Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học giải toán đại số 10

CAO THỊ SAO MAI RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 10 Chuyên ngành: Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán... Thực trạng của

CAO THỊ SAO MAI

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC

GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 10

Chuyên ngành: Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Nguyễn Đinh Hùng Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy - người đã trực tiếp tận tình giúp đỡ tác giả hoàn thành Luận văn

Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Lý luận

và Phương pháp dạy học bộ môn Toán, trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện Luận văn

Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên để tác giả thêm nghị lực hoàn thành Luận văn này

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó !

Dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Tác giả rất mong nhận được những ý kiến, nhận xét của các thầy cô giáo và bạn đọc

Vinh, tháng 12 năm 2010

Tác giả

Cao Thị Sao Mai

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU - 1 -

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - 1 -

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - 3 -

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - 4 -

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC - 4 -

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - 4 -

6 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN - 5 -

7 CẤU TRÚC LUẬN VĂN - 5 -

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN - 7 -

1.1 Một số vấn đề về tư duy - 7 -

1.1.1 Khái niệm - 7 -

1.1.2 Đặc điểm của tư duy - 7 -

1.1.3 Các thao tác tư duy - 10 -

1.1.4 Một số loại hình tư duy toán học - 11 -

1.2 Tư duy thuật giải - 12 -

1.2.1 Thuật giải và quy tắc tựa thuật giải - 12 -

1.2.2 Tư duy thuật giải - 23 -

1.3 Sự cần thiết của việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh ở trường phổ thông - 26 -

1.4 Một số yếu tố của tư duy thuật giải trong môn Toán - 27 -

1.4.1 Thực hiện thuật giải - 27 -

1.4.2 Xây dựng thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải - 32 -

1.4.3 Tư duy thuật giải được rèn luyện, phát triển khi dạy học những tình huống điển hình 33

-1.5.1 Vai trò của việc rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải trong dạy

học Toán ở trường phổ thông - 39 -

1.5.2 Những tư tưởng chủ đạo để phát triển tư duy thuật giải trong dạy

học Toán - 40 -

1.6 Thực trạng của vấn đề phát triển và rèn luyện tư duy thuật giải cho học

sinh trong dạy học môn Toán nói chung và Đại số 10 nói riêng (khảo sát tại

một số trường Trung học phổ thông ở Nghệ An) - 42 -

1.7 Kết luận chương 1 - 44 -

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG KHI DẠY HỌC GIẢI TOÁN ĐẠI

SỐ 10 - 45 -

2.1 Phân tích nội dung kiến thức Đại số 10 trong Chương trình môn Toán

Trung học Phổ thông - 45 -

2.1.1 Chương trình Toán 10 (nâng cao) được quy định theo khung chương trình

của Bộ Giáo dục và Đào tạo, quy định theo Sách giáo khoa Đại số 10 - 45 -

2.1.2 Chương trình Toán 10 (Cơ bản) được quy định theo khung chương

trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, quy định theo Sách giáo khoa Đại số 10 - 46 -

2.2 Một số quan điểm chủ đạo nhằm rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải

cho học sinh trong dạy học Đại số 10 - 47 -

2.2.1 Quan điểm 1: Trong quá trình truyền thụ tri thức toán học cần quan tâm

xây dựng các quy trình dạy học - 47 -

2.2.2 Quan điểm 2: Chú ý thích đáng việc truyền thụ những tri thức

phương pháp về tư duy thuật giải trong khi tổ chức, điều khiển tập luyện

các hoạt động 69

-trong khi dạy học Đại số 10 - 87 -

2.2.4 Quan điểm 4: Chú ý sử dụng hợp lí hình thức dạy học phân hóa trong quá trình rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh……… - 115-

2.4 Kết luận chương 2 - 124 -

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM - 125 -

3.1 Mục đích thực nghiệm - 125 -

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm - 125 -

3.3 Tổ chức thực nghiệm………- 125 -

3.4 Nội dung thực nghiệm - 126 -

3.5 Đánh giá kết quả thực nghiệm - 131 -

3.5.1 Về phương pháp và khả năng lĩnh hội của học sinh - 131 -

3.5.2 Về kết quả các bài kiểm tra thực nghiệm sư phạm - 132 -

3.6 Kết luận chung về thực nghiệm - 133 -

KẾT LUẬN - 134 -

Công trình đã công bố……… -135 -

TÀI LIỆU THAM KHẢO - 135 -

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Với sự phát triển của đất nước trong giai đoạn hiện nay, công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa được đặc biệt quan tâm Để đáp ứng được yêu cầu đặt ra cần có nguồn nhân lực có đủ khả năng, trình độ làm chủ công cụ lao động trong nền sản xuất tự động hóa Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam (khóa IV, 1993) nêu r : Mục tiêu giáo dục – đào tạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thể hiện mục tiêu lớn của đất nước Trước tình hình đó, ngành giáo dục cần thay đổi phương pháp đào tạo để phù hợp trong giai đoạn hiện nay Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997): Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học T ng bước áp dụng những phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu…

Luật giáo dục năm 2005 quy định: Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của t ng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Cho thấy việc tích cực, chủ động trong học tập là rất cần thiết giúp rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn Muốn chủ động cần phải định hướng, tìm ra phương pháp hoạt động thích hợp để giải quyết vấn đề

1.2 trường phổ thông, việc tìm và vận dụng phương pháp để học sinh đơn giản hóa cách nhìn nhận vấn đề là hết sức cần thiết đặc biệt là bộ môn toán

Môn toán là một môn học công cụ cung cấp kiến thức, kỹ năng, phương pháp, góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động mới làm chủ tập thể Môn toán có vai trò rất quan trọng, nó giúp học sinh có được cơ sở cần thiết để học tốt các môn học khác Vì vậy việc dạy học Toán có hiệu quả s quyết định đến chất lượng chung của ngành giáo dục Toán học là khoa học suy diễn, mang tính tr u tượng cao Do vậy, bên cạnh việc rèn luyện cho học sinh tính

tự giác, tích cực, sáng tạo cần rèn luyện cho học sinh những thao tác, cách thức giải quyết vấn đề theo quy trình, có tính thuật giải là rất cần thiết

1.3 Tư duy thuật giải có vai trò quan trọng Trường phổ thông đặc biệt trong dạy học toán Trong môn toán, có nhiều dạng toán được giải quyết nhờ thuật giải, tựa thuật giải Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạng toán có thuật giải, có qui tắc giải, được phân thành các bước để giải thì học sinh lĩnh hội tri thức một cách dễ dàng hơn Thông qua các bước hoạt động, yêu cầu bài toán được giảm dần phù hợp với trình độ của học sinh, nó là định hướng để học sinh giải quyết bài toán đó

Qua việc tìm tòi thuật giải, qui tắc tựa thuật giải để giải t ng bài toán,

t ng dạng toán, s góp phần thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho học sinh như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, tương tự hoá,…Hơn nữa, còn hình thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thận chi tiết, tính linh hoạt, tính độc lập, sáng tạo, kích thích sự ham muốn khám phá,…các phẩm chất tốt đẹp của người lao động như: Tính ngăn nắp cẩn thận, tính kỷ luật, ý thức tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc… Mặt khác qua đó t ng bước giúp học sinh thích nghi được yêu cầu của xã hội, của đất nước đang trên con đường công nghiệp hoá hiện đại hoá, đáp ứng yêu cầu của con người mới trong nền sản xuất tự động hoá và bối cảnh công nghệ thông tin, tin học đang có ảnh hưởng mạnh m , sâu rộng tới mọi lĩnh vực của cuộc sống

Tuy nhiên ở Trường phổ thông hiện nay, vấn đề rèn luyện và phát triển tư

duy thuật giải chưa được quan tâm đúng mức, chỉ diễn ra một cách tự phát,

chưa có sự chỉ đạo và tài liệu hướng dẫn giáo viên thực hiện Do đó, giáo viên

chưa thành thạo trong việc khai thác các tình huống, các nội dung dạy học

nhằm rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải cho học sinh

Khi dạy một nội dung toán học, ngoài việc giúp học sinh nắm vững nội

dung đó, ta cần giúp học sinh biết vận dụng nó để học và giải quyết các bài

tập, các nội dung khác có liên quan

1.4 Số các công trình nghiên cứu về phát triển tư duy thuật giải còn

tương đối ít, trong các công trình đó có thể kể tới luận án tiến sĩ của

Vương Dương Minh: “Ph i h gi i h i h g hi

h h h g g h h g luận án tiến sĩ của Bùi Văn Nghị: “V ụ g h và vi x đị h hì h đ gi i

bài hì h h h g gi g h h g g h 6 luận văn

thạc sĩ của Chu Hương Ly: Góp phần phát tri n t duy thu t gi i cho h c sinh

trung h c ph thông thông qua d y h c một s nội dung ph ơng trình"7

(2007); luận văn thạc sĩ của Dương Văn Kha:“Ph i h h

h i h h g h hì h h h g gi

Các công trình đã đề cập đến nội dung kiến thức: Hệ thống số, hình học

không gian, phương trình mà chưa đề cập đến nội dung kiến thức Đại số 10

T những sự phân tích trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của

luận văn là: “Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh Trung học phổ thông

trong dạy học giải Toán Đại số 10”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích nghiên cứu của luận văn là rèn luyện tư duy thuật giải cho học

sinh khi dạy học chủ đề Đại Số 10 Trung học phổ thông

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:

3.1 Tư duy thuật giải là gì? Tại sao cần phải phát triển tư duy thuật giải cho học sinh?

3.2 Để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh cần dựa trên những cơ

3.5 Kết quả thực nghiệm sư phạm là như thế nào?

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu quan tâm đúng mức và tiến hành hợp lí việc rèn luyện tư duy thuật

giải cho học sinh Trung học phổ thông khi dạy học giải toán Đại số 10 thông

qua một số quan điểm chủ đạo thì s góp phần phát triển tư duy thuật giải, kỹ

năng, năng lực giải toán, nâng cao hiệu quả giảng dạy môn Toán ở Trường phổ thông

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phương pháp giảng dạy môn Toán, các tài liệu về Tâm lí học và Giáo dục học, Sách giáo khoa, Sách giáo viên, các tài liệu tham khảo có liên quan để làm điểm tựa đề xuất các biện pháp rèn luyện

tư duy thuật giải cho học sinh

5.2 Phương pháp điều tra quan sát

+ Điều tra chất lượng học sinh trước và sau khi thử nghiệm

+ Quan sát giờ dạy để tìm hiểu thực trạng về việc rèn luyện tư duy thuật giải của giáo viên và học sinh

+ Trao đổi kinh nghiệm với một số giáo viên về vấn đề phát triển và rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh ở trường phổ thông

5.3 Thực nghiệm sư phạm

Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính hiệu quả của các quan điểm chủ đạo mà luận văn đề ra về rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh

6 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

6.1 Hệ thống cơ sở lý luận cho việc phát triển tư duy toán học cho học sinh 6.2 Xây dựng các quan điểm chủ đạo nhằm phát triển và rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh trong việc giải toán Đại số 10

6.3 Kết quả nghiên cứu của luận văn là tài liệu tham khảo cho giáo viên toán trung học phổ thông

7 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Ngoài phần Mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm có ba chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Một số vấn đề về tư duy

1.2 Tư duy thuật giải

1.3 Sự cần thiết của việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh Trung học phổ thông

1.4 Một số yếu tố của tư duy thuật giải trong dạy học môn Toán

1.5 Vấn đề rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải trong môn Toán ở

trường phổ thông

1.6 Thực trạng của vấn đề phát triển và rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy học môn Toán nói chung và Đại số 10 nói riêng (khảo sát tại một số trường Trung học phổ thông ở Nghệ An)

1.7 Kết luận chương 1

Chương 2: Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học giải toán Đại số 10

2.1 Phân tích nội dung kiến thức Đại số 10 trong Chương trình môn Toán Trung học Phổ thông

2.2 Một số quan điểm chủ đạo nhằm rèn luyện và phát triển tư duy thuật

giải cho học sinh trong dạy học Đại số 10

3 4 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.5 Kết luận chung về thực nghiệm

Kết luận

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Một số khái niệm cơ bản liên quan đến việc phát triển và rèn luyện tư duy, tư duy thuật giải

1.1 Một số vấn đề về tư duy

1.1.1 Khái niệm

Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những bản chất, những mối quan hệ có tính chất qui luật của sự vật hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết (Trần Thúc Trình 1998, tr.1)

mức độ nhận thức cảm tính, con người chỉ phản ánh các thuộc tính ở góc độ trực quan, cụ thể, bề ngoài, các mối quan hệ về mặt không gian, thời gian và trạng thái vận động của sự vật hiện tượng, phản ánh trực tiếp bằng giác quan cái đang tác động Còn tư duy thường bắt đầu t nhận thức lí tính, trên cơ

sở của nhận thức cảm tính Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, những mối quan hệ có tính chất qui luật của hàng loạt sự vật hiện tượng, những điều

mà con người chưa biết cần phải tìm tòi, khám phá và giải quyết

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Tư duy thuộc mức độ nhận thức lý tính, nó có những đặc điểm cơ bản sau:

- Tính có vấn đề của tư duy: Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống có vấn đề Tức là những tình huống chứa đựng một mục đích một vấn đề mới mà những hiểu biết cũ, phương pháp hành động cũ không đủ sức giải quyết Để đạt được mục đích mới đó con người phải tìm cách thức mới để giải quyết nghĩa là phải tư duy Nhưng hoàn cảnh có vấn đề đó phải được cá nhân nhận thức một cách đầy đủ, chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân, tức là cá nhân phải xác định cái gì đã cho, cái gì cần tìm và phải có động

cơ tìm kiếm các yếu tố đó

- Tính gián tiếp của tư duy: Con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy, nhờ ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức(quy tắc công thức, quy luật, khái niệm,…) vào quá trình tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát,…) để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật hiện tượng Nhờ

đó mở rộng không giới hạn những khả năng nhận thức của con người

- Tính tr u tượng và khái quát của tư duy:

Tư duy không phản ánh sự vật hiện tượng một cách cụ thể, riêng lẻ mà có khả năng tr u xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cá biệt cụ thể chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất chung cho nhiều sự vật và hiện tượng T đó khái quát những sự vật, hiện tượng riêng lẻ có những thuộc tính bản chất chung thành một nhóm, một loại, một phạm trù Tính tr u tượng và khái quát của tư duy giúp con người không những giải quyết được nhiệm vụ ở hiện tại mà còn có thể giải quyết được nhiệm vụ ở tương lai

- Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: X.L.Rubinstein khẳng định Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy tr u tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr 9)

Tư duy thường bắt đầu t nhận thức cảm tính, trên cơ sở đó mà nảy sinh tình huống có vấn đề

Tư duy và những kết quả của nó ảnh hưởng mạnh m , chi phối khả năng phản ánh của nhận thức cảm tính, làm cho con người nhạy bén hơn, tri giác

mang tớnh lựa chọn, tớnh ý nghĩa Ph.Angghen đó viết: Nhập vào với con mắt của chỳng ta chẳng những cú cỏc cảm giỏc khỏc mà cũn cú cả hoạt động tƣ duy của ta nữa

- Tƣ duy là một quỏ trỡnh: tƣ duy đƣợc xột nhƣ một quỏ trỡnh, nghĩa là tƣ duy cú nảy sinh, diễn biến và kết thỳc Quỏ trỡnh tƣ duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau đƣợc minh hoạ bởi sơ đồ (do K K Plantụnụv đƣa ra):

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên t-ởng

Sàng lọc liên t-ởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Giải quyết vấn đề Hoạt động t- duy mới

Sơ đồ 1

(Dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr 10)

- Quỏ trỡnh tƣ duy là một hành động trớ tuệ: quỏ trỡnh tƣ duy đƣợc diễn ra

bằng cỏch chủ thể tiến hành những thao tỏc trớ tuệ nhất định Cú rất nhiều thao

tác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hành động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, tr u tượng hoá, khái quát hoá,

1.1.3 Các thao tác tư duy

Về bản chất, tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí tuệ

để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra

Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết với nhau, bổ sung cho nhau tạo thành sự thống nhất không tách rời được

Ví ụ 1: Để tìm công thức tính diện tích của hình bình hành, ta chia hình

bình hành đó thành hai tam giác rồi tính diện tích hai tam giác đó Tổng diện tích hai tam giác là diện tích hình bình hành Như vậy việc phân tích hình bình hành thành hai tam giác sau đó tổng hợp lại đi đến công thức tính diện tích hình bình hành là tích cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng

1.1.3.2 So sánh

So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức

Ví ụ 2: So sánh hai khái niệm: Đường tròn và mặt cầu

Giống nhau: Gồm các điểm M sao cho OM = R

Khác nhau: Đường tròn: Các điểm M cùng thuộc một mặt phẳng Mặt cầu: Các điểm M thuộc không gian

1.1.3.3 Trừu tượng hóa và khái quát hóa

Tr u tượng hóa là quá trình dùng trí óc để gạt bỏ những mặt, những thuộc tính không cần thiết về phương diện nào đó và chỉ giữ lại những yếu tố

cần thiết để tư duy Ví ụ: Khi nói đến hình chóp ta nghĩ đến hình có đáy là đa

giác, đỉnh và các mặt bên là các tam giác, ta không để ý đến các thuộc tính cụ thể như hình chóp đều, hình chóp tam giác, …

Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để bao quát nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính chung nhất định

Ví ụ 3: T các trường hợp hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông

nội tiếp trong đường tròn, có thể khái quát hóa điều kiện để tứ giác nội tiếp trong đường tròn

Tr u tượng hóa và khái quát hóa có mối quan hệ mật thiết với nhau, chi phối và bổ sung cho nhau như mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp nhưng ở mức độ cao hơn

1.1.4 Một số loại hình tư duy toán học

Hoạt động tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy Trong toán học có một

số loại hình tư duy sau:

- Tư duy hình thức và tư duy biện chứng;

- Tư duy phê phán, tư duy giải toán và tư duy sáng tạo;

- Tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp;

- Tư duy thuật giải;

trong những thành phần quan trọng của tư duy toán học Rèn luyện tư duy thuật

giải trong môn toán s góp phần phát triển tư duy toán học cho học sinh

1.2 Tư duy thuật giải

1.2.1 Thuật giải và quy tắc tựa thuật giải

1.2.1.1 Th gi i

Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán t đơn giản đến

phức tạp Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mô tả

quá trình giải T việc mô tả quá trình giải ấy, người ta đi đến khái niệm trực

giác về thuật giải

Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những

chỉ dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và

đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán thành

thông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải của lớp bài toán đó (Nguyễn Bá Kim 2009, tr 376 - 377)

Còn theo (Vương Dương Minh 1996, tr 12) thì: Thuật giải là một quy

tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo

một trình tự xác định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn những

thao tác đó ta thu được kết quả mong muốn

Những khái niệm trên đều thống nhất rằng mỗi thuật giải đều có những

tính chất cơ bản và quan trọng sau:

* Tí h đơ ị

Tính đơn trị của thuật giải đòi hỏi rằng các thao tác trong thuật giải phải

đơn trị Nghĩa là hai phần tử cùng một cơ cấu thực hiện cùng một thao tác trên

cùng một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả Tính chất này nói lên tính

hình thức hoá của thuật giải nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tự

động thực hiện thuật giải thay thế con người

Ví ụ 1: Thuật giải hệ phương trình bậc nhất:

c by ax

Bước 1: Xác định các hệ số: a, b, c, a’, b’, c’

Bước 2: Tính các định thức:

D = ab’- a’b; Dx = cb’- c’b; Dy = ac’- a’c

Bước 3: Kiểm tra điều kiện: D = 0

Nếu đúng thì chuyển sang bước 4 nếu sai chuyển sang bước 5

Bước 4: Kiểm tra: Dx = Dy = 0

Nếu đúng thì kết luận mọi cặp số (x ; y) đều là nghiệm của hệ;

Nếu sai thì kết luận hệ vô nghiệm

Bước 5: Kết luận:

Hệ có nghiệm duy nhất: (x; y) = (Dx Dy; )

D D Trong Ví dụ trên tính đơn trị thể hiện: Chẳng hạn trong mỗi bước nếu ta cho lần lượt t ng học sinh thực hiện các thao tác thì kết quả thu được của các học sinh là như nhau

Xét ví dụ sau:

Ví dụ 2: Quy trình 4 bước để giải một bài toán

Bước 1 Tìm hiểu nội dung bài toán

Bước 2 Tìm đường lối giải toán

Bước 3 Thực hiện chương trình giải toán

Bước 4 Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải

Quy trình này không phải là một thuật giải vì tính đơn trị bị vi phạm Chẳng hạn bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 không được xác định vì người ta có thể hiểu và làm theo nhiều cách khác nhau

T tính đơn trị, ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật giải Bất

kể cơ cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là s đi đến kết quả chứ không cần phải hiểu ý nghĩa của những thao tác này Tính chất này hết sức

quan trọng vì nhờ đó ta có thể giao cho những thiết bị tự động thực hiện thuật

giải, làm một số công việc thay thế cho con người

* Tí h ừ g

Tính d ng của thuật giải yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện các

thao tác đã chỉ ra phải đi đến kết thúc, thu được kết quả như mong muốn

Tính d ng của thuật giải không quy định cụ thể mỗi thuật giải phải có

bao nhiêu bước, điều đó phụ thuộc vào tính chất và độ phức tạp của bài toán

nhưng phải đảm bảo không được lặp lại mãi

Ví ụ 3: Thuật giải tìm ước chung lớn nhất của hai số x, y

Bước 1: Phân tích x, y ra th a số nguyên tố

Bước 2: Tìm th a số nhỏ nhất của số thứ nhất

Bước 3: Kiểm tra xem trong số thứ hai xem th a số nào bằng th a số nhỏ

nhất của số thứ nhất không?

Nếu có chuyển sang bước 4

Nếu không chuyển sang bước 5

Bước 4: Viết riêng th a số đó, xoá th a số đó trong cả hai số

Bước 5: Xóa th a số nhỏ nhất ra khỏi số thứ nhất

Bước 6: Kiểm tra trong th a số thứ nhất còn lại th a số nào chưa xoá không?

Nếu còn thì trở lại: Bước 1 Bước 2 Bước 3 Bước 4 Bước 5 Bước 6

Nếu không chuyển sang bước 7

Bước 7: Nhân tất cả các th a số đã viết riêng Tích của các số đó chính là

ước chung lớn nhất của hai số x và y

Trong thuật giải trên mỗi số x, y chỉ phân tích được thành tích của một số

hữu hạn các th a số nguyên tố

Với các thao tác xóa dần các số nguyên tố trong số x, đảm bảo sau một

số hữu hạn bước trong x, không còn số nguyên tố nào Khi đó thuật giải thu được kết quả mong muốn

Bước 2: Chuyển số hạng tự do sang vế phải: ax = -b

Bước 3: Chia 2 vế của phương trình cho a

Bước 4: Kết luận phương trình có nghiêm duy nhất x =

a

b

2

 (kết thúc)

Các bước giải trên không thoả mãn yêu cầu của một thuật giải Nó không đầy đủ, vì bỏ sót trường hợp a = 0 Khi đó, ta không chia hai vế được cho a Ta cần có bước kiểm tra trường hợp a = 0

* Tí h h ụ g

Thuật giải phải áp dụng được cho một lớp các bài toán có cùng cấu trúc với những dữ liệu cụ thể khác nhau Nhờ tính chất này, người ta sáng tạo ra những thuật giải, rồi t đó xây dựng những chương trình mẫu để giải t ng lớp bài toán

Ví ụ 5: Thuật giải tìm ước chung lớn nhất áp dụng cho mọi cặp số

nguyên (x,y), thuật giải phương trình bậc hai: ax2+ bx + c = 0 (a  0) áp dụng cho mọi phương trình bậc 2

+ Thuật giải dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian + Đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn Đặc biệt trong điều kiện hiện nay khi mà có nhiều phương tiện, kĩ thuật trợ giúp thực hiện các thuật giải

* C hì h hứ bi iễ h gi i

Thuật giải tồn tại dưới nhiều hình thức khác nhau Trong môn toán và trong thực tế người ta thường gặp những hình thức biểu diễn thuật giải sau: Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, sơ đồ khối, ngôn ngữ phỏng trình và các ngôn ngữ lập trình

Ta lấy ví dụ giải phương trình bậc hai: ax2

+ bx +c = 0 (a  0) để minh hoạ cho các hình thức biểu diễn thuật giải

Dạng 1: Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học

Biểu diễn thuật giải theo ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học người

ta sử dụng ngôn ngữ thường ngày và ngôn ngữ toán học để liệt kê các bước của thuật toán Phương pháp biểu diễn này không yêu cầu người viết thuật giải hay người đọc thuật giải phải nắm các quy tắc Tuy nhiên cách biễu diễn thường dài dòng, không thể hiện r cấu trúc thuật giải, thường gây hiểu nhầm hay khó hiểu cho người đọc

+ Nếu  < 0 thì kết luận phương trình vô nghiệm

+ Nếu  > 0 thì chuyển sang bước 4

Bước 4: Kết luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Dạng 2: Sơ đồ khối

Sơ đồ khối là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật giải Biểu diễn thuật giải bằng sơ đồ s giúp người đọc theo dõi được sự phân cấp các trường hợp và quá trình xử lý của thuật giải Phương pháp sơ đồ khối thường được dùng trong những thuật giải có tính rắc rối, khó theo dõi được quá trình xử lý

Để biểu diễn thuật giải theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thao tác: thao tác lựa chọn và thao tác hành động

Hai bước kế tiếp nhau được nối bằng một mũi tên chỉ hướng thực hiện

T thao tác chọn lựa có thể có hai hướng đi, một hướng ứng với điều kiện đúng, một hướng ứng với điều kiện sai

* Điểm cuối

Điểm cuối là điểm khởi đầu và kết thúc của thuật giải, được biểu diễn như sau:

(Có thể thay chữ bắt đầu bởi Star/Begin) (Có thể thay chữ kết thúc bởi End)

Ngoài ra còn có điểm nối, điểm nối sang trang dùng cho thuật giải có sơ

Sơ đồ 2

Sơ đồ mô tả thuật giải một cách trực quan nhưng lại rất cồng kềnh khi phải mô tả những thuật giải phức tạp Một phương pháp khác để biểu diễn thuật toán khắc phục nhược điểm ấy là ngôn ngữ phỏng trình

Dạng 3: Ngôn ngữ phỏng trình

Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và sự phân cấp các trường hợp của thuật giải nhưng lại cồng kềnh Để mô tả thuật giải nhỏ ta phải dùng một không gian rất lớn Hơn nữa, lưu đồ chỉ phân biệt hai thao tác là r nhánh (lựa chọn có điều kiện) và xử lý mà trong trực tế, các thuật giải còn có các lặp

Biểu diễn thuật giải bằng ngôn ngữ phỏng trình là cách biểu diễn sự vay mượn các cú pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó (Pascal, Basic, C,

Bắt đầu

Nhập a,b,c

Pt có 2 nghiệm phân biệt :

A’I

_

C++, ) để thể hiện thuật giải Ngôn ngữ phỏng trình đơn giản, gần gũi với mọi người, dễ học vì nó sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và chưa quá sa đà vào những quy ước chi tiết Mặt khác, nó cũng dễ chuyển sang những ngôn ngữ cho máy tính điện tử vì đã sử dụng một cấu trúc và ký hiệu chuẩn hóa

Ví dụ 6: Thuật giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ phỏng trình

* 2



Else (trường hợp Delta < 0)

Inra: phương trình vô nghiệm

End

Dạng 4: Ngôn ngữ PASCAL

Sau khi biểu diễn thuật giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ phỏng trình như trên, ta mới viết chương trình trong ngôn ngữ cấp cao, chẳng hạn như PASCAL

 Kh i i m ắ ự h gi i

Trong quá trình dạy học, ta thường gặp một số qui tắc chưa mang đủ đặc điểm đặc trưng cho thuật giải, nhưng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏ

rõ hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán Đó chỉ là những qui tắc

có thể coi là tựa thuật giải, được hiểu như là một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của bài toán đó

Theo Nguyễn Bá Kim: Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó (Nguyễn Bá Kim 2009, tr 377)

Ví ụ 7: Quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x)

Bước 1: Cho số gia của đối số tại điểm x là x Tính số gia của hàm số:

Giới hạn (nếu có) của tỉ số trên gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x Trong quy tắc này, học sinh dễ hình dung và nắm được quy tắc, các bước tiến hành để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x Tuy nhiên có những chỉ dẫn chưa mô tả một cách xác định công việc, chẳng hạn: chỉ dẫn ở bước 3 về

nhưng vẫn không tìm được đạo hàm của hàm số cụ thể, mặc dù giới hạn này tồn tại

Nếu sai, chuyển sang bước 5

+ B c 5: xét xem f(x) =  f(x) với mọi x  D hay không?

Nếu đúng, kết luận f(x) là hàm số lẻ

Nếu sai, kết luận f(x) là hàm số không chẵn, không lẻ

Rõ ràng, trong các b c 4 và b c 5, không có một chỉ dẫn nào cho biết

cách thức kiểm tra f(x) =  f(x) hoặc f(x) =  f(x) với mọi x  D được hay không Vì thế, có nhiều trường hợp các bước này không thực hiện được nên bài toán đặt ra ta không giải được

Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với thuật giải như sau:

+ Mỗi hỉ ẫ trong quy ắ đó ó h h m hà h độ g mộ h

x đị h;

+ Kế hự hi mỗi hỉ ẫ h g đơ ị;

+ Quy ắ h g đ m b hắ hắ ằ g mộ hữ h b hì đem i ế à i gi i bài

Mặc dù có một số hạn chế trên so với thuật giải song quy tắc tựa thuật giải cũng vẫn là tri thức phương pháp quan trọng có ích cho quá trình hoạt động

và giải toán

1.2.2 Tư duy thuật giải

Một trong những luận điểm cơ bản của giáo dục học là: Con người phát triển trong hoạt động, học tập diễn ra trong hoạt động

Quan điểm định hướng đổi mới phương pháp dạy học chỉ ra rằng: Phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động và sáng tạo

Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động giao lưu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học Còn học tập là một quá trình xử lý thông tin Quá trình này có các chức năng: đưa thông tin vào, ghi nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều phối Học sinh thực hiện các chức năng này bằng những hoạt động của mình Thông qua hoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tập một cách tự giác, tích cực

Xuất phát t một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên

hệ với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh một số trong những hoạt động đã phát hiện Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với độ phức hợp v a sức họ

Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là tri thức phương pháp Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình hoạt động khác Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức độ nào đó

có thể lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn Do đó cần phân bậc những hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học Trên cơ sở việc phân tích trên về phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động Luận văn được nghiên cứu trong khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng Nội dung của quan điểm này được thể hiện một cách tóm tắt qua những Tư tưởng chủ đạo sau:

* Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động tương thích với nội dung và mục đích dạy học

* Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động

* Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, như phương tiện và kết quả của hoạt động

* Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học (Nguyễn Bá Kim 2009, tr 124)

Tương thích với khái niệm thuật giải ta cần khai thác các dạng hoạt động sau: T1: Thực hiện các thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật giải

T2: Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo một trình tự xác định

T3: Khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ

thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng

T4: Mô tả chính xác một quá trình tiến hành một hoạt động

T5: Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết một công việc

Hoạt động T1 thể hiện năng lực thực hiện thuật giải

Các hoạt động t T2 đến T5 thể hiện năng lực xây dựng thuật giải Cả 5

hoạt động trên đươc gọi là các hoạt động của tư duy thuật giải

Như vậy có thể phát biểu rằng: Tư duy thuật giải là phương thức tư duy

biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động thực hiện và xây dựng thuật giải

(Vương Dương Minh 1996, tr 28)

Khái niệm tư duy thuật giải được xác định như trên là hoàn toàn phù hợp

với những kết quả nghiên cứu về hình thành văn hóa thuật giải Tác giả

Monakhôp đã nêu lên những thành phần của văn hóa thuật giải bao gồm:

- Hiểu bản chất của thuật giải và những tính chất của nó; hiểu bản chất

ngôn ngữ là phương tiện biểu diễn thuật giải

- Nắm vững các phương pháp và các phương tiện biểu diễn thuật giải

- Hiểu tính chất thuật giải của các phương pháp toán học và các ứng

dụng của chúng; nắm vững các thuật giải của giáo trình toán phổ thông

- Hiểu những cơ sở sơ cấp về lập trình cho máy tính điện tử

Như vậy, phát triển tư duy thuật giải là một điều kiện cần thiết góp phần

hình thành và phát triển văn hóa thuật giải cho học sinh (dẫn theo Vương Dương Minh 1996, tr 28 - 29)

T khái niệm về tư duy thuật giải ta thấy rằng để phát triển tư duy thuật

giải cho học sinh trong dạy học toán, giáo viên phải tổ chức, điều khiển các

hoạt động tư duy thuật giải Thông qua hoạt động đó giúp học sinh nắm vững,

củng cố các quy tắc đồng thời phát triển tư duy thuật giải cho học sinh

1.3 Sự cần thiết của việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh ở

trường phổ thông

Trong điều kiện ngày nay, sự hiểu biết của con người luôn đổi mới để

đáp ứng tốc độ phát triển của xã hội Tăng cường rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo

toán học cần thiết trong thực tiễn, giải quyết vấn đề với phương pháp hợp lý,

ngắn gọn, tiết kiệm thời gian, tư duy Vai trò của việc phát triển tư duy thuật

giải cho học sinh trong dạy học toán ở học sinh phổ thông là rất quan trọng và

cần thiết, góp phần phát triển các hoạt động khác của toán học Tác giả Nguyễn Bá Kim đã khẳng định sự cần thiết của việc phát triển tư duy

thuật giải như sau:

- Tư duy thuật giải giúp học sinh hình dung được tự động hóa trong

những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự

ngăn cách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa Nó giúp học sinh thấy được

nền tảng của việc tự động hóa, cụ thể là nhận thức r đặc tính hình thức, thuần

túy máy móc của quá trình thực hiện thuật toán, đó là cơ sở cho việc chuyển

giao một số chức năng của con người cho máy thực hiện

- Tư duy thuật giải giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi

giải bài toán bằng máy tính điện tử Thật vậy, thiết kế thuật giải là một khâu rất

cơ bản của việc lập trình Tư duy thuật giải tạo điều kiện cho học sinh thực hiện

tốt khâu đó

- Tư duy thuật giải giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà

trường phổ thông, r nét nhất là môn Toán Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học

sinh lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo khi học các phép tính trên

những tập hợp số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai,…

- Tư duy thuật giải cũng góp phần phát triển các năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,…và hình thành những phẩm chất của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỷ luật, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra …(Nguyễn Bá Kim 2009, tr 382)

1.4 Một số yếu tố của tư duy thuật giải trong môn Toán

Tư duy thuật giải được rèn luyện ở trường phổ thông thông qua dạy học thực hiện, xây dựng thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải Qua các tình huống điển hình trong dạy học toán Tư duy thuật giải có mặt ở các cấp học, các môn trong bộ môn toán: Khi học môn số học, học sinh được biết các thuật giải tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất … Khi học các Hệ thống số, các quy tắc tính toán, so sánh thường mang tính thuật giải Trong Đại số, học sinh được học các thuật giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc 2, thuật giải hệ phương trình bậc nhất …Trong dạy học giải toán có ứng dụng bất đẳng thức có thể rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh thông qua việc hướng dẫn học sinh phát hiện , xây dựng các thuật giải và quy tắc tựa thuật giải để giải một số bài toán, dạng toán (dạng toán này s được trình bày ở Chương 2)

1.4.1 Thực hiện thuật giải

Trong Chương trình toán phổ thông, học sinh được học, thực hiện nhiều thuật giải như: Thuật giải tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, thuật giải phương trình, hệ phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc nhất với sinx và cosx: asinx + bcosx = c,…

Ví dụ 1: chương trình toán lớp 9, ngay sau khi dạy xong quy tắc giải

phương trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0, (a  0), giáo viên có thể cho học sinh nêu các bước giải phương trình bậc hai như sau:

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c

Bước 2: Tính biệt thức  = b2- 4ac

Bước 3: Xét dấu 

+ Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1= x2 =

a

b x

Hoạt động này nhằm mục đích tập luyện các hoạt động (T2) và (T4) của

tư duy thuật giải cho học sinh

Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau

Bài tập: áp dụng quy tắc giải phương trình bậc hai, hãy giải các phương trình sau:

Mục đích của bài tập này là yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động (T1)

Do đó cần hướng dẫn các em thực hiện đúng theo trình tự các bước đã nêu trong quy tắc Có thể dùng một phần bảng trình bày quy tắc giải phương trình, phần bảng còn lại trình bày lời giải phù hợp với t ng quy tắc Tiến hành nhất quán như vậy trong một thời gian nhất định s hình thành ở học sinh quy tắc giải phương trình bậc hai, đồng thời phát triển ở các em năng lực thực hiện thuật giải

Ví dụ 2: Dạy học sinh quy tắc giải phương trình: ax + b = 0

Để hình thành quy tắc giải phương trình: ax + b = 0, giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải bài tập sau:

Học sinh s không khó khăn lắm khi giải câu (a), nhưng s gặp lúng túng khi giải câu (b) Khi đó tùy thuộc diễn biến tình hình học sinh mà đặt ra những câu hỏi gợi ý như sau:

+ Về nghiệm của phương trình: ax + b = 0 có thể chia thành mấy trường hợp, đó là những trường hợp nào?

(Có 3 trường hợp: có 1 nghiệm duy nhất, vô số nghiệm và vô nghiệm) + Điều kiện nào quyết định đến số nghiệm của phương trình trong t ng trường hợp?

(Có nghiệm duy nhất khi a  0, vô số nghiệm khi a = 0 và b = 0, vô nghiệm khi a = 0, b  0)

+ Hãy nêu các bước giải phương trình: ax + b = 0 một cách tỉ mỉ?

Nếu a = 0, b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

Dạy học khái quát hóa như trên đã dựa trên cơ sở xét đầy đủ các trường hợp riêng (nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm) Một phương án khác

để dạy hoạt động này là trên cơ sở xuất phát t một trường hợp riêng Trường hợp riêng này cần lựa chọn sao cho học sinh dễ mắc sai lầm khi khái quát hóa

t đó Lúc học sinh mắc sai lầm, giáo viên giúp học sinh tự sửa chữa sai lầm là một tình huống sư phạm tốt để lĩnh hội và phát triển tri thức Theo phương án đó thì có thể hình thành quy tắc giải phương trình ax + b = 0 thông qua bài tập sau:

Ví dụ 3: Khi dạy nội dung phương trình, bất phương trình quy về bậc hai,

đối với học sinh khá, giỏi giáo viên có thể yêu cầu học sinh làm bài tập sau:

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0; b x4 - 2x3 + x2 - 2x + 1 = 0;

c x4 + x3 - 4x2 + x + 1 = 0

Đứng trước bài tập này, học sinh s gặp rất nhiều khó khăn bởi vì học sinh mới chỉ gặp phương trình bậc 4 trùng phương Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải bài tập bằng các câu hỏi định hướng sau đối với phương trình (a)

+ Xét xem x = 0 có là nghiệm của phương trình không?

+ Hãy chia cả hai vế của phương trình cho x2 ≠ 0 Nêu đặc điểm của phương trình mới nhận được?

Ta mong đợi học sinh trả lời: (a)  2 2 3 16 3 22 0

x x x

Phương trình mới có đặc điểm: 1 1 2

+ Để giải phương trình ta làm thế nào?

Ta mong đợi học sinh trả lời: Đặt   1  2  12 t2 2

x

x x x

Cuối cùng giáo viên cho học sinh tiếp tục giải phương trình và các phương trình còn lại khi học sinh giải xong giáo viên có thể nêu câu hỏi nhằm giúp học sinh giải bài toán tổng quát như sau:

+ Hãy nêu đặc điểm các hệ số trong mỗi phương trình?

Ta mong học sinh trả lời: phương trình (a) các hệ số đối xứng qua hệ

số (-16), phương trình (b) các hệ số đối xứng qua hệ số (1), phương trình (c) các hệ số đối xứng qua hệ số (- 4)

+ T đặc điểm đó hãy nêu phương trình dạng tổng quát?

Ta mong đợi học sinh trả lời:

Phương trình dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, với a ≠ 0 + T cách giải các phương trình (a), (b), (c) hãy nêu thuật giải giải phương trình trên?

Ta mong đợi học sinh trả lời:

Bước 1: Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm

Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho x2 ≠ 0 và biến đổi phương trình về dạng

01

x a x

a x

b c bx

Bước 3: Đặt   1  2  12 t2 2

x

x x x

x 

Bước 6: Trả lời

Thông qua dạy học sinh giải bài tập trên chúng ta đã tập luyện cho học

sinh hoạt động (T3), (T2) và (T4) của tư duy thuật giải Để củng cố các hoạt

động này, giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau:

Bài tập 2 Giải các phương trình sau:

a x4 + 3x3 - 6x2 - 3x + 1 = 0; b 2x4 + x3 + 11x2 - x + 2 = 0

Bài tập 3 Hãy nêu bài toán tổng quát và thuật giải bài toán đó

Các Ví dụ trên đã minh họa cho việc tập luyện các hoạt động của tư duy

thuật giải Trong thực tế, việc tập luyện các hoạt động này s không được tách

ra một cách rành mạch, khi tập luyện hoạt động này có sự tham gia của các

hoạt động khác Nói tới tập luyện hoạt động tư duy thuật giải nào đó trong khi

giải một bài toán là để nhấn mạnh đến hoạt động đó mà thôi

Khi dạy học thực hiện thuật giải, quy tắc tựa thuật giải cần lưu ý:

+ Cho học sinh biết nhiều hình thức thể hiện thuật giải, quy tắc tựa thuật

giải tạo điều kiện cho họ nắm vững nội dung t ng bước và trình tự các bước

của thuật giải đó

+ Mặc dù các bước của thuật giải đã được trình bày r theo một trình tự

xác định tuy nhiên, cần luyện tập cho học sinh thực hiện tốt các chỉ dẫn đã nêu

Nếu học sinh không biết thực hiện những chỉ dẫn như vậy thì dù có học thuộc

các quy tắc tổng quát cũng không thể áp dụng nó vào trường hợp cụ thể, vẫn

không giải quyết được yêu cầu của công việc

1.4.2 Xây dựng thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải

Bên cạnh việc học và thực hiện các thuật giải có sẵn, học sinh cũng cần

được rèn luyện cách xây dựng các thuật giải, quy tắc tựa thuật giải Đặc biệt,

trong giải toán nếu ta xây dựng được nhiều các thuật giải và các quy tắc tựa

thuật giải s giúp học sinh sử dụng chúng thực hiện tốt, nhanh gọn, chính xác

yêu cầu của bài toán

Ví ụ 1: Hướng dẫn học sinh xây dựng quy tắc tựa thuật giải cho bài toán

Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Bài toán: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là hai điểm lần lượt trên AB và AC sao cho MN cắt BC Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (BCD) Phân tích :

Gọi K là giao điểm của MN và (BCD)

 K (BCD) Mặt khác K MN (ABC)

 K  (ABC)  K (BCD) (ABC)

Mà (BCD) (ABC) = BC

 K chính là giao điểm của BC và MN

* Giáo viên h g ẫ h i h hâ í h ì h ìm đi m K

Bước 2: Tìm giao tuyến b của (P) và (Q)

Bước 3: Tìm giao điểm M của a và b

Bước 4: Kết luận M là giao điểm cần tìm

- Dạy học định lý;

- Dạy học quy tắc, phương pháp;

- Dạy học giải bài tập toán học

1.4 3 Rè h gi i g h h i i m

Khi dạy học khái niệm, ta cần chú ý một khâu rất quan trọng là củng cố

và vận dụng khái niệm Nhận dạng và thể hiện là một trong những hoạt động cơ bản để củng cố, vận dụng khái niệm Trong nhiều trường hợp ta có thể xây dựng thuật giải để nhận dạng khái niệm

Ví ụ 2: Nhận dạng và thể hiện khái niệm hàm số

Nội dung của khái niệm hàm số là hội của hai điều kiện như sau:

 Điều kiện P1:

Với mỗi phần tử x  R đều tồn tại một phần tử tương ứng y R  Điều kiện P2:

Với mỗi phần tử x  R thì phần tử tương ứng y là duy nhất

Ta có thể hướng dẫn học sinh sử dụng thuật giải sau để nhận dạng khái niệm hàm số:

Quy tắc đang xét là một hàm số