MỘT SỐ BÀI TẬP XÁC XUẤT LỚP 11 CÓ ĐÁP ÁN || ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TÍNH TỔNG CÁC DÃY SỐ

MỘT SỐ BÀI TẬP XÁC XUẤT LỚP 11 CÓ ĐÁP ÁN Bài toán 1. Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào 6 thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên 2 thẻ đó là: a) Cạnh của lục giác. b) Đường chéo của lục giác. c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác. (Bài 8 – trang 77 sách Đại số và giải tích 11 + Vì lấy 2 điểm nên: > + Gọi: A là biến cố “2 thẻ lấy ra là 2 cạnh của lục giác” B là biến cố “2 thẻ lấy ra là đường chéo của lục giác” C là biến cố “2 thẻ lấy ra là đường chéo của 2 cạnh đối diện của lục giác” Bài toán 2. Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho. a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau. b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau. (Bài 6 – trang 76 sách Đại số và giải tích 11) + Cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang cách. +Cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang, biết rằng nam nữ ngồi xen kẽ nhau cách. +Cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào02 6 ghế kê theo hàng ngang, biết rằng ba bạn nam ngồi cạnh nhau 4. cách. + Gọi là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau” + Gọi là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau” + Ta có + Suy ra Bài toán 3. Gieo một con súc xắc, cân đối và đồng nhất. Giả sử con súc xắc suất hiện mặt b chấm. Xét phương trình Tính xác suất sao cho phương trình có nghiệm. ( Bài 4 trang 74 sách Đại số và giải tích 11) + Ký hiệu “con súc xắc suất hiện mặt b chấm” là b: + Không gian mẫu: + Gọi A là biến cố: “Phương trình có nghiệm” + Ta đã biết phương trình có nghiệm khi + Do đó Bài toán 4. Trên một cái vòng hình tròn dùng để quay sổ số có gắn 36 con số từ 01 đến 36. Xác suất để bánh xe sau khi quay dừng ở mỗi số đều như nhau. Tính xác suất để khi quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại ở giữa số 1 và số 6 ( kể cả 1 và 6) trong lần quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13 và 36) trong lần quay thứ 2. Phân tích: Rõ ràng là trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn. Ở đây ta sẽ biểu diễn tập hợp dưới dạng tính chất đặc trưng để tính toán. Gọi A là biến cố cần tính xác suất Có 6 cách chọn i, ứng với mỗi cách chọn i có 25 cách chọn j ( từ13 đến36 có 25 số) do đó theo quy tắc nhân

MỘT SỐ BÀI TẬP XÁC XUẤT LỚP 11 CÓ ĐÁP ÁN

Bài toán 1.

Cho một lục giác đều ABCDEF Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào 6 thẻ Lấy ngẫu nhiên hai

thẻ Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên 2 thẻ đó là:a) Cạnh của lục giác

b) Đường chéo của lục giác

c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác

(Bài 8 – trang 77 sách Đại số và giải tích 11

+ Vì lấy 2 điểm nên: ->

+ Gọi:

A là biến cố “2 thẻ lấy ra là 2 cạnh của lục giác”

B là biến cố “2 thẻ lấy ra là đường chéo của lục giác”

C là biến cố “2 thẻ lấy ra là đường chéo của 2 cạnh đối diện của lục giác”

Bài toán 2.

Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang Tìm xác suất sao

cho

a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau

b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau

(Bài 6 – trang 76 sách Đại số và giải tích 11)

+ Cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang cách

+Cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang, biết rằng nam nữ ngồi xen

+Cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào02 6 ghế kê theo hàng ngang, biết rằng ba bạn nam

Tính xác suất sao cho phương trình có nghiệm

( Bài 4 trang 74 sách Đại số và giải tích 11)

+ Ký hiệu “con súc xắc suất hiện mặt b chấm” là b:

+ Không gian mẫu:

+ Gọi A là biến cố: “Phương trình có nghiệm”

+ Ta đã biết phương trình có nghiệm khi

+ Do đó

Bài toán 4.

Trên một cái vòng hình tròn dùng để quay sổ số có gắn 36 con số từ 01 đến 36 Xác suất đểbánh xe sau khi quay dừng ở mỗi số đều như nhau Tính xác suất để khi quay hai lần liên tiếp bánh xe

dừng lại ở giữa số 1 và số 6 ( kể cả 1 và 6) trong lần quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13

và 36) trong lần quay thứ 2

Phân tích: Rõ ràng là trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số phần tử của

biến cố là tương đối lớn Ở đây ta sẽ biểu diễn tập hợp dưới dạng tính chất đặc trưng để tính toán.Gọi A là biến cố cần tính xác suất

Có 6 cách chọn i, ứng với mỗi cách chọn i có 25 cách chọn j ( từ13 đến36 có 25 số) do đó theo quy tắcnhân

Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần Tính xác suất của các biến cố:

a) Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.

b) Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.

+ Không gian mẫu

+ Ta có biến cố đối của biến cố A là biến cố:

: “Không cố lần nào xuất hiện mặt ngửa”

a) Biến cố A: “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một chấm”

b) Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn

Gieo đồng thời hai con súc sắc Tính xác suất sao cho:

a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn

b) Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn

+ Gọi A là biến cố “Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn”

B là biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn”

X là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”

+ Thấy rằng và là hai biến cố độc lập và

(Trong 6 mặt thì có 3 mặt chẵn)

+ Do vậy ta có:

b Gọi là biến cố “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn”

Có 3 khả năng xảy ra để tích số chấm trên con súc sắc là số chẵn:

 Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn, con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt lẻ

 Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt lẻ, con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn

 Cả hai con súc sắc cùng xuất hiện mặt chẵn

Và ta có “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số lẻ” chỉ có 1 khả năng là cả hai con súc sắc đều

xuất hiện mặt lẻ

+ Như vậy một lần nữa ta lại thấy ưu thế của biến cố đối

+ Ta có và , độc lập nên ta có:

+ Do đó

Bài toán 9.

Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng Tìm xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 6 chi

tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng

+ Số cách lấy ra 6 chi tiết từ 10 chi tiết là

+ Gọi là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng”

là biến cố “trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”

là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra có không quá 1 chi tiết hỏng”

+ Khi đó Do và xung khắc nhau nên

+ Có 8 chi tiết không bị hỏng nên

+ Số cách lấy 5 chi tiết từ 8 chi tiết KHÔNG bị hỏng là

+ Số cách lấy 1 chi tiết từ 2 chi tiết hỏng là

+ Theo quy tắc nhân ta có

+ Do vậy ta có:

Bài toán 10

Có hai hộp cùng chứa các quả cầu Hộp thứ nhất có 7 quả cầu đỏ, 5 quả cầu xanh.Hộp thứ hai có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu nhiên 1 quảcầu

a) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ

b) ính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu

a) Gọi:

A là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ”

B là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ”

X là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu đỏ”

+ Mặt khác A và B độc lập nên

b) Gọi:

Y là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh”

Z là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu”

+ Ta có

+ Mặt khác và độc lập nên

Bài toán 11

Có 2 lô hàng Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm Xác suất để được sản phẩm chấtlượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là Hãy tính xác suất để:

a) Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt

b) Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt

Phân tích: Đây là bài toán cho trước xác suất nên chắc chắn ta phải sử dụng phép toán tính xác suất để

giải quyết Biến cố cơ sở sẽ là “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” và “Lấy được sản phẩm tốt

từ lô hàng thứ hai”

Lời giải:

Gọi “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất”

“Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”

Bài toán 12

Một phòng được lắp hai hệ thống chuông báo động phòng cháy, một hệ thống báo khi thấy khói

và một hệ thống báo khi thấy lửa xuất hiện Qua thực nghiệm thấy rằng xác suất chuông báo khói

là , chuông báo lửa là và cả 2 chuông báo là Tính xác suất để khi có hỏa hoạn ítnhất một trong 2 chuông sẽ báo

Phân tích: Biến cố cần tính xác suất là chuông báo khói báo hoả hoạn hoặc chuông báo lửa báo lửa sẽ

báo hoả hoạn Do đó bài toán này chắc chắn là dùng quy tắc cộng Tuy nhiên hai biến cố cơ sở lạikhông xung khắc Trong trường hợp này ta phải sử dụng quy tắc cộng mở rộng

Lời giải

Gọi là biến cố “Chuông báo khi thấy khói”

là biến cố “Chuông báo khi thấy lửa”

là biến cố “Ít nhất một trong hai chông báo khi hỏa hoạn”

Theo giả thiết bài toán ta có

Do đó ta có:

2/ Trong một chiếc hộp có 5 bóng trắng, 6 bóng xanh, 7 bóng đỏ lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng Tìm xácsuất để có 4 quả bóng có đủ 3 mầu

Bài 1:

Có 30 đề thi trong đó có 10 đề khó, 20 đề trung bình Tìm xác suất để:

a) Một Học sinh bắt một đề gặp được đề trung bình

b) Một Học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung bình

Giải

a) Gọi A là biến cố Học sinh bắt được đề trung bình:

1 20 1 30

P(A)

b) Gọi B là biến cố học sinh bắt được 1 đề trung bình và một đề khó

Gọi C là biến cố học sinh bắt được 2 đề trung bình

Gọi D là biến cố học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung bình

Khi đó:

20 10 20 2 30

Bài 3: Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bànd 9ầu theo những

thứ tự khác nhau Tính xác suất sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam

Mỗi một sự sắp xếp chỗ ngồi cho 5 bạn là một chỉnh hợp chập 5 của 11 bạn

Vậy không gian mẫu  gồm 5

11

A (phần tử)

Kí hiệu A là biến cố: “Trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam”

Để tính n(A) ta lí luận như nhau:

- Chọn 3 nam từ 6 nam, có 3

6

C cách

- Chọn 2 nữ từ 5 nữ, có C cách.52

- Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau, có 5! Cách

Từ đó theo quy tắc nhân ta có: n(A) = C 63 2

Bài 4: Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thấy P và cô Q là vợ chồng Chọn ngẫu

nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp Tính xác suất để sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô vànhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai

Giải:

Kết quả của sự lựa chọn là một nhóm 5 người tức là một tổ hợp chập 5 của 12 Vì vậy không gianmẫu  gồm C 125 792 phần tử

Gọi A là biến cố cần tìm xác suất

B là biến cố chọn được hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có thầy P nhưng không có cô Q

C là biến cố chọn được hội đồng gồm 3 thấy, 2 cô trong đó có cô Q nhưng không có thầy P

Như vậy: A = B  C và n(A) = n(B) + n(C)

Bài 5: Sáu bạn, trong đó có bạn H và K, được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc Tính xác suất sao cho:

a Hai bạn H và K đứng liền nhau;

b hai bạn H và K không đứng liền nhau

Giải:

Không gian mẫu  gồm các hoán vị của 6 bạn Do đó: n() = 6! Do việc xếp là ngẫu nhiên  gồm cáckết quả đồng khả năng

a Kí hiệu: A là biến cố “H và K đứng liền nhau”,

B là biến cố “H đứng ngay trước K”

C là biến cố “K đứng ngay trước H”

Rõ ràng B và C xung khắc và A = B  C

* Tính n(B):

Xếp H và 4 bạn khác thành hàng, có 5! Cách Trong mỗi cách xếp như vậy, xếp bạn K ngay sau H, có

1 cách Vậy theo quy tắc nhân ta có:

3 3

P A   P A   

Bài 6: Tổ I có 6 nam và 7 nữ, tổ II có 8 nam và 4 nữ Để lập một đoàn đại biểu, lớp trưởng chọn ngẫu

nhiên từ mỗi tổ hai người Tính xác suất sao cho đoàn đại biểu gồm toàn nam hoặc toàn nữ

Giải:

Gọi: A là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nam hoặc toàn nữ”,

B là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nam”,

C là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nữ”

ÚNG DỤNG SỐ PHỨC TÍNH TỔNG CÁC DÃY SỐ

LỜI NÓI ĐẦU

Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12 Ta biết sự ra đời của

số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích (thể hiện sâu sắc mối quan hệ đó là công thức eiπ 10) Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một

số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ.

Vì mới đưa vào chương trình SGK nên có rất ít tài liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong SGK còn nhiều hạn chế Giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học

để xây dựng các dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết Một trong các vấn đề

tôi xây dựng là dạng toán “Ứng dụng số phức để tính tổng của các C k n” trên cơ sở

khai thác tính chất của số phức và vận dụng khai triển nhị thức Newton.

Để nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này có tính thực tiễn trong công tác giảng dạy chung của nhà trường, rất mong được sự đóng góp ý kiến xây dựng và bổ xung của các đồng chí trong tổ chuyên môn và các đồng nghiệp khác.

Vĩnh Yên, ngày 20 tháng 5 năm 2009

Người thực hiện

Lê Hồng Thái

NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT:

1- Khai triển nhị thức Newton:

Với mọi x và với mọi nN* ta có:

(1 + x)n = C0n xC1n x2C2n  xn-1Cnn-1 xnCnn

2- Các tính chất của số phức dùng trong đề tài:

* Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ bằng nhau khi và chỉ khi x = x/ và y = y/

* z = r(cos + isin)  zn = [r(cos + isin)]n = rn(cosn + isinn)

* Giải phương trình: x3 – 1 = 0

2

32

12

2

32

13

1

2

32

12

3- Khi nào thì dùng số phức để tính tổng của các C n k?

Đây là vấn đề lớn nhất cần chú ý cho học sinh Ta dùng số phức để tính tổng của các Ckn khi tổng này có hai đặc điểm:

* Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau

* k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư (trong chương trình phổ thông ta chỉ cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2).

4- Các tổng của C n k được tính như thế nào ?

* Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính.

* Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là 6, 4 , 3 ) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính.

* Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính.

* Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị Cộng vế theo

vế các đẳng thức thu được Suy ra giá trị của tổng cần tìm.

Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có những đặc điểm gì để lựa chọn một trong các cách trên Chủ yếu là căn cứ vào hệ số của các C n k trong tổng Để nói chi tiết được điều này đòi hỏi phải có lượng lớn những nhận xét, sẽ vượt quá khuôn khổ cho phép của một đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tôi chỉ đưa ra một số ví dụ minh hoạ cho từng dạng, qua đó người đọc sẽ tự trả lời được câu hỏi: Để tính tổng này ta phải làm gì?

II- MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ:

Dạng 1:Khai triển (1 + x)n , cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các số phức

2009π cos 2009 ) 2 (

2009 4

π isin 4

π cos 2009 ) 2 (

2 2009 ) 2 ( 4

π isin 4

π cos

48 50 C 24 3

46 50 C 23 3

4 50 C 2 2 50 3C

0 50

C 50 2 1

49 50 C 49 ) 3 (i

2 50 C 2 ) 3 (i

1 50 )C 3 (i

0 50 C 50 2 1

48 50 C 48 ) 3 (

46 50 C 46 ) 3 (

4 50 C 4 ) 3 (

2 50 C 2 ) 3 (

1 3

100π isin 3

100π cos

50 3

2π isin 3

2π cos

50 i 2

3 2

2 20 C 18 ) 3 ( 1 20 C 19 ) 3 i(

0 20 C 20 ) 3

3 20 C 17 ) 3 ( 1

20π cos 20 2

20 6

π isin 6

π cos 20 2

20 2

1 i 2 3 20

3 2

1 20 2 3

4π isin 3

29π cos

29 2 30

29 4

π isin 4

π cos

29 2 30

2

2 2 2 29 2

17 20 C 17 3 17.

5 20 C 5 3 5.

3 20 C 3 3 3.

20 C 9 18.3

6 20 C 3 6.3 4

20 C 2 4.3 2

π cos 19 2 3 20.

19 i 2

3 2 1 19 2 3 20

i 19 30.2 19

.2 3 10.

i 2

3 2

1 19 2 3 20.

3

19π isin 3

19π cos 19

Ví dụ 3:

Tính các tổng sau: M = C 15 0  3C 15 2 5C 15 4  7C 15 6  13C 12 1515C 14 15

N = 2C 1 15 4C 15 3 6C 15 5  8C 15 7  14C 13 15 16C 15 15Giải:

3 15 C 3 x 2 15 C 2 x 1 15 xC

6 15 7C 4 15 5C 2

7 15 8C 5 15 6C 3 15 4C 1 15

π cos

14 2 15i.

15 4

π isin 4

π cos

15 2

14π isin 4

14π cos i 7 15.2 4

15π isin 4

15π cos

15

2

i7287.2i72714.27

15.2i

Dạng 3: Khai triển (1 + x)n , cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị

Để tiện cho việc theo dõi sự biến đổi và các phép tính tôi đưa lại các vấn đề về căn bậc

ba của đơn vị (đã trình bày trong phần I của đề tài):

Giải phương trình: x3 – 1 = 0

2

32

12

2

32

13

1

2

32

12

(1 + ε2)20 = C020 ε2C120 εC220 C320  C1820 ε2C1920 εC2020 (3) Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:

220 + (1 + ε )20 +(1 + ε2)20 = 3S.

Mặt khác: (1  ε)20  (  ε2)20 ε40  ε; (1  ε2)20 (  ε)20 ε20 ε2

Do vậy: 3S = 220 – 1 Hay S =

3120

20 C 2 ε 19 20 C 18 20 εC

3 20 εC 2 20 C 2 ε 1 20 C 0 20

2 

Ví dụ 3:

Tính tổng: P = C 0 203C 3 206C 6 20 3kC 3k 20  15C 15 2018C 18 20Giải:

5 30 C 5 3 5 3 30 C 3 3 3 1

30 C 14 28.3

6 30 C 3 6.3 4

30 C 2 4.3 2

2- Tính các tổng sau:

24 25 23.24C 22

25 21.22C

8 25 7.8C 6

25 5.6C 4

25 3.4C 2

25 2C

25 22.23C

9 25 8.9C 7

25 6.7C 5

25 4.5C 3

25 2.3C

6 20 7C 4 20 5C 2 20 3C

7 20 8C 5 20 6C 3 20 4C

7 100 C 2 7 5 100 C 2 3 100 C 2 1

8 100 C 2 6 100 C 2 4 100 C 2 4 2

Hướng dẫn: Xét khai triển của (1 + x)25 Đạo hàm hai vế Sau đó nhân hai vế với x2 Cho

x lần lượt bằng 1, ε, ε2(ba căn bậc ba của 1) cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được ta tìm được E.

ĐS: E =

31)2425(2 

6 – Tính các tổng sau:

40 40 C 2 40 37 40 C 2 37

10 40 C 2 10 7 40 C 2 7 4 40 C 2

11 40 C 2 11 8 40 C 2 5 40 C 2 2

9 40 C 2 6 40 C 2 6 3 40 C 2