Một lơp bất đẳng yhức biến phân trong bài toán quy hoạch ngẫu nhiên và ứng dụng

LỜI MỞ ĐẦUBài toán bất đẳng thức biến phân Variational Inequality Problem rađời vào nhưng năm 1960, gắn liền với các công trình của G.. Hiện nay, bài toán bất đẳng thức biến phân đãphát

MỤC LỤC

1.1 Tập lồi và nón lồi 5

1.1.1 Tập lồi 5

1.1.2 Nón lồi 6

1.2 Hàm lồi 8

1.3 Ánh xạ đa trị 9

1.4 Bất đẳng thức biến phân và bài toán quy hoạch 11

1.4.1 Bất đẳng thức biến phân 11

1.4.2 Bài toán quy hoạch và bất đẳng thức biến phân 12

1.5 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất 15

1.5.1 σ-đại số và σ-đại số Borel 15

1.5.2 Không gian xác suất 15

1.5.3 Biến ngẫu nhiên 15

1.5.4 Hàm phân phối 16

1.5.5 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 16

1.5.6 Định lý giới hạn trung tâm Moivre - Laplace 18

1.6 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên 19

Chương 2 Bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên và ứng dụng 20 2.1 Bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên 20

2.1.1 Một số kí hiệu 20

2.1.2 Bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên 20

2.2 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân bằng (SMPEC) 21

2.2.1 Bài toán SMPEC 21

2.2.2 Mô hình toán học bài toán SMPEC 24

2.2.3 Tính chất của bài toán SMPEC 26

2.3 Hàm kỳ vọng và tính chất 28

2.3.1 Hàm kỳ vọng 28

2.3.2 Tính chất của hàm kỳ vọng 28

2.4 Giải bài toán SMPEC bằng phương pháp Monte-Carlo 32

2.4.1 Tổng quan về phương pháp Monte-Carlo 32

2.4.2 Thuật toán Monte-Carlo tổng quát giải bài toán SMPEC 34

LỜI MỞ ĐẦU

Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) rađời vào nhưng năm 1960, gắn liền với các công trình của G Stampacchia,J.L Lions và G Fichera Hiện nay, bài toán bất đẳng thức biến phân đãphát triển thành nhiều dạng khác nhau, ví dụ như bất đẳng thức biếnphân véctơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân,bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng

Bài toán này đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà toán học

vì các mô hình của nó chứa nhiều bài toán quan trọng của một số lĩnhvực khác nhau trong toán học như tối ưu hóa, lý thuyết trò chơi, cần bằngNash, cần bằng mạng lưới giao thông, cân bằng hệ thống điện,

Các tác giả có những đóng góp cho sự phát triển của bài toán này là

Lê Dũng Mưu, G.T Chen và Nguyễn Đông Yên, A Shapiro, M Florian,

F Giannessi, M Patriksson và L Wynter, A Evgrafov, P Daniele, PhanQuốc Khánh và Nguyễn Xuân Hải, QuingZhi Yang, Shu-Cherng Fang,Fukushima,

Trong những năm gần đây, bài toán mở rộng của bài toán bất đẳngthức biến phân là bài toán cân bằng đã thu hút được nhiều sự quan tâmcủa nhiều nhà toán học chẳng hạn như A Shapiro [13], M Patriksson và

L Wynter [12], A Evgrafov [11], Việc nghiên cứu bài toán này nhằmphát hiện những tính chất của nó và thuật toán để giải vẫn đang là vấn

đề thời sự có ý nghĩa khoa học và thực tiễn rộng lớn Chính vì vậy, chúngtôi chọn đề tài nghiên cứu:"Một lớp bất đẳng thức biến phân trongbài toán quy hoạch ngẫu nhiên và ứng dụng"

Luận văn được trình bày trong hai chương:

• Chương 1, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở.

Trong chương này các nội dung được trình bày bao gồm: một số vấn

đề về tập lồi và nón lồi, về ánh xạ đa trị, về bất đẳng thức biến phân

và bài toán quy hoạch, về một số vấn đề cơ sở của lý thuyết Xác suất

và các định lý, kết quả cơ bản liên quan đến luận văn

• Chương 2, là nội dung chính của luận văn

Trong chương này chúng tôi đi vào trình bày tổng quan về bài toánquy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân bằng (SMPEC), một số tínhchất của bài toán (SMPEC), về hàm kỳ vọng và tính chất của nó, sửdụng phương pháp Monte-Carlo để giải bài toán (SMPEC)

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới

sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, Người đã dành cho tôi nhiều thời gian quýbáu, sự quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn tận tình cho tác giả hoàn thành luậnvăn này

Nhân dịp này tác giả xin trân trọng gởi lời cảm ơn chân thành tớiPGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Phan Đức Thành, TS NguyễnTrung Hòa, các thầy cô giáo trong tổ Xác suất Thống kê và Toán ứngdụng, Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau đại học, các bạn học viên Cao họckhóa 16, 17 đã nhiệt tình giúp đỡ, góp ý cho tác giả trong quá trình họctập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn này

Qua đây tác giả cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành tới Sở Giáo dục vàĐào tạo, Sở Tài chính tỉnh Đồng Tháp, Trường THPT Châu Thành 2, giađình và đồng nghiệp đã động viên, quan tâm và tạo điều kiện tốt nhất chotác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Vinh, ngày 19 tháng 12 năm 2010

Tác giảNgô Quang Anh

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

được gọi là đoạn thẳng nối hai điểm đã cho

Chú ý: Nếu ký hiệu λ1 = λ, λ2 = 1 − λ thì 0 ≤ λ ≤ 1 và đoạn thẳng nối

x(1), x(2) sẽ là

x(1)x(2) = nx ∈ Rn : x = λx(1)+ (1 − λ)x(2), 0 ≤ λ ≤ 1o

Đoạn thẳng x(1)x(2) được gọi là thuộc (hay nằm trọn trong) tập hợp M

nếu mỗi điểm x ∈ x(1)x(2) thì x ∈ M

Tập hợp lồi TậpM ⊂ Rn được gọi là tập hợp lồi (hay nói gọn là tập lồi)nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc M nằm trọn trong M Nghĩa

là với

x(1), x(2) ∈ M, x = λx(1) + (1 − λ)x(2), 0 ≤ λ ≤ 1,

thì x ∈ M

1.1.2 Nón lồi

Định nghĩa 1.1 Tập con K của Rn được gọi là một nón có đỉnh tại

x(0) ∈ K nếu với x ∈ K và số thực λ > 0, ta có x(0) + λ(x − x(0)) ∈ K,nghĩa là nếu x ∈ K thì K chứa cả nửa đường thẳng nối x(0) với x Điểmgốc 0 có thể thuộc hoặc không thuộc K

Nếu K là nón chứa gốc 0, thì 0 là đỉnh của nó (nón nhọn có mũi tai 0).Nếu K là tập lồi thì ta nói K là nón lồi

Định lý 1.1 Tập con K của Rn là nón lồi có đỉnh tại gốc 0 khi và chỉkhi với mọi x, y ∈ K và mọi số λ > 0 ta có λx ∈ K và x + y ∈ K

Hệ quả 1.1.1 Tập con K của Rn là nón lồi khi và chỉ khi K chứa tất

cả các tổ hợp tuyến tính dương của các phần tử của K, nghĩa là nếu

x1, , xm ∈ K, λ1, , λm > 0 thì Pm

i=1λixi ∈ K

Hệ quả 1.1.2 Giả sử A là tập bất kỳ trong Rn, K là tập tất cả các tổhợp tuyến tính dương của A Khi đó, K là nón lồi nhỏ nhất chứa A

Định nghĩa 1.2 Cho A là tập lồi thuộc Rn, khi đó nón lồi mũi 0 nhỏnhất chứa A được gọi là nón lồi sinh bởi A, ký hiệu là KA.

Chúng ta có thể chứng minh được rằng:

KA = {λx : x ∈ A, λ > 0}

Định nghĩa 1.3 Cho M là tập lồi thuộc Rn, véctơ z 6= 0 được gọi

là phương lùi xa của M nếu với ∀x ∈ M và ∀λ ≥ 0, ta có x + λz ∈ M

Từ định nghĩa trên, có thể kiểm tra thấy rằng: Tập K tất cả các phươnglùi xa của tập lồi M cùng với véctơ 0 là một nón lồi Nón K được xác địnhnhư vậy gọi là nón lùi xa của M và ký hiệu là recM

Định nghĩa 1.4 Cho M là tập lồi đóng thuộc Rn, véctơ z 6= 0 được gọi

là pháp tuyến của M tại x ∈ M nếu với mọi y ∈ M ta có:

hz, y − xi ≤ 0

Tập tất cả các véctơ pháp tuyến của tập lồi M tại x ∈ M lập thành nónlồi đóng, ký hiệu là NM(x) Nón NM(x) được gọi là nón pháp tuyến haynón chuẩn.

Như vậy nón chuẩn được xác định là

1.2 Hàm lồi

Định nghĩa 1.5 Cho M ⊂ Rn, f : M → R ∪ {±∞} Trên đồ thị(epigraph) của hàm f, ký hiệu là epif, được định nghĩa như sau:

epif = {(x, r) ∈ M ×R : f (x) ≤ r}

Định nghĩa 1.6 Miền hữu hiệu (effective domain) của hàm f, ký hiệu

là domf, được định nghĩa như sau:

domf = {x ∈ M : f (x) < +∞}

Định nghĩa 1.7 Hàmf được gọi là chính thường(proper), nếudomf 6= ∅

và f (x) > −∞, ∀x ∈ M

Định nghĩa 1.8 Hàm f được gọi là hàm lồi trên M (convex on M) nếu

epif là tập lồi trong M ×R Nếu f là hàm lồi thì g = −f được gọi là hàmlõm (concave)

Nhận xét 1.1 Hàm f lồi trên M thì domf lồi

Thật vậy, domf là hình chiếu trên Rn của epif:

Định nghĩa 1.9 ChoX, Y là các không gian định chuẩn ChoF : X ⇒ Y

là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y (được ký hiệu

là 2Y) Ta nói F là ánh xạ đa trị (set-valued mapping) từ X vào Y.Như vậy, với mỗi x ∈ X, F (X) là một tập con của Y Không loại trừ khả

năng là với mỗi phần tử x ∈ X nào đó ta có F (X) là tập rỗng.

Nếu với mỗi phần tử x ∈ X tập F (X) chỉ gồm một phần tử của Y thì tanói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y Khi đó, thay cho ký hiệu F : X ⇒ Y

người ta sử dụng ký hiệu quen thuộc F : X −→ Y

Định nghĩa 1.10 Ta nói F là nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu vớimọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của x saocho

Định nghĩa 1.13 Ánh xạ đơn trị f : X → Y thỏa mãn điều kiện

f (x) ∈ F (x) với mọi x ∈ X được gọi là một lát cắt của F Nếu f là ánh

xạ đo được thì ta nói nó là một lát cắt đo được (measurable selection) của

F

Định nghĩa 1.14 Giả sử x ∈ int(domF ), F là ánh xạ đa trị từ X vào

Y, B(x, δ) hình cầu đóng có tâm x bán kính δ, BY hình cầu đơn vị đóngtrong Y

Ta nói F là Lipschitz địa phương tại x (locally Lipschitz at x), nếu tồn tại

l > 0 và δ > 0 sao cho

F (x(2)) ⊂ F (x(1)) + lkx(2) − x(1)kBY, (1.2)với mọi x(1), x(2) ∈ B(x, δ)

Trong trường hợp F (x) = {f (x)} là ánh xạ đơn trị, bao hàm thức (1.2)trở thành

f (x(2)) ∈ f (x(1)) + lkx(2) − x(1)kBY

Nếu tồn tại l > 0 và δ > 0 sao cho tính chất đó nghiệm đúng với mọi

x ∈ B(x, δ), thì ta nói ánh xạ đơn trị f là Lipschitz địa phương tại x.Định nghĩa 1.15 (Robinson 1979) Ta nói F là Lipschitz trên địa phươngtại x ∈ dom(F ) (locally upper Lipschitz ), nếu tồn tại l > 0 và δ > 0 saocho

F (x) ⊂ F (x) + lkx − xkBY, (1.3)với mọi x ∈ B(x, δ)

Trong trường hợp F (x) = {f (x)} là ánh xạ đơn trị, bao hàm thức (1.3)trở thành

f (x) ∈ f (x) + lkx − xkBY

Nếu tồn tại l > 0 và δ > 0 sao cho tính chất đó nghiệm đúng với mọi

x ∈ B(x, δ), thì ta nói ánh xạ đơn trị f là Lipschitz trên địa phương tại x

1.4 Bất đẳng thức biến phân và bài toán quy hoạch

1.4.1 Bất đẳng thức biến phân

Cho tập hợp M ⊂ Rn là tập lồi đóng khác rỗng và ánh xạ F : M →Rn.Khi đó bất đẳng thức:

hF (x∗), y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ M (1.4)được gọi là bất đẳng thức biến phân và x∗ được gọi là nghiệm của bất đẳngthức biến phân

Trong nhiều bài toán thực tế thường dẫn tới bất đẳng thức biến phân

đã nêu Khi hàm f khả vi, một trong những sự thể hiện của F (x∗) là

F (x∗) = ∇xf (x∗) Nếu f là hàm lồi xác định trên M thì việc tìm nghiệmcủa bất đẳng thức biến phân tương đương với việc tìm cực tiểu hàm f xácđịnh trên M

1.4.2 Bài toán quy hoạch và bất đẳng thức biến phân

Xét bài toán quy hoạch lồi

min {f (x) : x ∈ M } ,

trong đó f (x) là hàm lồi chính thường, M là tập lồi đóng

Định lý 1.4 Cho hàm lồi chính thường f : Rn → [−∞, +∞] và tập lồi

M ⊂ int(domf ) Khi đó

x∗ ∈ arg min{f (x) : x ∈ M } ⇔ O ∈ ∇xf (x∗) + NM(x∗),

trong đó NM(x∗) là nón pháp tuyến của M tại x∗

Chứng minh Ta biết rằng nếu f đã cho là hàm lồi chính thường, khả vivới mọi x ∈ M thì

Ngược lại, giả sử x∗ là điểm cực tiểu của hàm f trên M, ta xét 2 tập

E = {(t, y) ∈ R×Rn : t > f (y) − f (x∗), ∀y ∈ M } ; G = {O} × M

Có thể thấy rằng E và G là các tập lồi Nếu E ∩ G 6= ∅, tức là tồn tại

điểm (O, y) ∈ E và y ∈ M, lúc đó theo E ta có t > f (y) − f (x∗), ∀y ∈ M,

tức là x∗ không phải điểm cực tiểu Vậy E ∩ G = ∅, theo định lý tách, có

điểm O 6= (u0, u) ∈ R×Rn sao cho

u0t + hu, yi ≤ hu, si, ∀(t, y) ∈ E, ∀s ∈ M

Từ đó theo [7] đã chỉ ra được

hu, y − x∗i ≤ f (y) − f (x∗), ∀y ∈ M

Điều đó chứng tỏ u ∈ ∇xf (x∗) Mặt khác cho y = x∗ trong f (y) − f (x∗),

ta được hu, x∗ − yi ≤ 0, ∀y ∈ M Điều đó chứng tỏ u ∈ −NM(x∗)

Như vậy ta đã chỉ ra sự tồn tại p = u ∈ ∇xf (x∗) ∩ (−NM(x∗)) Do đó

O ∈ ∇xf (x∗) + NM(x∗)

Đó là điều phải chứng minh

Định lý 1.5 Cho hàm lồi chính thường f : Rn → [−∞, +∞] và tập lồi

M ⊂ int(domf ) x∗ ∈ int(M ) là điểm cực tiểu của hàm f khi và chỉ khi

Định lý chứng minh xong

Định lý 1.6 Cho hàm lồi f, khả vi xác định trên tập hợp lồi M ⊂ Rn,điều kiện cần và đủ để hàm f đạt cực tiểu toàn cục tại x∗ ∈ M là

h∇f (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ M (1.5)Chứng minh Điều kiện cần Giả sử x∗ là điểm cực tiểu toàn cục của hàmlồi f Ta cần chứng minh (1.3) Bằng phản chứng, giả sử ngược lại,

h∇f (x∗), x − x∗i < 0, ∀x ∈ M

Do s = x − x∗ là hướng chấp nhận được từ x∗, nên theo nhận xét trên,bất đẳng thức trên chứng tỏ s là hướng giảm từ x∗ Điều đó cũng có nghĩarằng tồn tại λ0 > 0, sao cho y = x∗ + λ0(x − x∗) ∈ M mà

f (x∗) > f (y)

Mâu thuẫn với x∗ tối ưu toàn cục

Điều kiện đủ Theo định lý 1.3 của hàm lồi ta có:

thì điều đó nói lên rằng

0 ≤ f (y) − f (x∗), ∀y ∈ M,hayf (x∗) ≤ f (y), ∀y ∈ M,

nghĩa là x∗ là phương án tối ưu

Đó là điều phải chứng minh

1.5 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất

1.5.1 σ-đại số và σ-đại số Borel

Định nghĩa 1.16 Giả sử Ω 6= ∅ và P(Ω) là họ tất cả các tập con của

Ω Mỗi họ C ⊂ P(Ω) sẽ được gọi là một lớp

Lớp F ⊂ P(Ω) được gọi là một σ-đại số nếu:

1.5.2 Không gian xác suất

Giả sử (Ω, F ) là một không gian đo Một ánh xạ P : F → R được gọi

là độ đo xác suất trên F nếu

i P(A) ≥ 0 với ∀A ∈ F (tính không âm),

ii P(Ω) = 1 (tính chuẩn hóa),

iii Nếu An ∈ F (n = 1, 2, 3, ), Ai ∩ Aj = AiAj = ∅ (i 6= j) thì

P(S∞

n=1An) =P∞

n=1P(An) (tính cộng tính đếm được)

Khi đó bộ ba (Ω, F ,P) được gọi là không gian xác suất

1.5.3 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.18 Giả sử(Ω, F ,P) là không gian xác suất,G là σ - đại sốcon củaσ- đại số F Khi đó ánh xạ X : Ω →R được gọi là biến ngẫu nhiên

G- đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi B ∈ B(R)

thì X−1(B) ∈ G)

Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F- đo được, thì

X được gọi một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên

1.5.4 Hàm phân phối

Định nghĩa 1.19 Giả sử (Ω, F ,P) là một không gian xác suất,

X : Ω −→ R là biến ngẫu nhiên Khi đó, hàm số

FX(x) = P(X < x) = P(ω : X(ω) < x)

được gọi là hàm phân phối của X

Nhận xét 1.2 FX(x) = PX−1(−∞, x) = PX[(−∞, x)]

1.5.5 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.20 Giả sử X : (Ω, F ,P) → (R, B(R)) là biến ngẫu nhiên.Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là

−∞

f (x)p(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ p(x)

6 (Định lý P Levi về hội tụ đơn điệu) Nếu Xn ↑ X (tương ứng Xn ↓ X)

và tồn tại n để EXn− < ∞ (tương ứng EXn+ < ∞), thì EXn ↑ EX (tươngứng EXn ↓ EX)

Nếu |Xn| 6 Y với mọi n> 1 và EY < ∞ thì

ElimXn 6 limEXn 6 limEXn 6 ElimXn

8 (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |Xn| 6 Y với mọi n > 1,

EY < ∞ và Xn → X thì X khả tích, E|Xn− X| → 0 và EXn → EX (khi

n → ∞)

Định nghĩa 1.21 Giả sử X là biến ngẫu nhiên Khi đó, số

DX := E(X −EX)2 (nếu tồn tại) được gọi là phương sai của X

Chú ý Từ định nghĩa trên và tính chất của kỳ vọng, suy ra rằng phươngsai DX của biến ngẫu nhiên X có thể tồn tại hoặc không tồn tại và nếutồn tại thì có thể được tính theo công thức

R

−∞

(x −EX)2p(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ là p(x)

n − p

n(A)

n − p

n(A)

n − p

...

2.1.2 Bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên

Bất đẳng thức biến phân dạng (1.4) với thông tin liệu đầy

đủ gọi bất đẳng thức biến phân tất định Trong thực tế, nhiều bàitốn dẫn đến... nhiều bàitốn dẫn đến việc tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân thôngtin liệu lại phụ thuộc vào đại lượng ngẫu nhiên Khi ta c? ?bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên Trong luận văn này, muốn

1.6 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên< /p>

Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên (SP) - (Stochastic Programming) códạng

aij