Bài giảng Kỹ thuật điều khiển tự động: Bài 2 - Trường ĐH Công nghiệp TP.HCM

Bài giảng Kỹ thuật điều khiển tự động: Bài 2 Biến đổi laplace và hàm truyền cung cấp cho người học những kiến thức như: Thiết lập quan hệ input-output; biến đổi laplace các hàm cơ bản; định lý của phép biến đổi;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Kỹ thuật điều khiển tự động

lt.sang@hutech.edu.vn

BÀI 2: BIẾN ĐỔI LAPLACE

VÀ HÀM TRUYỀN

Giới Thiệu

• Các phần tử của hệ thống điều khiển được mô tả bởi một phương trình – thiết lập mối quan hệ về thời gian giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của phần tử Những phương trình

thành phần vi / tích phân.

• Phép biến đổi Laplace được sử dụng để biến đổi phương trình vi phân thành phương trình đại số - là những hàm theo tần số Khi phương trình đại số này được sắp xếp ở dạng tỷ lệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào, thì kết quả được gọi là hàm truyền đạt của phần tử.

hệ thống cũng như trong quá trình phân tích và thiết

kế hệ thống điều khiển.

Thiết Lập Quan Hệ Input-Output

Xác định phương trình vi phân mô tả hệ cơ khí gồm lò xo-khối lượng-giảm chấn có

sơ đồ như hình (a)

Bộ giảm chấn (b) gồm 1 xy lanh dầu và một piston, một trong hai thành phần này đượclắp cố định, còn phần kia di động Khi có chuyển động tương đối giữa piston và xy lanh,dầu sẽ chảy từ buồng này sang buồng kia qua khe hở Lực đẩy dầu qua khe hở có tácdụng cản trở chuyển động, gọi là lực ma sát nhớt

Lực giảm chấn Fd ngược chiều và tỷ lệ với vận tốc v:

Fd = b.v b: hệ số ma sát nhớt [N.s/m]

Bộ giảm chấn cũng được biểu diễn đơn giản như hình (c) và (d)

Thiết Lập Quan Hệ Input-Output

Giả sử tại t=0, hệ đang ở trạng thái

Trong đó, tín hiệu vào: lực F(t) tác dụng từ bên ngoài [N]

tín hiệu ra: lượng di động y(t) của khối lượng m [m]

Thiết Lập Quan Hệ Input-Output

• Mạch điện RC

Đối với tụ điện

Với là hằng số thời gian của mạch điện

Biến Đổi Laplace

Định nghĩa: Thí dụ: làm phép biến đổi Laplace đối với hàm f(t) = K

Với

Biến Đổi Laplace Các Hàm Cơ Bản

Giả thiết là chỉ xét các hàm f(t) trong miền t ≥ 0 và điều kiện ban đầu f(t) = 0 khi t < 0

0

t

dl t t

t dt

Biến Đổi Laplace Các Hàm Cơ Bản

Bảng Biến Đổi Laplace

Định Lý Của Phép Biến Đổi

Biến Đổi Laplace

1

2

3

Biến Đổi Laplace

Thí dụ: Biến đổi Laplace cho hàm sau:

Thí dụ: Biến đổi Laplace cho hàm sau với tất cả điều kiện ban đầu bằng 0:

Thí dụ: Biến đổi Laplace cho hàm trên khi có điều kiện ban đầu là:

Giải

Giải

Biến Đổi Laplace

Giải

Thí dụ: Biến đổi Laplace cho hàm sau với tất cả điều kiện ban đầu bằng 0:

Giải

Biến Đổi Laplace

Thí dụ: Chứng minh biến đổi Laplace của các hàm sau

Giải

Thí dụ: Chứng minh biến đổi Laplace của các hàm sau

Giải

Biến Đổi Laplace

TS Ngô Hà Quang Thịnh, nhqthinh@hcmut.edu.vn

Đổi biến số:

Thí dụ: Chứng minh biến đổi Laplace của các hàm sau

Giải

Biến Đổi Laplace

Biến Đổi Laplace

Do tính chất tuần hoàn f(u + T) = f(u) nên

Ta được

Biến Đổi Laplace

Thí dụ: Một phần tử có thời gian trễ được mô tả như sau: fi(t) = 4t và fo(t) = 4(t

-6), hãy biến đổi Laplace cho tín hiệu ra của phần tử

Giải

• Biến đổi Laplace ngược

Chuyển đổi hàm theo tần số thành hàm theo thời gian Trong phân tích hệthống điều khiển, hàm trong miền tần số thường có dạng là phân số của hai đathức

Biến Đổi Laplace

Đặt vấn đề: Tìm hàm thời gian y(t) khi biết ảnh Laplace Y(s)Thông thường, ảnh Laplace Y(s) có dạng hàm hữu tỉ:

1) Mẫu số Y(s) chỉ có các nghiệm đơn

Biến Đổi Laplace

Tìm biến đổi Laplace ngược:

Biến Đổi Laplace

2) Mẫu số Y(s) có nghiệm bội

Biến Đổi Laplace

Hãy xác định hàm y(t) của ảnh Laplace

Biến Đổi Laplace

Biến Đổi Laplace

Xác định hàm y(t) khi biết ảnh Laplace

Biến Đổi Laplace

Thí dụ: Thực hiện phép biến đổi Laplace ngược cho những hàm sau:

Giải

Biến Đổi Laplace

Hàm Truyền

Hàm truyền của một phần tử là phân số giữa phép biến đổi Laplace của tín hiệu

ra và phép biến đổi laplace của tín hiệu vào

Thí dụ: Xác định hàm truyền của mạch RC có phương trình theo thời gian như sau:

Giải

Thí dụ: Một van điều khiển có hàm truyền như sau như sau:

Hàm Truyền

• Định lý giá trị đầu / cuối

Giúp xác định những giá trị xác lập nhanh chóng mà không cần thực hiện biếnđổi Laplace ngược

Thí dụ: ứng dụng định lý giá trị đầu / cuối để kiểm chứng kết quả của thí dụ ởtrên

Giải

Sơ Đồ Khối

Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các phần tử và

sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống Sơ đồ khối có 3 thànhphần cơ bản là khối chức năng, bộ tổng và điểm rẽ nhánh

Khối chức năng:

Bộ tổng:

Điểm rẽ:

Sơ Đồ Khối

Đại số sơ đồ khối là thuật toán biến đổi tương đương các sơ đồ khối

Hai sơ đồ khối được gọi là tương đương nhau nếu chúng có quan hệ giữa tínhiệu vào, tín hiệu ra như nhau

Để tìm hàm truyền của hệ thống có sơ đồ khối phức tạp, ta thường tìm cáchbiến đổi sơ đồ khối để làm xuất hiện các dạng kết nối đơn giản rồi lần lượt tính cáchàm truyền tương đương theo nguyên tắc “rút gọn dần từ trong ra ngoài”

1) Hệ nối tiếp

Sơ Đồ Khối

2) Hệ song song

3) Hệ hồi tiếp một vòng

Sơ Đồ Khối

4) Chuyển điểm rẽ ra trước một khối

5) Chuyển điểm rẽ ra sau một khối

6) Chuyển bộ tổng ra trước một khối

Sơ Đồ Khối

Đáp Ứng Tần Số

hòa

Đặc tính đáp ứng của phần tử đối với tín hiệu dao động

Biểu Đồ Bode

Đáp ứng tần số của một phần tử là một tập hợp các giá trị

của hệ số khuếch đại và độ lệch pha khi tín hiệu dao động điều hòa biến thiên trên một dãy tần số.

Các bước xây dựng biểu đồ Bode:

• Thế s = j  trong biểu thức hàm truyền

• Biểu diễn hàm truyền ở dạng số phức, từ đó có thể biểu diễn ở dạng tọa độ cực.

• Biên độ của số phức chính là hệ số khuếch đại của phần

tử ở tần số 

• Góc của số phức chính là góc lệch pha của phần tử ở tần

số 

Biểu Đồ Bode

và độ lệch pha là –57.8o