TÓM TẮT LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐẦY ĐỦ

Bài 1.1 Gieo một con xúc xắc đối xứng và đồng chất. Tìm xác suất để được: a) Mặt sáu chấm xuất hiện. b) Mặt có số chẵn chấm xuất hiện. Giải: a) Không gian mẫu là {1,2,...,6} Gọi A=biến cố khi gieo con xúc xắc thì được mặt 6 chấm Số kết cục duy nhất đồng khả năng: n=6 Số kết cục thuận lợi : m=1  P(A) = m n = 1 6 . b) Gọi B=biến cố khi gieo xúc xắc thí mặt chẵn chấm xuất hiện Tương tự ta có: P(B) = m n = 3 6 = 0,5. Bài 1.2 Có 100 tấm bìa hình vuông như nhau được đánh số từ 1 đến 100. Ta lấy ngẫu nhiên một tấm bìa. Tìm xác suất: a) Được một tấm bìa có số không có số 5. b) Được một tấm bìa có số chia hết cho 2 hoặc cho 5 hoặc cả cho 2 và cho 5. Giải: a) Không gian mẫu là {1,2,...,100}. Gọi A là biến cố khi lấy ngẫu nhiên một tấm bìa có số có số 5. Số kết cục duy nhất đồng khả năng là n = 100. Số kết cục thuận lợi m = 19 (10 số có đơn vị là 5, 10 số có hàng chục là 5, lưu ý số 55 được tính 2 lần

biến cố ngẫu nhiên và xác suất

Đ1.Phépthử vàcác loại biến cố

1 Phépthử và biến cố

+ Khi tiến hành một thí nghiệm, một phép đo lường hay một lần quan sát nào đó thì

nghĩa là ta đã thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản

+ Trong lý thuyết xác suất, việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát

một hiện tượng nào đó có xảy rahay không được gọi là thực hiện một phép thử

+ Hiện tượng có thểxảy ra trong kết quả của phépthử đó được gọi là biến cố

Nhận xét: Phép thử và biến cố là hai khái niệm đi đôi với nhau, một biến cố chỉ có thể

xảy ra khiphép thử gắn liền với nóđược thực hiện

2 Các loại biến cố

+ Biến cố chắcchắn là biến cố nhất định sẽ xảy rakhi thực hiện phép thử, kí hiệu U

+ Biếncốkhông thểcólà biến cốnhất địnhkhông xảy rakhithựchiện phépthử, KH:V

Hai biến cốtrên đều thuộc về các sự kiện tất nhiên, đó là các biến cố tất định

+ Biếncốngẫu nhiên là biến cốcóthể xảyrahoặc không xảyrakhi thựchiện phépthử,

kí hiệu là A,B,C, ,A 1 , A 2 ,

Trong thực tế các biến cố mà chúng ta quan tâm phần lớn là các biến cố ngẫu nhiên

Trướckhi thực hiện phép thử ta không thể biết biến cố ngẫu nhiên có xảy ra hay không,

vì vậyngười ta quan tâm đến khả năng xảy ra của các biến cố này

3 Xác suất củabiến cố

Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện biến

cố đó khithực hiện phépthử

Kí hiệu xác suấtcủa biến cố A là P(A)

Chú ý

+ Đây là khả năng khách quan do những điều kiện xảy ra của phép thử quy định, nó

không phụ thuộc vào ý muỗn chủ quan

+ Bản chất của xácsuất của một biến cố là một con sốxác định

Đ2.địnhnghĩacổ điểnvề xácsuất

1 Thí dụ Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất Gọi A là biến cố được mặt chẵn

chấm Tìm xác suất của biến cố A

Giải Ta thấy khi gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất thì có 6 trường hợp có thể

xảy ra là được mặt 1,2,3,4,5,6 chấm 6 trường hợp này thỏa mãn hai tính chất

+ Tính chất duy nhất: khigieo xúc sắc thì chỉ xảy ra đúng 1 trong 6 trường hợp trên

+ Tính chất đồng khả năng: 6 trường hợp có khả năng xảy ra như nhau (vì con xúc sắc

cân đối và đồng chất)

Các trường hợptrên gọilà các kết cục duy nhất đồngkhả năng.Trong 6 kếtcục đó có 3

kết cục thuân lợi cho biến cố A xảy ra nên xác suấtcủa biến cố A là

3

6 = 0, 5.Khái quát hóa thí dụ ta có thể phát biểu thành định nghĩa

2 Định nghĩa cổ điểnvề xác suất

Xác suất xuất hiện biến cốA trong một phép thử là tỷ sốgiữa sốkết cục thuậnlợi cho A

và tổng số các kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy rakhi thực hiện phép thử đó

P (A) = m

n

Trong đó P (A)là xácsuất của biến cố A,

m là số kết cục thuận lợi cho biến cố A,

nlà số kết cục duy nhất đồng khả năng của phép thử

3 Các tính chấtcủa xác suất

a 0<P(A)<1 (do0<m<n) với A là biến cố ngẫu nhiên

b P(U)=1 (do m=n)

c P(V)=0(do m=0)

4.Các phươngpháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển

a Phương pháp suy luậntrực tiếp

Sử dụng khi sốkết cục trong phép thử là khá nhỏ và việc suy đoán là đơn giản

b Phương pháp dùng sơđồ Venn

Khi số kết cục là khá lớn và việc suy đoán phức tạp hơn thì ta có thể dùng sơ đồ hình

cây, bảng hoặc sơ đồ dạng tập hợp đểtìm xác suất

•Sơ đồ hình cây

•Sơ đồ dạngbảng

c Phương pháp dùng các công thức của giải tích tổ hợp

Nếu sốkết cục của phép thử là rất lớn màkhông thểsuy đoán trựctiếp được thì ta dùng

các công thức giải tích tổ hợp sau đây

C n k = n!

k!(n − k)! =

A k n k! (0 6 k 6 n)

+Số hoán vị của n phần tử (kí hiệu: P n): với một bộ n phần tử thì có n! cách sắpxếp cóthứ tự, mỗi cách là một hoán vị

P n = n!

Chú ý: quy ước 0!=1

5 Ưu điểm và hạnchế củađịnh nghĩa cổ điểnvề xác suất

Ưu điểm:để tìm xác suấtcủa biến cố ta không cần phải tiến hànhphép thử

Hạn chế: đòi hỏi số kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong một phép thử

phải là hữu hạn Hạn chế lớn nhất của định nghĩa cổ điểm về xác suất là trong thực tế

nhiều khi không thể biểu diễn kết quả của phép thử dưới dạng tập hợp các kết cục duy

nhất và đồng khả năng

Đ3.địnhnghĩathốngkêvề xác suất

1 Định nghĩa tần suất

Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến cố

xuất hiện và tổng sốphép thử đượcthực hiện

f (A) = k

n

Trong đóf (A) là tần suất xuất hiện biến cốA, n là số phép thửvà k là số lầnxuất hiệnbiến cố A

Thí dụ Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu, người ta tiến

hành tung một đồng xu nhiều lầnvà thu được kết quả sau đây

Người làm thí nghiệm Số lần tung(n) Sốlần được mặt sấp(m) Tần suấtf

Từ thí dụ trên ta thấy khi số phép thử tăng lên thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ dao

động ngày càng ít xung quanh giá trị không đổi là 0,5 Tính ổn định của tần suất chính

là cơ sở để đưa ra định nghĩa thống kê về xácsuất

2 Định nghĩa thống kê về xác suất

Xác suất xuất hiện hiến cốtrong một phép thử là một số pkhông đổi màtần suất f xuấthiện biến cố đó trong n phépthử sẽ dao động rất ítxung quanh nó khi sốphép thử tănglên vôhạn

Nghĩa là P (A) ≈ f(A)

Trong thí dụ trên ta có thểkết luận xácsuất xuất hiện mặt sấp khi tung đồng xu là

P ≈ f ≈ 0, 5

3 Ưu điểm và hạnchế củađịnh nghĩa thống kê về xác suất

Ưu điểm:không đòihỏi điều kiệnáp dụngnhư đối với định nghĩa cổđiển, nó hoàntoàn

dựa trên các quan sát thực tế để làm cơ sở kế luận về xácsuất xảy ra một biến cố

Hạn chế: chỉáp dụng được với các hiện tượngngẫu nhiên mà tần suấtcủa nó có tính ổn

A nào đó của nó là S A thì xácsuất để điểm ngẫu nhiên rơi vào phần A sẽ bằng:

p = S A S

2 Xác suất chủ quan

Xác suất chủ quan được định nghĩa như sự đánh giá chủ quan của một cá nhân nào đó

về khả năngxảy ra của biến cố

3 Định nghĩa tiên đề về xác suất

Vào những năm 30 của thế kỉ 20 Kolmogorov đã xây dựng hệ tiên đề về xác suất như

sau:

Tiên đề 1: Với mọi biến cố A đều có P (A) > 0

Tiên đề 2: NếuE 1 , E 2 , , E n tạo nên không gian các biến cố sơcấp thì:

Đ5 nguyênlý xác suấtlớnvà xác suấtnhỏ

Nguyên lý xácsuất rất nhỏ:

Nếu một biếncố cóxác suất rất nhỏ thì thực tế cóthể cho rằngtrong một phép thửbiến

cố đó sẽ không xảy ra

Chú ý

+ Việcquy định một mức xácsuấtđược coi là rất nhỏ sẽ tùy thuộc vào từng bàitoán cụ

thể Chẳnghạn xácsuất đểdù không mở khinhảy dùlà 0,01 thì không thểcoi là nhỏ và

như thế loại dù đó không thểsử dụng trong thực tế Nhưng nếu xácsuất để sinh viên A

thi trượt môn toán là 0,01thì xácsuất đó được xem là rất nhỏ

+ Một xácsuấtkhá nhỏ màvới nó có thểcho rằng biến cố thực tế sẽ không xảy ra được

gọi là mức ý nghĩa Nguyên lý xác suất nhỏ chính là cơ sở để xây dựng phương pháp

kiểm định giảthuyết trong thốngkê

Hoàn toàn tương tự ta có thểđưa ra nguyên lý xácsuất lớn

xảy ra trong một phép thử.

+ Nguyên lý xác suất lớn là cơ sở để xây dựng phương pháp ước lượng khoảng tin cậy

trong thống kê

Đ6.địnhlýcộng xácsuất

Trong các bài trước chúng ta đã nghiên cứu các phương thức tính trực tiếp xác suất

của biến cố Tuy nhiên trong thực tế không phải lúcnào cũng tính trựctiếp được, vì vậy

ta phải tính gián tiếp thông qua các định lý xác suất, cụ thể là định lý cộng và định lý

i=1 A i, nếu Axảy ra khi cóít nhất một trong n biến cố ấyxảy ra

Định nghĩa 3 Hai biến cố A và B gọi là xung khắc vớinhau nếu chúng không thể đồngthời xảy ra trong một phép thử Trường hợp ngược lại, nếu hai biến cố có thể cùng xảy

ra trong một phép thửthì được gọi là không xung khắc

Ta cóthể biểu diễn như sau

Nghĩa là A 1 , A 2 , , A n là một nhóm đầy đủ các biến cố

Xác suất của tổng haibiến cố xung khắc bằng tổng xác suất của các biến cốđó

Giả sử A và B là hai biến cố xung khắcvới nhau thì

C xảy ra khivà chỉkhi cả haibiến cố A và B cùng xảy ra.

Định nghĩa 2 Biến cố A được gọi là tích của n biến cố A 1 , A 2 , , A n, kí hiệu A =

Q n

i=1 A i, nếu A xảy ra khivà chỉ khicả nbiến cốnói trên cùng đồng thời xảy ra

2 Các biếncố độclập

Định nghĩa 3 Hai biến cốAvàB gọi làđộc lậpvớinhau nếuviệc xảyrahay không xảy

ra của biến cố này không là thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại Hai

biến cố không độc lậpvới nhau gọi là phụ thuộc nhau

Định nghĩa 4 Các biến cố A 1 , A 2 , , A n gọi là độc lập từng đôi với nhau nếu mỗi cặphai trong nbiến cố đó độc lập vớinhau

Định nghĩa 5 Cácbiến cốA 1 , A 2 , , A ngọi làđộc lậptoàn phầnvớinhaunếumỗi biến

cố độc lập vớimột tổ hợp bấtkì các biến cố còn lại

Chú ý: các biến cố độc lập toàn phần với nhau thì cũng độc lập từng đôivới nhau Tuy

nhiên điều ngược lại không đúng

3 Định lý nhân xác suất (đối với các biến cốđộc lập với nhau)

Xác suất của tích haibiến cố độc lập bằng tích các xác suất thànhphần

4 Khái niệm xác suất cóđiều kiện

Định nghĩa 6 Xác suất của biến cố A đượctính vớiđiều kiện biến cố B đã xảyra gọi làxác suất có điều kiện của A và kí hiệu là P (A/B)

5 Định lý nhân xác suất (đối với các biến cốphụ thuộc)

Xác suất của tích hai biến cố phụ thuộc A và B bằng tích xác suất của một trong haibiến cố đó vớixác suấtcó điều kiện của biến cố còn lại

P (A.B) = P (A)P (B/A) = P (B)P (A/B)

Hệ quả 1 Nếu P (B) > 0 thì xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra

P (A/B) = P (A) và P (B/A) = P (B)

Chú ý: Khi giải nhiều bàitoán thực tế nhiều lúc ta phải biểu diễn các biến cố phức hợp

dưới dạng kết hợp của các biến cố đơn giản hơn bằng cách sử dụng phép cộng và phép

Xác suất của tổng nbiến cốkhông xung khắcvà độc lậptoàn phần vớinhau bằng 1 trừ

đi tích xác suất của các biến cố đốilập với các biến cố đó

Pn(x) = Cn xpxqn−x trong đó x=0,1,2, ,n

Giả sử biến cố A cố thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố H 1 , H 2 , , H n (gọi

là các giả thuyết) Nhóm H 1 , H 2 , , H n là nhóm đầy đủ các biến cố Lúc đó xác suấtcủa biến cố A có thểđược tính bởicông thức

ý nghĩa Công thức Bayes cho phép đánh giá lại xác suất xảy ra các giả thuyết sau khi

đã biết kết quả của phép thử là biến cố A đã xảy ra

Chú ý

+ Đối với bài toán cho biết số sản phẩm thì phép lấy lần lượt không hoàn lại tương tự

như lấy cùng một lúc, do đó trong trường hợp này ta có thể dùng định nghĩa cổ điển về

xác suấtđể tính toán

+Nếubàitoán không chobiết sốsảnphẩm màchotỷ lệthì xácsuất đểmỗi lầnlấyđược

chính phẩm hoặc phế phẩmlà không thay đổi, không phụthuộc vào phương thứclấy (có

hoàn lại hay không hoànlại)

biến ngẫu nhiên

Đ1.Địnhnghĩavà phânloại biến ngẫunhiên

1 Định nghĩa

Một biến sốđược gọi là ngẫu nhiên nếu trong kết quả của phép thử nó chỉ nhận một và

chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố

ngẫu nhiên

Kí hiệu các biến ngẫunhiên là X, Y, Z, , X 1 , X 2 ,

Kí hiệu các giá trị có thểcó của biến ngẫn nhiên là x, x 1 , x 2 , , y, y 1 , y 2 ,

Như vậy (X = x 1 ), (X = x 2 ), là các biễn cố ngẫu nhiên và (X = x 1 ), (X =

x 2 ), , (X = x n ) tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố

2 Phânloại biếnngẫu nhiên

Có hai loại biến ngẫu nhiên là biến ngẫu nhiên rời rạcvà biến ngẫu nhiên liên tục

Biến ngẫu nhiên gọi là rời rạc nếu các giá trị cí thể có của nó lậpnên một tập hợp hữu

hạn hoặcđếm được

Đ2.Quy luậtphân phối xácsuất

của biếnngẫunhiên

Khi nghiên cứu một biến ngẫu nhiên nếu chỉ xác định các giá trị có thể có của nó là

chưa đủ, ta còn cần xácđịnh các xác suấttương ứng với các giátrị đó Từ đó ta có định

nghĩa sau

1 Định nghĩa

Quy luật phân phối xác suất của biếnngẫu nhiên là sựtương ứnggiữa các giátrị có thể

có của nó và các xác suất tương ứngvới các giá trị đó

Sau đây là các phương thức đểmô tả quy luật phân phối xácsuất của biến ngẫu nhiên

2 Bảngphân phốixác suất

Bảng phân phối xác suất chỉ dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của các biến

NếuX cóthểnhậnmột trongcác giátrịcóthểcólà x 1 , x 2 , , x n vớicác xácsuấttươngứng là p 1 , p 2 , , p n thì bảng phân phối xác suấtcủa X có dạng:

Khái niệmhàm phân bốxác suấtápdụng được đốivới cả biếngẫu nhiên rời rạcvà biến

ngẫu nhiên liên tục

a Định nghĩa Hàm phânbố xácsuất củabiến ngẫu nhiên X, kí hiệuF (x), là xácsuất

để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một sốthực bất kì

Hệ quả 2 NếuX là biến ngẫu nhiên liên tục thì P (X = x) = 0

Hệ quả 3 Với X là biến ngẫu nhiên liên tụcthì:

Hàm mật độ xác suất chỉdùng cho biến ngẫunhiên liên tục.

a Định nghĩa Hàm mât độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X, kí hiệu f (x), là

đạo hàm bậc nhất của hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên đó

Về mặt hình học: xác suấtđể biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giátrị trong khoảng (a,b)

bằng diện tích hình giới hạn bởi trục0x, đường cong f(x)và các đường thẳng x=a, x=b

Về mặt hình học: Giá trị của hàm F(x) bằng diện tích hình giới hạn bởi trục 0x, đường

cong f(x)và đường thẳng x=a

Tính chất 4

+∞ R

−∞

f (x)dx = 1

Về mặt hình học: Diện tích hình giới hạn bởi đường cong f(x)và trục 0x bằng 1

Từ tính chất1 và tính chất 4 ta cóđiều kiệnđể hàmf(x) làhàm mật độ xácsuấtcủa một

biến ngẫu nhiên nào đó là

∆x là mật độ xác suất trong khoảng (x, x + ∆x) Khi ∆x → 0 thì

ta coi như đó là mật độ xác suấttại điểm x

Đ3.Các thamsốđặc trưngcủa biếnngẫunhiên

Đối với một biếnngẫu nhiên nếu đãxácđịnhđược quyluật phân phối xácsuất củanó

thì xem như ta đã nắm được toàn bộ thông tin về biến ngẫu nhiên đó Tuy nhiên trong

thực tế không phải lúcnào ta cũng nắm bắt được từng giá trị riêng của biến ngẫu nhiên

Một yêu cầu rất tự nhiên được đặt ra là phải có giá trị đại diện phản ánh từng phần của

biến ngẫu nhiên Các giá trị đại diện đó ta gọi là các tham số đặc trưng của biến ngẫu

nhiên

Ta cóthể phân loại các tham số đặc trưng như sau:

+ Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm của biến ngẫu nhiên: kì vọng toán,

trung vị, mốt,

+ Cácx tham số đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên : phương sai, độ lệch

chuẩn, hệ số biến thiên, giá trị tới hạn,

+ Các thamsố đặc trưng chodạng phân phối xácsuất: hệ sốbất đốixứng, hệ sốnhọn,

1 Kì vọng toán

a Định nghĩa Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có

x 1 , x 2 , , x n vớicác xác suấttương ứngp 1 , p 2 , , p n Kì vọngtoán của biến ngẫu nhiênrời rạc X, kí hiệu E(X), là tổng các tích giữa cácgiá trị cóthể cócủa biến ngẫu nhiênvới các xác suất tương ứng:

Chú ý: Đơn vị của E(X) cũng chính là đơn vị của X

b Các tính chất của kì vọng toán

Tính chất 1.Nếu C là hằng sốthì E(C) = C

Tính chất 2.Nếu C là hằng sốvà X là một biến ngẫu nhiên thì E(CX) = C.E(X)

• Hai biến ngẫu nhiên được gọilà độc lập với nhaunếu quy luật phân phối xác suấtcủabiến ngẫunhiên này không phụ thuộc gì vào việc biến ngẫu nhiên kia nhận giá trị bằng

bao nhiêu

• Các biến ngẫu nhiên gọi là độc lập lẫn nhau nếu các quy luật phân phối xác suất củamột sốbấtkì các biến ngẫunhiên nào đókhông phụ thuộc vào việc cácbiến ngẫu nhiên

còn lại nhận giá trị bằng bao nhiêu

• Tổngcủa haibiến ngẫunhiên X và Y là biến ngẫunhiên X + Y mà cácgiá trịcó thể

có của nó là tổng mỗi giá trị có thểcó của X và mỗi giá trị có thểcó của Y

Chú ý: Khi X và Y độc lập nhau thì các xác suất tương ứng sẽ bằng tích các xác suấtthành phần Còn khi X và Y phụ thuộc nhau thì các xác suất tương ứng bằng xác suấtcủa thành phần này nhân với xácsuất có điều kiện của thành phần kia

Tính chất 3.E(X + Y ) = E(X) + E(Y )

c Bản chất và ý nghĩa của kì vọng toán

Bản chất Kì vọng toán của biến ngẫu nhiên gần bằng trung bình số học của các giá trị

quan sát của biến ngẫu nhiên

ý nghĩa Kì vọng toán phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của biến ngẫu

nhiên

d ứng dụng thực tế của kì vọng toán

Hiện nay khái niệmkì vọng toán đượcáp dụng rộng rãi trongnhiều lĩnh vựckinh doanh

và quản lý như một tiêu chuẩn ra quyết định trong tình huống cần lựa chọn giữa nhiều

chiến lược khác nhau Tiêu chuẩn này thường được gọi là lợi nhuận kì vọng hay doanh

số kì vọng

2 Trung vị

Trung vị, kí hiệu md, là giá trị nằm ở chính giữa tập hợp các giá trị có thể có của biến

+ Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì giá trị x i nào đó là trung vị m d nếu thỏa mãn

Mốt, kí hiệu m 0, là giá trị của biến ngẫu nhiên tương ứng với:

+ Xác suất lớnnhất nếu là biến ngẫu nhiên rời rạc,

+ Cực đại của hàm mật độ xácsuất nếu là biến ngẫunhiên liên tục

Chú ý: Cóbiến ngẫunhiên không có giátrịMốt hoặc cónhiều giátrịMốt cùngmột lúc

4 Phương sai

Khi nghiên cứu kinh doanh, thí dụ như doanh số bán hàng thì người ta thường nghiên

cứu kì vọng toán Tuy nhiên nếu chỉ biết lượng hàng trung bình bán được thì chưa đủ

mà còn phải biết mức độ chênh lệch, sự biến độnggiữa các tháng Do đóta phảinghiên

cứu cáctham sốđặctrưng chomức độphân táncủa cácgiátrịcủa biếnngẫunhiên xung

quanh giá trị trung bình Một trong số đó là phương sai

a Định nghĩa Phương sai củabiếnngẫu nhiên X, kíhiệulà V (X),là kìvọngtoán củabình phương sai lệch của biến ngẫu nhiên sovới kì vọng toán của nó

V (X) = E[X − E(X)] 2 = E[X 2 − 2X.E(X) + (E(X)) 2 ]

= E(X 2 ) − 2E(X).E(X) + [E(X)] 2

+ V (X) > 0 vối mọi biến ngẫu nhiên X

+ Đơn vị của phương sai là bình phương đơn vị của biến ngẫu nhiên

b Các tính chất của phương sai

c Bản chất và ý nghĩa của phương sai

Bản chất: Phương sai là trung bình số học của bình phương các sai lệch giữa các giá trị

quan sát của biến ngẫu nhiên so với giá trịtrung của cá gáitrị đó

ý nghĩa: Phương sai phản ánh mức độ phân tán của các giá trj của biến ngẫu nhiên so

với giá trị trung tâm là kì vọng toán Phương sai càng nhỏ thì các giá trị càng tập trung

ở gần giá trị trung tâm

c ứngdụng thực tế của phương sai

+Trong kĩ thuậtphương saiđặctrưng chosai sốcủathiết bị,chitiếtgaicôngso vớikích

thước tiêu chuẩn

+ Trong lĩnh vực kinh tế phương sai đặc trưng cho mức độ rủi ro của cá quyết định

5 Độ lệchchuẩn

Ta thấy phương sai thực chất là mức độ phân tán bình phương nên sẽ không có ý nghĩa

khi cần đánh giá độ phân tán của biến ngẫu nhiên theo đơn vi đo của nó Vì vậy người

ta thường xétmột tham số đặc trưng khác là độ lệch chuẩn

Định nghĩa: Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu σ(X), là căn bậc hai củaphương sai

Ta thấyrằngcảphương sai vàđộlệchchuẩnđều đặctrưng chomứcđộphân táncủabiến

ngẫu nhiên và cùng có đơn vị đo Như vậy không thể dùng các tham số này để so sánh

mức độ phân tán của các biến ngẫu nhiên có đơn vị đo khác nhau Chính vì vậy ta cần

một loại tham số không có đơn vị đo để so sánh, đó là hệsố biến thiên

Định nghĩa: Hệ số biến thiên của X, kí hiệu là CV, được xác định bởi công thức

CV =

σ(X) E(X)

.100%nếu E(X) > 0

ý nghĩa: Hệ số biến thiên đo tỷ lệ phần trăm các biến động của biến ngẫu nhiên so với

giá trịtrung bình Như vậyđộ lệch chuẩn đo mức độ biếnđộng tuyệt đối còn hệ sốbiến

thiên đo mức độ biến động tương đối của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với giá trị

trung bình

ứng dụng:

+ Hệ số biến thiên dùng để đo mức độ thuần nhất của một phân phối Giá trị của CV

càng nhỏ thì mức đọ thuần nhất càng lớn

+ Hệ số biến thiên dùngđể so sánhmức độ phân tán của haiphân phốimà kì vọng toán

và độ lệch chuẩn của chúng không nhất thiết phảinhư nhau

+ Trong kinh tế hệ số biến thiên dùng để mức độ rủi ro của các hoạt động kinh tế

7 Giá trị tới hạn

Định nghĩa: Giá trị tới hạn mức α của biến ngẫu nhiên liên tục X, kí hiệu là x α là giátrị của X thỏa mãn điều kiện: P (X > x α ) = α

Trên đồthịta có:Giátrịx α làgiá trịsao

cho diệntích giới hạnbởi trụchoành,đồ

thị của hàm mật độ xác suất và đường

trong đó à 3 = E[X − E(X)] 3 và σ là độ lệchchuẩn

+ Hệ số bất đối xứng để đo lườngmức độ bấtđối xứng, cụ thể là:

α 3 < 0: phân phối là bất đối xứng, đồ thị xuôi về bên trái nhiều hơn

trong đó à 4 = E[X − E(X)] 4 và σ là độ lệchchuẩn

+ Hệ sốnhọn cho phép nhậnxét về dạngcủa phân phối xácsuất vàbổ xung thêmthông

tin về phương sai

α 4 = 3: phân phối xácsuất được tập trung ở mức độ trung bình

α4 > 3(< 3): phân phối xác suấttập trung ở mức độ cao hơn (thấp hơn)

Một số quy luật phân phối

Từ chương II ta thấy khi nghiên cứu một biến ngẫu nhiên, việc đầu tiên ta phải xác

lập được quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên , sau đó sẽ tìm các tham số

đặc trưng của nó Lúc đó ta đã nắm được toàn bộ thông tin về biến ngẫu nhiên và việc

nghiên cứu xem như hoàn tất Tuy nhiên nếu với mỗi biến ngẫu nhiên ta đều thực hiện

quá trình trên thì rất tốn kém Vì vậy để dễ dàng hơn khi nghiên cứu người ta đã phân

loại các biến ngẫu nhiên theo các quy luật phân phối khác nhau Sau đây chúng ta sẽ

nghiên cứu một số quy luật thông dụng nhất

Đ1.Quy luật không-một -A(p)

Giả sử tiến hành 1 phép thử, trong phép thử biến cố Acó thể xảy ra với xác suất pvàkhông xảy ra với xácsuất 1 − p Gọi X là sốlầnxuất hiện biến cốA trong phépthử Vìchỉ tiến hành 1 phép thử nên X chỉ có thểnhận giá trị 0 hoặc 1.Từ đó ta có

Từ bảng phân phối xác suấtta có:nếu X ∼ A(p)thì

+ Trong thực tế quy luật không - một dùng đặc trưng cho các dấu hiệu định tính có hai

phạmtrùluânphiênnhưgiới tính(nam:0;nữ:1),cơcấudân số(ngoàiđọtuổilaođộng:0;

trong độ tuổi lao động:1), Khi đó kì vọng toán E(X) = p phản ánh cơ cấu của tậphợp đang nghiên cứu

+ Trong lý thuyết nó được dùng là cơ sở để tìm các quy luật phân phối xác suất khác

Đ2.Quy luậtnhị thức -B(n,p)

Nhắc lại về lược đồ Bernoulli: Một bài toán được gọi là tuân theo lược đồ Bernoulli

nếu thỏa mãn 3 điều giảthiết sau:

- Tiến hành n phép thửđộc lập

- Trong mỗi phép thửchỉ có2 trườnghợp: hoặc biến cốA xảy ra,hoặc biến cốA khôngxảy ra

- Xác suất xảy ra của biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng p, và xác suất không xảy

ra của biến cố Atrong mỗi phép thử đều bằngq = 1 − p

Ta gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử của lược đồ trên Khi đó ta cócông thức Bernoulli như sau:

trong đó các giá trị P x tra ở bảng1.

2 Các thamsố đặctrưng của quyluật nhị thức

Nhận xét:+ Nếu np + p ∈ N thì Mốt là một trong haigiá trị np + p − 1 hoặc np + p

+ Nếunp + p / ∈ N thì Mốt làsố nguyêndương duy nhất nằm giữa np + p − 1

3 Quy luật phânphối xác suất củatần suất

Xét một lược đồ Bernoulli Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử Khi

đó tần suất xuất hiện biến cố A là

f = X n

Vì X ∼ B(n, p) và n là hằng số nên f có bảng phân phối xácsuất như sau:

Đ3.Quyluật Poisson-P(λ)

Giả sử X là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật Bernoulli, khi đó xác suất Px có thểtính theo công thức Bernoulli Tuy nhiên nếu số phép thử n khá lớn mà xác suất p lạiquá nhỏ đến mức np ≈ npq thì việc tính toán sẽ rất khó khăn Vì vậy trong trường hợpnày người ta sử dụng công thức xấp xỉ Poison

trong đó các xác suất P x đượctính sẵn ở bảng phụ lục 2.

2 Các thamsố đặctrưng của quyluật Poisson

Giả sử X ∼ P (λ) thì các tham số đặc trưng của X là

E(X) = λ

V (X) = λ

λ − 1 6 m 0 6 λ

Quy luật Poisson có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực thực tế như trong kiểm tra

chất lượng sản phẩm, lý thuyết phục vụ công cộng, lý thuyết dự trự,

Đ4.Quy luật siêubội- M(N,n)

gọi là phân phối theo quy luật siêu bội vớicác tham số là N và n

C 1

M C N −M n−1

C n N

C x

M C N −M n−x

C n N

2 Các thamsố đặctrưng của quyluật siêu bội

Đ5.Quy luậtphân phối đều-U(a,b)

0

a

b

x

2 Các thamsố đặctrưng của quyluật đều

Nếu X ∼ U(a, b) thì các tham sốđặc trưng của nó là:

... phân phối xác suất đồng thời biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc ta

cũng tìm bảngphân phối xácsuất biên thành phần

2 Bảngphân phốixác suất biên

Bảng phân phối xác suất biên... )là xác suất đồng thời để biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) nhận giá trị

(x i , y j )

Chú ý: để tạo nên quy luật phân phối xácsuất xácsuất...

Chú ý: Từbảngphân phối xácsuất đồngthời ta cócột1 cộtcuốicùng tạothành bảng

phân phối xác suất biên thành phần X; dòng dòng cuối tạo thành bảng

phân phối xácsuất biên thành phần Y