Đáp án đề thi HSG Toán Tỉnh SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Đề chính thức.. Hạ AH vuông góc với BC.[r]
Trang 1Đáp án đề thi HSG Toán Tỉnh THCS Tây Sơn
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015-2016 BÌNH ĐỊNH Môn thi: Toán
Đề chính thức Ngày thi: 18/3/2016 Thời gian làm bài: 150’
Bài 1: (5,0 điểm)
a) Tính tổng: T 1 12 12 1 12 12 1 12 12 1 1 2 1 2
b) Tìm các giá trị nguyên x;y thỏa mãn đẳng thức: (y+2)x2 +1=y2
Bài 2: (3,0 điểm)
Cho phương trình x2 +ax+b+1=0 với a,b là tham số
Tìm giá trị của a,b để pt trên luôn có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn điều kiện:1 2 13 23
1 2
Bài 3: (3,0 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
Bài 4: (9,0 điểm)
1 Cho đường tròn (O) có đường kính BC =2R và điểm A thay đổi trên đường tròn (O) (A không trùng với B và C) Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn tại K ( K A) Hạ AH vuông góc với BC
a) Đặt AH =x Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất
b) Tính góc B của tam giác ABC, biết AH 3
HK 5
2 Một đường thẳng d thay đổi cắt hai cạnh Ox, Oy của góc nhọn xOy lần lượt tại hai điểm M, N nhưng
luôn thỏa hệ thức 1 2 1
OM ON Chứng tỏ rằng d luôn đi qua một điểm cố định
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: (5,0 điểm)
a) Tính tổng: Với a.b.c 0 và a+b+c=0 ta dễ dàng chứng minh: 12 12 12 1 1 1
1
b) Tìm các giá trị nguyên x;y thỏa mãn đẳng thức: (y+2)x2 +1=y2 (1)
Cách 1: (1) y2 –x2y-2x2 -1=0 (*), xem đây là pt bậc hai ẩn y, ta có:
( x ) 4( 2x 1) x 8x 4 (x 4) 12
Vì kN nên x2+4-k < x2+4+k ; x2+4-k và x2+4+k có cùng tính chẵn, lẻ; đồng thời x2+4-k và x2+4+k cùng dấu mà x2+4+k >0 nên x2+4-k và x2+4+k cùng dương
Trang 2Đáp án đề thi HSG Toán Tỉnh THCS Tây Sơn
Suy ra:
2
2
TMDK k
Với x=0, ta được: k24=>pt(*) có hai nghiệm
2 1
2 2
1
1
b y
a b y
a
:
Vậy pt đã cho có hai nghiệm nguyên (x;y) là (0;1) và (0;-1)
Cách 2: Thay y=-2, ta được 1= 4 không thỏa mãn , nên x=2 không phải là nghiệm của pt
- Vậy x -2 : Ta có (y+2)x2 +1=y2 2 2 2 2 1 3
y
2
y
Lần lượt thay y bằng -5;-3;-1; 1 ta đươc: hai nghiệm nguyên (x;y) là (0;1) và (0;-1)
Bài 2: (3,0 điểm) Ta có: Pt(1) có hai ngiệm phân biệt x1;x2 0 a24b 4 0 Khi đó:
2
1 2 1 2
1 2
2
(TMDK)
Bài 3: (3,0 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Đặt:
y z a
2
z x
2
x y c
2
: Ta được: 1 4 y z 9(z x) 16 x y
P
=>Theo BĐT Cô- Si cho hai số ko âm, ta có:
P
:
Dấu “=” xảy ra
4y 9x
2y 3x
3z 4y 9z 16y
Vậy:Pmax=26 a 7b 7c
Bài 4: (9,0 điểm)
*Chú ý: Bài này có 3 trường hợp , AB<AC; AB=AC; AB>AC, -Nếu AB=AC: Thì 3 điểm A,H, K thẳng
hàng => Ko tồn tại tam giác ABC, Và KH=HK => Cả 2 câu a,b ko thể có AB= AC Vậy ABAC
-Vì vai trò bình đẳng của AB, AC nên ta giả sử AB <AC, còn trường hợp AB< AC thì tương tự
1 a) Xét trường hợp AB<AC:
Trang 3Đáp án đề thi HSG Toán Tỉnh THCS Tây Sơn
Đặt AH =x Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất
Dễ dàng chứng minh: OIBC và AK là phân giác của góc HAO
Gọi I là giao điểm của AK với BC Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có:
2 2
2 2
Theo BĐT Cô-Si, ta có:
2 2 2 2
2 2 1
AHK
Dấu “=” xãy ra khi
2
ax
2
R
x R x x R x x R AOH sdAB S sdAB
Xét trường hợp AC<AB: Tương tự:
2
0
4
m
R
Vậy :
2
0
4
m
R
S sdAB hoặc sdAC450
b) Tính góc B của tam giác ABC, biết: AH 3
HK 5 :Ta có:
Xét trường hợp AB<AC:
2
là trung điểm của OB OAB cân tại A OAB đều 0
60
ABC
Xét trường hợp AC<AB: Tương tự
2 2
HK 5 4 2 H là trung điểm của OC
2
-Trên tia Ox lấy điểm I sao cho OI = 1, vẽ đường thẳng qua I , song song với Oy cắt NM tại K, ta có:
(vì OI=1)
OM ON Suy ra
2
IK
=1=> IK=2
Ta có I nằm trên tia Ox và OI=1 => I cố định => Tia IK //Ox, nằm trong góc xOy cố định => Tia IK cố định, mà K nằm trên tia IK và IK=2 => K ccố định d luôn đi qua một điểm cố định K
x
I H
K
O
A
x
y
N K
O
M I