Ung dung dao ham xet su bien thien va tim GTLN GTNN cua ham so

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định hoặc trên từng khoảng xác định Cho haøm soá y  f x , m , m laø tham soá, coù taäp xaùc ñònh K K là m[r]

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Hàm số f đồng biến trên D  (x1, x2  D, x1 < x2  f(x1) < f(x2)

Hàm số f nghịch biến trên D  (x1, x2  D, x1 < x2  f(x1) > f(x2)

2 Điều kiện cần

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K

a) Nếu f đồng biến trên khoảng K thì f(x)  0, x  K

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng K thì f(x)  0, x  K

3 Điều kiện đủ

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K

a) Nếu f (x)  0, x  K (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên K b) Nếu f (x)  0, x  K (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên K c) Nếu f(x) = 0, x  K thì f không đổi trên K

Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b)

thì f đồng biến (nghịch biến) trên đoạn [a; b].

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số.

– Tính y Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)

– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài 1 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y  2x24x5 b)

x

y  x

c) y x 2 4x 3 d) y x 3 2x2 x 2 e) y(4 x x)(  1)2 f) y x 3 3x24x1 g)

4

y  x  x 

h) yx4 2x23 i)

y x  x 

k)

5

x

y

x





1 2

x y

x





1 1 1

y

x

 



n)

2

2

x x

y

x

 



1 3 1

y x

x

  

2

3

x x y

x



Bài 2 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y6x48x3 3x2 1 b)

2 2

1 4

x y x





2 2

1 1

x x y

x x

 



 

2x 1

y

x





x y

x x



  f) y   x 3 2 2 x g) y  2x1 3 x h) y x 2 x2 i) y 2x x 2

k) y sin 2x 2 x 2

l) y sin 2x x 2 x 2

Bài 3. Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

a)

2

2

x x

y

x x



2 2

1

x x y

x x



  c) y x x 2 4 d) y x  2x x 2

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số y f x m ( , ), m là tham số, có tập xác định K (K là một khoảng, một đoạn, hay một nửa khoảng), cĩ đạo hàm trên K và phương trình y’=0 cĩ hữu hạn nghiệm trên K.

 Hàm số f đồng biến trên K  y  0, x  K.

 Hàm số f nghịch biến trên K  y  0, x  K.

Từ đó suy ra điều kiện của m.

Chú ý:

1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

2) Nếu y' ax2bx c  thì:

   





 





 





0 0

0 0

a b c

a

   





 





 





0 0

0 0

a b c

a

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )ax2bx c  :

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 2

b a



)

 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai g x( )ax2bx c  với số 0:



0

0

S

 



 







0

0

x x P

S

 



 





 x10x2  P0

5) Để hàm số y ax 3bx2cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng

d thì ta thực hiện các bước sau:

 Tính y.

 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

0 0

a

 





(1)

 Biến đổi x1 x2  thành d (x1x2)2 4x x1 2 d2.

(2)

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.

 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

Bài 4 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc

tập xác định) của nó:

a) y x 35x13 b)

3 2

3

x

y  x  x

c)

2

x y x





 d)

1

x x

y

x



x mx y

x m



Bài 5 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định

(hoặc tập xác định) của nó:

a) y5xcot(x 1) b) ycosx x c) y sinx cosx 2 2 x

Bài 6 Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác

định) của nó:

a) y x 3 3mx2(m2)x m b)

x mx

y   x

c)

x m y

x m







d)

4

mx

y

x m





x mx y

x m



2

x mx m y

x m



Bài 7 Tìm m để hàm số:

a) y x 33x2mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1

b)

y x  mx  mx m

nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 c)

3

y x  m x  m x

đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4

Bài 8 Tìm m để hàm số:

a)

3

2

3

x

y  m x  m x

đồng biến trên khoảng (1; +)

b) y x 3 3(2m1)x2(12m5)x đồng biến trên khoảng (2; +).2

c)

mx

x m4 ( 2)

 đồng biến trên khoảng (1; +)

d)

x m

y

x m





 đồng biến trong khoảng (–1; +)

e)

2

x mx m

y

x m



 đồng biến trên khoảng (1; +)

f)

2

x x m

y

x



 nghịch biến trên khoảng 1 ;

2

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

 Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ,  ) Xét hàm số y = f(x) trên tập

xác định do đề bài chỉ định.

 Xét dấu f (x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.

 Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.

2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).

Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

Bài 9 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)

3

6

x

x  x x với x 

b)

3 x3 x x với x 2



c) xtan ,x với 0x 2



d) sinxtanx2 ,x với0x2



Bài 10. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)

tana a với a b 2

b b   



b) a sina b  sin ,b với 0a b  2



c) a tana b  tan ,b với 0 a b 2



Bài 11. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)

2

2

x

x với x

x  x x   với x

c) xsinx cosx 1,với 0 x 2



Bài 12. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) e x  1 x với x, 0 b) ln(1x)x với x, 0

c)

1

1

x x với x

x

 d) 1xlnx 1x2  1x2

Bài 13. Chứng minh bất đẳng thức sau log (n n1) log ( 1)n (n2), n 1

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

 Chọn được nghiệm x 0 của phương trình Trong nhiều trường hợp, khơng thể tính được nghiệm x 0 , ta cĩ thể chỉ ra hàm y = f(x) – g(x) liên tục trên D, tồn tại a, b thuộc D sao cho y(a).y(b) 0 từ đĩ chứng tỏ phương trình (*) cĩ nghiệm.

 Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ) Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến Khi đó (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x 0 Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.

Bài 14. Giải các phương trình sau:

a) x x 5 5 b) x5x3 1 3 x 4 0

c) x  x 5 x 7 x16 14 d) x215 3 x 2 x28.

Bài 15. Giải các phương trình sau:

a) 5x 1 5x 2 5x 3 0 b) ln(x 4) 5  x

c) 3x4x 5x d) 2x 3x5x 38

Bài 16. Giải các bất phương trình sau:

a) x 1 35x 747x 5513x 7 8 b) 2x x  x 7 2 x27x 35

Bài 17. Giải các hệ phương trình sau:

a)

2 1

x y y y

y z z z

z x x x





2 2 2

x y y y

y z z z

z x x x







c)





x y y x

x y

x y

tan tan

5

4 ,













e)

x y x y

x y

x y

5





 







x y

x y

sin 2 2 sin 2 2

2









g)











cot cot

x y x y

x y

x y

HD: a, b) Xét hàm số f t( )t3t2t c) Xét hàm số f t( ) 6 t2 12 8t

d) Xét hàm số f(t) = tant + t

VẤN ĐỀ 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

Ta nhắc lại khái niệm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D   )

D

f x M x D

M f x  x D f x M

D

f x m x D

m f x  x D f x  m

Chú ý

a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì max ( )[ ; ] ( ), min ( )[ ; ] ( )

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì max ( )[ ; ] ( ), min ( )[ ; ] ( )

Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên.

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

 Tính f (x).

 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.

 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].

 Tính f (x).

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x 1 , x 2 , …, x n trên [a; b] (nếu có).

 Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ).

 So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.

[ ; ]

max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )n

a b

M  f x  f a f b f x f x f x

[ ; ]

min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )n

a b

m f x  f a f b f x f x f x

.

Bài 18. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y x 24x3 b) y4x3 3x4 c) y x 42x2 2

1

x y

x x





2 2

1

x x y

x





g)

2 1 ( 0)

y x x

x

h)

2 2

1 1

x x y

x x

 



x x

x x

Bài 19. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y2x33x212x trên [–1; 5]1 b) y3x x 3 trên [–2; 3]

c) y x 4 2x2 trên [–3; 2]3 d) y x 4 2x2 trên [–2; 2]5

e)

3

x

y

x





1 1

x y x





 trên [0; 4]

g)

2

2

x x

y

x



2 2

1 1

x x y

x x

 



  trên [0; 1]

i) y 100 x2 trên [–6; 8] k) y 2x 4 x

Bài 20. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a)

2sin 1

x y

x





1

y

x x



  c) y2sin2x cosx1

f)

2

1 1

x y

x x





g) y4 x2 2x 5 x2 2x h) 3 yx24x x2 4x 3

VẤN ĐỀ 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức

Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số

 Chứng minh một bất đẳng thức.

 Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở

thành đẳng thức.

Bài 21. Giả sử D( ; ; ) /x y z x0,y0,z0,x y z  1 Tìm giá trị lớn nhất của

P

HD:

3

P

x y z

  Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:  

x y z

x y z

 P 

3

4 Dấu “=” xảy ra  x = y = z =

1

3 Vậy

3 min

4

.

Bài 22. Cho D =

5 ( ; ) / 0, 0,

4

x y x y x y

  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4

S

x y

 

4

x x x x y

x x x x y

4

x y

x y

 S  5 Dấu “=” xảy ra  x = 1, y =

1

4 Vậy minS = 5.

Bài 23. Cho D = ( ; ) /x y x 0,y0,x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x y

HD:

1 x1 y x y   Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:  

x y x y

x y x y



1 x1 y x y  2  P 

5

2 Dấu “=” xảy ra  x = y =

1

3 Vậy minP =

5

2

Bài 24. Cho D = ( ; ) /x y x0,y0,x y 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

4

P

1 2 1

P

x y

      

  (1) Theo bất đẳng thức Cô–si:

(2),

3

y y y y

y    y  (3)  P  2 Dấu “=” xảy ra  x = y = 2 Vậy minP = 9

9

2

VẤN ĐỀ 7: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị

Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.

Gọi y 0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

0

(2)

f x y

x D







Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng Thông thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m  y 0  M (3)

Vì y 0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:

min ( ) ; max ( )

.

Bài 25. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a)

2

2

1 1

x x

y

x x

 



2 2

x x y

x x



c)

sin 2 cos 3

x x y



2 cos sin 4

x x y

x x



VẤN ĐỀ 8: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min ( )D f x m; max ( )D f x M

Khi đó: 1) Hệ phương trình

( )

f x

x D









có nghiệm  m    M.

2) Hệ bất phương trình

( )

f x

x D









có nghiệm  M  .

3) Hệ bất phương trình

( )

f x

x D









có nghiệm  m  .

4) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  m  .

5) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  M  .

Bài 26. Giải các phương trình sau:

a) 4x 244 x 2 b) 3x5x 6x2 c)

5 (1 )5 1

16

x   x 

Bài 27. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) x 2x2 1 m b) 2 x 2x (2 x)(2x)m c) 3x 6 x (3x)(6 x)m d) 7 x 2x (7 x)(2x) m

Bài 28. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x   :

a) x 2x2 1 m b) m 2x29 x m c)

mx  x m 

Bài 29. Cho bất phương trình: x3 2x2  x 1 m0

a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2]

b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2]

Bài 30. Tìm m để các bất phương trình sau:

a) mx x 3 m 1 có nghiệm

b) (m2)x m   có nghiệm x  [0; 2].x 1

c) m x( 2 x1)x2  nghiệm đúng với mọi x  [0; 1].x 1