Toán học và Dữ liệu vật lý, Phương trình, và Quy tắc của ngón tay cái

Đây là một liệu toàn diện các định nghĩa, công thức, đơn vị, các hằng số, biểu tượng, các yếu tố chuyển đổi, và dữ liệu linh tinh để sử dụng bởi các kỹ sư, kỹ thuật viên, người có sở thích, và học sinh. Một số thông tin được cung cấp trong các lĩnh vực toán học, vật lý và hóa học. Danh sách các biểu tượng được bao gồm.Mọi nỗ lực đã được thực hiện để sắp xếp các tài liệu một cách hợp lý, và để miêu tả các thông tin về ngắn gọn nhưng khá nghiêm ngặt. Sự chú ý đặc biệt đã được trao cho các chỉ số. Nó được sáng tác với mục tiêu làm cho nó dễ dàng như có thể cho bạn để tìm định nghĩa cụ thể, công thức và dữ liệu.Thông tin phản hồi liên quan đến phiên bản này được chào đón, và gợi ý cho các phiên bản tương lai được khuyến khích

Dữ liệu vật lý, Phương trình, và Nội

quy của Thumb

Toán học và

Dữ liệu vật lý, Phương trình, và Quy tắc của

ngón tay cái

Stan Gibilisco

Mới YorkChicagoSan FranciscoLisbonLondonMadrid

Mexico CityMilanNew DelhiSan JuanSeoul

cơ sở dữ liệu hoặc phục hồi hệ thống, mà không có sự chấp thuận trước bằng văn bản của nhà xuất bản

0-07-139539-3

Vật liệu trong Sách điện tử này cũng xuất hiện trong phiên bản in của danh hiệu này: 0-07-136148-0.

Tất cả thương hiệu là thương hiệu của chủ sở hữu tương ứng Thay vì đặt một biểu tượng thương hiệu sau mỗi lần xuất hiện của một tên nhãn hiệu, chúng tôi sử dụng tên trong một thời trang biên tập duy nhất, và vì lợi ích của chủ sở hữu nhãn hiệu hàng hoá, không có ý định xâm phạm nhãn hiệu hàng hoá Nơi định như vậy xuất hiện trong cuốn sách này, họ đã được in với mũ ban đầu

McGraw-Hill sách điện tử có sẵn tại giảm giá số lượng đặc biệt để sử dụng như phí bảo hiểm và chương trình khuyến mãi bán hàng, hoặc để sử dụng trong chương trình đào tạo của công ty Để biết thêm thông tin, xin vui lòng liên hệ với George Hoare, tiêu thụ đặc biệt, tại george_hoare@mcgraw- hill.com hoặc (212) 904-4069

TERMSOFUSE

Đây là một tác phẩm có bản quyền và The McGraw-Hill Companies, Inc ("McGraw-Hill") và cấp giấy phép bảo lưu tất cả quyền và công việc Sử dụng tác phẩm này có thể được các điều khoản Trừ khi được cho phép theo Đạo luật Bản quyền năm 1976 và quyền lưu trữ và lấy một bản sao tác phẩm, bạn

có thể không dịch ngược, tháo rời, thiết kế đối chiếu, sao chép, sửa đổi, tạo ra tác phẩm phái sinh dựa trên, truyền, phân phối, phổ biến, bán, xuất bản hoặc cấp phép công việc hoặc bất kỳ phần nào của nó

mà không có sự đồng ý trước McGraw-Hill Bạn có thể sử dụng tác phẩm để sử dụng phi thương mại

và cá nhân của riêng bạn, bất kỳ sử dụng khác của công việc đều bị nghiêm cấm Quyền sử dụng tác phẩm có thể bị huỷ bỏ nếu không thực hiện đúng các điều khoản này.

TÁC PHẨM ĐƯỢC CUNG CẤP "AS IS" McGraw-HILLAND CẤP GIẤY PHÉP KHÔNG BẢO ĐẢM HOẶC BẢO HÀNH VỀ CÁC CHÍNH XÁC, AN TOÀN HOẶC HOÀN THIỆN HOẶC KẾT QUẢ THU ĐƯỢC TỪ SỬ DỤNG CÔNG, BAO GỒM thông tin có thể truy cập qua công tác VIA HYPERLINK HAY VÀ TỪ CHỐI BẢO, HAY NGỤ Ý, BAO GỒM NHƯNG KHÔNG GIỚI HẠN BẢO ĐẢM VỀ PHẨM HAY PHÙ HỢP CHO

MỤC ĐÍCH CỤ THỂ McGraw-Hill và cấp giấy phép không đảm bảo hoặc đảm bảo rằng các chức năng chứa trong công việc sẽ đáp ứng yêu cầu của bạn hoặc hoạt động của nó sẽ không bị gián đoạn hoặc không có lỗi Không McGraw-Hill cung cấp bản quyền phải chịu trách nhiệm với bạn hoặc bất cứ

ai khác cho bất kỳ sự thiếu chính xác, lỗi hoặc thiếu sót, bất kể nguyên nhân, trong công việc hoặc cho bất kỳ tổn thất phát sinh McGraw-Hill không chịu trách nhiệm về nội dung của bất kỳ thông tin truy cập thông qua công việc Trong mọi trường hợp McGraw-Hill và / hoặc cấp giấy phép phải chịu trách nhiệm cho bất kỳ gián tiếp, ngẫu nhiên, đặc biệt, trừng phạt, do hậu quả hoặc tương tự như bồi thường thiệt hại phát sinh từ việc sử dụng hoặc không có khả năng sử dụng tác phẩm, thậm chí nếu có người trong số họ đã được thông báo khả năng thiệt hại như vậy Hạn chế này của trách nhiệm pháp lý áp

DOI: 10.1036/0071395393

Tony, và Samuel, và Tim từ Bác Stan

Chương 2 Hình học, lượng giác, logarit, và mũ

7 8

9

0 1

Công thức cho chất rắn 1

3 0

3 9

4 9

6 1

6 9

7 4

8 0 Chương 3 Toán học ứng dụng, Toán, và phương trình vi phân 1

8 7

8 9

9 5 vii

Bản quyền 2001 McGraw-Hill Companies, Inc Click vào đây để Điều khoản sử dụng.

viiiContents

0 0

0 4

1 8

3 0

3 4

4 0

Xác suất 2

4 9 Chương 4 Điện, Điện tử, và Truyền thông

2 6 1

6 3

7 3

8 6

9 2

0 6

0 8

1 5

1 8

2 6

2 7

3 5

3 9

4 4 Chương 5 Dữ liệu vật lý và hóa học

3 4 7

4 9

5 8

7 6

0 3

1 0

6 0 Chương 6 Dữ liệu bảng

4 7 1

7 8

7 9

8 0

8 2

8 3

8 5 Các ký hiệu hóa học và số nguyên tử 4

8 6

8 9

9 0

9 6

9 7 Contentsix

Trực giao Polynomials499 Laplace Transforms500

Hy Lạp viết hoa chữ thường Alphabet503 Hy Lạp Alphabet505 chung Toán học Symbols506

Số Conversion511

Flip-flops516 logic Gates517 dây Gauge518

Capacity520 mang dòng

Lời tựa

Đây là một liệu toàn diện các định nghĩa, công thức, đơn vị, các hằng số, biểu tượng, các yếu tố chuyển đổi, và dữ liệu linh tinh để sử dụng bởi các kỹ sư, kỹ thuật viên, người có sở thích, và học sinh Một số thông tin được cung cấp trong các lĩnh vực toán học, vật lý và hóa học Danh sách các biểu tượng được bao gồm Mọi nỗ lực đã được thực hiện để sắp xếp các tài liệu một cách hợp lý, và để miêu tả các thông tin về ngắn gọn nhưng khá nghiêm ngặt Sự chú ý đặc biệt đã được trao cho các chỉ số Nó được sáng tác với mục tiêu làm cho nó dễ dàng như

có thể cho bạn để tìm định nghĩa cụ thể, công thức và dữ liệu.

Thông tin phản hồi liên quan đến phiên bản này được chào đón, và gợi ý cho các phiên bản tương lai được khuyến khích.

Stan Gibilisco

Bản quyền 2001 McGraw-Hill Companies, Inc Click vào đây để Điều khoản sử dụng.

Bản quyền 2001 McGraw-Hill Companies, Inc Click vào đây để Điều khoản sử dụng.

Toán học và

Dữ liệu vật lý, Phương trình, và Nội

quy của Thumb

1

Đồ thị, và Vectors

1

Bản quyền 2001 McGraw-Hill Companies, Inc Click vào đây để Điều khoản sử dụng.

Chương này chứa các dữ liệu liên quan đến bộ, chức năng, số học, thực

số đại số, phức tạp, số lượng đại số, hệ tọa độ, đồ thị, và vector đại số

Một tập là một bộ sưu tập hoặc nhóm yếu tố duy nhất có thể xác định hoặc các thành viên Thiết lập các yếu tố phổ biến bao gồm:

Điểm trên một dòng

Khoảnh khắc trong thời gian

Tọa độ trong mặt phẳng

Tọa độ trong không gian

Tọa độ trên màn hình hiển thị

Đường cong trên một đồ thị hoặc màn hình hiển thị

Đối tượng vật lý

Nguyên tố hóa học

Trạng thái logic kỹ thuật số

Vị trí trong bộ nhớ hoặc lưu trữ

Bit dữ liệu, byte, hoặc các ký tự

Các thuê bao của một mạng lưới

Thiết lập công đoàn

Sự kết hợp của hai bộ A và B, được viết AB, C là tập hợp như vậy mà các báo cáo sau đây là đúng đối với mọi phần tử x:

x C ↔ x A hoặc x B

Tập con

nếu và chỉ nếu sau đúng:

x A → x B

Tập con thích hợp

Một tập hợp A là một tập hợp của một tập hợp B, viết AB, khi và chỉ khi

cả hai sau đây giữ đúng:

Một B

Bộ số thông dụng nhất có cardinality vô hạn Một số bộ số có cardinality đó là đếm được, một bộ như vậy có thể được hoàn toàn xác định theo một trình tự, mặc dù có thể có vô cùng nhiều yếu tố trong bộ này Một số bộ số lượng vô hạn có cardinality không đếm được, một bộ như vậy không thể được xác định hoàn toàn về một chuỗi

a1 a2 → b1 b2

Vào chức năng

Một hàm f từ tập A để thiết lập B là vào chức năng khi và chỉ khi:

b B → f (a) b cho một số một Một

Một-một trong những thư

Một hàm f từ tập A để thiết lập B là một sự tương ứng một-một, còn được gọi là một song ánh, khi và chỉ khi f là cả một-một và lên

Miền và phạm vi

Cho f là một hàm từ tập A để thiết lập B Cho A là tập hợp của tất cả các yếu tố một trong một mà có một yếu tố b tương ứng trong B Sau đó, A được gọi là tên miền của f

Cho f là một hàm từ tập A để thiết lập B Hãy B là tập hợp của tất cả các yếu tố b trong B mà có một yếu tố tương ứng với một trong A Sau

đó, B được gọi là phạm vi của f

Liên tục

Một hàm f là liên tục khi và chỉ khi với mỗi điểm một trong phạm vi A

và cho tất cả các điểm bf (a) trong phạm vi B, f (x) cách tiếp cận như b x tiếp cận một Nếu yêu cầu này không được đáp ứng cho mỗi điểm một trong A, sau đó chức năng f là liên tục, và mỗi điểm hoặc quảng cáo giá trị trong A mà yêu cầu không được đáp ứng được gọi là gián đoạn

Số đếm được Bộ

Số là những biểu hiện trừu tượng về số lượng, mức độ, cường độ hoặc

vật lý hoặc toán học Nhà toán học xác định con số về bộ lực lượng Chữ

số là những biểu tượng văn bản được hai bên thoả thuận để đại diện cho số

Số tự nhiên

Các số tự nhiên, cũng được gọi là số nguyên hoặc số đếm, được xây dựng từ một điểm khởi đầu bằng không Không được định nghĩa là tập hợp rỗng Trên cơ sở đó:

1

2 {}

3 {0, 1} {{}}

4 {0, 1, 2} {{}, {{}}}

↓VvTập hợp các số tự nhiên được ký hiệu là N, và thường được thể hiện như:

Hệ thống số thập phân còn được gọi là modulo 10, 10 cơ sở, hoặc cơ số

10 Chữ số được biểu diễn bởi tập {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Các chữ số ngay bên trái của điểm cơ số được nhân với 100, hoặc 1 Sau chữ số bên trái được nhân với 101, hoặc 10 Sức mạnh của 10 tăng lên khi bạn di chuyển xa hơn về phía trái Các chữ số đầu tiên bên phải của điểm cơ số được nhân với hệ số 101, hoặc 1/10 Sau chữ số bên phải được nhân với

102, hoặc 1/100 Đây tiếp tục là bạn đi xa hơn bên phải Một khi quá trình nhân mỗi chữ số được hoàn thành, giá trị kết quả được thêm vào Đây là những gì được thể hiện khi bạn viết một số thập phân Ví dụ,2704,53816 2 103 7 102 0 101 4 100

5 101 3 102 8 103 1 104 6 105

Hình 1.1 Các số tự nhiên có thể được mô tả như là các điểm

trên một ray.

Số nhị phân

Hệ thống số nhị phân là một phương pháp trình bày số chỉ sử dụng các chữ số 0 và 1 Đôi khi nó được gọi là cơ sở 2, cơ số 2, hoặc modulo 2 Các chữ số ngay bên trái của điểm cơ số là những người'''' chữ số Sau chữ số bên trái là một'''' hàng hai chữ số, sau đó đến các bằng bốn chân'''' chữ số Di chuyển xa hơn về phía trái, các chữ số đại diện cho 8, 16, 32,

64, vv, tăng gấp đôi mỗi thời gian Bên phải của điểm cơ số, giá trị của mỗi chữ số được giảm một nửa một lần nữa và một lần nữa, đó là, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, vv

Hãy xem xét một ví dụ bằng cách sử dụng số thập phân 94:

94 (4 100) (9 101)Trong hệ thống số nhị phân phân tích là:

1011110 0 20 1 21 1 22

1 23 1 24 0 25 1 26Khi bạn làm việc với một máy tính hoặc máy tính, bạn cung cấp cho

nó một số thập phân được chuyển đổi thành dạng nhị phân Máy tính hoặc máy tính không hoạt động với số không và những người thân Khi quá trình hoàn tất, máy chuyển đổi kết quả vào dạng thập phân để hiển thị

Sự kết hợp của bộ này với bộ số tự nhiên tạo ra tập các số nguyên, thường được ký hiệu là Z:

{ , N, , 2, 1, 0, 1, 2, , n, }

Số nguyên có thể được thể hiện như điểm dọc theo một đường, nơi mà

số lượng tỷ lệ thuận với chuyển (Hình 1.2) Trong hình minh họa, số nguyên tương ứng với điểm nơi dấu băm băng qua đường Tập hợp các

số tự nhiên là một tập hợp của các tập hợp các số nguyên:

Đối với bất kỳ số một, nếu một N, sau đó một Z Điều này được chính thức bằng văn bản:

∀ m t: m tộ ộ N → ZĐiều ngược lại của việc này là không đúng sự thật Có những yếu tố của

Z (cụ thể là, các số nguyên âm) mà không phải là các yếu tố của N

Hoạt động với số nguyên

Một số phép tính số học được định nghĩa cho các cặp số nguyên Các hoạt động cơ bản bao gồm cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa

Thêm vào đó là biểu tượng là một dấu chéo hoặc cộng () Kết quả của hoạt động này là một khoản tiền Trên dòng số hình 1.2, khoản tiền này được mô tả bằng cách di chuyển về bên phải Ví dụ, để minh họa thực tế

là 2 5 3, bắt đầu từ điểm tương ứng với 2, sau đó di chuyển đến 5 đơn vị phải, kết thúc tại điểm tương ứng với 3 Nói chung, để minh họa cho abc, bắt đầu tại điểm tương ứng với một, sau đó chuyển cho các đơn vị b đúng, kết thúc tại điểm tương ứng với c

Hình 1.2 Các số nguyên có thể được mô tả như là các điểm

trên một đường thẳng nằm ngang.

Trừ được tượng trưng bởi một dấu gạch ngang () Kết quả của hoạt động này là một sự khác biệt Trên dòng số hình 1.2, sự khác biệt được

mô tả bằng cách di chuyển sang trái Ví dụ, để minh họa thực tế là 3 5 2, bắt đầu từ điểm tương ứng với 3, sau đó di chuyển đến 5 đơn vị trái, kết thúc tại điểm tương ứng với 2 Nói chung, để minh họa cho abc, bắt đầu tại điểm tương ứng với một, sau đó chuyển cho các đơn vị b trái, kết thúc tại điểm tương ứng với c

Nhân được tượng trưng bởi một chéo nghiêng (), một chấm nhỏ (), hoặc đôi khi trong trường hợp của các biến, bằng cách liệt kê các con số một sau khi khác (ví dụ, ab) Thỉnh thoảng có dấu (*) được sử dụng Kết quả của hoạt động này là một sản phẩm Trên dòng số hình 1.2, các sản phẩm được mô tả bằng cách di chuyển từ các điểm không, hay nguồn gốc, hoặc về phía trái hoặc phía phải phụ thuộc vào các dấu hiệu của những con số liên quan Để minh họa abc, bắt đầu từ nguồn gốc, sau đó

di chuyển ra khỏi nguồn gốc một đơn vị thời gian b Nếu a và b là cả hai tích cực hoặc cả hai tiêu cực, di chuyển về phía bên phải, nếu a và b có dấu hiệu ngược lại, di chuyển về phía bên trái Điểm kết thúc tương ứng với c

Ba hoạt động trên được đóng cửa trong tập hợp các số nguyên Điều này có nghĩa rằng nếu a, b là các số nguyên, sau đó ab, ab, và ab là số nguyên

Chia, cũng được gọi là tỷ lệ hoạt động, được tượng trưng bởi một dấu gạch chéo (/) hoặc một dấu gạch ngang với dấu chấm ở trên và dưới () Đôi khi nó được tượng trưng bởi một dấu hai chấm (:) Kết quả của hoạt động này là một thương hoặc tỷ lệ Trên dòng số hình 1.2, thương số được mô tả bằng cách di chuyển về phía điểm không, hay nguồn gốc, hoặc về phía trái hoặc phía phải phụ thuộc vào các dấu hiệu của những con số liên quan Để minh họa cho một / bc, nó là đơn giản nhất để hình dung sản phẩm BCA thực hiện'' ngược'' Nhưng sự phân chia, không giống như cộng, trừ, hoặc nhân, không đóng cửa trong tập hợp các số nguyên Nếu a và b là các số nguyên, sau đó a / b có thể là một số nguyên, nhưng điều này là không nhất thiết phải là trường hợp Hoạt động tỷ lệ làm phát sinh một toàn diện hơn, nhưng vẫn đếm được, thiết lập các con số Thương a / b không được xác định nếu b 0

Lũy thừa, còn gọi là nâng lên một sức mạnh, được tượng trưng bởi một chữ số superscript Kết quả của hoạt động này được gọi là một sức mạnh Nếu là một số nguyên và b là một số nguyên dương, sau đó ab là kết quả của một nhân tự lần b

Số lượng hợp lý

Một số hợp lý (thuật ngữ xuất phát từ tỷ lệ từ) là thương của hai số nguyên, nơi mà mẫu số là tích cực Hình thức tiêu chuẩn cho một số lượng hợp lý r là:

r a / b

Bất kỳ thương như vậy là một số lượng hợp lý Tập tất cả các thương số

có thể như vậy bao gồm toàn bộ các con số hợp lý, ký hiệu là Q Như vậy,

Một chuỗi hữu hạn các chữ số sau đó tất cả các chữ số là số không

Một chuỗi vô hạn các chữ số đó lặp lại trong chu kỳ

Ví dụ về các loại đầu tiên của số lượng hợp lý, được gọi là thập phân chấm dứt, là:

Số không đếm được Bộ

Các yếu tố của bộ số không đếm được có thể không được liệt kê Trong thực tế, nó là không thể thậm chí xác định các yếu tố của một bộ như vậy bằng cách viết ra một danh sách hoặc theo thứ tự

Số vô tỉ

Một số vô tỷ là một con số không thể được thể hiện như tỉ số của hai số nguyên Ví dụ về các số vô tỉ, bao gồm:

Chiều dài đường chéo của một hình vuông đó là một đơn vị trên mỗi cạnh

Tỷ lệ chu vi-to-đường kính của một vòng tròn

Tất cả các số không hợp lý chia sẻ tài sản của là không thể diễn tả dưới dạng số thập phân Khi một nỗ lực được thực hiện để thể hiện một số ở dạng này, kết quả là một nonterminating, nonrepeating số thập phân Không có vấn đề bao nhiêu chữ số được quy định bên phải của điểm cơ

số, khái niệm chỉ là một xấp xỉ của giá trị thực tế của số Tập hợp các số không hợp lý có thể được ký hiệu là S bộ này là hoàn toàn tách rời khỏi tập hợp các số hợp lý:

Số thực

Tập hợp các số thực, ký hiệu là R, là sự kết hợp của các bộ số hợp lý và bất hợp lý:

Cho các mục đích thực tế, R có thể được mô tả như tập hợp các điểm trên một đường hình học liên tục, như thể hiện trong hình 1.2 Trong toán học lý thuyết, khẳng định rằng các điểm trên một đường hình học tương ứng một-một với những con số thực tế được gọi là giả thuyết liên tục Số thực có liên quan đến con số hợp lý, số nguyên, và số tự nhiên như sau:

N Z Q R

Việc bổ sung các hoạt động, trừ, nhân, chia và lũy thừa có thể được xác định qua các tập hợp các số thực Nếu # đại diện cho bất kỳ một trong

các hoạt động và x và y là các yếu tố của R với y 0, sau đó:

x# Y R

Biểu tượng 0 (aleph-null hoặc aleph-vô ích) biểu thị cardinality củaℵcác bộ số tự nhiên, số nguyên, và con số hợp lý Cardinality của các số thực được ký hiệu 1 (aleph-một) Những con số'''' được gọi là hồng yℵ

vô hạn hoặc hồng y siêu hạn Khoảng năm 1900, nhà toán học người Đức Georg Cantor đã chứng minh rằng hai số'''' không giống nhau:

Số ảo

Tập hợp các số thực, và các hoạt động được xác định ở trên cho các số nguyên, làm phát sinh một số biểu hiện mà không hành xử như các số thực Ví dụ nổi tiếng nhất là số tôi như vậy mà ii 1 Không có số thực thỏa mãn phương trình này Thực thể này tôi được gọi là số ảo đơn vị Đôi khi nó được ký hiệu là j Nếu tôi được sử dụng để đại diện cho số tưởng tượng đơn vị chung trong toán học, sau đó là số thực x được viết trước khi tôi Ví dụ: 3i, 5i, 2.787i Nếu k được sử dụng để đại diện cho

số tưởng tượng đơn vị phổ biến trong kỹ thuật, sau đó x được viết sau khi j nếu x 0, và x được viết sau khi j nếu x 0 Ví dụ: j3, J5, j2.787

J thiết lập của tất cả các bội thực số của i hoặc j là tập hợp các số ảo:

J {Kk jx} {kk xi}

Cho các mục đích thực tế, J bộ có thể được mô tả cùng một số dòng tương ứng một-một với dòng số thực Tuy nhiên, theo quy ước, dòng số tưởng tượng được định hướng theo chiều dọc (Hình 1.3) Các bộ số tưởng tượng và thực tế có một yếu tố chung Yếu tố đó là số không:

0i j0 0

tả như là các điểm trên một mặt phẳng tọa độ như hình 1.4 Theo giả thuyết liên tục, các điểm trên được gọi là máy bay phức tạp, số lượng tồn tại trong một sự tương ứng một-Toone với các yếu tố của C.

Tập hợp các số ảo, J, là một tập hợp của C Tập hợp các số thực, R, cũng là một tập hợp của C Chính thức:

Hình 1.4Những con số phức tạp có thể được mô tả như là các điểm trên một chiếc

máy bay.

Bình đẳng của số phức

Cho x1 và x2 là các số phức tạp như vậy mà:

x1 a1 jb1 x2 a2 JB2

Sau đó, hai số phức được cho là bằng khi và chỉ khi các thành phần thực

và phần ảo của họ đều như nhau:

x1 x2 ↔ a1 a2 & b1 b2

Hoạt động với số phức

Các hoạt động của cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa được xác định cho tập hợp các số phức tạp như sau

Ngoài ra phức tạp: Các bộ phận thực và ảo được tóm tắt một cách độc lập Công thức chung cho tổng của hai số phức là:

(Một JB) (c JD) (một c) j (b d)

Phức tạp trừ: Số phức tạp thứ hai được nhân với 1, và sau đó là hai

số kết quả làtổng kết Công thức chung cho sự khác biệt của hai số phức

(Một JB) (c JD) ac jad JBC j2bd (Ac bd) j (quảng cáo trước công nguyên)

Bộ phận phức tạp: Công thức này có thể được bắt nguồn từ công thức cho phép nhân phức tạp Công thức chung cho thương của hai số phức là:

(A jb) / (c JD) (Ac bd) / (c2 d2) j (bc quảng cáo) / (c2 d2)Công thức trên giả định rằng các mẫu không phải là không Đối với bộ phận phức tạp được xác định, sau đây phải có:

c JD 0 j0

Lũy thừa phức tạp với một số nguyên dương: Đây là biểu tượng là một chữ số superscript Kết quả của hoạt động này được gọi là một sức mạnh Nếu một JB là một số nguyên và c là một số nguyên dương, sau đó (một JB) c là kết quả của phép nhân (một JB) của chính nó c lần

Liên hợp phức tạp

Cho x1 và x2 là các số phức tạp như vậy mà:

x1 một JB x2 một

JBSau đó x1 và x2 được cho là liên hợp phức tạp, và các phương trình sau giữ đúng:

x1 x2 2a x1x2 a2 b2

Vector phức tạp

Số phức tạp có thể được biểu diễn như là vectơ trong hệ tọa độ hình chữ nhật Điều này cho phép mỗi số phức tạp một cường độ và chỉ đạo thống nhất Cường độ là khoảng cách điểm một JB từ nguồn gốc 0 j0 Hướng

là góc của vector, đo ngược từ trục a Điều này được thể hiện trong hình 1.5

Giá trị tuyệt đối hay độ lớn của một số phức tạp một jb, viết một JB,

là chiều dài của véc tơ của nó trong mặt phẳng phức tạp, tính từ gốc (0,0) đến điểm (a, b) Trong trường hợp của một số thực tinh khiết một j0:

một j0 một nếu một 0

một j0 một nếu một 0Trong trường hợp của một số lượng thuần túy tưởng tượng 0 JB:

0 JB b nếu b 0

0 JB b nếu b 0Nếu một số phức tạp không thật cũng không tinh khiết thuần túy tưởng tượng, giá trị tuyệt đối là chiều dài của vector như hình

1.6 Công thức chung là:

một JB (a2 b2) 1/2

Hình 1.5Cường độ và hướng của một vectơ trong mặt phẳng phức tạp.

Hình thức cực của số phức

Xem xét các máy bay cực xác định theo bán kính r và góc

ngược chiều kim đồng từ trục một như hình 1.7 Các biểu hiện cho một vector Descartes (a, b), đại diện cho số phức tạp một jb trong tọa độ cực (r,) thu được bằng cách chuyển đổi này:

r (A2 b2) 1/2 tan1 (b / a)Các biểu hiện cho một vector cực (r,) trong hệ tọa độ Descartes (a, b) thu được bằng cách chuyển đổi này:

một r cos b r tội lỗi

Do đó phương trình sau nắm giữ:

Hình 1.6 Tính giá trị tuyệt đối (chiều dài vector) của một số phức.

một JB r cos j (r tội lỗi)

r (cos j tội lỗi)Giá trị của r, tương ứng với độ lớn của véc tơ, được gọi là mô đun Góc, tương ứng với hướng của vector, được gọi là biên độ

Sản phẩm của số phức trong hình thức

cực

Cho x1 và x2 là các số phức tạp trong hình thức cực như vậy mà:

x1 r1 (cos 1 j tội lỗi 1) x2 r2 (cos

2 j sin 2)

Sau đó là sản phẩm của những con số phức tạp trong hình thức cực được cho bởi công thức sau:

x1x2 r1r2 (cos (1 2) j tội lỗi (1 2))

Hình 1.7Hình thức cực của một số phức.

Thương của số phức trong hình thức cực

Cho x1 và x2 là các số phức tạp trong hình thức cực như vậy mà:

x1 r1 (cos 1 j tội lỗi 1) x2 r2 (cos

x r (cos j tội lỗi)Sau đó x tăng lên bất cứ quyền lực thực số p được cho bởi công thức sau:

xp rp (cos p j tội lỗi p)

Tính chất của hoạt động

Một số tài sản, còn được gọi là pháp luật, được công nhận là hợp lệ cho các hoạt động của cộng, trừ, nhân, chia cho tất cả các số thực, tưởng tượng, và phức tạp

Bản sắc phụ gia

Khi 0 được thêm vào bất kỳ số thực a, số tiền luôn luôn là bằng a Khi 0 j0 được thêm vào bất kỳ số phức tạp một jb, số tiền luôn luôn là bằng một JB Các con số 0 và 0 j0 là những yếu tố bản sắc phụ:

một 0 một(Một JB) (0 j0) một JB

Danh nhân giống

Khi bất kỳ số thực a được nhân với 1, các sản phẩm luôn luôn bằng với một Khi bất kỳ số phức tạp một jb được nhân 1 j0, các sản phẩm luôn luôn bằng một JB Số 1 và 1 j0 là những yếu tố bản sắc nhân giống:

một 1 một(Một JB) (1 j0) một JB

(Một JB) (a jb) 0 j0

Nghịch đảo

Đối với mỗi khác không số thực là, có tồn tại một thực tế số duy nhất 1 /

a như vậy mà các sản phẩm của hai là bằng 1 Đối với tất cả các số phức tạp một jb trừ 0 j0, tồn tại một số phức tạp duy nhất một / (a2 b2) JB / (a2 b2) như vậy mà sản phẩm của hai bằng 1 j0 Chính thức:

một (1 / a) 1(Một JB) (a / (a2 b2) JB / (a2 b2)) 1 j0

Giao hoán bổ sung

Khi tổng hợp bất kỳ hai số thực hoặc phức tạp, nó không quan trọng, trong đó thứ tự tổng được thực hiện Với mọi số thực a, b, và cho tất cả các số phức tạp một jb và c JD, các phương trình sau đây giữ:

một b b a(Một JB) (c JD) (c JD) (a jb)

Giao hoán của phép nhân

Khi nhân bất kỳ hai số thực hoặc phức tạp, nó không quan trọng, trong

đó để sản phẩm được thực hiện Với mọi số thực a, b, và cho tất cả các

số phức tạp một jb và c JD, các phương trình sau đây giữ:

ab ba(Một JB) (c JD) (c JD) (a jb)

Ngoài ra kết hợp của

Khi thêm bất kỳ ba số thực hoặc phức tạp, nó không quan trọng như thế nào addends được nhóm lại Cho tất cả các số thực a1, a2, và a3, và cho tất cả các số phức tạp a1 jb1, a2 JB2, và a3 jb3, các phương trình sau đây giữ:

(A1 a2) a3 a1 (a2 a3)

((A1 jb1) (a2 JB2)) (a3 jb3)

(A1 jb1) ((a2 JB2) (a3 jb3))

Kết hợp của phép nhân

Khi nhân bất kỳ ba số thực hoặc phức tạp, nó không quan trọng như thế nào multiplicands được nhóm lại Cho tất cả các số thực a1, a2, và a3, và cho tất cả các số phức tạp a1 jb1, a2 JB2, và a3 jb3, các phương trình sau đây giữ:

(A1a2) a3 a1 (a2a3)((A1 jb1) (a2 JB2)) (a3 jb3) (a1 jb1) ((a2 JB2) (a3 jb3))

Distributivity của nhân trên Ngoài ra

Cho tất cả các số thực a1, a2, và a3, và cho tất cả các số phức tạp a1 jb1, a2 JB2, và a3 jb3, các phương trình sau đây giữ:

a1 (a2 a3) a1a2 a1a3(A1 jb1) ((a2 JB2) (a3 jb3))

(A1 jb1) (a2 JB2) (a1 jb1) (a3 jb3)

Nguyên tắc linh tinh

Các quy tắc và định nghĩa sau đây áp dụng cho các phép tính số học với

số thực và phức tạp, với các hạn chế mà không có mẫu số bằng không,

và không có mẫu số chứa bất kỳ biến mà có thể đạt được một giá trị làm cho mẫu số bằng số không

Không tử số

Cho tất cả các số thực khác không một và tất cả các số phức tạp một jb như vậy mà một JB 0 j0:

0 / a 0

0 / (a jb) 0 j0

Không mẫu

Với mọi số thực a và tất cả các số phức tạp một jb:

một / 0 là không xác định một / (0 j0) là không xác

định(A jb) / 0 là không xác định(A jb) / (0 j0) là không xác định

Nhân số không

Với mọi số thực a và tất cả các số phức tạp một jb:

một 0 0(A jb) 0 0 j0

Thứ không quyền lực

Với mọi số thực a và tất cả các số phức tạp một jb:

A0 1(A jb) 0 1 j0

Nghiệm nguyên dương

Nếu x là một số thực hoặc phức tạp và x được nhân với chính nó n lần

để có được một y số thực hoặc phức tạp, sau đó x được định nghĩa là một gốc thứ n của y:

xn y x y1 / n

Yêu tô ́ ́

Nếu n là một số tự nhiên và n 1, giá trị của n! (N giai thừa) là sản phẩm của tất cả các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng n:

n! 1 2 3 4 n

Trung bình cộng

Cho a1, a2, a3, , an là các số thực Sau đó, trung bình số học, ký hiệu

là mA, còn được gọi là trung bình, của a1, a2, a3, , và được cho bởi công thức sau:

mA (A1 a2 a3 an) / n

Nghĩa là hình học

Cho a1, a2, a3, , an là tập số thực dương Sau đó, nghĩa là hình học,

mG ký hiệu, của a1, a2, a3, , và được cho bởi công thức sau:

mG (A1a2a3 an) 1 / n

Số học suy

Hãy yf (x) đại diện cho một chức năng trong đó giá trị của một y số lượng phụ thuộc vào giá trị của một biến độc lập x Cho y1 và y2 đại diện cho hai giá trị của các chức năng như vậy mà:

y1 f (x1) y2 f (x2)

Thì giá trị ya của hàm tại một điểm xm nằm giữa x1 và x2 có thể được ước tính như sau qua số học nội suy:

ya (Y1 y2) / 2 (f (x1) f (x2)) / 2

Nội suy hình học

Hãy yf (x) đại diện cho một chức năng trong đó giá trị của một y số lượng phụ thuộc vào giá trị của một biến độc lập x Cho y1 và y2 đại diện cho hai giá trị của các chức năng như vậy mà:

y1 f (x1) y2 f (x2) Sau đó, giá trị của YG chức năng tại một điểm xm nằm giữa x1 và x2 có thể được ước tính như sau thông qua nội suy hình học:

Thương của các dấu hiệu

Khi số với dấu cộng và trừ được chia, các quy tắc sau đây được áp dụng:

() / () ()() / () ()() / () ()() / () ()

Sức mạnh của dấu hiệu

Khi số lượng các dấu hiệu được nâng lên một số nguyên dương sức mạnh n, các quy tắc sau đây được áp dụng:

() N ()() N () nếu n là số lẻ() N () nếu n là chẵn

Đơn vị vuông góc tưởng tượng

Các phương trình sau đây tổ chức cho đơn vị ảo thứ j:

1 / (1 / a)

1 / (1 / (a jb)) một JB