XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN

mở rộng của định lí 2 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K.. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y f x trên tập xác định Bước 1: Tìm tập xác định D.. Bước 5: Nêu kết luận về các

KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng K

1 Định lí 1

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f ' x   0, x K

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f ' x   0, x K

2 Định lí 2

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu f ' x   0, x K thì hàm số f đồng biến trên K

b) Nếu f ' x   0, x K thì hàm số f nghịch biến trên K

c) Nếu f ' x   0, x K thì hàm số f không đổi trên K

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng Khi đó phải có thêm giả thiết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’ Chẳng hạn:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn  a b và ; f ' x   0, x  a b thì hàm số f đồng biến trên đoạn ;

 a b ;

Ta thường biểu diễn qua bảng biến thiên như sau:

3 Định lí 3 (mở rộng của định lí 2)

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu f ' x   0, x K và f ' x 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K b) Nếu f ' x   0, x K và f ' x 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc Kthì hàm số f đồng biến trên K

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y f x( ) trên tập xác định Bước 1: Tìm tập xác định D

Bước 2: Tính đạo hàm y f x( )

Bước 3: Tìm nghiệm của f x( ) hoặc những giá trị x làm cho f x( ) không xác định

Bước 4: Lập bảng biến thiên

Bước 5: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

BÀI TẬP MẪU

Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:  

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?

DẠNG TOÁN 3: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xét sự đơn điệu của hàm số khi biết bảng biến thiên

2 HƯỚNG GIẢI: Dựa vào định lý về sự đơn điệu

- Nếu f x( )0,  x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K

- Nếu f x( )0,  x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D

Vì f ' x      0, x  ; 2  0; 2 nên hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng  ; 2 và 0 ; 2 

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1 Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:  

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A 1;  B 1; 0 C 1;1 D.  0 ;1

Lời giải Chọn D

Vì f ' x      0, x  ; 1  0;1 nên hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng  ; 1 và

 0 ;1

Câu 2: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1

B Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 1 (1; )

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 3

D Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 

Lời giải Chọn D

Từ BBT ta có :

Hàm số đồng biến trên   ; 1 A sai.

Hàm số đồng biến trên  ; 1và 1;  B sai.

Hàm số nghịch biến trên 1; 1 C sai

Hàm số đồng biến trên 1;   D đúng

Câu 3: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình dưới đây Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ; 1

C.Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 3;

D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;3

Lời giải Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số

● Đồng biến trên các khoảng ; 1

● Nghịch biến trên khoảng 3;

Câu 4: Cho hàm số y f x  xác định trên \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng

biến thiên như hình sau Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1. B Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 

C Hàm số đồng biến trên khoảng  1;  D Hàm số đồng biến trên khoảng ;1

Lời giải Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng  ; 1 đạo hàm y 0 nên hàm số nghịch biến

Câu 5: Cho hàm số y f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số y f x( ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. 2; 0 B  3;1 C 0; D  ; 2

Lời giải Chọn A

Nhìn bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy y 0,   x  2; 0

Câu 6: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A ; 0 B 1;1 C 1; 0 D 1; 

Lời giải Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên hàm số y f x  đồng biến trên các khoảng  ; 1 và 1; 0 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1; 0

Câu 7: Cho hàm số y f x  liên tục trên và có bảng biến thiên như sau

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ; 5 và  3; 2 

ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;5 

iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  2; 

iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ; 2 

Lời giải Chọn A

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ; 2 ; nghịch biến trên khoảng  2; 

Suy ra: ii) Sai; iii) Đúng; iv) Đúng

Ta thấy khoảng  ; 3 chứa khoảng  ; 5 nên i) Đúng

Vậy chỉ có ii) sai.

Câu 8: Cho hàm số f x  có đồ thị như hình bên Hàm số f x  nghịch biến trong khoảng nào dưới

đây?

A. 2; 0 B.  ; 2 C  2;  D. 0;

Lời giải Chọn A

Nhìn vào đồ thị hàm số f x  ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng 2; 0

Câu 9: Cho hàm số f x  có đồ thị như hình bên Hàm số f x  đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

A. ( ; ) B. 2; C  1; 2 D. 1; 2

Lời giải Chọn B

Nhìn vào đồ thị hàm số f x  ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 2;

Câu 10: Cho hàm số f x  có đồ thị như hình bên Hàm số f x  nghịch biến trong khoảng nào dưới

đây?

A.  2;3 B. ; 2 C  1; 2 D. 3;

Lời giải Chọn A

Nhìn vào đồ thị hàm số f x  ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng  2;3

Câu 11: Cho hàm số f x  có đồ thị như hình bên Hàm số f x  đồng biến trong khoảng nào dưới

đây?

A.  2;3 B. ; 2 C  1; 2 D. 2;

Lời giải Chọn C

Nhìn vào đồ thị hàm số f x  ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng  1; 2

Đ  Mức độ 2

Câu 1: Cho hàm số f x có đạo hàm là   f  x  x2x5x1 Hàm số f x đồng biến trên  

khoảng nào dưới đây?

Nhìn vào bảng xét dấu của f x ta thấy hàm số f x đồng biến trên các khoảng    5; 1 và

2 ; 

Vậy hàm số f x đồng biến trên khoảng   2 ; 

Câu 2: Cho hàm số f x có đạo hàm là     3  2 

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 2; 0

Câu 3: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số  



ax b y

cx d với a b c d, , , là các số thực Mệnh đề

nào dưới đây đúng?

A y   0, x 1 B y   0, x C y   0, x D y   0, x 1

Lời giải Chọn A

Ta có:

Dựa vào hình dáng của đồ thị ta được:

+ Điều kiện x1

+ Đây là đồ thị của hàm nghịch biến

Từ đó ta được y   0, x 1

Câu 4: Cho hàm số f x có đạo hàm   f ' x xác định, liên tục trên và f' x có đồ thị như hình vẽ

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.Hàm số đồng biến trên khoảng  2; 

B.Hàm số nghịch biến trên khoảng  2; 1

C.Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

D.Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2

Lời giải Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  2; 

Câu 5: Cho hàm số f x có đạo hàm   f ' x xác định, liên tục trên và f' x có đồ thị như hình vẽ

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.Hàm số đồng biến trên khoảng 1;

B.Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 1

C.Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1

D.Hàm số đồng biến trên khoảng 2;

Lời giải Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số f x( ) ta thấy

-Trên ; 2 : f x( )0 nên hàm số nghịch biến trên ; 2

- Trên 2;: f x( )0 nên hàm số đồng biến trên 2;

Câu 6: Cho hàm bậc ba yf x  có đồ thị đạo hàm y f x như hình sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

A  1; 2 B 1; 0 C  3; 4 D  2 ;3

Lời giải

Từ đồ thị hàm số y f x ta có bảng xét dấu f x sau:

Căn cứ vào bảng xét dấu đạo hàm ta có hàm số nghịch biến trên khoảng 0 ; 2 

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  1; 2

Câu 7: Cho hàm số f x có đạo hàm   f ' x xác định, liên tục trên và f' x có đồ thị như hình vẽ

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

A  1;3 B ;3 C. 1;1 D. 3;

Lời giải Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số f x( ) ta có bảng biến thiên sau:

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  1;3

Câu 8: Hàm số f x có đạo hàm   f x trên Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số f x trên

Chọn đáp án đúng

A.Hàm số đồng biến trên khoảng  2; 

B.Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 1

C.Hàm số đồng biến trên khoảng  1; 

D.Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2

Lời giải Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số f x( ) ta có bảng biến thiên sau:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  1; 

Câu 9: Cho hàm số f x có đạo hàm   f x liên tục trên Hàm f x có đồ thị như hình vẽ

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng

A. f  3 f 2 B Hàm số f x đồng biến trên khoảng    ; 1

C. f 0  f 1 D Hàm số f x đạt cực đại tại   x0

Lời giải Chọn C

Hàm số f x nghịch biến trên khoảng   ; x1,    3 2 x1  f   3 f 2 Nên A sai Hàm số f x nghịch biến trên khoảng   ; x1 ,    ; 1  ; x1hàm số f x đồng  biến trên khoảng  ; 1 Nên B sai

Qua x0 đạo hàm f x không đổi dấu nên x0 không là điểm cực trị Nên D sai

Hàm số f x đồng biến trên khoảng    x1 ;1, x1 0 1  f 0  f 1 Vậy C đúng

Câu 10: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ Hàm số y2019 f x  đồng biến trên khoảng

nào dưới đây?

A  0;1 B.2;1 C 3; 0 D  1; 2

Lời giải Chọn A

Xét hàm số y2019 f x Ta có y f x

 

y  f x 

Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng  0 ;1 thì f x 0

Vậy trên khoảng  0;1 hàm số y2019 f x  đồng biến

Câu 11: Cho hàm số y f x( ) xác định và liên tục trên và có đồ thị của đạo hàm y f '( )x như

hình bên dưới Chọn phát biểu đúng khi nói về hàm số y f x( )

A Hàm số y f x( ) có hai điểm cực trị B Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3;0).

Chọn C

Ta thấy trên khoảng (0;3) đạo hàm mang dấu âm nên hàm số nghịch biến trên (0;3)

Vì thế f(0) f(3)

Câu 12: Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu f ' x như hình vẽ

Hàm số g x  f x  đồng biến trên khoảng nào sau đây ?

g x   f x  Theo bảng biến thiên ta có trên khoảng 3; 4 thì f ' x 0

Câu 13: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số g x  f x  nghịch biến trên khoảng nào?

- ∞

+ ∞ + ∞

- ∞

2 0

2

0

-2

Từ bảng biến thiên ta suy ra, hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng 1;

Vậy chọn đáp án C

Câu 3: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

i) Hàm số y f x  đồng biến trên các khoảng  ; 2 và  0;1

ii) Hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng 3;

iii) Hàm số y f x  đồng biến trên khoảng ; 0

 

0

+ -

0

1 + 3

1 - 3

0 2

+ 0

2 + 0

-

-+ ∞

x y' y

-+ ∞

x y' y

- ∞ 1

1

Lời giải Chọn B

Từ bảng biến thiên của hàm số y f x , ta có bảng biến thiên của hàm số y f x  như sau:

Từ bảng biến thiên của hàm số y f x  , ta suy ra:

- Hàm số y f x  đồng biến trên các khoảng  ; 1 và  0;1 suy ra khẳng định i) đúng

- Hàm số y f x  nghịch biến trên các khoảng 1; 0 và 1; suy ra khẳng định ii) đúng

- Khẳng định iii) và khẳng định iv) sai

Vậy có 2 khẳng định sai trong 4 khẳng định trên

Câu 4: Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số g x  f 3x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây

  Đối chiếu đáp án ta chọnA

+ ∞ + ∞

+ ∞

x y' y

+ ∞

0

0

Câu 5: Cho hàm số y f x  có đồ thị y f ' x như hình sau Hàm số y f 3  2x 2019 đồng

biến trên khoảng nào

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị của hàm số y f ' x ta có bảng xét dấu của g' x

Từ bảng xét dấu của g' x suy ra hàm số y f 3 2 x2019 đồng biến trên 1;1

2

Câu 6: Cho hàm số y f x liên tục trên Hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ

Hàm số y g x f x 2x 1 Hỏi đẳng thức nào sau đây đúng?

Dựa vào đồ thị y f ' x và đường thẳng y 2 (hình vẽ sau)

Câu 7: Cho hàm số bậc bốn y f x  và đồ thị hàm số y f3 2 x như hình vẽ

Hàm số y f x  nghịch biến trên khoảng nào sau?

A  ; 1 B 0;  C 3;  D  0; 2

Lời giải Chọn A

Suy ra hàm số y f x nghịch biến trên từng khoảng ; 1và  3;5

Câu 8: Cho hàm số y f x  Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số mthỏa mãn m  10;10sao cho hàm

số y f x m   đồng biến trên khoảng 2; 0 Số phần tử của tậpSlà

A.6 B 5 C 7 D 9

Lời giải Chọn A

Suy ra S        9; 8; 7; 6; 5; 4 Vậy số phần tử của S là 6

Câu 9: Cho hàm số f x có đạo hàm trên   Hàm số y f ' 3 x1 có đồ thị như hình vẽ

Hàm số f x đồng biến trên khoảng nào sau đây? 

A.  2; 6 B  ; 7 C.  ; 6 D  1;5

Lời giải Chọn B

Đặt t3x1, khi đó f ' 3 x 1 0 khi và chỉ khi x   ; 2 hoặc x 1; 2

Tức là f ' t 0 khi và chỉ khi t   ; 7 hoặc t 2;5

Suy ra f t đồng biến trên mỗi khoảng    ; 7 và  2;5

Câu 10: Cho hàm số y f x  xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ

Hàm số y f 3x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Lời giải Chọn D

Câu 1: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f 12x 1 m có đúng ba điểm cực trị?

Câu 2: Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên Biết rằng hàm số y f x có đồ thị như

x x

2 2

x x x

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng 0; 3 nên cũng đồng biến trên khoảng  0;1

Câu 3: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên   Đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ

Hàm số g x  f   2x 1 x1 2x 4 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Lời giải Chọn A

Câu 7: Cho hàm số f x  Hàm số y f x có đồ thị như hình bên Hàm số

2 ln2



 với

1 2

A  0;1 B  2; 1 C  1; 2 D 1; 0 

Lời giải Chọn D

x

x x

t t t

1 1; 01

1 1; 2

x x

x a x

Ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng  2; 1

Câu 10: Cho hàm số y f x  có đồ thị f x  như hình vẽ sau