Để giải một bài toán hình học không gian, chúng ta có thể làm bằng một trong ba phương pháp: Phương pháp tổng hợp hình học 11, Phương pháp vector hoặc Phương pháp tọa độ hình học 12.. Tu
Trang 1Để giải một bài toán hình học không gian, chúng ta có thể làm bằng một trong ba phương pháp: Phương pháp tổng hợp (hình học 11), Phương pháp vector hoặc Phương pháp tọa độ (hình học 12) Tuy không phổ biến bằng 2 phương pháp còn lại nhưng giải toán hình không gian bằng vector cũng là một công cụ mạnh để các bạn giải quyết các bài tập hình học có hiệu quả Bài viết dưới đây tuy ngắn gọn nhưng lại tập hợp được hầu hết những bài toán hay nhất và thường gặp nhất trong đề thi ĐH ^^ rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các bạn để bài giảng ngày càng thêm hoàn thiện!
Nâng tâm tri thức
GLÁI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
Mữ đầu: để giải một bài toán hình học không gian, chúng ta có thê làm băng một trơng ba
phương p pháp: phương pháp tổng hợp (hinh học 11), phương pháp vectơ hoặc phương pháp
tọa độ (hình học 12) Tuy không phỗ biến băng 2 phương pháp còn lại nhưng giải toán hình
không gian băng vectơ cũng là một công cụ mạnh để các bạn giải quy€t các bài tập hình
học
Phương pháp tọa độ trong các sách tham khảo có thê được trình bày theo các cách khác nhau và thường ít khi đặt bộ 3 vectơ Tuy nhiên, kinh nghiệm của bản thân 5ao băng
cho thây, cách làm tốt nhất là nên đặt ngay một bộ 3 vectơ trước khi giải để tránh nhầm lẫn
1 Dinh nghia va cac phep toan:
1, Tât cả các định nghĩa và phép toán (công, trừ, nhân với một SỐ, tích vô hướng, quy tắc
tam giác, quy tắc hình binh hành, ) trong hình học phẳng vẫn còn đúng trong không
gian
2_ Quy tắc hình hôp:
Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp thì: 4Œ'=.48+ AD+AA'
(Quy tắc hình hộp thực _ là suy ra từ quy tắc hình bình hành:
@ _ Dâu hiệu của các bài toán có thê giải băn hươn háp vectơ:
1 Giả thiết hoặc kết luận có biểu thức vectơ
2 Kết luận có các yêu câu:
a, CM 3 điểm thẳng hàng, 4 điểm đồng phẳng
b, CM 2 đường thẳng song sơng, 2 mặt phẳng sơng song, đường thẳng song sơng với mặt
phẳng
c, CM 2 đường thẳng vuông góc, 2 mặt phẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng
d, Tính góc, khoảng cách, cực trị hình học, quỹ tích hình học
B Cách giải tông quát cho mọi bài toán hình học không gian dùng vectơ:
¿, Bước ¿; Tìm trong hình vẽ một bộ 3 vectơ X.Ụ,2 thỏa mãn các điêu kiện:
—_——
_ Không đông phẳng
_ Biệt ít nhât 2 độ dài hoặc 2 sóc
2, Bước 2: Vị trí cụ thể của x, y,
CLB Gia su Ha N6i —- www.giasuhanoi.com
Trang 2a, Hình hộp (bao gôm cả hộp chữ nhật và lập phương):
b, Lăng trụ đứng, lăng trụ đêu:
t1
c, Tứ diện vuông, tử diện đều:
CLB Gia su Ha N6i — www.giasuhanoi.com
Trang 3Nâng tâm tri thức
e, Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đây
¬
3, Bước 3: Biêu thị các vectơ có trong giả thiết và kết luận theo x,y,z (Chợn đường đ)
4, Sước 4: Sử dụng các công thức sau:
a, M, N, P thẳng hàng © MN = kMO
MN =kPO
MePO
Mi¥ ff PQ =|
b,
MN If a C mpl FOR)
MAN Ii POR)S| —~ _— —
Ni MN =kPO+IPR
C,
d, MN LPQO©MN PO =0
MN PO =0
MN Limp( POR) <5 =
Thun aoe
f, MN? =MN
MNPQ
MN PO
g, cos(MN;PQ)=|cos(MN:PQ)|
MN.MP
cos(MN,PQ)=
IH Môt số bài tập minh hoa:
1 Đề thị của ĐH Xây dưng:
Cho lăng trụ đêu ABC A'B'C' có chiêu caoh, 4#Ø'L BC' Tính thể tích của lăng trụ theo V Giai:
+ Chọn bộ ba vectơ không đông phắng là x= 4'8} y= A4'Œ}z=A'
Buoc 2:
«Tu gia thiét: AB’ L BC’, suy ra:
CLB Gia su Ha N6i —- www.giasuhanoi.com
Trang 5Nâng tâm tri thức
A’ SS se SSO C°
\
B
& (x-=)(-x+y -2)=0
© -a?+ aacos60°+h?=0
S —+h’ =0
a= hap
2
Vậy V = , h= 3 avn) |
2 Dé thi của ĐH Giao thông
Cho tứ diện đều cạnh a ABCD M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD.I làtrung điểm cua MN
a, Tinh Al?
b, CMR: AI 1 mp(BCD)
Gidi:
a, Chọn bộ ba vectơ Ichông đồng phẳng là: x= BC; y= BD,-= BA
«Tử giả thiết ta có: k|=|>|EE|=a (x;:y) = (y;z)=(x;z)= 609
A
CLB Gia su Ha N6i — www.giasuhanot.com
Trang 6
-z 1+ lx+y
4 2 2 2
_!5,15_3:
44? 4
=> AP =—a?+—a’? + 7a1+ ca) 2? 2? —= —aŸ “ 1
, ~~ > ~ 1~ 1- 3- 1 2 1 2 1 3 2 1
b, Taco: AI BC = x(—x+ —y-—2)= —a +—a’.—-—a’.-=0
=> AI LBC tương tự, ta cĩ: A7 LBD
=> Al Limp (BCD)
3 Cho tir dién ABCD I, J lan lượt là trung điểm của AB và CD M, N chia AD, BC theo ty
sok=-% CMR: MN cat IJ tai O với O là trung điểm của II
Giải:
C
(Khi cĩ đường trung bình của tứ diện (1) thì ta nên chợn bộ vectơ như hình vẽ)
„Xétbộ 3vectơ: x=A4D, yp=AB, :=BC
«M,N chia AD, BC theo tỷ sơ k = - ⁄, cĩ nghĩa là:
* MA=— MP và vB = - LC , suy ra: BN _ AM _
„Gọi điển O là trung điểm của MN Ta cĩ:
[0 =IA +AD+Dĩ
I =lIB+ BC +C]
3 = AD + BC =x+=
(Ở đây cĩ trung điểm đoạn thẳng nên ta sử dụng quy tắc: khi cĩ 2 con đường đi tương đương thì ta phải đi cả 2 con đường)
A +A = The Steers (Ta cũng cĩ thể tính theo cach khac: J =JA+AJ =IA+
16 = (AM +BN)=—3+—2 =— =—x+—
=> WJ = 610 + IJ =310 = I, O, J thang hang hay IJ di qua trung điểm O của MN
4 Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' cĩ 9 cạnh băng a Tìm điểm M trên AB’ va N trén BC’ sao cho MN là đường vuơng gĩc của AB' và BC' Tính MN?
Giải:
CLB Gia sư Hà Nội — www.giastthanọ.com
Trang 7Nâng tâm tri thức
> 2
+ Chọn hệ vectơ như hình vẽ, từ giả thiết, ta có: |= b= E|=a
và: (x,y) =60° (X,Z)=(y,z) = 90%
AM = mAB’= m(x+ =)
BN =nBC'=n(-x+y+2)
+ MN = MA+ AB+ BN = -m(xX+=)+x+n(x+y+=z)= (l-m-n)xt+ny +(n—-m)=
«+MN là đường vuông góc chung của AB' và BC'
« Vậy M vàN là các điểm chia trong đoạn AB' và BC' theo các tỷ sô lần lượt là m và n
¬ oo 2— 1a 4y 1212
>MN =_—yv- —-—>MNˆ=MN =(—yv- —-)`= —w' + ——d' = —a
—> MN = “SẼ (ha)
Một số bài tập tượng tư:
1 Cho tt dién ABCD co: AB =BC =CD =a, AD=2a AB LBC BCLCD Tinh:
a, Góc giữa 2 đường thắng AB và CD
b, Thê tích của tr điện ABCD
2 Lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh băng 1 Trên BB'`, CD, A'D' lần lượt lây các
điểm M, N và P sao cho: BM = CN=D'P =a (0< a <1) CMR: AC’ vuông góc với
mp (MNP) | | |
3 Lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a Trên tia đôi cla tla AD’ va C’D lan luot lay các điểm P và Q sao cho A và C' là trung điểm của PD' và DQ M là trung điểm BB’
a,CMR:P,Q,M thẳng hang
b, Tính PQ?
Trang 84 Cho tứ diện đêu ABCD cạnh a M là tung điểm của BC Ivà 1 là các điểm chia đoạn AB
và DC theo tỷ số k=- 1/2 Tính:
a, Độ dài đoạn IT
b, Diện tích của tam giác MIT
5 Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD băng 60” và AB' vuông góc với BD' Tính thê tích lăng trụ?
6 Cho hình chop 8.ABCD có đáy là nửa lục giác đều: AB = BC =Cd=a Cạnh bên 8A vuông góc với đảy và 5A = axB
a, Tìm trên cạnh bên 8B một điểm M khác B sao cho góc AMD băng 90
b, Mặt phẳng AMD cắthình chóp theo một thiết điện Tính diện tích đa thiết diện?
7 Cho hình tứ diện ABCD có góc BAC và BDC băng 90”, góc ABC và góc DCB băng 60”
AB =DC =a
a, Tính độ đài AD theo a khi 2 mặt phẳng (ABC) và (@DC) vuông góc với nhau
b, Tính độ dai AD theo a khi mp(ABC) tao voi mat phang (BDC) goc 60°
8 Hình chớp 8.ABC có đáy là tam giác đều cạnh là 442, SC vuéng goc voi mp(ABC), E
và F lần lượt là trung điểm của AB vaCB SC =2
a, Tính góc tạo bởi đường thẳng SF và CE
b, Tính khoảng cách ngắn nh giữa SF và CE
CLB Gia sư Hà Nội — www.giasuhanoi.com