Các bài tập Ứng dụng 1: Phân tích tam thức ra thừa số Ở lớp 9, phần này giúp giải quyết các bài toán rút gọn căn thức, đối với học sinh khá giỏi thì ứng dụng này cũng không quá khó.. Vì [r]
Trang 1CÁC BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
Chuyên đề II: Định lý Viet và ứng dụng
Trang 2Chuyên đề II: Định lí Viet và ứng dụng
A Định lí:
1. Với phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và có hai nghiệm x1, x2 thì:
x1 + x2 =
b a
; x1x2 =
c a
2. Với phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + (d) = 0 (a ≠ 0) có ba nghiệm x1, x2, x3 thì
x1 + x2 + x3 =
b a
; x1x2 + x2x3 + x3x1 =
c
a ; x1x2x3 =
d a
B Ứng dụng:
I. Phân tích tam thức ra thừa số: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
II. Xác định dấu các nghiệm của phương trình
III Tìm hai số biết tổng S và tích P của chúng
Hai số đó là nghiệm của X2 – SX + P = 0 (S2 ≥ 4P)
IV Tính giá trị các biểu thức về nghiệm
V. Tìm tham số để thỏa mãn hệ thức về nghiệm
VI Ứng dụng vào đồ thị.
C Mội số bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai
Trang 3Các bài tập Ứng dụng 1: Phân tích tam thức ra thừa số
Ở lớp 9, phần này giúp giải quyết các bài toán rút gọn căn thức, đối với học sinh khá giỏi thì ứng dụng này cũng không quá khó Vì vậy ở đây chỉ nêu vài bài tập tiêu biểu
Bài 1 Rút gọn các biểu thức:
1 A =
: 3
2 B =
:
3 C =
: 1 9a 1
4 D =
4 x
16 9x
Bài 2 Cho f(x) = (m2 – m – 2)x2 + (2m2 – 2m + 5)x + m2 – m – 2
a) Chứng minh phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm
b) Khi m2 – m – 2 ≠ 0, phân tích f(x) thành thừa số
Trang 4Ứng dụng II: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Kiến thức cần nhớ:
1 Phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) sẽ vô nghiệm nếu Δ < 0; có nghiệm kép nếu Δ = 0;
có hai nghiệm phân biệt nếu Δ > 0
Khi a chứa tham số thì phải xét trường hợp a = 0
2 Phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Có hai nghiệm: Δ ≥ 0
Có hai nghiệm cùng dấu: Δ ≥ 0,
c
a > 0
Có hai nghiệm cùng dương: Δ ≥ 0,
c
a > 0,
b a
> 0
Có hai nghiệm cùng âm: Δ ≥ 0,
c
a > 0,
b a
< 0
Có hai nghiệm trái dấu:
c
a < 0
Có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm (hoặc nghiệm dương) có giá trị tuyệt đối lớn hơn
giá trị tuyệt đối của nghiệm kia:
c
a < 0,
b a
< 0 (hoặc
b a
> 0) Phần này thực chất là giải hệ bất phương trình sẽ được học kĩ ở lớp 10, vì vậy trong
chương trình lớp 9 ít có bài tập riêng về loại này mà chỉ được đưa thêm vào dưới dạng câu hỏi ở bài tập của các ứng dụng sau
Trang 5Ứng dụng III Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Bài 3 Cho phương trình: x2 + px + q = 0 (1)
a) Giải phương trình khi p = – (3 + 2) q = 3 2
b) Gọi x1, x2 là nghiệm của (1), lập phương trình bậc hai có nghiệm là
1 2
x
x và
2 1
x x
Bài 4 Cho phương trình: x2 – 4x + 3 = 0, không giải phương trình, lập phương trình bậc hai
có nghiệm là nghịch đảo các nghiệm của phương trình đã cho
Bài 5 Cho ax2 + bx + c = 0 có α, β là hai nghiệm Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3α +2β và 2α + 3β
Bài 6 Cho phương trình: x2 – 3x + 2m – 1 = 0 (1)
a) Gọi x1, x2 là nghiệm của (1), lập phương trình bậc hai ẩn z có nghiệm là
z1 = x1 – 2; z2 = x2 – 2
b) Tìm m để (1) có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 2
Bài 7 * Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 + px + q = 0
Tìm p, q biết x1 + 1 và x2 + 1 là hai nghiệm của phương trình: x2 – p2x + pq = 0
Bài 8 * Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – 7x + 3 = 0
a) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là 2x1 – x2 và 2x2 – x1
b) Tính giá trị biểu thức A = 12212xx2xx
Trang 6Ứng dụng IV Tính các biểu thức về nghiệm Bài 9 Cho phương trình: (m – 4)x2 – 2mx + m – 2 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 2, tính nghiệm còn lại
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có hai nghiệm cùng dấu? c) Tính x12 + x22 với x1, x2là hai nghiệm của phương trình
Bài 10 Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
b) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2với mọi giá trị của m c) Chứng minh A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) có giá trị không phụ thuộc vào m
Bài 11 Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m – 5 = 0
a) Tìm m để x = –1 là một nghiệm Tính nghiệm còn lại
b) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
c) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12 Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x – 3 + m = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của x12 + x22
Bài 13 Cho phương trình: x2 – (a – 1)x –a2 + a – 2 = 0
a) Chứng minh với mọi a phương trình có hai nghiệm trái dấu x1, x2
b) Tìm a để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 14 Cho phương trình: x2 – ax + a – 1 = 0 Gọi x1, x2là hai nghiệm
a) Tính giá trị biểu thức M =
x x x x
b) Tính a để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 15* Cho phương trình: x2 + 2(m + 1)x + m2 +4m + 3 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2
b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm x ≥ 1
c) Tìm giá trị lớn nhất của A = x x1 2 2(x1 x )2
Bài 16* Cho phương trình:x2 – 2(m – 1)x + m2 + 2m – 5 = 0
Gọi x1, x2là hai nghiệm Tìm m để S = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 17 Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2
a) Tính các biểu thức M = (5x1 – 3x2)( 5x2 – 3x1)
N =
x 3x x 3x
b) Với a = m, b = –2(2m + 1), c = 3m + 4
Tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Trang 7Bài 18 Chophương trình: x2 – (2m + 1)x + m2 + m – 1 = 0
a) Chứng minh phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m
b) Chứng minh có hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 19 Cho x1, x2là hai nghiệm của phương trình: x2 – 2x – 2 = 0 Tính x17 + x27
Bài 20 * Cho phương trình: 12x2 – 6mx + m2 – 4 + 2
12
m = 0 (m ≠ 0)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2
b) Tìm m để A = x13 + x23 đạt lớn nhất? nhỏ nhất?
Bài 21 Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
a) Chứng minh phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m
b) Tìm m để có 1 < x1 < x2 < 6
c) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 8Ứng dụng V: Tìm tham số để thỏa mãn hệ thức về nghiệm Bài 22 Cho phương trình: x2 – (2m + 1)x + m2 – 1 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 5
Bài 23 Cho phương trình: x2 + ax + 1 = 0
Tìm a để hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
7
x x
Bài 24 Xét phương trình: x2 – 2(m + 2)x + m + 1 = 0
a) Giải phương trình khi m =
3 2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1(1 – 2x2) + x2(1 – 2x1) = m2
Bài 25 Tìm m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình x2 – (m + 2)x + m + 1 = 0 thỏa mãn:
x18 + x28 = 17
Bài 26 Cho phương trình: x2 – ax – 2
1 2a = 0 Gọi x1, x2 là hai nghiệm Chứng minh:
x14 + x24 ≥ 2 + 2
Bài 27 * Phương trình: x2 – 2x + 2m – 1 = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2 – 2
b) Tìm m để x14 + x24 đạt giá trị nhỏ nhất.Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) c) Tìm m để có x1 – 2x2 = m
Bài 28 Tìm m để phương trình: x2 – (m + 1)x + m = 0 có tổng lập phương các nghiệm bằng 9
Bài 29 Tìm m để phương trình: x2 – (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Bài 30 Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) chứng minh rằng nếu có 2b2 – 9ac = 0 thì phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Bài 31 Cho phương trình: x2 – (3m + 2)x + m2 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,
x2 phân biệt thỏa mãn: x1 = 9x2
Bài 32 Cho phương trình: (m – 2)x4 – 2m x2 + m + 4 = 0 Giả sử phương trình có bốn nghiệm
x1 < x2 < x3 < x4 Tìm m để có x4 – x3 = x3 – x2 = x2 – x1
Bài 33 Cho hai phương trình: 2x2 – 3x + 2m = 0 (1) và 2x2 – x + 2m = 0 (2) Tìm m để (1) có nghiệm khác 0 gấp 3 lần nghiệm của (2)
Bài 34 Cho hai phương trình: x2 – x + m = 0 (1) và x2 – 3x + m = 0 (2) Tìm m để (2) có một nghiệm khác 0 gấp 2 lần một nghiệm của (1)
Bài 35 Tìm điều kiện cần và đủ để phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm này gấp
k lần nghiệm kia
Bài 36 Xét hai phương trình: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2) có ac < 0 Gọi α, β là hai nghiệm lớn nhất của (1) và (2) Chứng minh α + β ≥ 2
Trang 9BẢN ĐẦY ĐỦ VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT CÓ TẠI
Viet
http://123doc.org/document/3488224-chuyen-de-dac-biet-dinh-li-viet-va-ung-dung-danh-cho-thi-vao-lop-10-truong-chuyen-lop-chon.htm
Phương trình quy về bậc 2
http://123doc.org/document/3488185-chuyen-de-dac-biet-phuong-trinh-quy-ve-bac-hai-danh-cho-thi-vao-10-chuyen-lop-chon.htm
Điểm cố định
http://123doc.org/document/3488097-chuyen-de-dac-biet-diem-co-dinh-trong-hinh-hoc-danh-cho-thi-vao-lop-10-truong-chuyen-lop-chon.htm
Tích hợp liên môn Toán giải TP
http://123doc.org/document/3477510-bai-du-thi-tich-hop-lien-mon-toan-8-
quot-van-dung-kien-thuc-hinh-vuong-vao-thuc-te-cuoc-song-quot-giai-thanh-pho-hn-nam-2015.htm