Chuyen de Phuong trinh vo ty dua ve dang tich cua Vu Hong Phong

BẢN CHÍNH THỨC Lƣu ý trƣớc khi sử dụng tài liệu +Bài viết gồm 5 chuyên đề: Chuyên đề 1 là các phƣơng trình không dùng Casio .Chuyên đề 2 và 3 là các thí dụ dùng máy tính Casio có hƣớng d[r]

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH

KĨ NĂNG TÌM BIỂU THỨC LIÊN HỢP HOẶC NHÂN TỬ

CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Vũ Hồng Phong GV THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

BẢN CHÍNH THỨC

Lưu ý trước khi sử dụng tài liệu

+Bài viết gồm 5 chuyên đề: Chuyên đề 1 là các phương trình không dùng Casio Chuyên đề 2 và 3 là các thí dụ dùng máy

tính Casio có hướng dẫn sơ lược, chuyên đề 4 và 5 là lí thuyết hướng dẫn chi tiết cách dùng máy tính Caiso tìm biểu thức

liên hợp hoặc tìm nhân tử cần xuất hiện trong phương trình của chuyên đề 2 và 3 Trong đó có chuyên đề phụ một cách

tạo ra một phương trình tích từ các biểu thức phù hợp

+Do có nhiều phương trình mới lạ và phức tạp nên bài viết không là tài liệu để ôn tập cho các kì thi

+Các PT trong bài viết có nghiệm là nghiệm của PT bậc 3,bậc 4 nên nó phức tạp hơn các dạng PT khác

+Các phương trình chưa được sắp xếp thành hệ thống hợp lí và có thể có sai sót

+Tài liệu cung cấp một số ý tưởng để tạo ra các phương trình vô tỷ đưa về dạng tích

Chuyên đề 1 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ KHÔNG DÙNG CASIO HỖ TRỢ

Chuyên đề này gồm các PT có nghiệm đẹp ta hoàn toàn nhẩm được Dù vất vả trong việc nhẩm và tính

toán nhưng giúp chúng ta tiến bộ khi học môn Toán

A Các Phương trình tìm biểu thức liên hợp không dùng Casio

Một số ví dụ ngoài cách nhân liên hợp có thể làm theo hướng đưa về tích hoặc tìm tổng và hiệu các căn

rồi tìm từng căn theo x

Thí dụ 1 Giải phương trình

32212

21

Trang 2

31

c a a

c b a c

c b a

Biểu thức liên hợp cần tìm là x2x1 6x22x1

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x22 2x2x1

012

221

26

321

22

11

x x x

x

a

23

751

22

31

x x x

28

612

6

2 3 3 4 2

x x x x x x

x

c

Hướng dẫn

0)1261)(

12612

;1

3 2

12212

x x x

x

f

Trang 3

Hướng dẫn

2

)1(212

122

2 2

x x

x

x x x

PT

2

11

22

1221

2 2

x x

x

x x x

2

42

22

2

2 3 4

22

42

2

2 2

2

2 3 4

x x

x

x x x

PT

Biến đổi tương tự bài trước và nhân liên hợp suy ra PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3

3

16

2

12

6

)

2 2

2

6

1310

x x

Trang 4

2812

12

6

2 2

x x x

x x

x

q

Hướng dẫn

433

)12

126)(

12

126(212

12

2 2

x x x

x x

2126

2

012

126

2 2

2

2 2

x x x

x x

x

x x x

x

PT

Giải (*):Biểu thức liên hợp cần tìm là x2x1 6x22x1

biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x22 2x2x1

PT đã cho có 4 nghiệm

4

1

;3

;1

262

312

Biểu thức liên hợp cần tìm là 2 2x2 x13x2(x2)

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 6x2 2x1x(x1)

Do VT(*)0 suy ra

23

suy ra VT(*)1

Trang 5

2 x2 x  x  x 

02

)1(

1261

)2(

12

2

(*)

2 2

x MS

x x x

x PT

Nhân liên hợp lần nữa kết hợp điều kiện ta suy ra

PT đã cho có 2 nghiệmx0;x1

1077

1021212

312

6

2

2 2

x x x

x x

x

t

Hướng dẫn

1077

)12

31262)(

12

312

3126

2

2 2

x x x

x x

x

x x x

6126

4

012

3126

2

2 2

2

2 2

x x x

x x

x

x x x

x

PT

Giải (*):Biểu thức liên hợp cần tìm là x2x1 6x22x1

biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x22 2x2x1

PT đã cho có 4 nghiệm

6

5

;3

;1

A  hay

B

b a

A 

Cách giải

0)(

Trang 6

Nhân liên hợp ta sẽ giải quyết được PT đã cho

Thí dụ minh họa Giải phương trình

12

2

12

x x x

212

9

31

c a a

c b a c

c b a

Biểu thức liên hợp cần tìm là x2x1 6x2x1

012

22]

1261[

1262

1221

x x x

x

Hướng dẫn

Ta có 6x22x1 4x2x2(x1)2  4x2 2x 2x

Trang 7

nên đkxđ:xR

1262

)2(12612

2

2 2

x x

x

pt

53312

412

9

31

c a a

c b a c

c b a

0]12

22[

2126

1261

151

x x

x

Hướng dẫn

1261

)1(126.312

2

2 2

x x

x

pt

54412

212

Trang 8

31

c a a

c b a c

c b a

012

22]

1261[

26

1251

x

x x x

)(1262

12

2

)2(12

2

2 2

x x

x pt

54412

212

9

31

c a a

c b a c

c b a

012

22]

1261[

PT

PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3

Trang 9

7639127

48

9

12

c a a

c b a c

c b a

Biểu thức liên hợp cần tìm là x22x2 5x28x4

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x22x3 7x212x9

09127

32)

48522(

522

9127

12

48

x x

x

a

23

732

9127

22

48

x x

322

2

48

5

2

2 2

x x x

Trang 10

72013

9127

48

5

2

2 2

x x

)91279852)(

9127

98

5

2

(

9127485

2

2 2

x x

x x x

x x

x

x x

485

2

09127

485

2

2 2

x x

;1

1448

11

b a

b a b

2

113

7x2 x  x  x 

Trang 11

)32(9127

1

)22(885

(*)

2 2

x MS

x x x

9127

32

84

x

x x x

x

Hướng dẫn

3

6104

)9127

32(3

)329127

)(

329127(485

2

2 2

x

x x

pt

3

6104

3

329127

48

5

2 2

9

12

c a a

c b a c

c b a

0912732)

48522(

32

81

24

x

x x x

Trang 12

944)

9127

32(3

)329127

)(

32912

7

(

12485

)12485)(

12485

(

2

2 2

2

2 2

x x

x

x x

x

x x

pt

3

9443

329127

1248

5

2 2

9

12

c a a

c b a c

c b a

0912732)

48522(

4

42

c a a

c b a

Biểu thức liên hợp cần tìm là x2x2 14x26x4

Trang 13

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x4 18x210x8

081018

44

614

42

4614

2

2 2

x x x

x

x x

810

7182

46

x x

x

Hướng dẫn

7738

1018

14

)1481018)(

1481018

(4614

2

2 2

x

x x

4

42

c a a

c b a

0810184]

46142[

PT

PTcó 4 nghiệm x1;x2;x3

Trang 14

10448101846

4

42

c a a

c b a

0810184]

46142[

14444

614

1

3

512

2 2

x x

x x x

x

x x

Hướng dẫn

7231

481018

)1481018)(

1481018

(

2

461413

)134614)(

134614

(

2 2

2

2 2

x x

x x x

x x

4

42

c a a

c b a

Trang 15

0]810184[

24614

2128

4

32

4

2

c a a

c b a

0283213

4221

2811

722

2832

13

12

2128

x x

x

a

127

1032

9127

22

48

x x

x

a

PTcó 3 nghiệm x 1 ; x4;x9

Trang 16

522131410

23

323

23

x x

4

2 2

Trang 17

x x

4

3

2 2

x x

4

2

2 2

6

x x x

x x

x

Trang 18

Hướng dẫn

x

x x x

x x

x

2 2

4

x x x

x x

x

Hướng dẫn

x

x x x

x x

x

2 2

64

PT

Trang 19

x

x x x

x x

4

2 2

x x

4

2 2

;



4236310

105

PT

Trang 20

Biểu thức liên hợp cần tìm là 2x2x1 4x42x31và

1102

41

166

22421

x x

Trang 21

31

45

1)(

42(

Trang 22

1)(

42(1)

1431

2 4

x x x

x

x x

x

f

Ta có f'(1)0nên PT có nghiệm bội x1 (tính f '(1)0 Pt có nghiệm képx1) Các ví dụ kiểm tra chính xác là nghiệm kép xin dành cho bạn đọc)

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax2bxc x4x21

Lấy đạo hàm đƣợc biêu thức

1

22

)(

2 4

x x b

ax x

c b a

Do PT có nghiệm kép x1nên nó là nghiệm của P(x)

c b a

Trang 23

36

Trang 24

212

x x

x412 123 8 213 6  23

Trang 25

1012

Trang 26

PHẦN BỔ XUNG CÁCH TÌM NGHIỆM NGOẠI LAI KIỂU MỚI

Trang 27

Thí dụ 43 Giải phương trình

x x

)2(812

5x2 x  x 2 x2  x

Ta nhẩm được 2 nghiệm đẹp của PT là x1,x1

Để tìm thêm nghiệm ngoại lai khi này ta để ý 2 2

2)2(x x

có nhân tử là x2

Thay x=2 vào PT với qui ước tạm thời 2 2

2)2(x x

Trang 28

Ta nhẩm đƣợc 2 nghiệm đẹp của PT là x1,x3

Để tìm thêm nghiệm ngoại lai khi nay ta để ý x 6x2 8x1 có nhân tử là x

Thay x=0 vào PT với qui ƣớc tạm thời x 6x2 8x10thấy thỏa mãn

4

7x2  x  x x  x  x2 x

Trang 29

2

(x 2 x2 x  x2  x x2  x

Trang 30

8

5x2 x x3  x2 x  x2 x

Hướng dẫn

Ta nhẩm được 3 nghiệm đẹp của PT là x0,x1;x3

Trang 31

Các biểu thức cần tìm là x22xx.3 2x29x8 và x22x2 5x28x4 Nghiệm của PT là x0,x1;x3

22

8158

.1

)2(812

1(4

Trang 32

1913

5)

1(4

5)

1(4

211

9

31

c a a

c b a c

c b a

Trang 33

Suy ra x 6x2 2x1 tương ứng với xx2x1 (x1)2  x1

12

2211

12

81145

1261

9

31

c a a

c b a c

c b a

Suy ra 3x2 7x1 6x22x1 tương ứng với 2x1

12

81

14

5x2 x  x2 x tương ứng với 3x1

01312

811451212617

PT

Trang 34

3211

2211

26

9

31

c a a

c b a c

c b a

Suy ra 8x54 6x2 2x1 tương ứng với 8x54x24x4 (2x3)2  2x3

12

2213

212645

8181261521

9

31

c a a

c b a c

c b a

Trang 35

Suy ra x2 33x2115 6x22x1 tương ứng với 22x3

12

8

1

8x  x2 x tương ứng với 2x3

3212

8183221261521

9

12

c a a

c b a c

c b a

01429

127

2624

261

Trang 36

31

c a a

c b a c

c b a

0212

263

16

231

9

31

c a a

c b a c

c b a

0112

232

16

2111

Trang 37

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax2bxc 6x22x1

9

31

c a a

c b a c

c b a

0312

2112

16

2 3 2

9

31

c a a

c b a c

c b a

3 2

2 3

261

2

6

3 x2 x x2  x2x x2   x2 x

Hướng dẫn

Trang 38

31

c a a

c b a c

c b a

2 2 2

2 2

29

127

34

9

12

c a a

c b a c

c b a

2 2 2

Pt

PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3

Trang 39

9338

101814

4

42

c a a

c b a

2 2

12

2126

9

31

c a a

c b a c

c b a

Trang 40

2211

263

22126

9

31

c a a

c b a c

c b a

02

12

211

263

42.1

12

pt

PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3

Trang 41

13

2624

42()1(

12

312

63

4212

6

2

2 2 2

x x

9

31

c a a

c b a c

c b a

02

)21

22(33

)11

26

(

2

2 2

2

2 2

x x

x x x

x

pt

Trang 42

42

28

10181

3346

14

3

2 2 2

x x

4

42

c a a

c b a

012

28

101831

334614

3

2 2 2

x x

112

221

9

31

c a a

c b a c

c b a

Trang 43

 2 2  2  2  2   2 2

31

12

2)3(

112

211

181018346

4

42

c a a

c b a

2221

Trang 44

31

c a a

c b a c

c b a

212

4

2 2

x x

x

x x

22)

12

4

41

x x

1044

1045

x

pt

Trang 45

322

32

2 2

2 2 4 2

2 3

x

x x x x

x x

x

1262

1044

1045

x

pt

01261

322

32

2 2

2 2 4 2

2 3

x

x x x x

x x

x

11

221261

4

12x2 x  x2  x  x2 x x2x

Hướng dẫn

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

biểu thức liên hợp nữa cần tìm là |2x22x1| 12x24x1

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x2x1 6x22x1

01412122126

Trang 46

2 2

2 2 2

2 2

)1(2

22

12

2

12

6

)1)(

1

(

212

6

1

x x

x

x x x

x x

)1(22

12

24221

26)

1)(

1

(

12621

2 2

3 4

2 2

2 2 2

2 2

x x x

x x

x x x

x

x x x

a q

p b

a n m d

c q p

21

;3

;1

x

x x x

x x

x

x x x

)3)(

1(

2

232)1(2

91314

10

3

92

23

2

2 2 2 2

2

Trang 47

Hay

131410

)3)(

1(

232)1(2213

1410

93

2322189

9

2 2

3

2 2

x x

x x x

x x x x

x x

x

x x x

x

Hướng dẫn

PT thí dụ 74 được tạo ra từ PT:

522131410

23

2

51

126

21

2

21

2 3

x x x

x x

x x x

102

126.55512

42

12622

2

2 3

4 5

2 3 2

2 2

x x

x x x x

x x

x

x x x

a q

p b

a n m d

c q p d

c n

11

b a d

c b

a d

c

b

a

Từ PT 6x22x12 2x2x12x22x3

Trang 48

31

c a a

c b a c

c b a

012

221

26

;1

2633

12

421

263

1262

2

2 2

3

2 2

x

x x x

x x

x

x x x

x

Hướng dẫn

Từ Thí dụ 1 Giải phương trình

32212

21

)2()2(8

12

5

2

2 2

x

Hướng dẫn

Trang 49

)2(812

và x22x2 32x ứng với nghiệm của PT làx1,x1

Nghiệm của PT đã cho là x1,x1

x

x x x

x

633

10

5

4

105

x x

x x x

x

1054

)654)(

1054

2 2

x x x

x

633

10

5

4

105

845633

105

Trang 50

Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp (kể cả nghiệm âm ) của PT là 1;2

x x

16

189

2 2

x x

318916

)318916)(

318916

2 2

x x

16

189

x x

318916

)318916)(

318916

2 2

105

PT

631014

792189

631014

792189

Trang 51

x x

16

189

x x

x x x

x

318916

)318916)(

318916

2 2

22(463[2)32(910

5x2 x  x2 x  x2 x  x2 x 

631014

792189

Trang 52

Nâng cấp:

329105

x x

329105

32910532910

2

2 2

x

x x

pt

b )Giải phương trình

65

522

463

12

9105

x x x

x x

c)Giải phương trình

463

223

2

9105

2

2 2

x x x

x

x x

46

)1(79105

46

3

2

2 2

x x

x

d

Hướng dẫn

763

)91054632)(

410546

3

2

(

9105463

2

2 2

x x x

x x

x

x x x

2

09105

463

2

2 2

2

2 2

x x x

x x

x

x x

PT

Giải (*):Biểu thức liên hợp cần tìm là x22x3 5x210x9

biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x22x2 3x26x4

PT đã cho có 3 nghiệmx0;x1;x2

Trang 53

8633167

28

1812

12(*) x   x

1(

2

1.62624

Trang 54

7x2 x  x  x 

02

)32(13871

)22(8125

(*)

2 2

x MS

x x x

6x2  x  x  x 

Trang 55

)3(

488.31

)2(

466

(*)

2 2

x MS

x x x

12

2

34

2

2 2

12

2

34

2

2 2

712

44219

10

5

2

2 2

x x x

Trang 56

 

463

44219

10

5

2

2 2

x x x

x

46

Nhân liên hợp suy ra PT đã cho có 3 nghiệm x0;x1;x2

Thí dụ 98 Giải phương trình(Vũ Hồng Phong )

1232

12

54

3

2

2 2

12

54

3

2

2 2

23

)1(

39

14

11

2

2 2 2

x x x x

Trang 57

)1(

39

14

11

2

2 2 2

x x x x

x

110

191017

1

14

8

13

1

x x

191017

1

14

8

13

1

x x

022

19

1017

1

12

2

14

813

1

2 2

x x

35

106

2

11

23

2

1

2 2

Trang 58

Ta có:

222

35

1062

11

23

2

1

2 2

x

0222

15

106

2

11

23

2

1

2 2

x x

1(916

1()32(916

1162013

916

11

3

2

2 2

x x

1162013

916

11

3

2

2 2

x x

2

1162013

11916

11

32

2 2

x x

x

Trang 59

2

162013

429

1611

916113

2

2 2

2

2 2

x x

x x x

x

x x

2916

11x  x  x x  x  x  x 

Hướng dẫn

3

12162013

291611

3

2 2

x x

x pt

03

12162013

112916

11

3

2 2

x x

x

03

162013

422

91611

916113

2

2 2

2

2 2

x x x

x x

2916

11x  x  x x  x  x  x 

2

21

91411

11

110

7

1

2 2

Tiêu đề	Phương Trình Vô Tỷ Đưa Về Dạng Tích
Tác giả	Vũ Hồng Phong
Người hướng dẫn	GV THPT Tiên Du 1
Trường học	Trường THPT Tiên Du 1
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	bài viết
Năm xuất bản	2016
Thành phố	Bắc Ninh

Định dạng
Số trang	206
Dung lượng	3,31 MB