai giới thiệu hàm tựa Lyapunov Phần ba đưa ra điều kiện đủ cho sự ổnđịnh mũ, với những hàm tựa Lyapunov mở rộng

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tậntâm, tận tình của cô giáo, TS Phan Lê Na Nhân dịp này tác giả xin được tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán-trường Đại học Vinh nói chung và tổ giải tích nói riêng

Xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Sau Đại học – Trường Đại họcVinh và các bạn bè, đồng nghiệp, gia đình đã quan tâm giúp đỡ chỉ bảo cho tácgiả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm

ơn sâu sắc tới trung tâm GDTX-DN Nông Cống và UBND Huyện Nông Cống

đã tạo điều kiện về tinh thần cũng như về vật chất cho tác giả trong suốt thờigian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Vinh

Mặc dù tác giả đã rất cố gắng nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức và thờigian không nhiều nên luận văn chắc chắn không tránh khỏi có những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những góp ý, chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo,bạn bè và các đồng nghiệp để từ đó có thể bổ sung, sửa chữa và hoàn thành luậnvăn tốt hơn

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Trong chương này sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của hệphương trình vi phân tuyến tính (xem trong tài liệu tham khảo [1] , [2], [3])

với t là biến độc lập, y1,y2….,yn là các hàm cần tìm, f j là các hàm nhận giá trị

thực, xác định trong bán trụ, T  (a,  ) D y, D y là một miền mở thuộc R n , aR

{- } Ta đưa vào các ma trận cột như sau:

, F(t,Y) = colon(f 1 (t,Y),… ,f n (t,Y)).

Khi đó hệ phương trình (1.1) được viết dưới dạng phương trình ma trận:

F ( Y t, ).

dt

dY

 (1.2)

Hàm véc tơ Y(t)  C 1 (a,b), thỏa mãn phương trình (1.2) được gọi là nghiệm

của phương trình (1.1) trên (a,b) Để cho ngắn gọn ta gọi hệ (1.1) là hệ vi phân

1.1.1 Định nghĩa Nghiệm (t), (a < t < ) của hệ (1.2) (nếu có) được gọi là

ổn định ( theo nghĩa Liapunov ) khi t   ( nói ngắn gọn là ổn định ) nếu vớimọi  > 0, với mọi t 0 thuộc (a ,) tồn tại  =  (,t0) > 0 sao cho tất cả các

nghiệm Y(t) của hệ (1.2) nếu thỏa mãn điều kiện Y(t0)   (t0) <  thì xác định

trong khoảng [t 0 ,) và Y(t)   (t) <  khi t 0  t < .

1.1.2 Định nghĩa Nếu số  trong Định nghĩa 1.1.1 có thể chọn không phụ thuộc vào t 0, tức là  =  () thì nghiệm (t) được gọi là ổn định đều.

1.1.3 Định nghĩa Nghiệm  =(t), (a < t < ) của hệ (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận (theo nghĩa Liapunov ) khi t  (nói ngắn ngọn là ổn định tiệmcận ) nếu:

i) Nghiệm  ổn định

ii) Với mọi t 0  (a, ) tồn tại  = (t 0 ) sao cho tất cả các nghiệm Y = Y(t), t t 0 <  nếu thỏa mãn điều kiện Y(t0)   (t0) <  thì:

tlim Y(t)   (t) = 0

1.1.4 Nhận xét ([1]) Nghiệm tầm thường (t)  0 của hệ (1.2) (nếu có) ổn định

và tlimY(t) = 0 khi Y(t0) <  với mọi nghiệm Y (t)

Hình cầu Y (t) <  =  (t0) với t0 cố định, được gọi là miền hút của vị trí cânbằng 0

dt

dY

= A(t)Y, (1.4)

được gọi là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng với hệ (1.3)

1.2.1 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn định (tương ứng

không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y(t) của nó ổn định (tương ứng không

ổn định)

1.2.2 Định lý ([1]) Điều kiện cần và đủ để (1.3) hệ vi phân tuyến tính ổn định là

nghiệm tầm thường X(t)0 (t o < t < ∞) của hệ thuần nhất tương ứng (1.4) ổn định.

1.2.3 Hệ qủa ([1]) Hệ vi phân tuyến tính ổn định nếu và chỉ nếu một nghiệm

nào đó của hệ ổn định.

1.2.4 Hệ quả ([1]) Ba mệnh đề sau tương đương:

a) Hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất (1.3) ổn định b) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn định

c) Nghiệm tầm thường của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn định.

1.2.5 Định nghĩa ([1]) Hệ vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn định đều nếu

tất cả các nghiệm của hệ là ổn định đều

1.2.6 Định nghĩa ([1]) Hệ vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn định tiệm cận

nếu tất cả các nghiệm Y(t) của hệ là ổn định tiệm cận khi t 

1.2.7 Định lý ([1]) Hệ vi phân tuyến tính (1.3) ổn định đều (tương ứng với ổn

định tiệm cận ) khi và chỉ khi nghiệm tầm thường X(t)0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.4) ổn định đều (tương ứng ổn định tiệm cận).

Định lý sau chứng tỏ tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuấn nhất tươngđương với tính bị chặn của mọi nghiệm của nó

1.3.1 Định lý ([1]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.5) ổn định khi và chỉ khi

mỗi một nghiệm X = X(t) (a < t 0  t < ∞ ) của hệ bị chặn trên bán trục [t 0 ,)

1.3.2 Hệ quả ([1]) Nếu hệ vi phân tuyến tính = A(t)Y + F(t) ổn định thì mọi

nghiệm của nó hoặc cùng bị chặn hoặc cùng không bị chặn.

1.3.3 Ví dụ Xét tính ổn định của phương trình sau và tính bị chặn của các

nghiệm của nó:

( )   2y 4t 2

dt

t dy

Phương trình thuần nhất tương ứng

Các nghiệm này đều bị chặn trên [0, ) Vì hệ thuần nhất ổn định nên hệ đã

cho cũng ổn định Mặt khác hệ đã cho có nghiệm y(t) =2t không bị chặn

Vậy mọi nghiệm của phương trình đã cho không bị chặn

1.3.4 Định lý ([1]) Hệ vi phân tuyến tính (1.5) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi

mọi nghiệm X = X(t) của hệ dần về 0 khi t dần tới .

1.3.5 Chú ý ([1]) Đối với hệ vi phân không tuyến tính, sự dần về không của tất

cả các nghiệm nói chung không suy ra được tính ổn định tiệm cận của nghiệmtầm thường của nó

t

y dt dy

xy t t

x dt

dx

t  1

Xét tính ổn định nghiệm tầm thường của hệ trên

Giải Hệ đã cho có nghiệm tầm thường Z(t) = (x(t), y(t))  (0,0) Nghiệm

tổng quát của hệ trên là:

te C

x C t

2 1

2

(trong đó c1, c2 là những hằng số)

te t x t

x y t t

) (

) ( ) (

0

) 1 )(

(

2

Ta có lim t tx( ) = lim t ty( ) = 0, nhưng nghiệm tầm thường không ổn định (vì vậykhông ổn định tiệm cận) Thật vậy, ta chỉ ra tồn tại 1 0

1.4.1 Định lý ([3]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.6) với ma trận hằng số

A là ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng j =j (A) của ma trận A

có phần thực không dương, trong đó các nghiệm đặc trưng có phần thực bằng không là các ước sơ cấp đơn.

1.4.2 Định lý ([3]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.6) với ma trận hằng số

A là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưngj = j (A) của ma trận A có phần thực âm, tức là Rej (A) < 0, (j= 1, ,n ).

1.4.3 Định nghĩa ([1]) Đa thức của biến phức z:

1.4.4 Định lý ([1]) Nếu đa thức chuẩn là đa thức Hurwitz thì tất cả các hệ số

của nó đều dương.

1.4.5 Chú ý Mệnh đề đảo của Định lý 1.4.4 nói chung là không đúng, nhưng

đối với đa thức bậc hai thì mệnh đề đảo của Định lý 1.4.4 vẩn đúng.

1.4.6 Ví dụ Xét f(z) = 2 + 4z + 3z 2 +z 3 có mọi hệ số dương nhưng có các

nghiệm của nó là -1, -1+ i, -1- i, do nó không là đa thức Hurwitz.

1.4.7 Định nghĩa Cho đa thức f(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + +a n z n (n1) trong đó

a a

a a

a a

a a

2 3

4 5

0 1

2 3

0 1

0 0

0 0

0

với ak = 0 khi k > n, được gọi là ma trận Huwitz của đa thức f n (z).

1.4.8 Định lý ([1]) (Tiêu chuẩn Hurwitz) Điều kiện cần và đủ để đa thức chuẩn

f n (z) là đa thức Hurwitz là tất cả các định thức con chính của ma trận Hurwitz của f n (z) đều dương, tức là:

 1= a1 > 0,  2=

2 3

0 1

a a

a a

,  , n = an n 1 > 0

1.4.9 Ví dụ 1 Xét xem đa thức sau có phải là đa thức Hurwitz :

0 1

0 913 7

1 0

23 12 7

0 10 23

0 206 12

7

10 23

0 23

3 4

3

2 1

z y x dt dy

z y x dt dx

3 2

1 2 1

1 2 1

1 4 1

0 14 1

Trong số các định thức con của H có  1= -1 < 0, do đó f 3 (z) không phải là

1.5.2 Định nghĩa Hàm V(t,X) được gọi là xác định dương theo nghĩa Liapunov

(hay là hàm Liapunov) nếu thoả mãn các điều kiện sau:

i) V(t,0) = 0.

ii) Tồn tại các hàm W(X) xác định dương và V(t,X)  W(X) với mọi X

thuộc lân cận X < h.

1.5.3 Định nghĩa Hàm W(t,X) được gọi là xác định âm theo nghĩa Liapunov

(hay là hàm Liapunov) nếu thoả mãn các điều kiện sau:

1.5.5 Định nghĩa Hàm V(t,X) được gọi là hàm có giới hạn vô cùng bé bậc cao

khi X 0 nếu với t 0 > a nào đó ta có V(t,X) hội tụ đều về 0 trên [ t 0 ,  ) khi X

 0 tức là mọi  > 0 tồn tại  =  () > 0 sao cho V ( X t, ) < 0 khi X < 0 và t

ii) Hàm V(X) liên tục, không phụ thuộc thời gian t và V(0) = 0 thì V(X)

sẽ có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X 0.

2

n

x x

x t X

theo t dọc theo hệ (1.8) có dấu âm thì nghiệm tầm thường

X ≡ 0 (a < t <  ) của hệ đã cho ổn định theo Liapunov khi t .

1.6.3 Hệ quả ( [3], [1]) Khi hệ (1.8) là hệ vi phân tuyến tính và nếu có hàm v(t,

X) thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.6.2 thì tất cả các nghiệm của hệ (1.8) bị chặn trên (a,  )

1.6.4 Ví dụ Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ:

.

) 3

1 )(

2 (

) 3

1 )(

2 (

2 2

2 2

x dt

dx

y x x

y dt

dV dt

dx dx

dV dt

dV



 = 4x(y – 2x) (1- 3x 2 - y 2 ) - 2y (2 x+ y) ( 1-3x 2 - y 2 ) = -2( 1- 3x 2 - y 2 )(4 x 2 +y 2 )  0, với x,y đủ bé.

Ta nhận thấy rằng tất cả các điều kiện của định lý trên được thoả mãn, vì vậynghiệm tầm thường x 0,y 0 của hệ đã cho là ổn định.

3

3

y x dt dy

x y dt

), , (

0

t x

x t f dt dx





t 0 , (1.10)trong đó ( ) n,

R t

x  f ,t x: R  R  n R n là hàm đã cho thỏa mãn các điều kiệnsao cho nghiệm của bài toán Cauchy hệ (1.10) với điều kiện ban đầu có t 0 0

Nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nó tiếntới 0 nhanh với tốc độ hàm số mũ

Chứng minh Nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.11) ổn định tiệm cận khi và

chỉ khi mọi nghiệm đặc trưng p ( A) của mọi ma trận A có phần thực âm Re

e t t

x N t t





1.7.3 Chú ý Đối với hệ tuyến tính có hệ số biến thiên từ tính ổn định tiệm cận

của nó nói chung, không suy ra tính ổn định mũ

dy



 ( 1 t < ∞).

Nghiệm tổng quát của nó có dạng: y(t) = y )(t1

Như vậy, nghiệm x = 0 của phương trình này ổn định tiệm cận khi t→ ∞,

nhưng không ổn định mũ

1.7.5 Định lý ([3]) Nếu tồn tại dạng toàn phương xác định dương

V(x)  W(x), ( t t 0 , x ≤ h < H) (1.14) trong đó

W(x) = - (Bx,x) (1.15)

là dạng toàn phương xác định âm ( A và B là hai ma trận hằng số đối xứng) thì nghiệm tầm thường x = 0 của hệ ổn định mũ khi t→ ∞.

CHƯƠNG 2 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHI TUYẾN THEO BIẾN THỜI GIAN

Trong chương này trình bày khái niệm hàm Lyapunov, hàm tựa Lyapunov,một số điều kiện ổn định mũ, ổn định mũ đều Ngoài ra có giới thiệu một vài ví

dụ minh hoạ tính ổn định mũ đều của phương trình vi phân phi tuyến theo biếnthời gian (Xem trong tài liệu[3, 4])

2.1 HÀM LYAPUNOV

Xét hệ phương trình phi tuyến:

),

(x f

2.1.2 Định lý Nếu hệ (2.1) có hàm Lyapunov thì ổn định Hơn nữa nếu hàm

Lyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận đều.

Chứng minh: Hệ là ổn định: Lấy tùy ý   0 , chọn   0 đủ nhỏ sao cho

Khi đó D k là tập mở (vì hàm V(.) liên tục và bất đẳng thức trên là chặt) Vì 0

 D k nên 0 intD k Hơn nữa theo tính liên tục của hàm V(.) và vì V(0) = 0, nên

sẽ tồn tại số k 0 > 0 đủ nhỏ sao cho D k0 V( 0 ) Chọn  > 0 sao cho V( 0 ) D k

vì 0 intD k Lấy bất kỳ x 0 V(0).

Xét nghiệm x(t) của hệ (2.1) với x(t 0 )=x 0 Theo giả thiết V(.) là hàm

Lyapunov nên V(x(t))  0

dt d

Hệ là ổn định tiệm cận: Ta chỉ cần chứng minh mọi nghiệm x(t) của hệ tiến tới

0 khi t   Vì V(.) là hàm Lyapunov chặt, mọi nghiệm x(t) sẽ thỏa mãn:

x c x V dt

d



 ) ( , c > 0,  x D\{0}.

Vì hàm V(x(t)) là giảm theo t nên luôn tồn tại giới hạn limtV(x(t))= a, và vì V(.) là hàm xác định dương nên a 0.Theo tính chất liên tục của V(x) để chứng

2.1.3 Chú ý: Trong điều kiện iv) ta có thể thay vế phải bằng một hàm số không

giảm (.): R+  R+ sao cho

)

(x x x

V   ta có