Dạy học chủ đề giới hạn, đạo hàm, tích phân theo hướng tiếp cận lịch sử phát triển của toán học

Mặc dù một kiến thức toán họckhi đa vào chơng trình phổ thông không nhất thiết phải giống đúc sự hìnhthành và phát triển của kiến thức đó trong lịch sử toán học nhng trong một sốtrờng hợ

Nguyễn Thị Tố Nga

Dạy học chủ đề giới hạn, đạo hàm, tích phân theo hớng tiếp cận lịch sử

phát triển của toán học

KHóa luận tốt nghiệp đại học

Ngành Cử nhân S phạm Toán

Cán bộ hớng dẫn khoá luận

TS Chu Trọng Thanh

Vinh 2006

Phần mở đầu

1- Lý do chọn đề tài

Luật Giáo dục 1998, chơng I, điều 24 nhấn mạnh: “Phơng pháp giáodục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạocủa học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dỡng ph-

ơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động

đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là một hình thức phát huy tínhtích cực t duy của học sinh có hiệu quả cao Mặc dù một kiến thức toán họckhi đa vào chơng trình phổ thông không nhất thiết phải giống đúc sự hìnhthành và phát triển của kiến thức đó trong lịch sử toán học nhng trong một sốtrờng hợp có thể, nếu sử dụng t liệu lịch sử toán để gợi động cơ hình thànhmột chủ đề nào đó, đặc biệt là khái niệm toán học thì sẽ đạt đợc kết quả rấttốt Sử dụng lịch sử toán khi gợi vấn đề để tiến tới một khái niệm sẽ hìnhthành biểu tợng đúng đắn cho học sinh Vì rằng ấn tợng ban đầu giữ vai tròquan trọng đối với quá trình học tập, nó quyết định tính chất đúng đắn hay sailầm của việc ghi nhớ tài liệu học Điều quan trọng nhất đối với học sinh là trithức mà các em thu nhận có thể vận dụng vào trong thực tế, vào sự phát triểncủa xã hội hay lợi ích của chính bản thân các em Đa ra những tình huống màlịch sử toán học đã trải qua để tiến tới một kiến thức nào đó là làm rõ mối liên

hệ giữa toán học và thực tiễn, nó có tác dụng kích thích các em hoạt động họctập

Với việc dạy học nh vậy học sinh sẽ tiếp cận kiến thức toán học, xét vềmặt nào đó, gần giống với việc nghiên cứu của các nhà toán học Các em sẽbiết đợc từ đâu mà xuất hiện kiến thức ấy, tạo cho các em không khí học tập

nh là tập dợt nghiên cứu khoa học, từ đó lĩnh hội đợc kinh nghiệm lịch sử củaxã hội Vì vậy sử dụng t liệu lịch sử toán để gợi động cơ không những giúphọc sinh nắm chắc kiến thức mà còn bồi dỡng nhân cách cho các em, theo nhngôn ngữ của Grigôri Vinxki - nhà tâm lý học Nga, đó là sự giáo dục chứkhông chỉ đơn thuần là việc dạy học

Với những lý do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài khoá luận là

“Dạy học chủ đề Giới hạn,Đạo hàm,Tích phân theo hớng tiếp cận lịch sử phát triển của toán học”.

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất một hớng tiếp cận lịch sử toán để dạy học một số nội dung toánhọc nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận: vấn đề tích cực hoá hoạt động nhận thức củahọc sinh; khai thác các kiến thức lịch sử toán phục vụ cho việc tổ chức hoạt

động nhận thức của học sinh

- Nêu ra định hớng giảng dạy kiến thức Giới hạn,Đạo hàm,Tích phântheo hớng tiếp cận lịch sử phát triển của toán học

- Tiến hành kiểm nghiệm trong thực tế đối với một số nội dung nhằm

b-ớc đầu đánh giá tính khả thi, tính hiện thực, tính hiệu quả của đề tài

5 Giả thuyết khoa học

Trong dạy học môn Toán nếu giáo viên biết khai thác các t liệu lịch sửmột cách hợp lý sẽ làm cho hoạt động học tập của học sinh tích cực, gây đợchứng thú, hiệu quả dạy học nhờ thế để nâng cao

6 Đóng góp của khoá luận

Tổng hợp một số t liệu lịch sử toán liên quan đến nội dung môn toánphổ thông, đề xuất một định hớng khai thác các t liệu đó trong quá trình dạyhọc một số nội dung môn toán phổ thông

7 Cấu trúc của khoá luận

Chơng 1 Cơ sở lí luận của vấn đề dạy học Toán theo hớng tiếp cận lịch sử phát triển của Toán học

1.1 Vấn đề tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh

1.2 Khai thác các kiến thức lịch sử Toán phục vụ cho việc tổ chức hoạt

động nhận thức của học sinh

1.3 Đặc điểm kiến thức chủ đề “Giới hạn”, “Đạo hàm”, “Tích phân”

Chơng 2 Dạy học chủ đề Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân theo hớng tiếp cận lịch sử phát triển của Toán học.

2.1 Một số t liệu lịch sử liên quan đến các kiến thức Giới hạn, Đạohàm, Tích phân

2.2 Một số lu ý khi sử dụng t liệu lịch sử Toán trong dạy học môn Toánphổ thông

2.3 Một số định hớng khai thác kiến thức lịch sử Toán vào dạy học chủ

đề Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân

2.4 Minh hoạ bằng một số nội dung

Chơng 3 Kiểm nghiệm thc tiễn một số nội dung

Chơng 1Cơ sở lí luận của vấn đề dạy học Toán theo hớng tiếp cận

lịch sử phát triển của Toán học

1.1 Vấn đề tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh

1.1.1 Tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh

Hiệu quả lĩnh hội tri thức không phải chỉ là ở chỗ tri giác và giữ lạithông tin mà còn ở chỗ cải biến có kết quả thông tin ấy Điều này đòi hỏi chủthể phải hoạt động tích cực, tìm tòi, khám phá những khâu còn thiếu trongthông tin đã tiếp thu đợc, cải biến nó thành cái có nghĩa đối với mình

Đổi mới phơng pháp dạy học ở nhà trờng phổ thông phải tiến hành theohớng ngày càng phát huy tính tích cực của học sinh và tăng cờng hoạt động trítuệ độc lập của các em trong quá trình thu nhận tri thức, rèn luyện kĩ năng, kỹxảo

Tích cực hoá việc dạy học không phải chỉ có giá trị về mặt kết quả trídục mà còn đặc biệt quan trọng về mặt giáo dục, nó ảnh hởng đến nhân cáchcủa học sinh Phát huy tính tích cực học tập của học sinh có tác dụng pháttriển những đức tính quý giá nh: tính mục đích, lòng ham hiểu biết, tính kiêntrì, óc phê phán,… Những phẩm chất cá nhân này trở thành những yếu tố kíchthích bên trong điều chỉnh hoạt động nhận thức của học sinh, đó là những điềukiện hết sức quan trọng giúp cho việc học tập đạt kết quả tốt

Khoa học s phạm đã tìm ra đợc nhiều thủ thuật phát huy tính tích cựchoạt động nhận thức của học sinh Trong số đó, dạy học phát hiện và giảiquyết vấn đề đặc biệt có giá trị quan trọng Đó là một hình thức có hiệu quả

để tổ chức sự tìm tòi sáng tạo của học sinh khi tiếp thu tri thức thông qua việcphát hiện và giải quyết các vấn đề Ngày nay có nhiều lí thuyết nghiên cứuhoạt động học của học sinh, trên cơ sở đó có nhiều mô hình dạy học đợc đềxuất Tất cả các mô hình đó đều hớng vào việc phát huy tính tích cực của họcsinh trong học tập

1.1.2 Tâm lí học hoạt động

Động cơ là yếu tố thúc đẩy con ngời hoạt động, đó là sự gặp gỡ giữa nhucầu của chủ thể và đối tợng của hoạt động Khi đối tợng có khả năng thoả mãnmột nhu cầu nào đó của con ngời, nó kích thích con ngời hoạt động, nó trở thành

động cơ Tức là động cơ của hoạt động hiện thân ở đối tợng của nó khi chủ thể ýthức đợc nó

Trong hoạt động học tập, tri thức khoa học, kỹ năng, kỹ xảo là đối tợngcủa hoạt động học và cũng là hiện thân của động cơ ở học sinh có hai độngcơ học tập chủ yếu: động cơ bên trong và động cơ bên ngoài.

Những động cơ bên trong là những động cơ mà đối tợng học gắn liềnvới nhu cầu, hứng thú phát triển, tìm kiếm tri thức mới, lòng ham hiểu biết(gọi là động cơ hoàn thiện tri thức) hoặc sự say mê với việc giải quyết cácnhiệm vụ học, nhu cầu vận dụng tri thức (gọi là nhu cầu về chính bản thânhoạt động học) Các em sẽ cảm thấy thoả mãn khi lĩnh hội đợc một tri thức, kỹnăng, kỹ xảo hay khi hoàn thành một nhiệm vụ học Hoạt động học đợc thúc

đẩy bởi động cơ bên trong thờng không gây ra sự căng thẳng tâm lí

Động cơ bên ngoài (hay động cơ quan hệ xã hội) là loại động cơ mà đốitợng của nó không gắn với đối tợng của hoạt động học Khi đó, sự lĩnh hội trithức, kỹ năng, kỹ xảo… chỉ là điều kiện, là phơng tiện để đạt tới một mục

đích khác, một đối tợng khác có khả năng thoả mãn những nhu cầu của quan

hệ xã hội ở học sinh nh nhu cầu tự khẳng định, đợc thừa nhận hay vì nghềnghiệp tơng lai,… Loại động cơ này thúc đẩy hoạt động học nh là sự cỡngbách từ bên ngoài, điều đó gây ra ở học sinh sự xung đột nội tâm, sự căngthẳng tâm lí

Hoạt động học tập của học sinh thờng đợc thúc đẩy bởi cả hai động cơtrên Nếu giáo viên luôn đa đợc học sinh vào những tình huống đòi hỏi n phảigiải quyết một vấn đề nhận thức và hớng dẫn học sinh giải quyết tình huống

để phát hiện ra cái mới (tri thức, phơng pháp,…) sẽ hình thành ở các em nhucầu, hứng thú đối với tri thức khoa học và với chính bản thân hoạt động học.Trong trờng hợp này, động cơ bên trong sẽ đóng vai trò chủ đạo, chiếm u thếtrong hệ động cơ, giúp học sinh vợt qua khó khăn, trở ngại, từ đó các em sẽhọc tập một cách tự giác, tích cực

Nh vậy, trong dạy học để tích cực hoá hoạt động nhận thức ở học sinh,

điều quan trọng là phải hình thành ở các em nhu cầu nhận thức, hiểu biết, qua

đó xây dựng một hệ động cơ mà những động cơ bên trong đóng vai trò chủ

đạo trong hoạt động học tập của học sinh

Theo A.N.Leonchiep trong bất cứ hoàn cảnh nào, một tri thức trở thànhcái gì đó đối với trẻ và đứa trẻ lĩnh hội nó nh thế nào đợc quy định bởi những

động cơ cụ thể Động cơ khác nhau, tất nhiên kết quả học tập cũng khác nhau;

sự khác nhau ở đây không chỉ ở mức độ thành công của sự lĩnh hội ấy Vậy,

động cơ nh thế nào thì đứa trẻ hoạt động tích cực, tự giác? Nhiệm vụ của

chúng ta là phải làm cho các em nhận thấy những tri thức mà các em cần lĩnhhội trở thành một cái có ý nghĩa đối với chúng, có vị trí nh thế nào trong đờisống cá nhân của chúng và có ý nghĩa đối với cộng đồng.

ý của một tri thức đối với bản thân các em là gì? Đó không phải thuầntuý là lĩnh hội đợc nó mà còn mang sắc thái tình cảm, cảm xúc của chính bảnthân các em đối với tri thức ấy Đứng trớc một kiến thức, bằng cách gợi độngcơ chúng ta sẽ xây dựng nên ở học sinh một xúc cảm tốt, giúp các em tích cựchoạt động

Đối với đứa trẻ, tài liệu học tập càng hứng thú bao nhiêu thì nó lĩnh hội

và ghi nhớ dễ dàng bấy nhiêu Hứng thú lại gắn với các cảm xúc, các nhu cầu

Để kích thích hứng thú, không phải là chúng ta đề ra mục đích, rồi cố gắng biện

hộ về mặt động cơ cho hành động hớng vào mục đích xác định, mà ngợc lại,cần phải tạo nên động cơ và sau đó vạch ra khả năng tìm mục đích bằng cách sửdụng một hệ thống các động cơ trung gian và động cơ hớng đích

Nh vậy, nội dung nhận thức của ý thức phụ thuộc vào thái độ đối với cái

đợc nhận thức Giáo viên cần phải làm sao cho học sinh có thái độ học tậpthích hợp; chỉ trong điều kiện đó thì những tri thức mới trở nên sinh động đốivới các em, từ đó quy định thái độ của các em đối với thế giới, vì thế giáo dục

động cơ học tập phải đặt trong mối quan hệ với sự phát triển của cuộc sống,với sự phát triển của nội dung của các quan hệ sống thực của trẻ em

1.2 Khai thác các kiến thức lịch sử Toán phục vụ cho việc

tổ chức hoạt động nhận thức của học sinh.

Yêu cầu đổi mới phơng pháp dạy học đang là vấn đề nổi bật nhất đặt racho ngành Giáo dục nớc ta hiện nay Hẳn chúng ta đã đợc nghe không ít lầnnhững cụm từ “học tập trong hoạt động và bằng hoạt động” hay “hoạt độnghoá ngời học” Các giáo viên trớc khi lên lớp đều suy nghĩ là làm sao cho giờdạy của mình học sinh hoạt động sôi nổi, tích cực giơ tay phát biểu, nhng điều

đó hoàn toàn cha đủ Nhiệm vụ của chúng ta không chỉ là truyền tải kiến thức

mà còn là giáo dục, nghĩa là từ dạy học mà chúng ta rèn luyện nhân cách chocác em

Tri thức khoa học có đơn vị cơ bản, nền tảng là các khái niệm khoa họcTri thức của mỗi khoa học là một hệ thống khái niệm trong một mói quan hệlogic với nhau.Vì vậy sự hình thành khái niệm khoa học có vai trò rất quantrọng trong hoạt động học của học sinh Mỗi khái niệm khoa học chứa đựngtrong đó quá trình lịch sử hình thành nó, vì vậy lĩnh hội khái niệm có nghĩa là

lĩnh hội cả lịch sử của nó Hơn nữa, khái niệm chứa đựng lôgic phát triển của

đối tợng, cấu trúc lôgic thao tác mà loài ngời đã sử dụng để phát hiện ra nó

Dạy học truyền thống lấy trình độ “hiểu” làm mục đích; giáo viên cố gắngtrình bày, giảng giải, mô tả lôgíc khái niệm Với phơng pháp này, học sinh có thểhiểu đợc, có biểu tợng về khái niệm, hình dung đợc cấu trúc lôgic hình thức, giảithích và vận dụng đợc vào tình huống quen thuộc nhng các em lại không có đợcmột năng lực hành động mới thực sự, có tính tổng quát

Tâm lí học hoạt động thì có quan niệm khác hẳn Theo nó, lĩnh hội mộtkhái niệm là học sinh nắm vững, thực hiện đợc lôgic thao tác của nó, do đó, cóthêm một năng lực hành động mới Nh vậy, để hình thành khái niệm ở họcsinh, giáo viên phải tổ chức cho học sinh hành động tác động vào khách thểtheo đúng lôgic của khái niệm mà loài ngời đã tìm ra Điều đầu tiên là phảilàm nảy sinh ở học sinh nhu cầu nhận thức, nhu cầu lĩnh hội khái niệm mà nócần chiếm lĩnh Sử dụng t liệu lịch sử Toán trong việc gợi động cơ hình thànhkhái niệm là phơng pháp có rất nhiều u điểm Thứ nhất, nó định hớng đúng

đắn để các em khám phá tri thức, các nhà toán học cũng đã tìm ra kiến thứcbắt đầu từ đó Thứ hai, từ động cơ ban đầu đó đến khi có khái niệm, quá trìnhnày chứa đựng cả lịch sử hình thành, cấu trúc lôgic của khái niệm đó Thứ ba,phơng pháp này đem lại hứng thú cho học sinh vì rằng các em sẽ cảm thấy tựmình đã khám phá ra tri thức đó, tất nhiên dới sự hớng dẫn của giáo viên,thành quả này giúp các em hăng say học tập, tích cực, tự giác, định hớng chocác em phơng pháp tự nghiên cứu các vấn đề khác, từ đó rèn luyện t duy độclập, sáng tạo cho các em Thứ t, quá trình học tập đi từ động cơ ban đầu để tìm

ra tri thức, các em sẽ trải qua những khó khăn, những mâu thuẫn và học đợccách giải quyết mâu thuẫn, bồi dỡng t duy biện chứng Một số t liệu làm rõmối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, “từ thực tiễn đến t duy trừu tợng, từ tduy trừu tợng lại trở về thực tiễn”, nó giúp các em có cái nhìn đúng đắn về thếgiới, góp phần hoàn thiện nhân cách của các em

Mặc dù phơng pháp này đòi hỏi khá nhiều thời gian, nhng nếu điềuchỉnh hợp lí trong giảng dạy nó sẽ đem lại kết quả tốt

1.3 Đặc điểm kiến thức chủ đề “Giới hạn”, “Đạo hàm”, “Tích phân”.

1.2.1 Giới hạn

Khái niệm Giới hạn là cơ sở của Giải tích toán học Các khái niệm giớihạn và liên tục đã đợc các nhà toán học nhận thức và sử dụng một cách trực

giác ngay từ thời cổ đại Archimède (thế kỷ III TCN) đã biết xem chu vi củamột đờng tròn là giới hạn của chu vi các đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp trong

đờng tròn đó Hai nhà toán học ở thế kỷ XVII là Newton và Leibniz đã xâydựng và phát triển phép tính vi tích phân trên cơ sở vận dụng một cách trựcgiác khái niệm giới hạn Đến thế kỷ XVIII, nhà toán học Pháp Cauchy mới đa

ra định nghĩa chính xác về giới hạn, liên tục

Trớc khi bớc vào học về giới hạn, học sinh lớp 11 chỉ t duy theo kiểu

“hữu hạn, rời rạc” của Đại số, nay đợc làm quen với kiểu t duy “vô hạn, giớihạn, liên tục” của Giải tích Có thể nói đây là bớc chuyển biến về chất trongnhận thức, t duy của học sinh Vì vậy, nội dung của chơng này chiếm một vịtrí rất quan trọng

Theo cách xây dựng của sách giáo khoa lớp 11 hiện hành, giới hạn củadãy số là cơ sở để xây dựng định nghĩa giới hạn của hàm số và cuối cùng là đi

đến hàm số liên tục Ngay từ bài đầu tiên học sinh đã gặp khó khăn với địnhnghĩa giới hạn của dãy số

“Ta nói rằng dãy số (U n ) có giới hạn là a nếu với mọi số dơng  cho

tr-ớc (nhỏ bao nhiêu tuỳ ý), tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi n > N thì

U n - a  < .

Định nghĩa khá rắc rối, cấu trúc câu thì phức tạp, hơn nữa đây là lần

đầu tiên học sinh tiếp cận với kí hiệu Hi lạp .Học sinh khá thì thắc mắc là tạisao đã nói là “với mọi số dơng  cho trớc” còn sử dụng cụm từ “nhỏ bao nhiêutuỳ ý” làm gì? Thực ra, nếu không có lời giải thích đó các em sẽ ít chú trọng

đến tính chất “vô cùng bé”, đặc trng cơ bản của Giải tích và các em có thểcảm thấy dễ hiểu hơn nhng khi nghĩ đến giá trị  thì t duy lại theo kiểu “rờirạc” của Đại số Lời giải thích này hớng vào kiểu t duy “liên tục”, tránh nhậnthức sai lầm ngay từ lần tiếp xúc ban đầu Học sinh kém thì cho rằng lời giảithích này chẳng thể hiểu nổi Trong khi dạy, giáo viên phải lu ý tới học sinh

kí hiệu limUn là sự đơn giản hoá của kí hiệu





n Un lim và các em phải thống nhất

kí hiệu này trong cùng một bài toán bởi đa số học sinh trong khi giải toán ờng trình bày kí hiệu một cách rất lộn xộn

th-Sang phần Giới hạn của hàm số, trong một số trờng hợp học sinh có thể

nh sau: “Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K, có thể trừ điểm a  K Ta

nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L (hay dần tới L) khi x dần tới a, nếu với mọi dãy số (x n ) (x n  K, x n  K,  n  N*) sao cho khi limx n = a thì limf(x n )

) x ( f lim

 bằng định nghĩa đều rơi vào trờng hợp f(x)không xác định tại x = a, khi đó mọi dãy (xn) thoả mãn: xn  K, xn  a là đểf(xn) xác định trên K

Một trong những giới hạn quan trọng nhất trong phần giới hạn hàm số

là dạng

0

0

Giáo viên nên đa ra phơng pháp cụ thể đối với dạng toán này: nếu

gặp bài toán tìm limxf(ax)

 , trớc hết ta thay giá trị a và hàm f(x), nếu f(a) có

) x ( A ) x ( B ) a x (

) x ( A ) a x (

* Các quan điểm định nghĩa sự liên tục - gián đoạn của hàm số tại 1

điểm.

Có nhiều điểm khác nhau về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểmtrong các sách giáo khoa, từ đó có nhiều tranh cãi về điểm gián đoạn Sau đâychúng ta nhìn nhận điểm khác nhau đó trong các sách giao khoa Toán phổthông của nớc ta trong những năm qua

Sách Đại số và Giải tích 11, Ban Khoa học t nhiên(1996), Phan ĐứcChính - Trần Văn Hạo - Ngô Xuân Sơn và sách Đại số và Giải tích 11(1996),Phan Đức Chính - Ngô Hữu Dũng đa ra định nghĩa sau:

“Hàm số y = f(x) gọi là liên tục tại điểm x = x 0 nếu

i) f(x) xác định tại x = x 0

ii)

0 x x

x f



) ( lim = f(x

0 )”.

Hàm số không liên tục tại điểm x0 thì gọi là gián đoạn tại điểm x0 Nhvậy, theo sách này, hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x0 nếu xảy ra ít nhất mộttrong ba điều kiện sau:

1 f(x) không xác định tại x = x0

2 Không tồn tại

0 x x

) x ( f lim

3 Tồn tại

0 x x

) x ( f lim

 nhng

0 x x

) x ( f lim

  f(x0)

Đại số và Giải tích 11, chỉnh lý hợp nhất năm 2000 lại đa ra định nghĩasau:

“Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b) Hàm số f(x) đợc gọi là

liên tục tại điểm x 0  (a, b) nếu

0 x x

x f



) ( lim = f(x

0 )”.

Nếu tại điểm x0 hàm số f(x) không liên tục thì nó đợc gọi là gián đoạntại x0

Theo sách chỉnh lý hợp nhất, hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x0 nếu xảy

ra một trong hai điều kiện:

1 Không tồn tại

0 x x

) x ( f lim

2 Tồn tại

0 x x

) x ( f lim

 nhng

0 x x

) x ( f lim

  f(x0)

Nh vậy, nếu tại điểm x0 hàm số không xác định thì chúng ta không xéttính liên tục cũng nh tính gián đoạn tại điểm đó Điều này cũng đợc khẳng

định trong Tài liệu Hớng dẫn giảng dạy Toán 11(trang 74) nh sau:

“ Ta không đặt vấn đề xét tính liên tục hay gián đoạn của các điểm

6 x x

2 2





 , câu trả lời

đợc cho trong sách Bài tập Đại số - Giải tích 11 là hàm này không liên tục tại

x = 0 và x = 2 Rõ rang hai giá trị 0, 2 không thuộc tập xác định của hàm sồ

đã cho Nh vậy, theo hóng dẫn trên thì ta không xét tính liên tục hay gián đoạn

của hàm số tại hai điểm này Câu trả lời nh vậy là có mâu thuẫn giữa phần lýthuyết và phần bài tập

Sách Đại số và Giải tích 11, Ngô Thúc Lanh - Vũ Tuấn - Ngô XuânSơn, định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm tơng tự nh sách chỉnh lý hợpnhất 2000:

“Một hàm số f(x) xác định trên tập số D, gọi là liên tục tại điểm x 0  D

lim = f(x

0 )”.

Hàm số f(x) không liên tục tại điểm x0 thì gọi là gián đoạn tại điểm x0

Tuy nhiên sau đó sách đã đa ra chú ý: “Nh vậy một hàm số f(x) là liên tục tại

điểm x 0 nếu và chỉ nếu ba điều kiện sau đợc thỏa mãn đồng thời:

1 f(x) xác định tại x = x 0

2

0 x x

x f



) ( lim tồn tại.

3

0 x x

x f



) ( lim = f(x

Tuy đa số học sinh đều tính đợc đạo hàm của các hàm đa thức, hàm hữu

tỷ, hàm lợng giác, hàm luỹ thừa, hàm logarit,… nhng các em gặp khó khănkhi lần đầu tiên tiếp xúc với đạo hàm hàm số hợp, giáo viên nên cho học sinhluyện tập dạng toán này nhiều Đối với bài toán tính đạo hàm bằng định nghĩa,học sinh thực hiện theo các bớc và cho kết quả chính xác Tuy nhiên, yêu cầucác em phát biểu định nghĩa là một trong những bài toán khó nhất trong chơngnày

“Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a, b), x0  (a, b) giới hạn, nếu cócủa tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x0, khi số gia của đối

số dẫn tới 0, đợc gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0”

Định nghĩa khá phức tạp và dài dòng, vì vậy không thể thuộc nó nếukhông hiểu thật kĩ nội dung Học sinh thờng phát biểu định nghĩa bằng công

thức f’(x0) =

x

) x ( ) x x (

tồn tại giới hạn đó hay không Các định nghĩa số gia của hàm số, số gia của

đối số đã đợc học ở lớp 11 và đến lớp 12 lại đợc nhắc lại một lần nữa, mặc dùvậy đa số các em vẫn cha nắm đợc khái niệm này

Do vậy, không ít em không nhận ra đợc

0

0 x

) x ( ) x ( lim

0 



cũng là đạo hàm của hàm số tại điểm x0

Mục đích chính của giáo viên khi dạy định nghĩa là làm sao cho họcsinh nắm đợc nội dung của nó Chính vì vậy hình thành khái niệm đạo hàm làmột bớc rất quan trọng Nếu giáo viên không dạy bài toán mở đầu kĩ càng màvội vàng đi ngay vào định nghĩa và các quy tắc tính thì coi nh không dạy gì cả.Nhng vấn đề là dạy bài toán mở đầu nh thế nào thì đem lại hiệu quả cao nhất?

1.3.3 Tích phân

Sách giáo khoa lớp 12 hiện hành định nghĩa Tích phân dựa vào Định lýNewton - Leibniz Cách xây dựng tích phân nh vậy tuy không đi theo lịch sửphát triển của tích phân nhng nó rất dễ hiểu đối với học sinh và phù hợp vớiquy định giảm tải của Bộ Giáo dục Kiến thức toán học khi đa vào chơng trìnhphổ thông không nhất thiết phải giống đúc sự hình thành và phát triển củakiến thức đó trong lịch sử toán học; định nghĩa tích phân nh hiện nay làm chohọc sinh dễ tiếp thu và dễ vận dụng vào giải toán Tuy nhiên, khi học xong ch-

ơng này rất ít học sinh nhận thấy đợc nguồn gốc thực tiễn của tích phân: kháiniệm tích phân ra đời là do bài toán tìm diện tích và thể tích Mặc dù các bàitoán yêu cầu tính diện tích hình phẳng, thể tích các hình tròn xoay đợc họcsinh thực hiện khá thành thạo nhng là một cách máy móc và chúng không có

ấn tợng đặc biệt gì đối với các em Đa số học sinh đều cho rằng dờng nh họcchơng Tích phân là để tính tích phân, nhiều ngời còn đặt câu hỏi: “Có cầnthiết phải đa tích phân vào chơng trình lớp 12 hay không vì có nguyên hàm làquá đủ rồi?”

Học sinh thờng mắc sai lầm đối với những bài toán đổi biến dạng 1,

định lý đổi biến nh sau:

Nếu: 1 Hàm số x = u(t) có đạo hàm liên tục trên []

2 Hàm số hợp f(u(t)) đợc xác định trên []

3 u() = a, u() = bkhi đó bf ( x ) dx f ( u ( t )) u ' ( t ) dt

Trong khi giải các bài toán, học sinh thờng không chú ý đến điều kiện

2, vì thế thờng mắc phải sai lầm, đặc biệt là những bài toán đổi biến đa về hàmlợng giác có chứa tg và cotg…

Kết luận chơng 1

- Đổi mới phơng pháp dạy học ở nhà trờng phổ thông theo hớng tíchcực hoá đợc nhận thức của học sinh, dạy học gợi vấn đề là phơng pháp đem lạihiệu quả cao nhất

- Động cơ là yếu tố định hớng, thúc đẩy con ngời hoạt động ở học sinh

có hai loại động cơ học tập chủ yếu: động cơ bên trong và động cơ bên ngoài.Trong dạy học, để tích cực hoá hoạt động nhận thức ở học sinh cần phải hìnhthành ở các em nhu cầu nhận thức, hiểu biết tức là xây dựng một hệ động cơ

mà những động cơ bên trong đóng vai trò chủ đạo trong hoạt động học tập

- Tri thức Toán học có đơn vị cơ bản, nền tảng là các khái niệm Toánhọc Sử dụng t liệu lịch sử Toán để gợi động cơ hình thành khái niệm sẽ đemlại hiệu quả học tập rất cao

Chơng 2dạy học chủ đề giới hạn, đạo hàm, tích phân theo hớng

tiếp cận lịch sử phát triển của Toán học

2.1 một số t liệu Lịch sử về các kiến thức giới hạn, đạo hàm, tích phân

Ngợc với trình tự trình bày quen thuộc trong các giáo trình Đại họccũng nh sách giáo khoa phổ thông trong đó bắt đầu bằng phép lấy vi phân rồisau đó mới nói tiếp phép lấy tích phân trong khi t tởng về phép tính tích phân,xét về mặt lịch sử, lại phát triển trớc t tởng về phép tính vi phân

ý nghĩ về việc lấy tích phân nảy sinh lần đầu tiên trong một quá trìnhlấy tổng khi tìm một số diện tích, thể tích và các chiều dài cung ít lâu sau,phép tính vi phân mới đợc nghĩ tới cùng với những bài toán về tiếp tuyến củacác đờng, những vấn đề về cực đại, cực tiểu của các hàm Về sau nữa mới thấyphép tính tích phân và phép tính vi phân có liên hệ với nhau nh là các phéptoán ngợc

1 Nghịch lý của Zénon và phơng pháp vét kiệt của Eudoxus

Trong thời kỳ Hi lạp cổ đại, các trờng phái lập luận toán học khi pháttriển đều có dùng đến một trong hai giả định: một đại lợng là có thể chia nhỏ

đợc vô hạn hay đại lợng đó hợp thành bởi một số rất lớn các nguyên tử nhỏ békhông thể chia nhỏ đợc Đối với đa số chúng ta thì giả định đầu có vẻ hợphơn, nhng cái lợi ích của giả định thứ hai trong việc tìm tòi khám phá lại làmcho nó mất đi cái vẻ mà tởng chừng phi lí của nó

Một số những khó khăn về mặt lôgic trong những giả định đó đã đợc nêubật lên từ thế kỷ V trớc công nguyên qua bốn điều nghịch lý do Zénon nghĩ ra.Các nghịch lý này đã khẳng định rằng chuyển động là không thể có đợc nếu tagiả định một độ lớn có thể chia nhỏ vô hạn hoặc đợc tạo bởi một số lớn cácnguyên tử Ta minh hoạ bản chất các nghịch lý bằng hai điều sau đây:

trớc, và cứ thế tiếp tục đến vô hạn Suy ra rằng chuyển động đó không bao giờ

có thể đợc, kể cả ngay từ lúc bắt đầu

2 Mũi tên

Nếu thời gian đợc tạo bởi các khoảng nguyên tử không chia nhỏ đợc thìmột mũi tên chuyển động luôn luôn bị đứng yên vì ở bất kỳ khoảng thời giannào mũi tên cũng ở một vị trí cố định Điều này đúng với mỗi khoảng thờigian nên suy ra mũi tên không bao giờ chuyển động cả

Những nghịch lý của Zénon dựa vào trực giác là: tổng của một số vôhạn các đại lợng dơng thì lớn vô hạn, kể cả khi mỗi đại lợng đó là vô cùng nhỏ

và tổng của một số hữu hạn hoặc vô hạn các đại lợng có kích thớc bằng 0 đềubằng 0 Các nghịch lý này đã loại bỏ các vô cùng bé khỏi phép chứng minh Hilạp về hình học

Một trong những đóng góp quan trọng sớm nhất cho bài toán cầu phơnghình tròn là của Antiphon, nhà ngụy biện, cùng thời với Socrates Antiphon đã

đa ra một ý nghĩ cho rằng bằng cách cứ liên tiếp nhân đôi số cạnh của một đagiác đều nội tiếp trong một vòng tròn, thì hiệu số giữa diện tích của vòng trònvới diện tích của đa giác cuối cùng sẽ bị vét kiệt Vì một hình vuông có thểdựng đợc bằng về diện tích bất kỳ đa giác nào nên nh vậy là có thể dựng đợcmột hình vuông có diện tích bằng với một hình tròn - lập luận này đã tức thì bịphê phán về mặt căn cứ, cho rằng nó đã vi phạm nguyên lý các đại lợng làchia đợc vô giới hạn, quá trình của Antiphon không bao giờ có thể sử dụng đ-

ợc cho tới toàn bộ diện tích của vòng tròn Tuy vậy, suy nghĩ của Antiphonchứa đựng mầm mống của phơng pháp vét kiệt của ngời Hi lạp

Phơng pháp vét kiệt đợc thừa nhận là của Eudoxus (khoảng 370 TCN),

nó đợc coi là câu trả lời của trờng phái Plato đối với những nghịch lý củaZénon Phơng pháp này thừa nhận tính chia hết vô hạn của các độ lớn và cómệnh đề cơ bản sau: “Nếu từ bất kì một đại lợng nào bỏ đi một phần khôngnhỏ hơn một nửa của nó, rồi từ chỗ còn lại bỏ đi một phần khác không nhỏhơn của nó,… thì cuối cùng sẽ còn lại một đại lợng nhỏ hơn bất kì đại lợngnào đợc ấn định trớc cùng loại”

Ta dùng phơng pháp vét kiệt để chứng minh rằng nếu A1 và A2 là diệntích của hai vòng tròn có đờng kính là d1 và d2 thì:

SBM

Gọi AB là cạnh của một đa giác đều

nội tiếp, M là điểm giữa của cung AB Diện

tích của tam giác AMB bằng nửa diện tích

của hình chữ nhật ABSR, nên lớn hơn diện

tích của nửa hình viên phân AMB

Suy ra rằng: Bằng cách tăng đôi số cạnh của một đa giác đều nội tiếp ta

sẽ làm tăng diện tích của đa giác hơn một nửa hiệu diện tích giữa đa giác vàvòng tròn Do đó, bằng cách tăng đôi số các cạnh cho đủ thì ta có thể làm chohiệu về diện tích giữa đa giác và hình tròn nhỏ hơn bất kỳ một diện tích nào

Trở lại bài toán, giả sử thay vì đẳng thức ta có:

A, B thuộc cung (S)

L là trung điểm của dây AB

vẽ LC song song với trục của parabol,

C  (S)

M, N là trung điểm các dây AC, BC

Dựng MD, NE song song với

Bằng cách áp dụng lặp lại t tởng này suy ra rằng diện tích của Segmentparabol là:

4

ABC 4

ABC 4

ABC

3 2

4

3 ) 4

1 4

1 4

Phơng pháp vét kiệt là một dụng cụ tốt để xác lập nó nhng phơng pháp

đó lại không dùng đợc để khám phá ra kết quả ngay từ đầu Nh vậy, làm thếnào mà Archimède đã khám phá ra các công thức mà ông đã xác lập một cáchngắn gọn, rõ ràng bằng phơng pháp vét kiệt? Ngời ta đã tìm thấy một bản saocủa luận văn “phơng pháp” của Archimède gửi cho Eratosthene đã trả lời chocâu hỏi này

T tởng chính của phơng pháp Archimède là nh sau:

Để tìm một diện tích hoặc

một thể tích thì cắt nó ra thành một

số rất lớn của dải phẳng mỏng song

song, hoặc các lớp mỏng song

song Archimède đã dùng phơng

pháp này đã tìm ra công thức cho

thể tích hình cầu

Gọi r là bán kính của hình cầu

Đặt hình cầu cùng với đờng

kính cực của nó dọc theo trục x

nằm ngang

Dựng hình trụ tròn xoay và hình nón tròn xoay bằng cách cho quayhình chữ nhật NABS và hình tam giác NCS quanh trục x

Ta cắt từ ba hình khối đó thành 3 lát mỏng thẳng đứng (chúng đều làcác hình trụ dẹt), cách N một đoạn bằng x, có chiều dày x

Trong các lát cắt ở hình cầu và hình nón tại T (TN = 2r) Moment củamột thể tích quanh một điểm là tích của thể tích đó với khoảng cách mỏng góc

từ điểm đó tới đờng thẳng đứng đi qua trọng tâm của thể tích đó Moment hợpcủa chúng quanh N là:

là hợp bởi một số lớn các bộ phận nguyên tử mà trớc đây t tởng đó đã đợchình thành một cách còn thiếu chặt chẽ Phơng pháp cân bằng của Archimèdehoàn toàn chặt chẽ đối với phơng pháp hiện đại về giới hạn và nó cũng sẽ trởthành về mặt cơ bản giống nh phép tính tích phân hiện nay

3 Phép tính tích phân

Hai tác giả ban đầu của thời cận đại đã dùng những phơng pháp có thể

so sánh đợc với các phơng pháp của Archimède là kĩ s Simon Stevin (1548 1620), ngời Plander và nhà toán học Italia Luca Valerio (khoảng 1552 -1618) Mỗi ngời đều cố gắng tránh việc “hai lần đa đến vô lý” của phơng phápvét kiệt bằng cách trực tiếp cho qua giới hạn khi xét diện tích của mộtSegment parabol Stevin đã dùng phơng pháp nh vậy trong công trình của ông

-về thuỷ tĩnh học, trong đó ông đã tìm ra áp lực của chất lỏng lên mặt đập hìnhchữ nhật thẳng đứng bằng cách chia đập đó ra thành những dải mỏng nằmngang, rồi cho quay các dải đó quanh các cạnh trên và cạnh dới cho tới khichúng song song với một mặt phẳng nằm ngang Đây chủ yếu là phơng pháp

mà hiện chúng ta đang dùng trong các sách giáo khoa sơ cấp về phép tính tíchphân

Trong số những ngời châu Âu cận đại sớm phát triển t tởng về các vôcùng bé liên quan tới phép tính tích phân phải đặc biệt nhắc tới Johann Kepler

Ông đã phải cần đến một thủ tục lấy tích phân để tính những diện tích có liênquan đến định luật thứ hai của ông về chuyển động của hành tinh và các thểtích nói đến trong luận văn của ông về dung tích của các thùng rợu vang Nh-

ng Kepler ít kiên tâm bền bỉ với sự khắc khe chu đáo của phơng pháp vét kiệt,

và cũng do muốn khỏi mất nhiều thời gian, Kepler coi chu vi của một đờngtròn nh một đa giác đều có số cạnh vô hạn Nếu mỗi cạnh đó dùng làm đáycủa một tam giác có đỉnh tại tâm của hình tròn thì diện tích của hình tròn đóchia đợc thành một số vô hạn các tam giác rất mảnh có chiều cao bằng với bánkính của đờng tròn Vì diện tích của mỗi tam giác đó bằng một nửa diện tíchcủa đáy nhân với chiều cao nên suy ra diện tích của vòng tròn bằng nửa tíchchu vi của nó nhân với bán kính Theo quan điểm về tính chặt chẽ của toánhọc thì những phơng pháp nh vậy là đáng phê phán, song nó lại đa ra đợcnhững kết quả đúng hết sức đơn giản Tuy nhiên, những cố gắng của Kepler vềtính tích phân đã khiến Cavalieri phát triển phơng pháp những cái không chia

đợc của mình

“Cái không chia đợc” của Cavalieri là nh thế nào? Dờng nh cái khôngchia đợc của mẩu phẳng là một dây của mẩu đó, cái không chia đợc của mộthình khối là một thiết diện phẳng của khối đó Một mẩu phẳng đợc coi là tạobởi một tập hợp vô hạn các dây song song, và một hình khối tạo bởi một tậphợp vô hạn các thiết diện phẳng song song Cavalieri lập luận rằng nếu ta trợtmột phần tử của tập hợp các dây song song của một mẩu phẳng cho trớc dọctheo trục chính của nó sao cho các điểm cuối của dây vẽ nên một biên liên tụcthì diện tích của mẩu phẳng mới đợc hình thành sẽ giống nh diện tích của mẩuphẳng ban đầu Tơng tự các thiết diện phẳng của một hình khối cho trớc sẽcho một hình khối mới có cùng thể tích nh hình khối lúc đầu Từ đó ta có mộtnguyên lý gọi là nguyên lý Cavalieri

1) Nếu hai mẩu phẳng A và B đợc chứa giữa hai đờng thẳng song song

d1 và d2 Đờng thẳng d bất kỳ song song với d1 và d2 cắt A, B lần lợt thành hai

đoạn thẳng có độ dài a, b Nếu a = b thì diện tích của mẩu phẳng A bằng diệntích mẩu phẳng B

2) Nếu hai hình khối K1 và K2 đợc chứa giữa 2 mặt phẳng song song() và () Nếu có một mặt phẳng () bất kỳ song song với () và () tạovới K1 và K2 các thiết diện k1, k2 có diện tích bằng nhau thì K1 và K2 có thểtích bằng nhau

Ví dụ, để tính thể tích hình cầu ta xét hai khối sau đây: hình bán cầubán kính r và hình trụ bán kính r, chiều cao r, bị khoét ra hình nón có đáytrùng với đáy trên của hình trụ, đỉnh trùng với tâm của đáy dới hình trụ Nhvậy cả hai hình khối này đều chứa giữa hai mặt phẳng song song, cách mộtkhoảng r.

Ta cắt hai hình khối này bởi một mặt phẳng cách đáy một khoảng h, tạo

ra hai thiết diện cùng có diện tích là  (r2 - h2) Theo nguyên lí Cavalieri, suy

ra hai hình khối đó có thể tích bằng nhau Do đó, thể tích hình cầu đợc chobởi:

V = 2(thể tích khối trụ - thể tích khối nón) =

Năm 1637, Réne Descartes đã xây dựng hệ toạ độ phẳng Thành tựu củaR.Descartes đã làm cho việc sáng lập vi - tích phân tiến nhanh Năm 1656John Wallis cho ra đời cuốn Arithmetica infinitorum Trong cuốn này các ph-

ơng pháp của Descartes và Cavalieri đã đợc hệ thống hoá và mở rộng J.Wallis

đã vận dụng hình thức đại số, phơng pháp giải tích và lí luận giới hạn hàm số

để nêu lên khái niệm tích phân xác định

Tìm diện tích của hình đợc bao bởi đờng parabol đợc thực hiện nh sau: Cho đờng parabol xác định bởi phơng trình y = cx2

Đặt ba đỉnh của tam giác cạnh cong là O(0; 0); A(a, 0); B(a, ca2)

Chia OA thành n phần bằng nhau bởi (n+1) điểm chia

Qua các điểm chia, kẻ đờng thẳng vuông góc với OA, các đờng thẳngnày cắt đờng parabol và tạo thành n hình chữ nhật hẹp Khi n tăng đến vô hạnthì tổng diện tích các hình chữ nhật hẹp sẽ tiến đến trị số hữu hạn, đó chính làdiện tích S của tam giác cạnh cong

h h h

r

.Tổng diện tích của tất cả các hình chữ nhật hẹp là:

n

1 1 ( 6

n

1 1 ( 6

1 dx

0

2 ) dx x 1

2

2 ) dx x 1 ( ,… và đợc dãy 1,

hình tròn x2 + y2= 1 Điều này tơng đơng với việc tính  

1 0

2

2 ) dx x

1

không thể làm trực tiếp đợc vì ông cha biết tới định lý nhị thức tổng quát

Sau Wallis, nhà bác học Geleigli, ngời Anh, đã hoàn thiện phơng pháptính toán thêm một bớc Geleigli đi sâu nghiên cứu cấp số khiến ông trở thànhngời tiên phong quan trọng của sự phát triển vi - tích phân

4 Phép tính vi phân

Phép lấy vi phân có thể nói là bắt nguồn từ việc giải bài toán về các tiếptuyến của đờng cong và tìm các giá trị cực đại, cực tiểu của các hàm số Mặcdầu việc xem xét các vấn đề nh vậy có thể thấy từ những ngời Hi lạp cổ đại,nhng có lẽ phải thừa nhận rằng tiền thân của phơng pháp tính vi phân thực sựbắt nguồn từ những t tởng mà Fermat đã hình thành vào năm 1629

Kepler đã có nhận xét là số gia của một hàm số sẽ trở nên nhỏ tới mứctriệt tiêu tại lân cận của một giá trị cực đại hoặc cực tiểu thờng Fermat đãchuyển sự kiện này thành một quá trình xác định một cực đại hoặc cực tiểu,phơng pháp nh sau:

Nếu f(x) có cực đại hoặc một cực tiểu thờng tại x, và nếu e rất nhỏ thìgiá trị của f(x - e) hầu nh bằng với giá trị của f(x) Ta sẽ cố tình đặt f(x) - e) =f(x) và làm cho đẳng thức này trở thành đúng bằng cách cho e nhận giá trị là

số 0 Các nghiệm của phơng trình này sẽ cho những giá trị của x mà f(x) sẽ làmột cực đại hoặc một cực tiểu

Ta xét một ví dụ của Fermat: chia một đại lợng thành hai phần sao chotích của chúng là một cực đại

Fermat dùng cách kí hiệu của Viét, các hằng số thì đợc kí hiệu bằng cácchữ cái phụ âm lớn, các biến là các chữ cái nguyên âm nhỏ Cách giải nh sau:

Gọi B là đại lơng cho trớc và kí hiệu các phần phải tìm là A và B-A Taviết:

(A - e) [(B- (A- e)] và cho nó bằng với A(B - A), ta sẽ có:

A(B - A) = (A - e) (B - A + e)

 2Ae - Be - e2 = 0

Sau khi chia cho e ta đợc: 2A - B - e = 0

Bây giờ đặt e = 0, ta đợc 2A = B, và nh vậy là đã tìm ra cách chia cần có.Mặc dầu lôgic trong cách trình bày của Fermat còn thiếu nhiều cái cần

có song ngời ta thấy rằng phơng pháp của ông là tơng đơng với việc đặt:

e

) x ( ) e x ( lim

0 e





Tức là làm cho đạo hàm của f(x) bằng 0 Đây là phơng pháp quen thuộc

để tìm cực đại và cực tiểu thờng của một hàm f(x) và đôi khi nó đợc gọi là

“phơng pháp Fermat”

Tuy nhiên, Fermat không biết rằng cho đạo hàm triệt tiêu chỉ là điềukiện cần chứ không phải là điều kiện đủ cho một cực đại hoặc một cực tiểuthông thờng Ngoài ra, phơng pháp của Fermat cũng không phân biệt đợc giátrị cực đại và giá trị cực tiểu

Fermat cũng đã nghĩ ra một thủ tục chung để tìm tiếp tuyến tại một

điểm của một đờng cong khi biết phơng trình trong hệ toạ độ Descartes của

nó T tởng của ông là tìm tiếp ảnh của điểm đó, tức là đoạn thẳng AB Phơngpháp này dựa vào một ý nghĩ cho rằng tiếp tuyến là vị trí giới hạn của một cáttuyến khi 2 điểm nó cắt đờng cong tiến tới chỗ trùng nhau Dùng kí hiệu nhhiện nay thì phơng pháp đó nh sau:

Cho đờng cong có phơng trình f(x, y) = 0, tìm tiếp ảnh a của đờng congtại điểm (x, y)

f(x, y) = 0

B A

O

y

e e

(x, y)

Bằng các tam giác đồng dạng, ta tìm đợc điểm M của tiếp tuyến gần vớitiếp điểm nh sau [x + e, y (1+

Cho đờng cong ( Giả sử cần tìm tiếp tuyến tại một điểm P nằm trên( Gọi Q là một điểm trên đờng cong đó Nh vậy, các tam giác PTM và PQR

là rất gần đồng dạng với nhau, do đó:

QRRP TMMP

Đặt QR = e và RP = a

Nếu P có toạ độ (x, y) thì Q

sẽ có toạ độ (x - e, y -a)

Thế các giá trị này vào

ph-ơng trình của đờng cong,

từ đó xác định đợc tiếp tuyến.

Barrow đã áp dụng phơng pháp này để dựng tiếp tuyến cho các đờng (x2

+ y2)x2 = r2y2 (đờng Kappa), x3+ y3 = r3 (đờng Lamé đặc biệt), x3 + y3 = rxy

(Lá Descartes),… Tất nhiên, tỉ số

5 Mối quan hệ giữa tích phân và vi phân

Trong khi những đóng góp chủ yếu của J.Wallis cho sự phát triển củaphép tính vi - tích phân là ở lý thuyết tích phân thì những đóng góp quan trọngnhất của I.Barrow đợc thừa nhận chung là ngời đầu tiên đã thấy đợc đầy đủmột nét khái quát là phép tính vi phân và phép tính tích phân là hai phép toánngợc nhau Khám phá này đợc gọi là “định lý cơ bản của phép tính vi tíchphân” và đã đợc phát biểu cũng nh chứng minh trong Lectiones của Barrow

Nhiều tích phân đã đợc thực hiện, nhiều việc tìm thể tích, cầu phơng vàcầu trờng đã tỏ ra là có kết quả, quá trình lấy vi phân đã tiến triển và đã dựng

đợc tiếp tuyến cho nhiều đờng, t tởng về giới hạn đã chín muồi và định lý cơbản đã đợc nhận thức ra, vậy thì còn gì phải làm nữa? Đó là việc cần phải tạo

ra một hệ kí hiệu tổng quát cùng với một tập hợp, hệ thống các quy tắc giảitích hình thức cũng nh phát triển lại cho nhất quán và chặt chẽ những vấn đềcơ bản của chủ đề này Một phép tính vi tích phân thích hợp và tiện dụng đã đ-

ợc hai nhà toán học Newton và Leibniz cùng cống hiến nhng hoàn toàn độclập với nhau

Trong quá trình nghiên cứu cơ học, Newton đã dùng toán học làm công

cụ và đã sáng tạo ra một phơng pháp gọi là “lý thuyết thông lợng” Trong lýthuyết này, Newton nghiên cứu những đại lợng biến thiên đợc đa vào nh là sựtrừu tợng hoá các chuyển động cơ học liên tục thuộc các dạng khác nhau.Chúng đợc gọi là những “thông vận”, mọi “thông vận” đều là các biến số phụthuộc vào đối số là thời gian Sau đó Newton đa vào khái niệm tốc độ chảycủa các thông vận, tức là đạo hàm theo thời gian, chúng đợc gọi là nhữngthông lợng Vì thông lợng là những đại lợng biến thiên nên ta có thể tìm thônglợng của thông lợng,… Nếu kí hiệu thông vận là y, thì kí hiệu thông lợng thứnhất, thông lợng thứ hai,… là y0, y00,… Muốn tính các tốc độ tức thời, tức làcác thông lợng, cần những thay đổi “vô cùng bé” các thông vận, gọi là

moment Kí hiệu moment của thời gian là O, moment của thông vận x đợc chobởi tích xO.

Trong lý thuyết thông lợng, Newton đã giải quyết hai bài toán chính:1- Xác định tốc độ của chuyển động ở một thời điểm đã cho theo mộtcon đờng đã cho, tức là xác định hệ thức giữa các thông lợng từ hệ thức đã chogiữa các thông vận

Đây là bài toán vi phân hàm số ẩn, Newton đã tìm ra quy tắc cho mọithuật tính vi phân các hàm số trong quá trình giải quyết bài toán trên

Ví dụ nh ông xét đờng bậc ba x3 - ax2 - axy - y3 = 0

2- Bài toán ngợc của lý thuyết thông lợng:

Xác định đoạn đờng đi đợc trong thời gian đã cho theo tốc độ cho trớc,tức là tìm hệ thức giữa các thông vận theo hệ thức đã biết giữa các thông lợng

Đây là bài toán tổng quá về tích phân các phơng trình vi phân bất kì ờng hợp riêng của bài toán này đề cập tới việc tìm các nguyên hàm Nh vậy,phép tính tích phân đợc nêu ra, trớc hết, dới dạng tích phân không định hạn

Tr-Khác hẳn với Newton, xây dựng phép tính vi tích phân phục vụ cho cácbài toán cơ học, Leibniz lại xuất phát từ nội bộ toán học Leibniz đã phát minhphép tính vi tích phân của mình và khoảng giữa những năm 1673 và 1676.Tháng 10 năm 1675, lần đầu tiên ông dùng dấu tích phân hiện đại coi nh mộtchữ S dài lấy từ chữ đầu tiên trong từ Latin summa (tổng) để chỉ tổng nhữngcái không chia đợc của Cavalieri Một vài tuần sau, ông đã viết tích phân và

đạo hàm nh chúng ta viết ngày nay cũng nh viết tích phân là ydy và ydx.Leibniz đã ứng dụng tam giác Pascal vào việc giải toán dựng tiếp tuyến với đ-ờng cong, dần dần ông nghĩ tới khả năng cộng các hiệu dx và dy là cạnh củatam giác đặc trng Những bài toán về cầu phơng cũng dẫn tới tổng những hiệunhỏ đó Leibniz đã nêu giả thiết rằng việc giải các bài toán ngợc với bài toántiếp tuyến có thể dẫn hoàn toàn hoặc phần lớn tới các phép cầu phơng Xuấtphát từ các bài toán ngợc với bài toán tiếp tuyến, Leibniz đã tìm thấy mối liên