Tính lồi đa thức địa phương của hợp hai đồ thị hoàn toàn thực tại các điểm giao của chúng và ứng dụng

Tính chất lồi đa thức địa phương của hợp hai đồ thị hoàn toànthực tại điểm giao duy nhất của chúng.. Tính chất lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hoàn toàn thựctại điểm giao với phần

2 Tính chất lồi đa thức địa phương của hợp hai đồ thị hoàn

2.1 Tính chất lồi đa thức địa phương của hợp hai đồ thị hoàn toànthực tại điểm giao duy nhất của chúng 232.2 Tính chất lồi đa thức địa phương hợp hai đồ thị hoàn toàn thựctại điểm giao với phần giao có chiều thực dương 30Kết luận 37Tài liệu tham khảo 38

MỞ ĐẦU

Tính lồi đa thức, lồi hữu tỷ của các tập compact trong Cn gắn liềnvới Định lý Oka-Weil về xấp xỉ hàm chỉnh hình bởi các đa thức và cáchàm hữu tỷ Trong Đại số đều, một trong những cấu trúc quan trọng làkhông gian các ideal cực đại của nó Bao lồi đa thức của tập compact Ktrong Cn đồng nhất với không gian các ideal cực đại của đại số đều các

đa thức trên K Bao lồi hữu tỷ của tập compact K đồng nhất với khônggian các ideal cực đại của đại số đều các hàm hữu tỷ cực điểm ngoài K.Nghiên cứu tính chất lồi đa thức, tính chất lồi đa thức địa phươngcủa các tập compact trong Cn là bài toán có nhiều ý nghĩa trong lĩnhvực Giải tích phức và Đại số đều Đặc biệt bài toán nghiên cứu tínhchất lồi đa thức địa phương của hợp các đồ thị hoàn toàn thực, hoàntoàn thực có kỳ dị có liên hệ mật thiết với bài toán cơ bản là xấp xỉđịa phương hàm phức liên tục bởi các đa thức (xem [9]) Tính chất lồi

đa thức và bao lồi đa thức của hợp hai đồ thị hoàn toàn thực hay hoàntoàn thực có kỳ dị giao nhau tại duy nhất điểm được nghiên cứu thấuđáo bởi Pascal Thomas, Nguyễn Quang Diệu, De Paepe (xem [6],[8], [9],[10] ) Bài toán nghiên cứu tính lồi đa thức địa phương của hợp hai đồthị hoàn toàn thực có kỳ dị giao nhau trên một tập có chiều dương đangnhận được sự quan tâm của một số nhà toán học trong và ngoài nướcnhư Bharali, Nguyễn Quang Diệu, Gorai

Với mục đích nghiên cứu tính lồi đa thức địa phương của hợp hai đồthị hoàn toàn có kỳ dị tại các điểm giao của chúng và ứng dụng trongbài toán xấp xỉ địa phương hàm liên tục bởi đa thức, chúng tôi lựa chọn

đề tài nghiên cứu: Tính chất lồi đa thức địa phương của hợp hai đồ thịhoàn toàn thực tại các điểm giao của chúng

Nội dung của luận văn trình bày một số kết quả về cơ sở về bao lồi

đa thức, tính lồi đa thức địa phương tại điểm giao của hợp hai đồ thịhoàn toàn thực có kỳ dị trong C2 Các nội dung đó được trình bày trong

2 chương của luận văn:

Chương 1 Bao lồi đa thức và bổ đề Kallin

Nội dung của chương này là trình bày khái niệm và các kết quả cănbản về bao lồi đa thức, tính lồi đa thức của tập compact trong Cn và bổ

đề Kallin về tính lồi đa thức của hợp thành hai tập lồi đa thức Đây là

bổ đề kỹ thuật được dùng xuyên suốt trong chương sau

Chương 2 Tính chất lồi đa thức địa phương của hợp hai đồ thị hoàntoàn thực tại điểm giao của chúng

Nội dung của chương này trình bày một số kết quả gần đây về tínhlồi đa thức địa phương của hợp hai đồ thị hoàn toàn thực tại điểm giaocủa chúng

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh Nhân dịp này,tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS Kiều Phương Chi

vì đã hướng dẫn tận tình nghiêm túc tác giả trong suốt quá trình hoànthành luận văn Tác giả xin được gửi lời cảm ơn các thầy, cô giáo trong

bộ môn Giải tích, Khoa Toán học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tácgiả trong quảng thời gian học tập Mặt dù đã có nhiều cố gắng, nhưngluận văn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mongnhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và bạn bè đểluận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1BAO LỒI ĐA THỨC VÀ BỔ ĐỀ KALLIN

Chương này trình bày một số kết quả cơ bản của bao lồi đa thức, tínhlồi đa thức và bổ đề Kallin về tính lồi đa thức của hợp thành hai tập lồi

đa thức Các kết quả này có thể tham khảo tại [3], [4],

2)x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ A;

3)(αx)y = x(αy) = α(xy), ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ C

b) Một đại số phức A được gọi là một đại số Banach nếu A thỏa mãncác điều kiện:

1)A là không gian Banach với chuẩn k.knào đó cho trước;

1.1.2 Định nghĩa Không gian con B của A, chứa đơn vị của A và đóngkín với ba phép toán trong A là một đại số con của A.

1.1.3 Ví dụ 1) Đại số C với phép nhân hai số phức và chuẩn Euclidethông thường là đại số Banach giao hoán có đơn vị là phần tử 1

2) Cho E là không gian Banach và B(E) ={Tất cả toán tử tuyến tính

bị chặn từ E vào E}, Trên B(E) xác định phép nhân trong

P (K) ⊂ R(K) ⊂ A(K) ⊂ C(K)

1.1.4 Định nghĩa Cho A là một đại số Banach Phiếm hàm tuyến tính

ϕ : A → C được gọi là một đồng cấu phức nếu ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) vớimọi x, y ∈ A và ϕ 6= 0

Người ta chứng minh được, mỗi đồng cầu phức ϕ là liên tục, ϕ(e) = 1

và kϕk = 1 Hơn nữa ϕ(x) 6= 0 với mọi phần tử khả nghịch x

Kí hiệu không gian các đồng cấu phức là ∆A Như vậy, ∆A là mộttập con của hình cầu đơn vị trong không gian đối ngẫu A∗

Ký hiệu G(A) là nhóm các phần tử khả nghịch của A Khi đó, ánh

xạ a : G(A) 7→ G(A) với a(x) = x−1 là đồng phôi

1.1.5 Định nghĩa Giả sử f ∈ A với A là một đại số Banach Đặt:σ(f ) = {λ ∈C : (λe − f ) không khả nghịch} và S(f ) = {λ ∈C : (λe − f )khả nghịch} = C\σ(f ) Khi đó σ(f ) được gọi là phổ của f, S(f ) được gọi

1.1.6 Định nghĩa Cho A là đại số Banach giao hoán

1) Không gian tuyến tính con J của A là một ideal nếu

J A = {xa : x ∈ J, a ∈ A} ⊂ J

2) Ideal J của A được gọi là ideal cực đại nếu mỗi ideal I của A và

J ⊂ I ⊂ Athì J = I hoặc I = A

Với mỗi ϕ ∈ ∆A ta đều có ker ϕ là ideal cực đại của A Ký hiệu, MA

là tập hợp các ideal cực đại của A Sau đây là kết quả đặc biệt quantrọng trong lý thuyết đại số Banach

1.1.7 Định lý ([3], [4]) Tồn tại song ánh giữa ∆A và MA

1.1.8 Nhận xét Từ định lý trên ta có thể đồng nhất ∆A với MA Vì

∆A chứa trong hình cầu đơn vị đóng của không gian đối ngẫu A∗ Trên

A chúng ta xét tôpô yếu hay còn gọi là tôpô yếu sao thì MA là khônggian compact bởi định lý Banach-Alaoglu, hơn nữa không gian MA làkhông gian Hausdorff

1.1.9 Định nghĩa Cho A là một đại số Banach, f ∈ A Ta xác địnhánh xạ ˆf : MA → C cho bởi công thức ˆf (Φ) = Φ(f ), ∀Φ ∈ MA Ta gọiˆ

f là phép biến đổi Gelfand của f và đặt ˆA = { ˆf : f ∈ A}

1.1.10 Định lý ([4]) Cho X là không gian tôpô Hausdorff compact Khi

đó MC(X) đồng phôi với X

Chứng minh Với mỗi x ∈ X, ta xác định hàm ϕx : C(X) → C được chobởi công thức ϕx(f ) = f (x), ∀f ∈ C(X) Khi đó ϕx là một đồng cấuphức trên C(X)

Thật vậy, ϕx(αf +βg) = (αf + βg) (x) = (αf )(x)+(βg)(x) = αf (x)+βg(x) = αϕx(f ) + βϕx(g), với mọi f, g ∈ C(X), mọi α, β ∈ C Ngoài

ra ϕx(f g) = (f g)(x) = f (x)g(x) = ϕx(f )ϕx(g), mọi f, g ∈ C(X) và

ϕx(I) = I(x) = 1 6= 0, với I là ánh xạ liên tục từ X vào C được cho bởiI(t) = 1, ∀t ∈ X

Tiếp theo, ta chỉ ra rằng với mỗi ϕ ∈ MC(X) thì tồn tại duy nhất

x ∈ X sao cho ϕ = ϕx Giả sử ngược lại ϕ 6= ϕx, với mọi x ∈ X Khi

đó với mỗi x ∈ X tồn tại g ∈ C(X) sao cho ϕ(g) 6= ϕx(g) = g(x) Đặt

fx = g − ϕ(g) Khi đó fx(x) 6= 0 và fx liên tục Theo tính chất liên tụcnên tồn tại lân cận Ux của sao cho fx 6= 0 trên Ux Suy ra |fx|2 > 0, trên

Ux Vì ϕ(fx) = ϕ(g − ϕ(g)) = ϕ(g) − ϕ(g) = 0 nên

ϕ(|fx|2) = ϕ(fxfx) = ϕ(fx)ϕ(fx) = 0Mặt khác, vì họ {Ux}x∈X là phủ mở của và X compact nên tồn tạiphủ con hữu hạn phủ X Suy ra tồn tại x1, x2, , xn ∈ X sao cho

Tuy nhiên ϕ(u) = ϕ(|fx1|2+ + |fxn|2) = ϕ(|fx1|2) + + ϕ(|fxn|2) =

0 Ta gặp mâu thuẫn Vậy ϕ = ϕx

Để kết thúc chứng minh ta thiết lập một ánh xạ ψ từ X vào MC(X)được cho bởi công thức ψ(x) = ϕx với mọi x ∈ X Dễ dàng chứng minh

ψ là song ánh Hơn nữa ψ liên tục Thật vậy, giả sử {xα}α∈I ⊂ X saocho xα → x ∈ X Khi đó với mọi f ∈ C(X) ta có f (xα) → f (x) hay

ϕxα(f ) → ϕx(f ) với mọi f ∈ C(X) Suy ra ϕxα → ϕx trong MC(X) hayψ(xα) → ψ(x) Mặt khác, vì X và MC(X) là các không gian compact nên

ψ−1 cũng liên tục Vậy ψ là ánh xạ đồng phôi từ X vào MC(X)

1.1.11 Định nghĩa ([4]) Cho X là một không gian Haudorff compact.Một đại số con đóng của C(X), chứa các hằng, tách các điểm của Xđược gọi là một đại số đều trên X

1.1.12 Ví dụ 1) Cho X ⊂ Cn là tập compact Khi đó P (X), R(X),A(X) là các đại số đều trên X Hơn nữa, P (X) ⊂ R(X) ⊂ A(X)

2) Cho A là một đại số Banach thì không gian các phép biến đổiGelfand A là một đại số đều trên Mb A

1.1.13 Định nghĩa ([4])Cho A là một đại số đều trên không gian metriccompact X và MA là không gian các ideal cực đại của A Độ đo biểudiễn của φ ∈ MA là một độ đo dương µ trên X sao cho

Borel, chính quy trên X biểu diễn x Hơn nữa, độ đo biểu diễn có thểchọn là độ đo Jensen.

Chúng ta đến với một khái niệm quan trọng sau

1.1.15 Định nghĩa ([3]) Đa tạp thực M trong Cn được gọi là hoàntoàn thực tại điểm a ∈ M nếu không gian vectơ tiếp xúc TM(a) của Mtại a không chứa các đường thẳng phức, tức là TM(a) ∩ iTM(a) = {0}

Đa tạp M được gọi là hoàn toàn thực nếu nó hoàn toàn thực tại mọiđiểm thuộc nó

1.1.16 Ví dụ 1) Rn là hoàn toàn thực tại mọi điểm của nó

2) Giả sử f1, f2, , fk là các hàm lớp C1 trên một tập mở U ⊆C Nếu

k

X

i=1

∂fi

∂z(a)

6= 0

với a ∈ U thì M = { z, f1(z), , fk(z)
: z ∈ U } hoàn toàn thực tại

a, f1(a), , fk(a)

1.2 Bao lồi đa thức

Mục này trình bày những kết quả mở đầu về lý thuyết lồi đa thức vàlồi hữu tỷ Chúng ta sẽ thấy, lớp tập lồi đa thức, lồi hữu tỷ thực sự rộnghơn lớp tập lồi thông thường trong Cn Hơn nữa lớp tập này đặc biệt có

ý nghĩa trong giải tích phức và đại số đều

1.2.1 Định nghĩa Cho X là một tập con compact của Cn

1) Bao lồi đa thức của X ký hiệu là X và được xác định như sau:b

b

X = {z ∈ Cn : |p(z)| ≤ kpkX, với mọi đa thức p trên Cn},

trong đó

kpkX = max{|p(x)| : x ∈ X}

Nếu X = X thì ta nói X là lồi đa thức.b

2) Bao lồi hữu tỷ của X ký hiệu là ˆXR và được xác định như sau

D(0, r) = {(z1, , zn) : |zk| 6 rk, k = 1, 2 , n}

Do đó ˆX bị chặn Để chứng minh tính compact của X, ta chỉ ra tínhb

đóng của nó Giả sử {xn}n∈I ⊂ X và xb n → x ∈ Cn, n → ∞ Với mỗi

n = 1, 2, 3, ta có xn ∈ X nênb

|f (xn)| ≤ kf kX

với mọi đa thức f Mặt khác, vì f liên tục nên f (xn) → f (x) ∈ C, n → ∞.Suy ra

|f (x)| ≤ kf kX,với mọi đa thức f Vì thế x ∈ X, tức làb X đóng Vậyb X compact trongb

Cn

Chứng minh tương tự XbR compact trong Cn

2) Giả sử {Xα}α∈I là các họ các tập lồi đa thức trong Cn Khi đóˆ

|q(z)| > kqkX.Lấy C thoả mãn

|q(z)| > C > kqkX

2) Việc xác định bao lồi đa thức của một tập compact nói chung rấtkhó khăn trong trường hợp nhiều chiều Một lớp tập lồi đa thức dễ nhậnbiết đó là các tập lồi Tuy nhiên, bao lồi đa thức của một tập compactkhông phải là tập lồi Ta có bao lồi convK (theo nghĩa thông thường)của một tập compact K được xác định bởi

convK = {z ∈ Cn : |f (z)|6 kf kK : ∀f ∈ F },trong đó F là tập tất cả các dạng tuyến tính phức trên Cn Thật vậy,giả sử z ∈ convK Khi đó tồn tại z1, z2 ∈ K và λ ∈ [0, 1] sao cho

z = λz1 + (1 − λ)z2 Vì vậy, với mọi f ∈ F ta có

|f (z)| = |f λz1 + (1 − λ)z2
| = |λf (z1) + (1 − λ)f (z2)|

6 λ|f (z1)| + (1 − λ)|f (z2)| 6 λkf kK + (1 − λ)kf kK = kf kK.Ngược lại, giả sử z /∈ convK Khi đó, theo định lý Hahn-Banach, tồn tạimột dạng tuyến tính phức f sao cho f (z) = 1 và f |K = 0 Điều này mâuthuẫn với

|f (z)| 6 kf kK, ∀f ∈ F

Ta được

convK = {z ∈ Cn : |f (z)|6 kf kK : ∀f ∈ F },trong đó F là tập tất cả các dạng tuyến tính phức trên Cn Từ đó suy

ra convK luôn chứa bao lồi đa thức của K Do đó mọi tập lồi compacttrong Cn là lồi đa thức

1.2.5 Định lý ([4]) Cho X là tập compact của Cn Không gian cácideal cực đại của P (X) là ˆX, không gian các ideal cực đại của R(X) làˆ

XR

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh MP (X) = ˆX Giả sử f ∈ P (X).Suy ra tồn tại dãy các đa thức {fn}n∈

N sao cho hội tụ đều về f trên X

Do {fn}n∈I hội tụ đều về f trên X nên f liên tục và {fn}n∈

N là dãyCauchy, nghĩa là

kfn− fmkX → 0,khi m, n → ∞ Với mỗi m, n vì fn− fm là đa thức nên

kfn − fmkXˆ = kfn− fmkX

Do đó,

kfn − fmkXˆ → 0khi m, n → ∞.Vậy {fn} là dãy Cauchy trong đại số Banach P ( ˆX) Do

đó {fn} hội tụ đều trên ˆX tới hàm ˜f là một mở rộng của f

Tiếp theo, với mỗi z ∈ ˆX xét ánh xạ φz : P (X) → C xác định bởi

φz(f ) = f (z) Dễ dàng kiểm tra φe z là một đồng cấu phức trên P (X).Bằng phép đồng nhất z với φz ta có thể xem ˆX như là một tập con củakhông gian các idean cực đại MP (X) Vì vậy ˆX ⊂ MP (X)

Ngược lại, với mỗi Φ ∈ MP (X), ta có

Φ(azk1

1 zk2

2 zkn

n ) = a[Φ(z1)]k1[Φ(z2)]k2 [Φ(zn)]kn.Suy ra

Φ(p(z1, z2, , zn)) = p(Φ(z1), Φ(z2), , Φ(zn)),

với mọi đa thức p và với mọi (z1, z2, , zn) ∈ Cn Từ đó suy ra Φ = Φz với

z = (Φ(z1), Φ(z2), , Φ(zn)) ∈ Cn Vì |Φ(f )| ≤ kf kX, với mọi f ∈ P (X)suy ra

|Φ(p)| = |p(Φ(z1), Φ(z2), , Φ(zn))| ≤ kpkXvới mọi đa thức p Ta được z = (Φ(z1), Φ(z2), , Φ(zn)) ∈ ˆX và Φ = Φz

Do đó MP (X) có thể xem như là tập con của ˆX nếu ta đồng nhất z với

Φz Vì vậy MP (X) ⊂ ˆX Ta thu được ˆX = MP (X) Chứng minh tương

MP (K) = ˆK Do đó, với mỗi x ∈ ˆK tồn tại độ đo dương, Borel, chínhquy trên K sao cho

1.2.7 Hệ quả Nếu P (X) = C(X) (tương ứng R(X) = C(X)) thì X lồi

đa thức (tương ứng lồi hữu tỷ)

Chứng minh Vì MC(X) = X và MP (X) = ˆX nên từ P (X) = C(X) suy

ra X = ˆX Vì vậy X lồi đa thức Tương tự R(X) = C(X) thì X là lồihữu tỷ

1.2.8 Nhận xét Tính lồi đa thức của X không phải là điều kiện đủ

để P (X) = C(X) Chẳng hạn, xét X = {z ∈ C : |z| 6 1} Khi đó,

vì X là tập lồi nên nó lồi đa thức Tuy nhiên P (X) 6= C(X), bởi vì

f (z) = z ∈ C(X) nhưng f /∈ P (X), thậm chí f không chỉnh hình trên

X Để P (X) = C(X) nói chung cần rất nhiều điều kiện hình học phứctạp của tập X

Định lý sau là đặc trưng tôpô của tập lồi đa thức trong mặt phẳngphức, nó còn gọi là đặc trưng Oka-Stolzenberg của bao lồi đa thức

1.2.9 Định lý ([12]) Nếu X là tập compact của mặt phẳng phức C thìˆ

X bằng X hợp với các thành phần liên thông bị chặn của C \ X Nóicách khác, X là lồi đa thức trong C nếu và chỉ nếu C\X là liên thông.1.2.10 Nhận xét 1) Định lý trên cho ta một điều kiện tôpô để một tậptrong mặt phẳng phức C là lồi đa thức Trong trường hợp nhiều chiều,cho đến nay người ta chưa thể tìm được đặc trưng tôpô cho tính lồi đathức như trên

2) Cho X1 = {z ∈ C : |z| = 1, =z > 0} và

X2 = {z ∈ C : |z| = 1, =z 6 0},trong đó = là toán tử lấy phần ảo trong C Ta có X1, X2 là lồi đa thức.Tuy nhiên X1 ∪ X2 = {z ∈ C : |z| = 1} không lồi đa thức, bởi vì

C\ (X1 ∪ X2) không liên thông

Sau đây là định lý xấp xỉ của Mergelyan

1.2.11 Định lý (Mergelyan-[4]) Nếu K là một tập lồi đa thức của mặtphẳng phức C thì A(K) = P (K)

Định lý sau là một kết quả đặc sắc về tính lồi đa thức địa phương của

đa tạp hoàn toàn thực

1.2.12 Định lý (Wermer-H¨ormander [3]) Nếu M là đa tạp trơn lớp C1,hoàn toàn thực tại a ∈ M thì M lồi đa thức địa phương tại a Hơn nữa,tồn tại lân cận compact B của a trong M sao cho mọi hàm liên tục trên

B được xấp xỉ đều trên B bởi các đa thức

Ta nhắc lại rằng, tập mở D ⊂ Cn được gọi là miền lồi chỉnh hình nếuvới mọi tập compact K ⊂ D thì tập

1.2.13 Định lý ([3]) Cho K là một tập compact lồi chỉnh hình và K0

là tập compact của K sao cho K \ K0 là hoàn toàn thực trong Cn, lớp

C1 (được chứa trong một đa tạp hoàn hoàn thực, lớp C1) Khi đó, hàm fliên tục trên K thuộc vào H(K) nếu và chỉ nếu tồn tại hàm g ∈ H(K)sao cho f = g trên K0

Ta nhận được hệ quả có nhiều ứng dụng sau

1.2.14 Hệ quả Cho K là tập lồi đa thức của Cn và K0 là một tập concompact của K sao cho K \ K0 là hoàn toàn thực của Cn, lớp C1 Nếu

Ta cần chứng minh µ = 0 Thật vậy, từ giả thiết K lồi đa thức, áp dụngđịnh lý Oka-Weil ta được P (K) = H(K) Do đó, từ (1.1) , (1.2) suy ra µ

có giá trên K0 Bây giờ, giả sử φ là một hàm tuỳ ý liên tục trên K Khi

đó φ ∈ C(K0) = P (K0), tức là tồn tại dãy các đa thức Pn hội tụ đến φtrên K0 Khi đó, vì µ có giá trên K0 nên

Bổ đề sau cho ta một kết quả về điểm peak của đại số P (K) với K làtập compact của mặt phẳng phức

1.2.17 Bổ đề ([12]) Nếu K là tập compact, lồi đa thức của mặt phẳngphức thì mọi điểm biên của K là điểm peak của đại số P (K)

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết 0 là điểmbiên của K và K là tập con compact của hình cầu đơn vị mở

B = {z ∈ C : |z| < 1}

Lấy dãy {zn}∞n=1 ⊂ C\ K hội tụ về 0 Ký hiệu γn là cung trong mặt cầuRiemann nối zn với ∞ và γn không có giao với K (vì K là lồi đa thứcnên C\ K là liên thông) Với mỗi z0 ∈ K \ {0} và với mỗi n xét nhánh

θn của log(z − zn) xác định trên C \ γn sao cho θn(z0) hội tụ Khi đó,

dãy hàm θn hội tụ điểm trên K \ {0} tới một nhánh liên tục của log z.

Ta ký hiệu giới hạn của dãy hàm {θn} là log z Xác định hàm ϕ như sau:ϕ(z) = log z

log z − 1 với z ∈ K \ {0} và ϕ(0) = 1 Khi đó, ϕ là hàm số liêntục trên K và chỉnh hình trong phần trong của K Hơn nữa, vì |z| < 1nên

ϕ(0) = 1 > |ϕ(z)| =

log zlog z − 1

... khác, K lồi đa thức nên theo định lý Mergelyan ta có: ϕ ∈

P (K) Do điểm peak P (K)

1.3 Bổ đề Kallin hợp thành hai tập lồi đa thức

Định lý sau bổ đề Kallin tính lồi đa thức hợp. .. lý (Mergelyan-[4]) Nếu K tập lồi đa thức mặtphẳng phức C A(K) = P (K)

Định lý sau kết đặc sắc tính lồi đa thức địa phương

đa tạp hoàn toàn thực