Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi

Trong bài viết này, lý thuyết điều khiển ổn định phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn được sử dụng để đảm bảo chuyển động thực của robot có khâu đàn hồi sai khác chuyển động mong muốn của khâu thao tác nhỏ như có thể.

Trang 1

Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển

Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr 167-176, DOI 10.15625/vap.2019000274

Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot

một khâu đàn hồi

Nguyễn Văn Khang1), Đinh Công Đạt 1,2), Nguyễn Sỹ Nam3) 1) Bộ môn Cơ học ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

2) Bộ môn Cơ lý thuyết, Trường Đại học Mỏ - Địa Chất

3) Bộ môn Cơ lý thuyết, Trường Đại học Xây dựng E-mail: khang.nguyenvan2@hust.edu.vn

Tóm tắt

Động lực học ngược robot có khâu đàn hồi là bài toán đang

được quan tâm nghiên cứu hiện nay Trong bài báo này, lý

thuyết điều khiển ổn định phương trình vi phân tuyến tính hệ số

tuần hoàn được sử dụng để đảm bảo chuyển động thực của

robot có khâu đàn hồi sai khác chuyển động mong muốn của

khâu thao tác nhỏ như có thể Thí dụ mô phỏng số được thực

hiện cho thấy hiệu quả của phương pháp đề xuất

Từ khóa: Robot đàn hồi, động lực học ngược, phân tích dao

động, tuyến tính hóa, hệ quy chiếu đồng hành

1 Mở đầu

Mô hình hóa và điều khiển robot đàn hồi là bài toán

có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, và đang được quan tâm

nghiên cứu hiện nay [1-4] Trong đó bài toán động lực

học ngược robot đàn hồi là bài toán có ý nghĩa kỹ thuật

nhưng không đơn giản [5-11] Trong bài báo này trình

bày việc áp dụng phương pháp hệ quy chiếu đồng hành

(Floating frame of reference approach) [12-13] thiết lập

phương trình chuyển động của robot có khâu đàn hồi

Tương tự như ý tưởng của H Asada [5] bài toán động lực

học ngược của tay máy robot đàn hồi được tính theo ba

bước: Bước 1, xác định chuyển động của các khâu rắn

khả dĩ và mômen khả dĩ các khâu dẫn Bước hai thiết lập

phương trình dao động của các khâu đàn hồi dựa theo

chuyển động của các khâu rắn khả dĩ, rồi phân tích biến

dạng động của các khâu đàn hồi sao cho chuyển động của

các khâu không đi xa khỏi chuyển động của các khâu

cứng ảo Bước ba từ chuyển động của các khâu cứng ảo

và biến dạng đần hồi ta tính các mô men các khâu dẫn

sao cho thực hiện được chuyển động của khâu thao tác

Trong đó việc tính toán hai bước một và ba về nguyên tắc

không có gì khó khăn Việc tính toán bước hai là bài toán

khó còn cần nghiên cứu tiếp Trong bài báo này trình bày

một ý tưởng mới giải quyết khâu hai của bài toán động

lực học ngược robot có khâu đàn hồi

2 Thiết lập phương trình chuyển động của

robot đàn hồi 1 khâu bằng phương pháp hệ

quy chiếu đồng hành

Trong [12, 13] Shabana đã trình bày một số phương

pháp thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ

nhiều vật đàn hồi Trong đó có phương pháp hệ quy chiếu

đồng hành Trong bài báo này áp dụng phương pháp hệ

quy chiếu đồng hành để thiết lập phương trình vi phân chuyển động của tay máy robot đàn hồi một khâu Xét mô hình tay máy như hình 1 Tay máy OE được

xem là thanh đàn hồi, chiều dài khi chưa biến dạng là l

Đầu O của thanh gắn cứng vào khâu O (bao gồm cả động cơ) quay quanh trục O, đầu E mang khối lượng m E Thanh được xem là đồng chất, thiết diện A, mật độ khối

là ρ Mômen phát động của động cơ là τ Hệ tọa độ

0 0

Ox y là hệ tọa độ cố định, hệ tọa độ đồng hành Oxy là

hệ tọa độ động, chuyển động quay đồng thời cùng với robot rắn

Xét trường hợp thanh OE đàn hồi chỉ thực hiện biến dạng uốn ngang (bỏ qua biến dạng dọc thanh) Xét điểm

P tại vị trí x trên thanh, gọi w x t là chuyển vị ngang ( ), của điểm P

2.1 Động năng của robot

Động năng của hệ gồm động năng của khâu đàn hồi

OE, động năng của khâu quay 1 và động năng của khối

lượng m E

Trong đó động năng của khâu quay 1 là

2

1 1

1

2 a

1

J là mô men quán tính của khâu 1 (bao gồm cả động cơ) đối với điểm O

Động năng thanh đàn hồi OE khi thanh bị uốn là

2 0

1 2

l

Xét điểm P* cách đầu O một đoạn x, sau khi biến dạng đến vị trí P ta có

x = -xq q -w q -wq q

Trang 2

Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam

y =xq q +w q -wq q

Vận tốc điểm P là

2 2 2 2 2 2 2 2

v =x +y = w +x q +w + xwq (4)

Thay (4) vào (3) ta được

0

1

2 2

l

T = r Aò w +x q +w + xwq dx

a

0

1

2 2

l

r

l

x dx =

ò , nên từ (5) ta suy ra biểu thức

động năng OE

0

2 2 0

1

2 2

l

r

ò ò



(6)

Trong đów E là độ võng tại E, w E =w l t( ), Động

năng của tải trọng E

2

1

2

Từ (4) ta suy ra

2 2 2 2 2 2

Thay (8) vào (7) ta được

2 2 2 2 2

1

2 2

Thay (2), (6) và (9) vào (1) ta có biểu thức động

năng của robot

2 3 2 1

T=æçç J + m l + r Al qö÷÷

÷

0

2

l

+ êë  +  +   úû+ ò 

2 2

1

2

2.2 Thế năng của robot

Thế năng biến dạng đàn hồi của thành OE được tính

theo công thức [13, 14]

2 2 2 0

1

2

l

dh

w

x

æ¶ ÷ö

ç ÷ ç

Trong đó E là mô đun đàn hồi của vật liệu, I là mô

men quán tính mặt cắt ngang, Giả thiết thanh đồng chất

thiết diện không đổi, ta có biểu thức thế năng đàn hồi:

2 2 2 0

1

2

l dh

w

x

æ¶ ÷ö

ç ÷ ç

Để tính thế năng của trọng lực, ta chọn gốc thế năng

là đường ngang qua trục Ox0 Do đó ta có

2

0

l

0

sin cos

l

0

sin

2 cos

l a

m

Trong đó m=r Alà phân bố khối lượng trên đơn vị dài (kg/m) Vậy thế năng của hệ là

2

2 2 2 0 0

1 cos

2

l

l a

w

x

2.3 Phương trình vi phân chuyển động của robot

Theo phương pháp Ritz-Galerkin, chuyển vị uốn ngang tương đối w x t trong hệ toạ độ đồng hành ( ),

Oxy , có trục Ox quay quanh O cùng khâu rắn có thể

khai triển bởi biểu thức sau

1

i

N

i

=

Trong đó: w(x, t) là chuyển vị uốn ngang của thanh tại vị trí x, ở thời điểm t, X x là các hàm thỏa mãn điều i( ) kiện biên của thanh đàn hồi, ( )

i

e

q t là các tọa độ dạng phụ thuộc vào thời gian và là đại lượng chưa xác định

Trong trường hợp thanh OE một đầu ngàm một đầu

tự do thì phương trình đặc trưng của dầm có dạng [14]

1+cos coshl l=0 (16) Giải hệ phương trình (16) ta nhận được các trị riêng

i

l (i=1, 2, …) Từ đó các hàm X x i( ) có dạng [14] ( ) cos i cosh i

i

X x

æ ö÷ æ ö÷

= ç ÷÷- ç ÷÷

sin sinh

+ çç- çç ÷÷÷+ çç ÷÷÷÷

÷÷

sin sinh

-+

+

(18)

Từ (15) ta suy ra

1

i

N

i

=

Từ (15) thực hiện các phép đạo hàm, bình phương, tích phân rồi thay vào các công thức (10) và (14) ta được các biểu thức động năng và thế năng cho tay máy

2 3 2 1

T=æçç J + m l + r Al qö÷÷

÷

Trang 3

Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi

( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1

1

2

N N

E

i j

m

X l X l q q

= =

å å

 

2

1 1

1

2

1

2

N N

ij e e

i j

r

= =

+

å å

 

(20)

1

sin sin ( ) ( )cos

2

i

N

i

=

1 cos

2

m

Trong đó ta sử dụng các ký hiệu sau

2

0

l

C =ò X dx ;

2

l

0

D = ò xX dx;

2

0

l

m =ò X X dx ;

2

0

l

Để thiết lập các phương trình vi phân chuyển động

của tay máy, ta sử dụng các phương trình Lagrange loại 2

viết cho hệ hôlônôm

*

j

Q

æ¶ ö÷ ¶ ¶P

ç ÷

ç¶ ÷÷ ¶ ¶

Trong đó *

j

Q là lực suy rộng không có thế ứng với

tọa độ suy rộng q j Lực hoạt động tác dụng vào hệ chỉ có

mômen phát động τ do đó chỉ có lực suy rộng Q = a* τ

ứng với tọa độ suy rộng q a Phương trình vi phân cho

tọa độ khâu dẫn q a có dạng

( ) ( )

1

1 1

1

N N

i j

q

= =

å å

( ) ( )

( )

r r

 

1

os

sin

i

N

i N

i

m glc q

m

=

å å

Nếu ta chọn N các tọa độ đàn hồi qei, các phương

trình vi phân đối với các tọa độ đàn hồi qei có dạng

( ) ( )

( )

+

1 1 1 j 1 1 j

( ) ( )

Trường hợp sử dụng 1 khai triển đầu cho biến dạng đàn hồi (tức N = 1), ta thu được hệ 2 phương trình vi phân chuyển động của robot đàn hồi như sau

( )

1 3

2

1 11 1 1 1

2m X l E 2r Am q q q a e e r AD q e

( ) 1

os

sin 2

m glc q

( )

2

m X l q +m lX q +r AD q +r Am q

( )

1 cos cos 1

3 Tuyến tính hóa phương trình chuyển động của robot đàn hồi quanh chuyển động cơ bản

Để tuyến tính hóa phương trình chuyển động của robot đàn hồi, ta cần xác định chuyển động cơ bản của

nó Trong công trình này chuyển động của robot khi xem các khâu là rắn được xem là chuyển động cơ bản của robot đàn hồi

3.1 Động lực học ngược robot rắn

Khi cơ hệ là rắn, vị trí khâu thao tác E được xác định bởi công thức sau

cos , sin

Ký hiệuJ OE là mômen quán tính của thanh OE đối với điểm O Khi thanh OE là thanh đồng chất, thiết diện không đổi ta có

Ký hiệuJ là mômen quán tính của khối lượng m E E

đối với điểm O Xemvật nặng là một chất điểm ta có

2

Từ (28) và (29) ta suy ra

3 2

1

1 3

Tay máy robot là vật rắn quay quanh trục cố định, áp dụng định lý biến thiên mômen động lượng ta có

cos q

2

m gl

3 2

1

3r Al m l E J q a

τ cosq cosq ( ) 2

l

Trang 4

Giả sử quy luật chuyển động của khâu dẫn có dạng

( )

2 2

a

Đạo hàm biểu thức (32) rồi thay vào (31) ta được

( ) ( )

( )

1

3 cos sin 2

cos sin 2

2 2

OE

E

l

p

= - çç + + ÷÷

(33)

Tọa độ điểm thao tác E có dạng

2 2

p

2 2

p

Để tính toán mô phỏng số, ta cho biết các tham số

động học và động lực học của robot dưới dạng bảng 1

như sau

Với bảng thông số tính toán ở trên, sử dụng chương

trình Matlab cho ta kết quả của tọa độ khâu thao tác và

mômen khâu dẫn trên các hình vẽ 2, 3a, 3b, 3c

Hình 2 Mô men phát động khi cơ cấu rắn

Hình 3a Tọa độ xE

Hình 3b Tọa độ yE

Hình 3c Quỹ đạo của điểm E

3.2 Tuyến tính hóa phương trình chuyển động của robot đàn hồi quanh chuyển động cơ bản

Hệ phương chuyển động (25), (26) là trường hợp riêng của hệ phương trình [15]

1

( ) = ( , , , )t t

Ta khai triển phương trình (35) quanh chuyển động

cơ bản sR( ),t và τR( )t Trong đó s R( )t là chuyển động của robot khi các khâu là rắn

( ) R( ) ( ) R0( )

R e

t

=ê ú=ê ú

ê ú êë úû

s

( ) ( ), ( ) ( )

còn τR( )t là mô men khi các khâu là rắn

Bảng 1 Các tham số của cơ rắn

Thông

số

r

I

m

J 1

m E

2700 2.0834x10-10

0.972 5.86x10-5

0.1

kg/m2 m4

kg kg.m2 kg

Trang 5

τ

a

R

e

t =é ùê úê ú=é ùê úê ú

ê ú ê ú

(37)

Ta đưa vào các ký hiệu sau

( )t = R( )t + D ( )t = R( )t + ( )t

( )2 ( )

Để đơn giản trong biến đổi ta viết lại phương trình

(35) dưới dạng

1( , )= ( )

Trong đó: f1 Î Âf, p1Î Âf Khai triển Taylor các

hàm f s s1( , ) và p s s1( , , , ) τ t quanh chuyển động cơ bản

, , , τ

s s s  [15, 16], bỏ qua các số hạng phi tuyến,

phương trình vi phân (35) trở thành

Chú ý rằng biểu thức gia lượng D trong (41) là τ

thành phần mômen bổ xung của mômen phát động của

động cơ Người ta thường chọn mômen bổ xung thêm

dưới dạng

D = - êëK q - qa a + K q - q a a úû (44)

τ

(45)

Trong đó KD và KPlà các ma trận đường chéo với

các phần tử trên đường chéo chính là các số dương

Phương trình tuyến tính hóa lúc này trở thành

( ) 2 ( ) ( ) ( )

Trong đó

;

Chuyển về và biến đổi ta được

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2 ( )

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )

(2) (2) (2)

Với

( ) 2 ( ) ( )

L t = L t

( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2

L t = L t + P

( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2

L t = L t + D

0 cos R cos R

L

t

m r

h

(52)

4 Điều khiển ổn định và phân tích dao động đàn hồi tuyến tính

4.1 Điều khiển ổn định

Như trên, phương trình chuyển động tuyến tính của của robot đàn hồi (47) là hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn Nghiệm của (47) có dạng

( ) ( ) *( )

h

Trong đó yh( )t là nghiệm của phương trình thuần nhất

( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )

Để biến đổi phương trình vi phân (54) về hệ phương trình bậc nhất, ta đặt

2 ; 1

y = y y = y Khi đó hệ phương trình (54) có dạng

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

1 2

2 1 2 2 1 2

2 L- t L t 2 L- t L t 1

=



Đặt

é ù

ê ú

1 2

y

z =

( ) ( ) 2 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 1( ) ( ) 2 ( )

2

t

A

Hệ (55) trở thành ( )t

Bài toán ổn định yêu cầu ta phải chọn KP và KD sao cho nghiệm thuần nhất yh(t) tiến tới 0 nhanh, khi đó nghiệm y( )t y*( )t nhanh [18]

Để tính toán mô phỏng số ta đưa các thông số tính toán như bảng 2

Chọn các ma trận KP , KD và khảo sát ổn định của

hệ thông qua các số mũ Floquet [17,18]

Bảng 2 Các tham số của cơ cấu đàn hồi Thông

số

r

I

m

E

J 1

m E

q a

2700 2.0834x10-10

0.972 7.11x1010

5.86x10-5

0.1

( sin 2

kg/m2 m4

kg N/m kg.m2

kg rad

Trang 6

Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam Trường hợp 1

;

Tính số mũ Floquet của phương trình (58) ta được

3

1

2

4

0.6059 0.0000

4.8623 0.0000

9.5721 0.0000

17.7524 3.1416

i i i i

l

+

=

Có một phần thực dương nên hệ không ổn định

Trường hợp 2

0.1 0

;

0 0

0.95 0

4

1

2

3

0.3292 0.3345

8.9079 3.1416

14.0069 0.0000

i i i i

l

=

Tất cả các phần thực đều âm, hệ ổn định

Trường hợp 3

;

2

1

3

4

0.0369 0.0000

10.6635 0.0000

10.8238 3.1416

15.0181 0.0000

i i i i

l

=

Trường hợp 4

;

2

3

1

4

0.4071 0.0000

12.2119 3.1416

2.5532 0.6076

i i i i

l

-=

4.2 Chuyển động đàn hồi ổn định

Trong các trường hợp hệ ổn định theo tiêu chuẩn số

mũ Floquet, ta tiến hành tìm nghiệm riêng của phương

trình

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )

(2) (2) (2)

Sử dụng các công thức tích phân Newmark, GS

Nguyễn Văn Khang và cộng sự đã đưa ra thuật toán tìm

điều kiện đầu nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân

tuyến tính hệ số tuần hoàn [17, 18] Dưới đây ta nhặc lại

một số kết quả chính

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần

hoàn có dạng

( )t + ( )t + ( )t = ( ),t

Trong đó M(t), C(t), K(t) là các ma trận cấp n n´ ,

f(t) là véctơ lực mở rộng Các ma trận đó đều là hàm tuần

hoàn với chu kỳ T

K(t+T) = K(t), f(t+T) = f(t)

Nghiện tuần hoàn của phương trình (68) có chu kỳ T

thỏa mãn điều kiện đầu sau đây (0)= ( ), (0)T = ( ),T (0)= ( )T

Sử dụng thuật toán trình bày trong [17, 18] ta tìm được nghiệm của phương trình (67), ta có

* * *

1 2

= êë úû

Khi chọn được KP và KD sao cho hệ ổn định nhanh thì nghiệm

»

*

Khi đó ta có tọa độ khớp quay trở thành ( ) ( ) 1( )

R

Chuyển vị đàn hồi tại điểm cuối thanh ( ), 1( ) ( )2

Tọa độ điểm thao tác E

( )

Tính toán số cho các trường hợp 2, 3,4 ở trên ta được

Trường hợp 2

0.1 0

;

0 0

0.95 0

Hình 4a Sai lệch tọa độ rắn

Hình 4b Chuyển vị đàn hồi

Trang 7

Hình 5a Tọa độ xE khi cơ hệ rắn và khi đàn hồi

Hình 5b Tọa độ yE khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính

đàn hồi

Hình 5c Quỹ đạo điểm E khi cơ hệ rắn và khi có xét đến

tính đàn hồi

Hình 6 Tọa độ khớp khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính

đàn hồi

Trường hợp 3

;

Hình 8a Tọa độ xE khi cơ hệ rắn và khi tính đến

đàn hồi

Trang 8

tính đàn hồi

đàn hồi

Trường hợp 4

;

Hình 11a Tọa độ xE khi cơ hệ rắn và khi tính đến

đàn hồi

Hình 11c Quỹ đạo điểm E khi cơ hệ rắn và khi có xét

đến tính đàn hồi

Trang 9

đàn hồi

Từ những két quả mô phỏng trên, ta thấy vị trí điểm

thao tác khi khâu dẫn là khâu đàn hồi khá gần vị trí điểm

thao tác khi khâu rắn xem là khâu rắn

5 Động lực học ngược robot đàn hồi

Sử dụng kết quả của bài toán điều khiển ổn định, ta

tính toán mômen phát động khi cho biết chuyển động của

khâu đàn hồi nhờ vào phương trình (25) Ta lần lượt tính

toán với các trường hợp 2,3 và 4

Trường hợp 2

Chọn

0.1 0

;

0 0

0.95 0

Trường hợp 3

Chọn

;

Trường hợp 4

Chọn

;

Kết quả mô phỏng số được trình bày trên các hình 12a,

12b, 12c

Hình 12a Mô men khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính

đàn hồi trong trường hợp 2

Hình 12b Mô men khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính

Hình 12c Mô men khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính

Từ các hình vẽ trên ta thấy khi phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (54) ổn định động lực tốt thì mômen khâu dẫn đàn hồi và mômen khâu dẫn xem là rắn sai khác nhau ít Mômen bổ sung nhỏ

6 Kết luận

Bài toán động lực học ngược của tay máy đàn hồi là bài toán đang được quan tâm nghiên cứu Trong bài báo trình bày một thuật toán mới tìm nghiệm gần đúng chuyển động của các khâu của robot Sau đó dựa vào phương trình vi phân của robot có khâu đàn hồi ta dễ dàng tìm được biểu thức gần đúng tính mômen của các khâu dẫn Phương pháp trình bày trong bài báo này là phương pháp tổng quát khi khâu dẫn quay đều khi robot

là rắn và dao động phụ của các khâu đàn hồi là nhỏ Khi tính toán, ta xem chuyển động cơ bản của robot

là chuyển động của robot khi các khâu là khâu rắn tuyệt đối Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa thiết lập phương trình vi phân dao động quanh chuyển động cơ bản Khi khâu dẫn quay đều ta nhận được hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn Sử dụng lý thuyết Floquet ta tìm điều kiện ổn định của robot đàn hồi Với giả thiết gần đúng, xem chuyển động đàn hồi là nhỏ,

Trang 10

chuyển động thực gần đúng của các khâu của robot là

tổng chuyển đông khi các khâu là rắn tuyệt đối và chuyển

động đàn hồi Từ đó đề xuất phương án mới tính toán

động lực học ngược robot có khâu đàn hồi

Lời cảm ơn

Bài báo này được hoàn thành với sự tài trợ bởi Quỹ Phát

triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED)

Tài liệu thamkhảo

[1] M Benosman, G.L Vey, Control of flexible

manipulators: A survey, Robotica 22 (2004), pp

533-545

[2] S.K Dwivedy, P Eberhard, Dynamic analysis of flexible

manipulators, a literature review, Mechanism and

Machine Theory 41 (2006), pp 740-777

[3] H, N Rahimi, M Nazemizadeh, Dynamic analysis and

intelligent control techniques for flexible manipulators: a

review, Advanced Robotics, Vol.28 (2), pp.63-76, 2014

[4] K Lochan, B.K Roy, B Subudhi, A review on two-link

flexible manipulators, Annual Reviews in Control, Vol

42, pp 346-367, 2016

[5] H Asada, Z.-D Ma, H Tokumaru, Inverse dynamics of

flexible robot arms: Modeling and computation for

trajectory control, ASME-Journal of Dynamic Systems,

Meassurement, and Control, Vol 112(1990), pp 177-185

[6] E Bayo, H Moulin, An efficient computation of the

inverse dynamics of flexible manipulators in the time

domain, Proc IEEE Conference on Robotics and

Automation, Scottsdale, Arizona, 1989, pp 710-715

[7] E Bayo, Ph Papadopoulos, J Stubbe, M.A Serna,

Inverse dynamics and kinematics of multi-link elastic

robots: An iterative frequency domain approach, The

International Journal of Robotics Research, Vol 8, No.6,

pp 49-62, 1989

[8] W Khalil, F Boyer, An efficient calculation of computed

torque control of flexible manipulators, Proc of the IEEE

International Conference on Robotics and Automation 1,

1995, pp 609-614

[9] E Carrera, M.A Serna, Inverse dynamics of flexible

robots, Mathematics and Computers in Simulation,

Vol.41 (1996), pp 485-508

[10] F Boyer, W Khalil, An efficient calculation of flexible

manipulator inverse dynamics, The International Journal

of Robotics Research, Vol 17, No.3, pp 282-293, 1998

[11] R Seilfred, Dynamics of Underactuated Multibody

Systems, Springer, Switzerland 2014

[12] A A Shabana, Flexible Multibody Dynamics: Review of

Past and Recent Developments, Multibody System

Dynamics, Vol.1 (1997), pp.189–222

[13] A A Shabana, Computational Continuum Mechanics,

Cambridge University Press, 2008

[14] Nguyễn Văn Khang, Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4),

NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2005

[15] Nguyễn Văn Khang, Động lực học hệ nhiều vật (in lần thứ

2), NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2017

[16] Nguyễn Doãn Phước, Phân tích và điều khiển hệ phi

tuyến, NXB Bách khoa Hà Nội, 2015

[17] Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien (2012):

Parametric vibration analysis of transmission mechanisms using numerical methods In: Advances in

Vibration Engineering and Structural Dynamics, Edited

by F.B Carbajal, Intech, Croatia, pp.301-331

[18] Nguyễn Văn Khang, Dao động phi tuyến ứng dụng, NXB

Bách khoa Hà Nội, 2016

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	694,87 KB