Dạy học giải toán theo hướng tăng cường bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức của học sinh ở trường THPT thể hiện qua chủ đề ''véctơ trong không gian quan hệ vuông góc''

3.Chúng tôi quan niệm các năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn đề tuỳ mức độ khác nhau đợc vận dụng trong nhiều phơng pháp dạy học tíchcực, dạy học theo quan điểm phát hiện.. 1.

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

Mở

đầu 1

1 Lí do chọn đề tài 1

7 CÊu tróc luËnv¨n 3

1.1.2 Vai trß vµ sù cÇn thiÕt ph¶i båi dìng n¨ng lùc H§KT 71.2 Mét sè d¹ng biÓu hiÖn c¬ b¶n cña n¨ng lùcH§KT 9

1.6 Thực trạng về việc hình thành và bồi dỡng năng lực HĐKT trong dạy học

nay 39

1.7 Kết luận chơng 1 41

Chơng 2: Một số phơng thức tăng cờng năng lực HĐKT của HS trong quá trình dạy giải toán 42

2.1 Định hớng xây dựng các phơng thức 42

2.2 Phơng thức 1: Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo nhiều hình thức khác để huy động kiến thức phù hợp với năng lực toán học 43

2.2.1 Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo nhiều góc độ khác nhauđể phát huy đợc năng lực HĐKT 43

2.2.2 Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo hớng liên tởng đến những vấn đề quen thuộc 52

2.3 Phơng thức 2: Rèn luyện cho HS NLHĐ kiến thức thông qua dạy học chuỗi bài toán 56

2.4 Phơng thức 3: Chuyển hoá các liên tởng từ đối tợng này sang đối tợng khác để giúp HS có khả năng HĐKT đã có cần thiết hơn 64

2.4.1 Liên tởng tới khái niệm, định lý, công thức, qui tắc 65

2.4.2 Liên tởng đến những phơng pháp hay bài toán đã từng giải quyết

68 2.5 Phơng thức 4: Khảo sát cái riêng để đi tìm cái chung, cái tổng quát .73

2.6 Kết luận chơng 2

81 Chơng 3: Thực nghiệm s phạm 82

3.1 Mục đích thực nghiệm 82

3.2 Nội dung thực nghiệm 82

3.3 Tổ chức thực nghiệm 82

3.3.1 Lớp thực nghiệm 82

3.3.2 Tiến trình thực nghiệm 82

3.3.3 Nội dung và kết quả kiểm tra 83

3.3.3.1 Nội dung kiểm tra 83

3.3.3.2 Kết quả kiểm tra 84

3.4 Kết quả thực nghiệm 86

3.4.1 Đánh giá hoạt động học tập của học sinh ở lớp học 86

3.4.1.1 Đối với lớp thực nghiệm 86

3.4.1.2 Đối với lớp đối chứng 86

3.4.2 Kết luận về thực nghiệm s phạm 86

3.5 Kết luận chơng 3 87

Kết luận 89

mở đầu

I Lý do chọn đề tài

1 Trong xu thế hội nhập và phát triển thì Giáo dục & Đào tạo lại càng đ ợc

Đảng và nhà nớc ta đặc biệt quan tâm, điều đó đã thể hiện rõ trong luật giáo dục Việt Nam: “ Mục tiêu của giáo dục Trung học Phổ thông nhằm giúp HS củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục Trung học cơ sở, hoàn thiện học vấn phổ thông và những hiểu biết thông thờng về kỹ thuật và hớng nghiệp

để tiếp tục học Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động” (Luật Giáo dục, chơng 2, điều 23)” Để đạt đợc mục tiêu đó thì GV là ngời đợc giao phó trọng trách tiếp thu những kiến thức, những

phơng pháp dạy học tiến tiến, hiện đại; Những hiểu biết của mình để truyền

đạt, giáo dục cho HS phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ

và các kỹ năng cơ bản

Ngời GV phải thực sự tâm huyết với nghề, phải luôn biết trăn trở để tìm ranhững giải pháp tích cực, có hiệu quả cao trong giảng dạy đồng thời giáo dụccho HS phát huy ý thức tổ chức quá trình tự học, tự tìm tòi khám phá tri thức để

tự hoàn thiện bản thân Và một trong những vấn đề mà giáo dục đang quan tâmnữa là làm sao để HS phải biết vân dụng kiến thức đã có của mình vào thựctiễn Để làm đợc điều đó thì trớc hết phải đào tạo cho họ có trình độ và mộtnăng lực nhất định, và năng lực đó cần phải đợc bồi dỡng thờng xuyên

2 Hiện nay năng lực HĐKT trong dạy học toán ở các trờng THPT cha đợcquan tâm đúng mức, học sinh còn gặp một số khó khăn trong việc phát hiệncách giải quyết vấn đề Dạy toán không chỉ đơn thuần là dạy kiến thức mà còndạy cho học sinh cách huy động kiến thức sao cho phù hợp để khi đứng trớcmột vấn đề các em có thể biết cách lựa chọn tri thức phù hợp và đúng đắn Song

áp dụng nh thế nào còn phụ thuộc vào năng lực HĐKT của chính các em Vớiyêu cầu đổi mới dạy học toán ở trờng THPT hiện nay đòi hỏi học sinh phải hoạt

động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân

3.Chúng tôi quan niệm các năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn

đề tuỳ mức độ khác nhau đợc vận dụng trong nhiều phơng pháp dạy học tíchcực, dạy học theo quan điểm phát hiện Từ nhu cầu thực tế đó nên cũng đã cómột số công trình nghiên cứu về năng lực huy động kiến thức và cách huy độngkiến thức có hiệu quả, nhng để làm sáng tỏ vào chủ đề cụ thể về véc tơ và quan

hệ vuông góc thì cha đợc nghiên cứu

Vì những lí do nói trên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy học

giải toán theo hớng tăng cờng bồi dỡng năng lực huy động kiến thức của học sinh ở trờng THPT thể hiện qua chủ đề: Véc tơ trong không gian Quan

hệ vuông góc ”.

II Mục đích nghiên cứu

1 Cơ sở lí luận của việc bồi dỡng năng lực huy động kiến thức

2 Bồi dỡng năng lực huy động kiến thức đã có của học sinh thông qua dạyhọc giải toán chủ đề “ Véc tơ trong không gian Quan hệ vuông góc”

III Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở tôn trọng chơng trình SGK, nếu trong quá trình dạy học giải toángiáo viên chú trọng tổ chức các HĐ cho học sinh nhằm phát triển năng lực huy

động kiến thức thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả học tập môn toán nói chung,

học chủ đề “ Véc tơ trong không gian Quan hệ vuông góc” nói riêng ở tr ờngTHPT.

IV Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài

1 Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực huy động kiến thức, các dạng nănglực huy động kiến thức

2 Nghiên cứu một số phơng pháp tăng cờng năng lực huy động kiến thứccủa học sinh trong dạy học giải toán theo chủ đề “ Véc tơ trong không gian.Quan hệ vuông góc”

3 Huy động tổ hợp kiến thức để xây dựng và phát triển bài toán theo mộtchuỗi các bài toán liên quan

V Phơng pháp nghiên cứu

1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách, báo, tạp chí về khoa học toán học,

giáo dục học, tâm lý học, liên quan đến đề tài

2 Quan sát: Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên, việc học của học sinh,

thăm dò các ý kiến của giáo viên về các vấn đề nghiên cứu liên quan

2 Về mặt thực tiễn:

- Đóng góp quá trình hình thành và phát triển tri thức ở HS.

- Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, GV các trờng THPT

VII Cấu trục luận văn: Gồm 3 chơng

1.1.1 Khái niệm về năng lực, năng lực HĐKT

Một số công trình nghiên cứu về tâm lý học và giáo dục học chỉ ra rằng,qua quá trình hoạt động HS dần hình thành tri thức, kĩ năng , kĩ xảo cho bảnthân Và từ những nền tảng đó họ bắt đầu phát triển những khả năng của mình

ở mức độ từ thấp đến cao Cho đến một lúc sự phát triển bên trong đủ khả nănggiải quyết những vấn đề xuất hiện trong học tập và trong cuộc sống thì lúc đó

Còn ở Việt Nam tác giả Trần Đình Châu quan niệm: “Năng lực là những

đặc điểm cá nhân của con ngời đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất

định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động đó”.Tác giả Phạm Minh Hạc thì cho rằng: “Năng lực là một tổ hợp đặc điểm tâm lícủa con ngời, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quảcủa một hoạt động nào đấy”

Cho dù cách tiếp cận khác nhau nhng ta thấy năng lực biểu hiện bởi các

đặc trng:

Cấu trúc của năng lực là tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện những hoạt độngthành phần có quan hệ chặt chẽ với nhau

- Năng lực tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; nói đến năng lực tức

là gắn với khả năng hoàn thành một hoạt động nào đó của cá nhân

- Năng lực chỉ nảy sinh trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ

và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo t duy có khác nhau về mức độ

- Năng lực có thể rèn luyện và phát triển đợc

- Với các cá nhân khác nhau có các năng lực khác nhau

ở mỗi ngời có những loại năng lực khác nhau và hai ngời khác nhau thì

có những năng lực khác nhau và tố chất ở họ khác nhau

G.Polia nói: “ Tất cả những t liệu, yếu tố phụ, các định lý, sử dụngtrong quá trình giải bài toán đợc lấy từ đâu? Ngời giải đã tích luỹ đợc kiến thức

đó trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách thích hợp để giải bài toán.Chúng ta gọi việc nhớ lại có chọn lọc các tri thức nh vậy là sự huy động, việclàm cho chúng thích ứng với bài toán đang giải là sự tổ chức”[1]

Nh vậy ta có thể hiểu “huy động” là việc nhớ lại có chọn lọc các kiến

thức mà mình đã có thích ứng với một vấn đề đặt ra mà mình cần giải quyếttrong vốn tri thức của bản thân

Năng lực huy động kiến thức là gì? Chúng ta có thể hiểu nó nh sau: Nănglực huy động kiến thức là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con ng ời, đápứng việc nhớ lại có chọn lọc những kiến thức mà mình đã có thích ứng với mộtvấn đề đặt ra trong vốn tri thức của bản thân.Toán học là một môn khoa học cótính logic, hệ thống và kế thừa rất cao Mọi kiến thức toán học đều xây dựngchặt chẽ và có cơ sở rất rõ ràng Tri thức trớc chuẩn bị cho tri thức sau, tri thứcsau dựa vào tri thức trớc, chúng liên kết lại với nhau nh những mắt xích

Một kiến thức toán học mới hay một bài tập toán đợc đa ra thì nó luônnằm trong hệ thống toán học đó, nó không thể tách rời, không tự sinh ra mộtcách độc lập mà có những cơ sở nhất định nằm trong hệ thống kiến thức đã cótrớc đó Để giải quyết đợc vấn đề chúng ta nhất thiết phải dựa vào những kiếnthức cũ Song để coi kiến thức nào là phù hợp với vấn đề đặt ra, kiến thức cũ sẽ

sử dụng thế nào, đó chính là năng lực huy động kiến thức Tất cả chúng ta những ngời thầy luôn phải đa ra những lời khuyên kịp thời và có ích để khuyếnkhích HS tìm tòi phát hiện Có thể bắt đầu từ những câu hỏi của G.Polya nh “Ta

-đã gặp bài toán này lần nào cha? Hay là ta -đã gặp nó dới một dạng hơi khác”[1] Còn ngời giải toán phải biết sắp xếp, lu trữ kiến thức trong đầu sao cho hợp

lý để khi cần huy động đợc chính xác, đầy đủ và phải biết giữ trong trí nhớ cáibản chất của những kiến thức toán học dới dạng định lý đã chứng minh

Nh vậy có thể khẳng định: Không HĐKT thì không thể giải đợc bài tậptoán và cao hơn nữa là không thể kiến tạo tri thức cho bản thân

Ta có thể minh hoạ thông qua ví dụ sau:

Ví dụ1 : Chứng minh rằng ba cạnh a,b,c của một tam giác bất kì thoả mãn bất đẳng thức:

a > b + c -2bc

Tơng tự ta có:

b > a + c -2bc

c > a + b - 2bc

Cộng theo từng vế và ớc lợng ta sẽ đi đến điều phải chứng minh

1.1.2Vai trò và sự cần thiết phải bồi dỡng năng lực HĐKTtrong dạy học toán

Ta đã biết năng lực định hớng là tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm

tòi lời giải các bài toán đợc xác định trên cơ sở các khả năng của HS nh: khảnăng phát hiện các đối tợng và quan hệ trong mối liên hệ tơng tự; Khả năngphát hiện ý tởng nhờ nắm quan hệ giữa kết quả và nguyên nhân ; Khả năngnhìn nhận một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau; Khả năng nhận dạng vàthể hiện các phơng pháp Nhng năng lực HĐKT còn đòi hỏi ở mức độ cụ thểcao hơn so với năng lực định hớng và nó bao trùm lên năng lực định hớng Năng lực HĐKT không phải là điều bất biến, một bài toán nếu đặt vàothời điểm này có thể không giải đợc, hoặc giải đợc, chứng minh đợc một cáchrất máy móc, dài dòng, nhng đặt trong thời điểm khác (có thể không xa lắm),nếu có năng lực huy động kiến thức tốt, học sinh có thể giải quyết vấn đề mộtcách rất độc đáo, hay

Ví dụ 2: Giải bất phơng trình:

+ < 9 (*)

Với bài toán này nếu ra cho HS lớp 10 chắc chắn các em sẽ liên tởng đếntri thức cội nguồn: khử hết căn bậc 2 của bất phơng trình (*) Hớng suy nghĩ đó

hoàn toàn đúng và nó phù hợp trong một chừng mực khi kiến thức về đạo hàmcác em cha đợc trang bị Đối với HS lớp 12( học theo chơng trình cha phânban) hoặc HS lớp 11(học theo chơng trình phân ban) sẽ giải quyết bài này bằngcách sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

x x

Nh vậy nếu biết HĐKT cộng năng lực giải quyết vấn đề tốt thì cách giải

sẽ gọn gàng hơn nhiều HS mà liên tởng kém thì bài toán sẽ trở nên khó khănhoặc là giải rất dài dòng Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, ngờigiải chỉ cần sử dụng một phần kiến thức mà mình đã có Cần sử dụng kiến thứcnào, cần xem xét những mối liên hệ nào điều đó phụ thuộc vào khả năng chọnlọc của ngời giải Do vậy việc thu nhận, lu trữ kiến thức một cách khoa họccũng là một yếu tố quan trọng cho việc HĐKT, mỗi một dạng toán, một đơn vịkiến thức nếu biết cách sắp xếp theo một trật tự thích hợp nh chúng ta phân loạisách trên giá thì khi cần đến có thể dễ dàng huy động nó

Trong các thành phần của cấu trúc năng lực toán học, cần thiết phải rènluyện cho học sinh năng lực liên tởng, năng lực HĐKT và đặc biệt là ứng dụngkiến thức vào giải quyết các bài toán, chẳng hạn khi giải một phơng trình bậc

hai đối với tan và cot thì HS phải liên tởng ngay đến việc đặt ẩn phụ để đa về

giải phơng trình bậc hai đối với ẩn phụ đó Việc rèn luyện các năng lực cũng

nh HĐKT làm sao cho đúng mà hiệu quả l việc làm thà việc làm th ờng xuyên của GV đốivới HS hoặc chính bản thân HS

Khi bồi dỡng năng lực HĐKT cần yêu cầu các em phải tìm và hiểu sâusắc kiến thức cội nguồn của vấn đề Việc làm này vừa có tác dụng củng cố, vừa

có tác dụng kiểm tra khả năng t duy của HS để trong trờng hợp nếu hiểu sai bảnchất sẽ đợc uốn nắn và bổ sung kịp thời

Ví dụ 3: Tìm m để biếu thức

có nghĩa với mọi x

HS đã hiểu sai dẫn đến việc huy động kiến thức sai nh sau:

Biểu thức có nghĩa với mọi x  f(x)= (m+1)x2 - 2(m-1)x +3m-3  0 x `

Ta có kết quả m  1.

Đúng là: f(x)= ax2+bx+c

Lời giải xét thiếu trờng hợp a = 0

Cái sai ở đây là tri thức cội nguồn nắm không vững dẫn đến là xét thiếu tr

-ờng hợp Hoặc đôi khi hiểu một cách máy móc, áp dụng vấn đề không linh hoạt

cũng dẫn đến việc HĐKT sai

HĐKT là một trong những thành tố quan trọng của hoạt động toán học nógiải quyết những mâu thuẫn trong quá trình giải toán cũng nh những nhu cầucủa toán học Việc bồi dỡng năng lực HĐKT là nhiệm vụ quan trọng trong dạy,học toán Nó đóng góp vào quá trình đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay HĐKT có thể xem là một chuỗi các hoạt động nh: HĐ lựa chọn các công

cụ thích hợp, HĐ dự đoán vấn đề, HĐ qui lạ về quen nhờ biến đổi đối t ợng, HĐchuyển đổi ngôn ngữ Nếu thành thạo các HĐ này chính là đã làm tốt năng lựcHĐKT học sinh sẽ hiểu sâu sắc kiến thức toán học ở tr ờng phổ thông, thấy đợcmối quan hệ biện chứng giữa những nội dung kiến thức của từng chơng, mụctrong SGK, đóng góp vào sự phát triển t duy logic, t duy biện chứng, khả năngkiến tạo tri thức cho bản thân

1.2 Một số dạng biểu hiện cơ bản của năng lực HĐKT

1.2.1 Năng lực dự đoán vấn đề

Khi kiểm tra một tình huống hoặc tiến hành theo dõi liên tục trong một

quãng thời gian, sau đó đa ra ý kiến nhận xét về những gì có khả năng xảy rathì ta đã làm công việc dự đoán Để có dự đoán mang tính chuẩn xác cao, cầnphải xem xét các bằng chứng một cách cẩn thận trớc khi đa ra điều dự đoán củamình

Theo Đào Văn Trung mô tả: “Dự đoán là một phơng pháp t tởng đợc ứngdụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học Đó là căn cứ vào các nguyên lý và sựthật đã biết để nêu lên những hiện tợng và quy luật cha biết Hay, dự đoán là sựnhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận” [32]

Dự đoán có vai trò quan trọng nh thế trong khoa học, trong cuộc sống,vậy liệu có cách nào học đợc dự đoán hay không? Theo G.Polia thì “ trừnhững ngời đợc trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải họctập để có đợc năng khiếu dự đoán đó Quá trình dự đoán có kết quả khi phán

đoán mà chúng ta đa ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đoán của mình,

so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và nh vậy sẽ có kinhnghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dự đoán sai và các dự đoán đúng Những

dự đoán có thể rất táo bạo nhng phải có căn cứ dựa trên những qui tắc, kinhnghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, càng không phải là nghĩ liều ”[1]

Để có năng lực dự đoán, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là HSphải giải thật nhiều dạng toán, phải biết tích luỹ kinh nghiệm Họ cần phải đ ợcrèn luyện các năng lực thành tố nh: Năng lực xem xét các đối tợng Toán học,năng lực t duy biện chứng; năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá,tổng quát hoá; năng lực liên tởng các đối tợng, quan hệ đã biết với các đối tợngtơng tự, quan hệ tơng tự Chúng ta hãy thử làm một điều dự đoán trong ví dụsau:

Ví dụ 4: Dạy học định lí cosin trong tam giác ( Hình học 10)

Khi tính các yếu tố trong tam giác bất kì thì định lí Pitago xem ra phảichịu “bất lực”, lúc này chúng ta mong mỏi có một định lí hay một công thứcnào đó để có thể giải quyết đợc nó Bây giờ ta sẽ đi tìm kiếm, rồi dự đoán đểtìm ra mối liên hệ giữa cạnh và các góc trong tam giác

Đặc biệt hoá là một năng lực của t duy, đôi khi nó giúp ta định hớng đợccách giải quyết vấn đề Trớc hết ta xét các trờng hợp của góc A lần lợt là: 900,

1200,600,300.Gọi H là chân đờng cao xuất phát từ đỉnh B

Trờng hợp 1: Tam giác ABC có = 1200

Khi đó có thể đa về định lí Pitago trong tam giác vuông và đi tới công thức:

a2=BC2= BH2 + HC2

= (AB.sin600)2 + (AB.cos602+AC)2= c2+ b2+bc (1)

Trờng hợp 2: Tam giác ABC có = 600 Đa về định lí Pitago, ta có:

Tam giác ABC có = 900 : a2 = c2 + b2 (4) ( a là cạnh huyền ABC)

Từ (1), (2),(3), (4) hãy dự đoán xem với tam giác ABC bất kì thì:

a2= c2 + b2 - bc (*), trong đó  là đại lợng nào phụ thuộc vào góc A Học sinh có thể dự đoán với ô trống là sinA, cosA, , chẳng hạn:

+) Nếu ô trống là sinA thì = 900, (*) trở thành a2 = c2 + b2 - bc (sai).

+) Nếu ô trống là cosA thì =900, (*) trở thành a2 = c2 + b2 (đúng) Nhng = 300 (*) trở thành a2 = c2 + b2 - bc không đúng với (3).Vậy

phải điều chỉnh lại (*) để khi cho = 300 thì (*) trùng với (3), chẳng hạn cho ô trống là 2cosA

Dự đoán cuối cùng là: (**)

GV đề nghị HS chứng minh công thức (**)

Nh vậy chúng ta đã hoàn thành xong công việc trong đó có sự gợi ý, dẫndắt của GV và sự nổ lực của HS để có thể có những sáng tạo nho nhỏ mà dần

dà thắp sáng niềm say mê toán học ở HS

Ví dụ 5: Trong không gian cho 2 tia Ax, By chéo nhau Lấy M thuộc Ax.

(P) qua By và song song Ax Đờng thẳng d qua M song song với AB cắt (P) tại

I Xác định giao điểm I và tìm tập I khi M chạy trên Ax

Phân tích:

-Xác định giao điểm I của d với (P)

-Tìm quĩ tích của I khi M chạy trên Ax

Dự đoán:

M chạy trên Ax thì I chạy trên đờng thẳng nào đó song song với Ax

Ta sẽ chứng minh phần thuận để làm rõ luận điểm này:

 ABIM là hình bình hành và AM= BI

Khi M chạy trên Ax thì I chạy trên Bz & Ax

Tất cả ngời giải toán đều phải xây dựng các phỏng đoán hay đề ra giả thiết

và đó chính là năng lực dự đoán vấn đề của họ Nh vậy thì điều kiện cần để cómột năng lực dự đoán tốt là ngời giải toán phải không ngừng tích luỹ vốn trithức, biết nhìn nhận vấn đề theo nhiều góc độ và khi họ cọ sát nhiều với dạngtoán khác nhau sẽ có thêm những kinh nghiệm quí báu cho bản thân

d

A

Đứng trớc một vấn đề, HS có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải quyết

hoặc là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau Một trong những ph ơng án

có thể đáp ứng đợc nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán

Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng

để huy động kiến thức đối với việc giải toán Nó đợc thể hiện qua các HĐ nh:

- HĐ chuyển đổi ngôn ngữ nhìn nhận một nội dung toán học theo mốiliên hệ liên môn: đại số hoá, hình học hoá, lợng giác hoá,

- HĐ chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại hình học: từ phơng pháp tổnghợp sang phơng pháp giải tích (gồm có phơng pháp véc tơ và phơng pháp toạ

độ), hoặc phơng pháp biến hình

Ví dụ sau đây cho thấy sự cần thiết phải chuyển đổi ngôn ngữ từ đại sốsang hình học hay ta nói là phơng pháp hình học hoá

Ví dụ 6: Giải hệ phơng trình: , với x,y,z>0

Đa số HS sẽ thấy ngợp hoặc lúng túng khi đứng trớc bài toán này, vìthông thờng các em liên tởng đến phơng pháp đánh giá nhng việc đánh giá lạigặp khó khăn Để hớng dẫn HS hoạt động nhận thức phát hiện cách giải, GV cóthể yêu cầu HS xét ý nghĩa hình học của các biểu thức ở vế trái của hệ PT trên

và nhận thấy nó là bình phơng vô hớng của một véc tơ, chẳng hạn: x2008=x1004.2=(x1004)2 để các em biết dịch chuyển ngôn ngữ, sử dụng phơng pháp véc tơ vàogiải toán:

Xét trong không gian Oxyz: (x1004, y1004, z1004); (x1005,y1005,z1005)

x y x y z

y z x z

Đặt x= tan, khi này hình thức bài toán đã đợc thay đổi hệ PT đã cho

sẽ đợc biểu thị dới dạng lợng giác sau:

Việc chuyển đổi ngôn ngữ có thực hiện đợc hay không còn phụ thuộc vào

kỹ năng phân tích bài toán tức là bài toán đó có thể chuyển sang đ ợc ngôn ngữnào, nếu là bài toán hình học thì làm sao để chuyển sang đợc ngôn ngữ véc tơhoặc toạ độ Tuy nhiên không phải bài toán nào cũng chuyển đổi đợc ngôn ngữ.Một trong các dấu hiệu để xác định xem một bài toán hình học có giải đ ợcbằng phơng pháp véc tơ một cách thuận lợi hay không là khả năng diễn đạt cáckhái niệm, các mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho và các yếu tố cần tìm ra ngônngữ véc tơ Nếu sự “phiên dịch” không gặp khó khăn lớn thì việc sử dụng véctơ để giải bài toán đó là có cơ sở

Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ giúp HS có thêm những định h ớng, những

đờng lối cho việc tìm tòi nhiều phơng pháp, cách giải khác nhau Ta sẽ lấy ví

dụ để minh hoạ cho điều đó

Ví dụ 8: Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ Gọi I,J lần lợt là trung điểmcủa A’D’ và BB’ Chứng minh rằng: I J  AC’

Cách 2:(Phơng pháp toạ độ)

Không mất tính tổng quát ta cho cạnh lập phơng bằng 1 Chọn hệ toạ độ

ĐềCác vuông góc có gốc là A và các trục Ax, Ay, Az lần lợt chứa các cạnh AB,

AD, AC Khi đó toạ độ các đỉnh: A(0,0,0) ; B(1,0,0); C(0,1,0); A’(0,0,1);

B’(1,0,1); C’(1,1,1) ; D’(0,1,1)

Ta có: I(0, ,1) ; J(1,0, )  =(1,- ,- ); =(1,1,1)

Do đó: = 1- - = 0    IJ  AC’ &

1.2.3 Năng lực qui lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tơng tự

Tơng tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán đ ợc

gọi là tơng tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phơng pháp giải; hoặc cùng giảthiết, hoặc cùng kết luận; hoặc đợc đề cập đến những vấn đề giống nhau, những

đối tợng có tính chất giống nhau Khai thác chức năng của bài tập t ơng tự làmột trong những việc làm quan trọng trong dạy học bởi nó có vai trò khắc sâukiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo

Biến đổi về dạng tơng tự là một HĐ biến đổi đối tợng, HĐ này thể hiệntrong tiến trình ngời giải toán phải làm bộc lộ đối tợng của HĐ ( các khái niệmtoán học, các qui luật về mối liên hệ giữa các đối tợng toán học, các quan hệgiữa chúng) Những HĐ đó là để biến đổi cấu trúc, nội dung và hình thức của

đối tợng, sao cho các tri thức mới tơng thích với các tri thức đã có; từ chủ thểxâm nhập vào đối tợng, hiểu và giải thích chúng, vận dụng chúng với t cách làsản phẩm của HĐ nhận thức Để sự tìm tòi đợc thuận lợi, nhiều khi cũng cần cónhững thủ thuật để biến cái khó thành cái dễ, biến ý đồ thành những việc cụthể

Việc biến đổi đối tợng sẽ dẫn đến những bài toán tơng tự Có rất nhiềudạng tơng tự, ví dụ sau đây thể hiện một sự biến đổi để đa về dạng tơng tự đãbiết:

Ví dụ 9: Giải phơng trình = x2-5

Với bài toán này nếu ta cứ đem bình phơng hai vế để khử căn bậc hai thì

sẽ đợc một phơng trình bậc 4 không đầy đủ Khi đó HS sẽ thấy mất phơng hớnggiải quyết vấn đề Vậy phải làm cách nào? ý nghĩ thông minh nhất lúc này làtìm cách biến đổi để đa phơng trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải Cóthể bằng cách này hay cách khác nhng nếu thật để ý và táo bạo một chút thì taxem 5 là ẩn và x là tham số Đặt 5 = t ( t >0)

PT  = x2- t 

Giải PT: t-x = (x2 - t)2  t2-(2x2+1)t +x4+x =0 là một PT bậc hai ẩn t

Từ đó có thể dễ dàng tìm đợc x

Biến đổi về dạng tơng tự thực chất là đi tìm những điểm tiếp xúc của bàitoán với kiến thức đã có thể hiện ở các góc độ khác nhau Việc biến đổi đó cóthể thực hiện nhờ biến đổi hình thức để tơng thích với tri thức đã có của HShoặc là biến đổi nội dung để có thể tìm ra mối liên hệ giữa bài toán phẳng vớibài toán không gian Việc làm này thể hiện ở việc xét cái t ơng tự giữa nhữngvấn đề trong không gian đối với những vấn đề trong mặt phẳng: cái tơng tự vớimặt phẳng là đờng thẳng, mặt cầu là đờng tròn, cái tơng tự tứ diện là tamgiác, Khi nghiên cứu một đối tợng cần phải xem xét nó trong mối liên hệ với

các đối tợng khác và cần xét kĩ cái cha biết để huy động những kiến thức gần

nhất với bài toán đang giải hoặc ít ra là đã giải bài toán tơng tự

Ví dụ 10: Chứng minh rằng nếu một mặt phẳng vuông góc với đờng

thẳng nối tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với đỉnh A, cắt các cạnh

AB, AC, AD tại các điểm tơng ứng M, N, P thì sáu điểm B, C, D, M, P thuộcmặt cầu

Trớc khi giải quyết bài toán này ta có thể giải bài toán phẳng tơng tự sau:

“ Nếu đờng thẳng vuông góc với đoạn thẳng nối tâm vòng tròn ngoại tiếp với

đỉnh A của tam giác ABC, cắt các cạnh AB, AC tại các điểm M, N tơng ứng thìbốn điểm B, C, N, M thuộc một đờng tròn”

Trong quá trình giải các bài toán, bằng HĐ phân tích có định h ớng cần

“nhìn thấy” mối liên hệ giữa các bài toán không những về tính chất của kếtluận, về công cụ sử dụng để giải bài toán mà cần phát hiện đ ợc mối liên hệ cấutrúc của bài toán: “Nhìn thấy” một bài toán là bộ phận của bài toán khác haykết luận của bài toán cần chứng minh có thể suy ra từ bài toán đã biết

Ví dụ 11: Cho tam giác vuông ADB ( =1v).Vẽ đờng cao DE Gọi M, J

t-ơng ứng là trung điểm của DE và BE Chứng minh AM  DJ

Lời giải:

Ta có thể sử dụng phơng pháp Vectơ để giải quyết bài toán trên

Việc đầu tiên là HS phải biết chuyến đổi ngôn ngữ Từ giả thiết:

Ví dụ 12: Cho tam giác cân ABC tại A vẽ đờng cao AD, vẽ DE  AB,

gọi M là trung điểm DE Chứng minh CE  AM

Lời giải:

Tacó: CE  AM  = 0

E

BD

M

J

C

AA

D

E

J

BM

 ( - ) = 0

 ( + ) = 0 (2)

So sánh 2) ta có kết luận 2 bài toán

tơng đơng Nhận thấy DJ là đờng trung bình của tam giác CEB nên

DJ ∥CE do vậy CE  AM  DJ  AM &

Nh vậy khi xác định năng lực HĐKT thì khả năng biến đổi vấn đề, biến

đổi các bài toán đóng vai trò rất quan trọng Nhờ quá trình biến đổi vấn đề,biến đổi các bài toán HS có thể quy các vấn đề trong tình huống mới, các bàitoán lạ về các vấn đề quen thuộc, về các bài toán tơng tự đã giải

1.2.4 Năng lực nhìn nhận bài toán dới nhiều góc độ khác nhau

Căn cứ vào bản chất của kiến thức toán học vào mối quan hệ duy vật biệnchứng ta thấy mỗi nội dung, mỗi một vấn đề có thể nhìn nhận d ới nhiều góc độ,

có nhiều hình thức biểu đạt khác nhau Một bài toán có thể ta phải chuyển đổingôn ngữ bằng cách: đại số hoá, lợng giác hoá, hình học hoá; hoặc chuyển đổitrong nội tại của một ngôn ngữ nh: chuyển đổi ngôn ngữ hình học tổng hợpsang ngôn ngữ véc tơ, toạ độ, biến hình Hoặc có thể nhìn nhận nó d ới nhiều

“cái riêng” khác nhau, chẳng hạn nhìn tam giác là một tứ giác có một cạnh bằngkhông, một tứ giác có một góc bằng 1800, cái tơng tự nh tứ diện trong khônggian, hoặc xem xét, đặt nó trong môi trờng không gian khác, chẳng hạn có thểnghiên cứu hình chóp trong hình hộp, đờng tròn trong một mặt cầu,

Nếu đứng trớc một vấn đề mỗi ngời làm toán có thói quen nhìn nhận theonhiều góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đã có thì

sẽ hình thành dần nên trong họ một t duy nhạy bén, sắc xảo một niềm tin sẽgiải quyết đợc vấn đề bởi lẻ bài toán đang giải đó nó còn ẩn tàng những cáchgiải ở những góc độ nào đó mà chúng ta phải khám phá ra

Ví dụ 13: Đáy của hình chóp S.ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng

bất kì cắt cạnh bên của hình chóp tại các điểm K,L,M,N bắt đầu từ SA

Chứng minh: + = +

Khi nhìn vào kết luận của bài toán HS rất dễ liên t ởng đến định lí Taletnhng có môt mâu thuẫn là không có dấu hiệu về tỉ lệ giữa các cạnh Cần phải

có sự t duy khác để huy động kiến thức phù hợp với yêu cầu đặt ra

HS dễ dàng chứng minh đợc KM, LN, SO đồng qui tại I,mặt khác 2 tamgiác có chung đáy và đờng cao tỉ lệ với nhau tơng đơng với diện tích 2 tam giác

đó tỉ lệ Nhng ở bài toán này không nhìn thấy đờng cao thì ta có thể thay thếcông thức nào khác để tính diện tích?

Bài toán đợc giải nh sau:

Cách 1:

Gäi dt SAO = dt SOC =S ; dt SKI =S1 ; dt SIM= S2

V× diÖn tÝch SKI vµ dt SAO tØ lÖ víi nhau:

C¸ch2: Sö dông kiÕn thøc: “NÕu ®iÓm M thuéc (ABC) th× cã 3 sè x,y,z

mµ x+y+z=1 : = x +y +z víi mäi ®iÓm O”

O D

IS

A K

Ta xét trong hệ toạ độ Đêcac vuông góc =(x1;y1;z1) và =(x2;y2;z2) thìbiểu thức giải tích của (I),(II) là:

x1x2+y1y2+z1z2  (I’)

 (II’)

Các bất đẳng thức trên gợi ý cho việc vận dụng chúng vào giải một số bàitoán nh: chứng minh bất đẳng thức, giải bất phơng trình, hệ phơng trình hoặcbài toán cực trị

Ví dụ 14 :Giải bất phơng trình

Nhận xét: Qua lời giải trên cho thấy nếu biết nhìn nhận vấn đề theo

nhiều hớng, ngời giải toán biết liên tởng, huy động kiến thức phù hợp sẽ manglại một cách giải quyết vấn đề tốt đẹp nhất

Ví dụ 15 :(Bài toán lớp 7) Cho tỉ lệ thức = Biết rằng xy = 90 Tính x, y Cách1: Hiển nhiên x ≠ 0 Nhân cả hai vế của = với x,

ta có: =  = = 18  x2 = 36 Do đó x=  6  y =  15

Cách 2: Đặt = = k thì x=2k, y=5k Thay các giá trị này vào xy = 90 ta

có kết quả trên

*Vận dụng làm bài tập sau: Tìm x, y, z biết: = = , với xyz=12

Với bài toán này mà chỉ nhìn ở cách giải thứ nhất sẽ không cho kết quảmong đợi, nó chỉ đợc giải quyết khi ta áp dụng cách giải thứ 2 Nh vậy biếtnhìn bài toán dới nhiều góc độ, khía cạnh khác nhau không những củng cố đ ợckiến thức mà còn rèn luyện, bồi dỡng thêm khả năng HĐKT ở HS

Việc tăng cờng mối liên hệ giữa các chơng, mục trong một môn học cũnghình thành nên các cách giải quyết khác nhau cho một vấn đề

Ví dụ 16: Để chứng minh hai đờng thẳng vuông góc trong không gian ta

có thể thực hiện bằng nhiều cách:

Cách 1: Sử dụng mối quan hệ song song, vuông góc (thể hiện trong hai

chơng quan hệ song song, quan hệ vuông góc)

Cách 2: Sử dụng phép quay góc 900( thể hiện ở chơng phép biến hình)

1.3 Phát triển năng lực HĐKT cho HS thông qua việc vận dụng ph ơng pháp dạy học kiến tạo, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.3.1 Vận dụng phơng pháp dạy học kiến tạo vào dạy học toán

Ta đã biết phơng pháp dạy học theo quan điểm kiến tạo là phơng phápdạy học hiện đại, HS đợc học tập trong HĐ và bằng HĐ còn GV là ngời xác

định tri thức, kinh nghiệm đã có của HS để tạo môi trờng kích hoạt cho các emphát hiện ra kiến thức mới; Tạo cho HS cơ hội tập duyệt đề xuất các phán đoán,các “giả thuyết” HS thể hiện năng lực huy động kiến thức bằng việc chứngminh để kiểm nghiệm các phán đoán Nếu phán đoán đúng tức là tri thức đó đã

đợc thích nghi và các em đã có một tri thức mới vừa kiến tạo

Để trả lời câu hỏi: “ năng lực huy động kiến thức của HS đợc thể hiện ởnhững khâu nào khi vận dụng phơng pháp dạy học kiến tạo vào dạy,học toán.Cần phải làm gì để mọi HS đều có thể tham gia vào quá trình kiến tạo trithức?” Ta thấy nhiệm vụ của GV là phải khai thác từ nội dung dạy học xemchỗ nào có thể cho HS tham gia vào quá trình kiến tạo tri thức, kĩ năng cho họ

Từ đó thiết kế tình huống, chuẩn bị các hoạt động, câu hỏi, hớng HS tham giavào quá trình kiến tạo Trong quá trình này HS có thể trình bày quan niệm,nhận thức của mình; có thể tranh luận để đi đến thống nhất ý kiến GV gợi ý,phân tích các ý kiến, uốn nắn nhận thức cho HS, thể chế hoá kiến thức cho HS

Ví dụ 17: Dạy học khái niệm đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng

chéo nhau trong không gian (Hình học 11)

Ta sử dụng kiến thức đã có về hình lập phơng để chứng tỏ tồn tại đờngthẳng cắt hai đờng thẳng chéo nhau và vuông góc với hai đờng thẳng đó

“ Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’

Hãy chỉ ra những đờng thẳng vừa vuông góc

với AA’, vừa vuông góc với BC;

vừa vuông góc với A’A vừa vuông góc BD”

+) Các HĐ để HS huy động kiến thức:

-Trong những đờng thẳng vừa kể ra ở

trên đờng thẳng nào vừa vuông góc, vừa cắt cả

hai đờng thẳng đã cho?

-Có bao nhiêu đờng thẳng vừa vuông góc vừa cắt cả hai đờng thẳng đãcho? Hãy lập luận nhận xét của mình

+) HS có thể hợp thức hoá khái niệm( định nghĩa đờng vuông góc chung)

Hiểu sâu sắc khái niệm:

-Tính chất “ngắn nhất” của đờng vuông góc trong mặt phẳng còn đúng vớikhái niệm này không?

A

C

DB

A’

D’

- Có luôn tồn tại khái niệm đờng vuông góc chung của hai đờng thẳngchéo nhau trong không gian hay không? Hãy tìm hiểu vấn đề này qua các trờnghợp sau:

Trờng hợp 1: a , b chéo nhau và vuông góc với nhau (Hình vẽ)

Gọi (P)  b và vuông góc a, giao điểm của (P) v a l H à việc làm th à việc làm th

Trong (P) dựng HK c, HK  b thì HK là đờng vuông góc chung của a

và b (Sự phát hiện này còn cho ta một qui trình xác định đ ờng vuông gócchung của hai đờng thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau trong không gian)

Trờng hợp 2: a, b chéo nhau bất kì ( Hình vẽ)

Gọi (P)  b và (P) ∥ a, gọi c là hình chiếu vuông góc của a trên (P) thì ờng vuông góc chung của a và b đợc xác định nh thế nào?

Gọi K = b  c (tại sao luôn có giao điểm này?), gọi d là đờng thẳng qua

K và vuông góc với (P), d  a = H

(vì sao d luôn cắt a?) thì HK là đờng vuông góc chung của a và b

Cuối cùng là HS có các hoạt động để củng cố khái niệm

Một trong những năng lực kiến tạo là việc luyện tập cho HS thói quenkhai thác tiềm năng SGK, khắc sâu mở rộng kiến thức, phát triển các bài toán

từ nền kiến thức chuẩn đã đợc qui định.Ta sẽ làm sáng tỏ điều này qua ví dụ:

Ví dụ18: Từ định lí đờng trung tuyến quen thuộc

Bài toán : Trong tam giác ABC ta có

K

bH

K

P

b) a)

Bài toán 2: Trong tam giác ABC ta có

m a m b m c  abc.cos cos cos

1.3.2 Vận dụng phơng pháp dạy học PH & GQVĐ để học sinh HĐKT

trong giải toán

Then chốt của phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là GVthiết kế đợc những tình huống gợi động cơ, gợi vấn đề, những tình huống cóvấn đề, khai thác đợc những nội dung bài học một cách triệt để, có những sángtạo trong xây dựng những bài toán Mỗi một bớc thực hiện là HS đã phải trãinghiệm qua hàng loạt kiến thức khi đợc huy động và họ phải phân tích, chọnlựa để tìm ra kiến thức nào là phù hợp, là đúng đắn

Từ việc nghiên cứu phơng pháp dạy học PH và GQVĐ giáo viên xác lậpmột quy trình giải toán để HS phát triển đợc năng lực HĐKT, đó là:

Bớc 1: Tạo tình huống gợi vấn đề:

+ Đa học sinh vào tình huống gợi vấn đề

+ Phân tích tình huống đó

+ Dự đoán vấn đề nảy sinh và đạt mục đích xác minh tính đúng đắn

Bớc 2: Giải quyết vấn đề:

+ Phân tích mối quan hệ giữa dữ kiện, điều kiện và vấn đề cần tìm + Đề xuất, lựa chọn hớng giải quyết và tìm tòi lời giải

+ Thực hiện lời giải

Bớc 3: Kiểm tra và ứng dụng kết quả:

+ Kiểm tra tính hợp lý và tối u của lời giải

+ Phát biểu chính xác vấn đề (kiến thức mới cần lĩnh hội)

+ Xét khả năng ứng dụng của nó

+ Vận dụng vào tình huống mới.

Tất cả những vấn đề đó đều đòi hỏi HS phải có một năng lực trí tuệ nhất

định, năng lực HĐKT thích hợp mới giải quyết đợc yêu cầu đặt ra

Ví dụ 19: Dạy giải bài tập

CMR trong mọi tam giác ABC ta có:

Sin2A+sin2B +sin2C=2 +cosAcosBcosC(*)

Bớc1: Tạo tình huống gợi vấn đề:

+) Đa HS vào tình huống gợi vấn đề GV nêu ra ba bài tập nhỏ:

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Tính sin2A + sin2B + sin2C và cosAcosBcosC

Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, B = 600, C = 300

Tính sin2A + sin2B + sin2C và cosAcosBcosC

Bài 3 : Cho tam giác ABC đều.

Tính sin2A + sin2B + sin2C và cosAcosBcosC

+) Phân tích tình huống:

So sánh giá trị sin2A+sin2B+sin2C và cosAcosBcosC trong 3 bài tập trên

Dự đoán vấn đề: Sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC

Bớc 2: Giải quyết vấn đề

+) Phân tích mối quan hệ giữa dự kiện, điều kiện và vấn đề cần tìm

- Điều kiện đã cho: A, B, C là các góc của một tam giác

- A + B + C =  và vấn đề cần giải quyết: Chứng minh rằng:

Sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC (0 < A,B,C < )

Đối với các tam giác đặc biệt ở bài 1, 2, 3 vấn đề đợc đặt ra có tính đúng đắn +) Đề xuất, lựa chọn hớng giải quyết và tìm tòi lời giải

+) Thực hiện lời giải

Trình bày lại 3 cách giải

Bớc 3: Kiểm tra và ứng dụng kết quả:

+) Kiểm tra tính hợp lý và tối u của lời giải; Kiểm tra 3 cách chứng minh,

từ đó nêu rõ cách nào tối u hơn

+) Khẳng định lại vấn đề dự đoán là chính xác Kiểm tra lại dự kiện đãcho xem đã sử dụng hết cha? Có thể phát biểu lại bài toán nh thế nào?

( Cho A + B + C = , chứng minh rằng:

sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC )

+)Xét khả năng vận dụng kết quả trên để giải bài toán: “Cho tam giác ABCcó: Sin2A + sin2B + sin2C = 2 CMR tam giác đó là tam giác vuông”

Vận dụng vào tình huống mới

Dự đoán vấn đề mới: Trong tam giác ABC có:

Cos2A + cos2B + cos2C = 2 + 2 sinAsinBsinC

Ví dụ 20: Dạy học phát hiện khái niệm phơng tích của một điểm đối với

Ta sẽ có khái niệm phơng tích của một điểm đối với đờng tròn

Ví dụ 21:Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi các đờng cong

Hớng 2:Thay cho việc tính I1 ta thấy các giao điểm của phơng trình đờngtròn y= với đồ thị hàm bậc hai y = là M( ;1) và N( - ;1)

- Diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi hai đờng cong đó là phần nào?

- Vậy kiến thức cần sử dụng tiếp theo nữa là gì ?

Gọi O(0;0), A(2;0) thì tanMOA = nên = 300 Sh.quạt=

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đoạn OM và (P) y= là:

( x - ) dx = - = Vậy S = +

Bớc 3: Kiểm tra và vận dụng kết quả

HS nhận xét hai cách giải quyết vấn đề

Nếu thay đờng tròn bởi elip thì kết quả nh thế nào ? Ta có bài toán sau

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi hai đờng cong:

y= + và y =

1.4 Một số tri thức định hớng năng lực huy động kiến thức

1.4.1 Tri thức thuộc phạm trù duy vật biện chứng

Phơng pháp luận của phép duy vật biện chứng đóng vai trò hết sức quantrọng và cần thiết trong dạy học Toán, nó đợc áp dụng vào các phơng pháp dạyhọc và giúp cho ngời học thấy đợc sự biện chứng trong nội tại của toán học thểhiện qua các cặp phạm trù về mối quan hệ chung - riêng, mối quan hệ nhân -quả, mối quan hệ giữa nội dung - hình thức, Nắm đợc phơng pháp luận củaphép duy vật biện chứng sẽ giúp cho học sinh hiểu sâu đợc cội nguồn của Toánhọc, thấy đợc mối liên hệ đan xen của các đơn vị kiến thức và vận dụng chúng

để tìm tri thức mới; mặt khác phép duy vật biện chứng còn rèn luyện khả năngsáng tạo, độc lập và biết phát hiện vấn đề trong cuộc sống

a) Năng lực HĐKT khi giải quyết một vấn đề thể hiện trong mối quan

hệ chung- riêng

Ta biết rằng phạm trù cái riêng dùng để chỉ một sự vật, một hiện t ợng, mộtqúa trình còn phạm trù cái chung dùng để chỉ những mặt, những thuộc tínhnhững quan hệ, những mối liên hệ tồn tại phổ biến ở nhiều sự vật, hiện t ợng.Liên hệ đến Toán học tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng khi nghiên cứu mộtvấn đề thông thờng ta sẽ: “ Đi từ trờng hợp riêng đến trờng hợp chung, lấy tr-ờng hợp riêng soi sáng cho trờng hợp chung và vận dụng trờng hợp riêng đểgiải quyết trờng hợp chung” Việc dự đoán những quy luật xuất phát từ nhữngtrờng hợp riêng là một thủ thuật ta rất hay dùng Chẳng hạn nh trong Bài toántìm quỹ tích, Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất không sử dụng đến đạohàm Có những bài toán mà khi khảo sát cái riêng sẽ cho ta cách tìm cái chung

Ví dụ 22: Yêu cầu HS tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y)(y+z)(z+x),

Vậy MaxS = khi x = y = z =

Qua quá trình phân tích từ cái chung dẫn tới cái riêng chúng ta đã đ a việcdùng BĐT Cauchy cho một biểu thức (rất khó thực hiện) về dùng BĐT Cauchycho từng nhóm biểu thức đơn giản để tìm GTLN

Từ một cái riêng nếu biết nhìn theo nhiều quan điểm các góc độ khácnhau thì có thể khái quát thành nhiều cái chung khác nhau, chẳng hạn ta có thểxem hình thoi là trờng hợp đặc biệt của hình bình hành, cũng có thể xem nó làtrờng hợp đặc biệt của tứ giác có vòng tròn nội tiếp nếu ta nhìn nó d ới góc độ

có “vòng tròn nội tiếp”, có thể xem nó là trờng hợp đặc biệt của tứ giác có hai

đờng chéo vuông góc, nếu nhìn nó dới góc độ có “hai đờng chéo vuông góc”

Đôi khi đem đặc biệt hoá nhiều cái chung thì lại đợc một cái riêng và cứ

nh thế ta sẽ tìm ra đợc những cái mới, chẳng hạn một tứ giác đem đặc biệt hoátheo các tính chất và quan hệ giữa các cạnh, các góc có thể cho ta hình thang,hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông

Trong dạy học Toán, nếu ngời giáo viên nắm đợc mối quan hệ giữa cáichung - cái riêng, biết biến đổi phát triển bài toán thành chuỗi các bài toán thìkhông những HS hiểu đợc sâu sắc kiến thức của bài toán đó mà còn biết thêmcác kiến thức khác và đem lại hiệu quả cao trong học tập (phần này sẽ đợc thểhiện tiếp trong chơng 2)

b) Năng lực HĐKT khi giải quyết một vấn đề thể hiện trong mối quan hệ

giữa nội dung - hình thức

Theo quan điểm triết học, nội dung là những mặt, những yếu tố, những

quá trình tạo nên sự vật; hình thức là phơng thức tồn tại và phát triển của sự vật

hiện tợng, là hệ thống các mối liên hệ tơng đối bền vững giữa các yếu tố của sựvật Nội dung và hình thức không tồn tại tách rời nhau, nó có sự thống nhấtbiện chứng với nhau Nội dung giữ một vai trò quyết định đối với hình thứctrong quá trình vận động và phát triển của sự vật, và hình thức cũng có tác độngsâu sắc tới nội dung.

Vận dụng vào toán học ta có thể mô tả mối quan hệ giữa nội dung “Điểm

O là trung điểm của đoạn thẳng AB” theo sáu hình thức để làm sáng tỏ quan

điểm trên: A, B, O thẳng hàng và OA=OB; Đ0: A  B (B là ảnh của A qua Đ0);

=- ; V0-1 :A  B ; O là tâm hình bình han AMBN; MO là đờng trung bình củatam giác ACB; M là trung điểm AC

Ngợc lại từ đẳng thức hình thức: = có thể liên tởng các nội dung: O làtrung điểm đoạn AB; hai véc tơ và đối nhau; A là ảnh của B qua phép vị tự V0-

1

Trong thực tế ở một số tình huống nội dung có thể bị che lấp bởi hình thức,hình thức biểu thị không bình thờng Vì vậy cần tăng cờng diễn đạt nội dung đóqua những hình thức khác nhau để tạo điều kiện cho các em huy động đợc tốt kiếnthức và kinh nghiệm đã có vào giải quyết nội dung.Chẳng hạn ta có ví dụ:

HS sẽ không biết bắt đầu nh thế nào bởi những phơng pháp và tri thức đã

có quá xa lạ với hình thức biểu thị nội dung đó nên cần phải có sự biến đổi hìnhthức để đa việc giải hệ phơng trình đại số về việc giải bài toán bằng phơng phápvéc tơ

Đôi khi trong quá trình giải toán HS còn phải biết biến đổi đối tợng bằngcách chuyển hoá hình thức của đối tợng cho phù hợp với nội dung để phát hiệncách HĐKT một cách đúng đắn

Ví dụ 23: Đề xuất cho HS hoạt động tìm nghiệm (x, y, z, t) của hệ :

để x+z đạt giá trị lớn nhất Xét bài toán với t cách là đối tợng HĐ; do nên

có thể hớng HS thay đổi hình thức của đối tợng HĐ, bằng cách lợng giác hoá

ta đặt: x=3cos ; y = 3 sin ; z = 4 cos ; t = 5 sin Nh vậy hình thức đã bịthay đổi còn nội dung lại trở thành việc tìm giá trị của , , 

Ta thấy nội dung và hình thức luôn gắn bó, thống nhất với nhau trong quátrình vận động và phát triển của sự vật Trong Toán học chúng ta cần nhìn rõmối quan hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức để tìm ra bản chất của nó

sẽ dễ dàng tiến hành nhiều HĐ tìm tòi khám phá tri thức mới Về mặt tri thứcphơng pháp, trớc hết GV cần cung cấp cho HS phơng pháp chung để giải bàitoán bao gồm 4 bớc của G.Polya, đó là:Tìm hiểu nội dung đề bài, tìm cách giải,trình bày lời giải và nghiên cứu sâu lời giải Nhiệm vụ của HS phải hiểu và vậndụng đợc phơng pháp đó trong những tình huống tơng tự

Tri thức phơng pháp không có sẵn trong thế giới hiện thực mà do con

ng-ời lĩnh hội trên cơ sở những quy luật khách quan đã đợc nhận thức và đợc trìnhbày thành lý luận Tri thức phơng pháp đợc xây dựng dần qua việc chủ thể kiếntạo tri thức, rồi lại chiếm lĩnh tri thức đó để vận dụng vào những tình huốngkhác có liên quan

Ví dụ 24: Dạy học tìm nghiệm của PT bậc hai ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) (1)

Để đi tìm công thức nghiệm tức là ta đi kiến tạo tri thức dựa trên sơ đồnhận thức cũ:

+) chia hai vế của phơng trình bậc hai cho a (a ≠ 0):



-

2 2

4 4

b ac a

 = 0

Đặt b2- 4ac = 

*) Xét  > 0   2

2

b x a



=

2 2

4 4

b ac a

 = 4a2



x+ =   x = 2 4

2

b b ac a

    (1) có nghiệm

*) Xét  <0   2

2

b x a



-

2 2

4 4

b ac a

  0  (2) luôn có nghiệm với x

 (1) luôn có nghiệm x

*) Xét = 0   2

2

b x a

 = 0, (2) có nghiệm x= 

Hay (1) có nghiệm x= 

Trong dạy học Toán, tri thức phơng pháp là tri thức có ý nghĩa công cụ,phơng tiện để tiến hành các HĐ nhằm phát hiện, tìm tòi, lĩnh hội tri thức sự vật.Tri thức phơng pháp liên hệ với hai loại tri thức khác nhau về bản chất,

đề chứ không phải là những thuật giải bảo đảm chắc chắn dẫn tới thành công.Vì vậy khi sử dụng chúng HS cần có tính mềm dẻo, linh hoạt, biết điều chỉnhphơng hớng, thay đổi phơng pháp khi cần thiết

ở trờng phổ thông, không phải lúc nào ta cũng tìm đợc các phơng pháp

có tính chất thuật toán để giải quyết các vấn đề Chẳng hạn, ta không thể có đ

-ợc thuật toán giải các phơng trình lợng giác phức tạp (không thuộc các loại

ph-ơng trình cơ bản đã học) Khi đó cần phải có những kỹ năng kỹ xảo để có thểcho phép tìm đợc lời giải bài toán đặt ra

Ví dụ 25 : Biện luận theo tham số a, nghiệm x<0 của phơng trình:

=a(x-2)+2

Để giải bài này GV có thể gợi ý tri thức phơng pháp quen thuộc là: biệnluận số nghiệm âm của phơng trình bậc 2 cho HS tự kiểm nghiệm, sau đó bằngcách gợi động cơ GV đa HS vào tình huống có vấn đề: Có thể vận dụng tính

đơn điệu của hàm số vào giải bài toán này đợc không?

HS huy động kiến thức về tính đơn điệu của hàm số vào giải quyết bàitoán nh sau:

Khi x<0, phơng trình đã cho trở thành:

= a(x-2)+2  g(x) = =a

Ta khảo sát sự biến thiên của hàm số g(x) để biện luận số nghiệm của PT

đã cho

Ví dụ trên đây thể hiện việc giải và biện luận một ph ơng trình bằng kỹthuật sử dụng tính đơn điệu của hàm số GV luôn có nhiệm vụ thông báo trithức phơng pháp để HS có thể tích luỹ và vận dụng lại nó Tất nhiên việc thôngbáo quá nhiều tri thức phơng pháp trong một tiết học hoặc buổi học là khôngnên bởi nó có thể gây ra tình trạng quá tải về kiến thức hoặc là có những trithức phơng pháp rậm rạp dễ làm cho HS lâm vào tình trạng rối ren.

Đứng trớc một nội dung dạy học, ngời GV cần nắm đợc tất cả các tri thứcphơng pháp có thể có trong nội dung đó Nắm đợc nh vậy không phải là để dạytất cả cho HS một cách tờng minh mà còn phải căn cứ vào mục tiêu và tình hình

cụ thể của chơng trình, của trình độ HS để lựa chọn cách thức và phơng phápdạy phù hợp GV phải làm cho HS hiểu là mục tiêu quan trọng nhất không chỉnắm vững cách giải từng bài tập thậm chí từng dạng bài tập mà là rèn luyện khảnăng giải bài tập nói chung để có thể ứng phó với những tình huống khác nhau,không lệ thuộc vào khuôn mẫu có sẵn Chẳng hạn khi giải PT chứa căn bậc haithì thông thờng HS sẽ nghĩ tới việc đặt điều kiện để hai vế không âm rồi bìnhphơng để khử căn, nhng thực tế không phải bao giờ cũng làm đợc điều đó mà

có thể phải bằng cách đánh giá, hoặc là chuyển đổi ngôn ngữ, hoặc là đặt ẩnphụ,

1.5 Một số khó khăn, trở ngại trong khi dạy và học các kiến thức của hình học không gian

1) Mâu thuẫn giữa một bên là các đối tợng hình học trừu tợng đợc trừuxuất, lí tởng hóa tách khỏi hiện thực khách quan (đối tợng nghiên cứu của toánhọc) và một bên là khi dạy học lại mô tả chúng bằng các hình ảnh hiện thực,hình biểu diễn.Trong khi đó HS đã quen học hình học phẳng từ bậc tiểu họcnên có những khó khăn khi chuyển từ t duy cụ thể sang t duy trừu tợng

2) Trong chơng trình phổ thông hình học đợc xây dựng theo hệ tiên đề

Ơcơlit nên các chứng minh chủ yếu bằng con đờng lập luận logic Nếu HSkhông nắm vững kiến thức trớc đó (khái niệm, định lí, hệ quả, tiên đề, ) sẽ dẫn

đến hiểu sai bản chất của đối tợng hoặc là nhầm lẫn, ngộ nhận giữa đối tợngtrong hình học phẳng với đối tợng trong không gian chẳng hạn

Khi chứng minh một bài toán hình học hoặc giải các dạng toán khác nhau,trong giả thiết là tổ hợp nhiều điều kiện khác nhau, đặc trng cho các đối tợng hìnhhọc khác nhau; chúng ta vẽ một hình nào đó ứng với một trờng hợp trong nhiềutrờng hợp xảy ra để làm điểm tựa trực quan cho chứng minh, cho giải toánnhiều khi hình vẽ đó không bao quát cho nhiều trờng hợp xảy ra dẫn tới tronglập luận chứng minh bỏ sót các trờng hợp khác

3) Khó khăn bộc lộ trong việc định hớng tìm thuật giải, cách giải đối vớicác bài toán không gian cộng với tri thức biện chứng và tri thức cội nguồn cha

đợc sự quan tâm đúng mức

Vì những lí do nêu trên khi dạy hình học cần kết hợp đúng đắn, hợp lí giữacái cụ thể và cái trừu tợng Trực quan chỉ dừng lại ở điểm tựa khoa học cho cácchứng minh suy diễn, lập luận logic Cần chú trọng để học sinh nắm các tínhchất không thay đổi và tính chất thay đổi chuyển từ các hình không gian trừutợng qua hình biểu diễn của chúng, và quan tâm đúng mức rèn luyện cho họcsinh năng lực liên tởng đúng đắn từ hình biểu diễn qua hình thực

Một điều quan trọng nữa là GV phải tạo đợc mắt xích kiến thức

để xây dựng chuỗi các bài toán nhằm củng cố, khắc sâu các khái niệm,

định lí Do thời lợng phân phối chơng trình có hạn nên khi học trên lớp

HS cha đợc vận dụng, rèn luyện kĩ năng nhiều, cha đợc mở rộng khaithác ứng dụng của các khái niệm, định lý Điều này hạn chế đến việc huy

động vốn kiến thức của HS, hạn chế đến việc phát triển t duy của các emtrong học tập

Việc xây dựng chuỗi bài toán sau mỗi phần, mỗi chơng hoặc mỗichủ đề nhằm khắc sâu, ứng dụng khái niệm, định lý còn rất ít và chaphong phú đa dạng Do đó HS vận dụng tri thức đã học vào việc giải bàitoán còn lúng túng Với những kiến thức đó thì cha đủ để HS giải các bàitoán nâng cao chất lợng, bài toán khó Vì vậy cần đặc biệt quan tâm đếnviệc xây dựng chuỗi bài toán – bởi đó là điều kiện cần để phát triển khảnăng liên tởng, năng lực huy động kiến thức, quy lạ về quen

Từ những khó khăn trở ngại đó ta sẽ thấy đợc thực trạng về việchình thành và bồi dỡng năng lực huy động kiến thức trong dạy học toánhiện nay

1.6 Thực trạng về việc hình thành và bồi dỡng năng lực HĐKTtrong dạy học toán hiện nay thông qua chủ đề " Véctơ trong không gian Quan hệ vuông góc"

HĐ giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt mục đích dạy học

toán ở trờng phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải bài tậptoán có vai trò quyết định đối với chất lợng dạy học toán Điều đó còn đòi hỏi

HS biết phát huy tốt năng lực HĐKT của mình

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học đợc sử dụng với những dụng ýkhác nhau Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, đểlàm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra …Tất nhiên, việc dạy giảiTất nhiên, việc dạy giải

một bài tập cụ thể thờng không chỉ nhằm một dụng ý đơn nhất nào đó mà thờngbao hàm những dụng ý nhiều mặt đã nêu Còn GV phải biết một mặt dạy kiếnthức, kĩ năng một mặt dạy cho các em hiểu đợc ý nghĩa của những vấn đề đó đểứng dụng trong những tình huống khác có liên quan.

Hiện nay việc học hình học không gian nói chung và học chủ đề : “Véctơtrong không gian Quan hệ vuông góc” nói riêng đã đợc cải thiện đáng kể bởi:

Thứ nhất:Giáo viên đã đợc trang bị phơng pháp dạy học hiện đại đặc biệt

là sử dụng tốt phơng tiện dạy học vào giảng dạy nên HS tiếp thu kiến thức hìnhhọc đợc trực quan, sinh động hơn

Thứ hai: Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin nên HS

đã đợc tiếp cận một cách nhanh chóng những phần mềm toán học cũng gópphần cho t duy hình học của các em và trí tởng tợng không gian ba chiều đợctốt

Song có thể nói đây là nội dung khó trong chơng trình hình học ở trờngphổ thông bởi nó kết hợp cả kiến thức hình học không gian (hình học cổ điển)

và hình học véc tơ (hình học hiện đại) Nó đòi hỏi HS phải biết sử dụng nhuầnnhuyễn cả kiến thức không gian và kiến thức véctơ và phải biết dịch chuyểnngôn ngữ Chính vì thế khi dạy học chủ đề này GVcần chú trọng phát triển tduy cho HS đặc biệt là t duy logic, t duy sáng tạo dựa vào quan điểm HĐ, quan

điểm kiến tạo và phơng pháp dạy học giải quyết vấn đề HS đợc nghiên cứuhình học trên quan điểm vận động, nghiên cứu sự kiện trong mối quan hệ tác

động qua lại lẫn nhau giữa các đối tợng

Ta đã biết đối với đa số HS việc vận dụng kiến thức vào thực tiễn không

dễ hơn, mà đôi khi còn khó hơn cả về việc thông hiểu kiến thức đó về mặt líthuyết dẫn đến trong một số tình huống phải tự mình quyết định cần sử dụngkiến thức nào đã gây nên những khó khăn nhất định Vì vậy sau khi học xongmỗi bài toán, mỗi tiết học, mỗi chơng GV cần khuyến khích các em tự mình rút

ra những vấn đề then chốt nhất để biến nó thành công cụ hữu ích cho mỗi bàitoán sau này

Vấn đề về thực trạng chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm trong thời gianlàm luận văn này Nó sẽ đợc cụ thể hoá thông qua tiến trình dạy học một số bàitoán Bạn đọc có thể xem tiếp ở phần phụ lục

1.7 Kết luận chơng 1

Để nâng cao chất lợng học tập môn toán cho HS ở trờng phổ thông thì một

trong những yếu tố không thể thiếu đợc đó là việc bồi dỡng và phát triển nănglực HĐKT đã có của HS Điều đó đợc thể hiện qua khả năng giải bài tập toán,khả năng tiếp thu những khái niệm, định lí,…Tất nhiên, việc dạy giảikhả năng vận dụng để kiến tạo kiếnthức.Môi trờng cho những hoạt động đó là việc xây dng chuỗi những bàitoán.Trong quá trình xây dựng đó chúng ta cần phải tạo cho các em niềm tin,tinh thần say mê, hứng thú học toán; tạo cho các em môi trờng t duy, đặt các emtrong các tình huống cần phải động não để đạt đợc khả năng HĐKT tốt nhất.Trong chơng 1 này luận văn đã nêu lên đợc những quan niệm về năng lực,NLHĐ kiến thức, các dạng biểu hiện cơ bản của năng lực thông qua một số ph -

ơng pháp dạy học không truyền thống Bên cạnh đó chơng 1 cũng đã đề cập

đến vai trò và thực trạng của việc rèn luyện và phát triển năng lực HĐKT cho

HS hiện nay thông qua điều tra mẫu

Khi dạy học hình học không gian đặc biệt là chơng “Véctơ trong khônggian Quan hệ vuông góc” HS gặp khó khăn chủ yếu là: Đứng tr ớc bài toánhình học cần dựa trên cơ sở nào để HĐKT một cách đúng đắn Để đáp ứng nhucầu trên trong chơng 2 chúng tôi đa ra một số biện pháp nhằm bồi dỡng nănglực HĐKT đã có của HS trong dạy học giải toán ở trờng phổ thông

Chơng 2

một số phơng thức tăng cờng năng lực huy động kiến thức của HS trong quá trình dạy giải toán 2.1 Các định hớng xây dựng và thực hiện các phơng thức s phạm

Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của chơng trìnhgiảng dạy trong nhà trờng Đối với HS thì giải toán là hình thức chủ yếu củaHĐ toán học nhằm thực hiện tốt chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chứcnăng phát triển, chức năng trí tuệ và chức năng kiểm tra Đối với GV, dạy họcgiải toán là một trong những vấn đề quan trọng của quá trình dạy học, GVkhông dừng lại ở mức độ hớng dẫn HS trình bày một lời giải đúng đắn, đầy đủ

và có căn cứ chính xác mà phải biết cách hớng dẫn HS thực hành giải bài tậptheo hớng tìm tòi, tự nghiên cứu lời giải Để từ những bài toán cơ bản có thểphát triển nên những bài toán mới, đa dạng

Từ đó chúng tôi đã có những định hớng sau đây cho việc xây dựng vàthực hiện một số phơng thức s phạm nhằm phát triển năng lực HĐKT cho HStrong dạy học giải toán ở trờng phổ thông

Định hớng 1: Các biện pháp s phạm đợc xây dựng phải dựa trên nền tảng

tri thức chuẩn của sách giáo khoa Toán hiện hành

Định hớng 2: Các biện pháp s phạm cần bảo đảm tạo ra khó khăn đúng

mức, nhằm làm cho học sinh đợc tham gia vào quá trình hình thành tri thức và

kỹ năng

Định hớng 3: Hệ thống các biện pháp phải đảm bảo sự kích thích hứng

thú học tập, nhằm phát huy tính tích cực và năng lực trí tuệ của học sinh

Định hớng 4: Các biện pháp s phạm đợc đề xuất phải dựa trên vốn kiến

thức của học sinh và việc liên tởng, huy động các kiến thức một cách hợp lý sẽgóp phần giải quyết các vấn đề Toán học

Định hớng 5: Các biện pháp s phạm đợc đề xuất phải đảm bảo tính khả

thi, và thông qua các biện pháp, học sinh phải thấy đợc vai trò của năng lực huy

động kiến thức trong dạy học giải toán

Sau đây là một số các phơng thức s phạm nhằm tăng cờng năng lực HĐKT của

HS trong quá trình dạy học giải toán

2.2 Phơng thức 1: Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo nhiều hình thức khác nhau để lựa chọn cách huy động kiến thức đã có thích hợp cho lời giải bài toán

2.2.1.Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo nhiều góc độ khác nhauđể phát huy đợc năng lực HĐKT

Trong một bài toán, một vấn đề toán học có đại lợng bất biến cũng có đạilợng biến thiên Vì vậy khi đứng trớc một vấn đề ngời làm toán phải biết xemxét mối liên hệ giữa các đại lợng, phải biết nhìn nhận mọi khả năng có thể xảy

ra đối với vấn đề mình đang quan tâm và nh vậy là phải có sự biến đổi bài toán

Có nhiều cách thức khác nhau để biến đổi bài toán, chẳng hạn là sự biến

đổi hình thức của bài toán Cách thức này dựa trên tri thức của triết học duy vậtbiện chứng: một nội dung có thể diễn đạt bằng nhiều hình thức khác nhau(nhiều góc độ khác nhau) Biến đổi bài toán cũng có thể đợc tiến hành đồngthời cả nội dung và hình thức thông qua tiến trình biến đổi t ơng đơng, hoặcbiến đổi bài toán về “gần” với bài toán quen thuộc Ta sẽ xét ví dụ sau đây đểlàm sáng tỏ luận điểm này:

Bài toán 1: Cho hình thang ABCD có = =900,AD = 2a, AB = BC = a, trêntia Ax vuông góc với mp(ABCD) lấy điểm S sao cho AS = a 2 Xác định vàtính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng AB và SC

Trớc hết, ta có thể xem xét các đại lợng (một cách tơng đối) của bài toán nh:

+) Đại lợng bất biến (không thay đổi): = =900, Ax  mp(ABCD)

+) Đại lợng biến thiên: hình thang ABCD, AD = 2a, AB = BC = a,

AS = a 2

Từ những nhận xét trên ta tìm cách biến đổi một phần của đại l ợng biếnthiên chẳng hạn nh thay hình thang bởi hình vuông, bài toán trở thành: “ Chohình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh AB = a Cạnh

SA = h và vuông góc (ABCD) Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéonhau SC và AB”(1)

Rõ ràng khi giải bài này sẽ không khó khăn vì để dựng đờng vuông gócchung của SC và AB là MN thì ta có thể dựng đờng thẳng AH vuông góc SD,sau đó dựng MN∥AH Đây là một hoạt động tạo t duy linh hoạt cho HS, và bớc

đầu hình thành cho các em kỹ năng biết tìm ra bài toán mới nhờ việc biến đổimột phần giả thiết hoặc phát biểu bài toán bằng cách tơng tự hoá

GV đa HS trở về bài toán ban đầu, lúc này các em đã đợc định hớng, đã có

sự liên tởng đến kiến thức cần phải sử dụng Để chuyển việc xét hình thang về

việc xét hình vuông ta chỉ cần kẻ từ C đờng thẳng song song với AB và cắt ADtại I Lúc này ta sẽ làm việc với hình chóp SABI rất gần gủi với hình chóp trongbài (1).(Hình vẽ)

Để tính khoảng cách của hai đờng thẳng chéo nhau SC và AB ta có thểnhìn nhận bài toán bằng nhiều hình thức (góc độ) khác nhau, chẳng hạn:

Góc độ 1:

- Từ C dựng CI // AB (I  AD); dựng AH  SI (H SI )

- Từ H dựng HM // CI ( M  SC )

dựng MN // AH ( N  AB)

- MN là đoạn vuông góc chung của SC và AB

SAI vuông tại A và AH là đờng cao nên:

2 2 2 2 2 2

2

3 1 2

1 1 1 1

a a a AI SA

đa về việc tính khoảng cách giữa AB với mp(SCI)

hay khoảng cách từ A tới mp(SCI)

Góc độ 3: Gọi (P) là mặt phẳng qua SC và CI; (Q) là mặt phẳng qua AB

Bài toán 2: Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a Tính

khoảng cách giữa hai đờng thẳng BC’ và CD’ ?

Để tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau ta có thể xem xétchúng trên những góc độ, khía cạnh phù hợp với sơ đồ tri thức đã có, hoặc từ tri

N

M

x

Hình 1

thức, kinh nghiệm đó đề xuất những vấn đề tơng đơng với những vấn đề đã đợcgiải quyết nhằm phát triển tri thức một cách sâu rộng hơn có cách nhìn vấn đềmột cách toàn diện hơn

Bằng thao tác t duy, HS hoàn toàn chứng minh

đợc B’D  (BA’C’) tại G; B’D  (D’AC) tại G’;

thêm trong nội tại của nó để hình thành tri thức mới,

chẳng hạn có thể đề xuất bài toán sau:

Bài toán 2.1:Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cạnh a CMR đờng chéo B’D

lần lợt đi qua trọng tâm G, G’của tam giác ACD’,BA’C’.”

Góc độ 2: (Hình 2)

Xét khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách giữa đờng thẳng a ∥ (P)  b

Với hớng suy nghĩ này chúng ta sẽ phải chọn một mặt phẳng chứa một đ

-ờng thẳng và song song với đ-ờng thẳng còn lại:

Bài toán 2.2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, có cạnh AB = AC = a, gọi O là

trung điểm của BD Từ B kẻ đờng thẳng cắt C’O tại H Chứng minh H thuộc ờng tròn tâm B

Bài toán 2.3: Cho hai hình vuông ABA’B’ và CDA’B’ cạnh a, trên đờng

thẳng Dx không vuông góc với mặt phẳng (CDA’B’) lấy một điểm H Hãy xác

định vị trí của H để khoảng cách BH là nhỏ nhất

Cách giải của hai bài toán vừa đề xuất chính là cách giải của bài toán vềtìm khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau

Góc độ 3: (Hình 3)

Xem khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau a và b là đờng vuông góc chung của chúng.

Từ nhận xét đó ta hình thành sơ đồ kiến thức cần huy động nh sau:

- Gỉa sử MN là đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau.Tacần tìm vị trí của M trên BC’ và N trên CD’:

CN

 '  CE =