Vị nhóm sắp thứ tự giao hoán và giản ước được với biểu diễn hữu hạn

NỬA NHÓM GIAO HOÁN Hệ thống các vấn đề liên quan đến nửa nhóm giao hoán giản ước được, nửa nhóm giao hoán sắp thứ tự được và tương đẳng trên các nửa nhóm giao hoán để làm cơ sở cho việ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THẾ MẠNH

VỊ NHÓM SẮP THỨ TỰ GIAO HOÁN

VÀ GIẢN ƯỚC ĐƯỢC VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN – 2011

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC……… 1

LỜI NÓI ĐẦU ……… 2

CHƯƠNG I NỬA NHÓM GIAO HOÁN……… 4

1.1 Nửa nhóm giao hoán giản ước được ……… 4

1.2 Nửa nhóm giao hoán sắp thứ tự được ……… 10

1.3 Tương đẳng trên các nữa nhóm giao hoán ……… 15

CHƯƠNG II VỊ NHÓM SẮP THỨ TỰ GIAO HOÁN VÀ GIẢN ƯỚC ĐƯỢC VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN……… 22

2.1.Giả thứ tự giản ước được trên các vị nhóm con của vị nhóm giao hoán………22

2.2 Vị nhóm sắp thứ tự giao hoán và giản ước được với biểu diễn hữu hạn……… 32

KẾT LUẬN……… 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 40

LỜI NÓI ĐẦU

Các nhóm sắp thứ tự được đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu những năm đầu của thế kỷ XX Năm 1913, F Lévi đã chứng minh được rằng một nhóm Aben phi xoắn có thể sắp thứ tự được Năm 1963, Fuchs đã giải đáp được câu hỏi: Các nhóm không Aben thoả mãn điều kiện nào thì sắp thứ

tự toàn phần được? Tuy nhiên, các nửa nhóm sắp thứ tự được chỉ mới được quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây

Năm 1995, N Keayopulu và M Tsingelis đã bắt đầu khảo sát các nửa nhóm sắp thứ tự được (xem [5], [6]) Sau đó, năm 2000, họ đã xét một số lớp nửa nhóm có thể nhúng được vào các nhóm sắp thứ tự được (xem [7])

Luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo “On finitely presented,

cancellative and commutative ordered monoids” của Y Cao đăng trên tạp chí

Semigroup Forum số 82, năm 2011 để tìm hiểu các vị nhóm sắp thứ tự giao

hoán và giản ước được với biểu diễn hữu hạn

Luận văn được chia thành hai chương:

CHƯƠNG I NỬA NHÓM GIAO HOÁN

Hệ thống các vấn đề liên quan đến nửa nhóm giao hoán giản ước được, nửa nhóm giao hoán sắp thứ tự được và tương đẳng trên các nửa nhóm giao hoán để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau

CHƯƠNG II VỊ NHÓM SẮP THỨ TỰ GIAO HOÁN VÀ GIẢN ƯỚC

ĐƯỢC VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN

Trình bày một cách chi tiết các kết quả sau:

1 Mỗi vị nhóm sắp thứ tự giao hoán và giản ước được với biểu diễn hữu hạn được xác định bởi một giả thứ tự giản ước được và hữu hạn sinh trên vị nhóm

 n, với số nguyên n nào đó

2 Mỗi giả thứ tự giản ước được trên  n, được xác định một vị nhóm con của nhóm  n,

3 Mỗi giả thứ tự trên  n, là hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu nhóm con tương

ứng là một vị nhóm aphin trong  n, (nghĩa là một vị nhóm con hữu hạn sinh của  n,)

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS TS Lê Quốc Hán, Người đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, động viên khích lệ Tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Tác giả xin chân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo chuyên ngành Đại số & Lý thuyết số - Khoa Toán - Trường Đại học Vinh đã động viên, giúp đỡ trong quá trình học tập, quá trình viết và chỉnh sửa Luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 11 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG I NỬA NHÓM GIAO HOÁN

1.1 Nửa nhóm giao hoán giản ước được

1.1.1 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm giao hoán nếu phép

toán trên S có tính chất giao hoán Khi đó các phép toán trên S thường được

ký hiệu theo lối cộng

Nếu S là vị nhóm thì đơn vị của S thường được gọi là phần tử không và ký

Tập con khác rỗng Tcủa nửa nhóm S là nửa nhóm con của S , nếu bản

thân T là nửa nhóm với phép toán của S cảm sinh trên T, nghĩa là a,b T

 là một nửa nhóm con của S và là nửa

nhóm con nhỏ nhất của S chứa trong các S ,αα I

Giả sử B là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S Khi đó giao của tất cả các nửa nhóm con của S chứa B được gọi là nửa nhóm con nhỏ nhất

của S sinh bởi B và được ký hiệu là B Rõ ràng B chứa tất cả các phần

B B + S là iđêan của S và là iđêan nhỏ nhất của S chứa B Nếu S là một

vị nhóm thì BB + Snên B + S là iđêan của S sinh bởi B

Giả sử I là một iđêan của S sao cho IS, thế thì I được gọi là iđêan

nguyên tố của S nếu x + y I kéo theo xI hoặc yI, x, y S   Như vậy một iđêan thực sự I của nửa nhóm S là iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu phần

bù S \ I của I trong S là một nửa nhóm con của S

Giả sử I là một iđêan của nửa nhóm S và  là tập hợp tất cả các số nguyên dương Khi đó tập con I là một iđêan của  + 

s S n   sao cho ns I là

một iđêan của S và được gọi là căn của iđêan S, ký hiệu bởi rad I hay I  

1.1.2 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm

(1) S là một nhóm nếu và chỉ nếu S là iđêan duy nhất của S

(2) Nếu I là một iđêan của S và T là nửa nhóm con của S sao cho IT = f , thế thì tồn tại một iđêan nguyên tố của S sao cho PI và PI = f

(3) Nếu I là một iđêan của S , thế thì căn rad I là giao của tất cả các iđêan  

nguyên tố chứa I của S

Chứng minh (1) Giả sử S là một nhóm và I là iđêan của S Khi đó If

nên tồn tại a I Vì S là một nhóm nên tồn tại b S sao cho a + b = 0 , trong

đó 0 là đơn vị của S Vì I là iđêan của S và aI nên 0 = a + bI Khi đó với mọi x S có x = 0 + xI nênSI Hiển nhiên IS nên S = I

Giả sử a,b S Khi đó a + S là iđêan của S và theo giả thiết (S là iđêan duy nhất của S) có a + S = S vì b S nên b a + S Suy ra tồn tại c S sao cho a + c = b , do đó phương trình a + x = b có nghiệm trong S Vì S giao hoán nên phương trình y + a = b cũng có nghiệm trong S Vậy S là một nhóm (2) Theo bổ đề Zorn, ta chỉ cần chứng minh rằng I là iđêan nguyên tố nếu I là tối đại trong các iđêan không giao với T Thật vậy giả sử a,b I Khi

đó I  a  a + S và I  b  b + S đều là các iđêan của S chứa I nên

có giao với T Suy ra tồn tại s ,s1 2S sao choa + s1T và b + s2T Từ đó

 

1

a + s + b + s = a + b + s + s Tvới s + s1 2S VìIT = f nêna + bT Vậy I

là iđêan nguyên tố (3) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa căn rad I  và kết quả (2) ở trên

1.1.3 Định nghĩa Giả sử  S,+ là một vị nhóm giao hoán có đơn vị là 0 Khi đó phần tử s S được gọi là khả nghịch nếu tồn tại xS sao cho

s + x = 0 Tập hợp G tất cả các phần tử khả nghịch của S tạo thành một nhóm con của S và là nhóm con lớn nhất của S chứa 0

Một tổng hữu hạn n i

i=1

s

 các phần tử thuộc S là khả nghịch nếu và chỉ nếu mỗi phần tử s khả nghịch Như vậy S \ G là một iđêan nguyên tố của S inếu G S

Nếu H là một nhóm con tuỳ ý của S chứa 0, thế thì cũng như trong trường hợp các nhóm H cảm sinh một phân hoạch S thành các lớp ghép rời

nhau s + H Thực tế, nếu quan hệ ρ trên S được xác định bởi aρb nếu

a = b + h,hH nào đó, thế thì ρ là một quan hệ tương đương trên S và s + H

là một ρ - lớp tương đương chứa s S

1.1.4 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Phần tử s S được gọi là giản

ước được nếu s + a = s + b kéo theo a = b a,b S  

Giả sử C là tập hợp tất cả các phần tử giản ước được của S và C 

Thế thì C là nửa nhóm con của S Khi đó một tổng hữu hạn n i

i=1

s

 các phần tử thuộc C nếu và chỉ nếu mỗi s Ci và từ đó S \ C là một iđêan nguyên tố của S nếu S C Trong trường hợp S = C ta nói S là một nửa nhóm giản ước được

Một kết quả quan trọng trong Lý thuyết nhóm sơ cấp phát biểu rằng nhóm giản ước được hữu hạn là một nhóm Hiển nhiên, một nửa nhóm con của một nhóm là giản ước được Định lý 1.1.5 sau đây khẳng định kết quả ngược lại

1.1.5 Định lý Giả sử S ,là một nửa nhóm giao hoán và C là nửa nhóm con của S sao cho mỗi phần tử thuộc C giản ước được trong S , thế thì tồn tại một phép nhúng f từ S vào một vị nhóm giao hoán T sao cho các điều kiện sau đây thỏa mãn:

(1)Với mỗi c C, f c  có một khả nghịch trong T (mà ta sẽ ký hiệu là f c )

(2) T f s  f c s  S ,cC Hơn nửa vị nhóm T được xác định bởi các tính chất (1) và (2) sai khác đẳng cấu nửa nhóm

Nếu S là nửa nhóm giản ước được và S C thì T là một nhóm

Chứng minh Chúng ta nêu lên cách xây dựng vị nhóm T tương tự như cách

xây dựng vành các số nguyên từ tập hợp tất cả các số nguyên không âm

Giả sử A = S× C và là quan hệ trên A xác định bởi

s ,c1 1 s ,c2 2 nếu s + c = s + c1 2 2 1 Vì C giản ước được nên là quan hệ tương đương trên A Ký hiệu  s,c là lớp tương đương chứa  s,c và T là tập tất cả các lớp tương đương  s,c với s S,c C  Thế thì T cùng với phép toán cho bởi

s ,c + s ,c1 1  2 2 = s + s ,c + c1 2 1 2

là một vị nhóm đối với đơn vị là  c,c với mọi c C Hơn nữa ánh xạ

f :ST xác định bởi f s = s + c,c là một phép nhúng từ S vào     T Nếu

c C , thế thì f c = 2c,c có nghịch đảo     c, 2c trong  T, và một phần tử

 s,c tuỳ ý thuộc T được viết dưới dạng s + c,c + c,2c = f s - f c Rõ ràng       

T được xác định (Bởi các tính chất (1) và (2) sai khác đẳng cấu nửa nhóm, nghĩa là nếu '

1.1.6 Định nghĩa Vị nhóm thương được xây dựng trong phép chứng minh

Định lý 1.1.5 được gọi là vị nhóm thương của S theo C



T’

g

Vì f là đơn cấu nên ta có thể đồng nhất f s với s, và như vậy mỗi  

phần tử của T được viết dưới dạng s - c để thay thế cho f s - f c Nếu S    

giản ước được, thế thì nhóm Ttrong Định lý 1.1.5 được gọi là nhóm thươngcủa S và nếu không kể đến sự sai khác đẳng cấu thì T chính là nhóm Aben nhỏ nhất mà S có thể được nhúng vào

1.1.7 Chú ý Từ Định nghĩa 1.1.6 và Định lý 1.1.5, ta có thể phân lớp các nửa nhóm giao hoán giản ước được theo thuật ngữ nhóm thương của chúng

Ta nhắc lại rằng một nhóm Aben G được gọi là phi xoắn nếu 0 là phần

tử duy nhất của G có cấp hữu hạn G được gọi là nhóm xoắn nếu mọi phần

tử của G đều có cấp hữu hạn Thế thì từ Định lý 1.1.5 suy ra

Giả sử S là nửa nhóm giao hoán giản ước được và G là nhóm thương của nó Thế thì G là nhóm phi xoắn nếu và chỉ nếu S thoả mãn điều kiện: (*) Đối với mọi nguyên dương n và x, y S  tuỳ ý, đẳng thức nxny

kéo theo xy Từ đó ta đi đến định nghĩa

1.1.8 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm phi xoắn nếu điều

Từ Định lý 1.1.5 trực tiếp suy ra Hệ quả:

1.1.9 Hệ quả Nếu S là một nửa nhóm giao hoán tuần hoàn và giản ước

được thì nhóm thương của S là nhóm Aben xoắn

1.2 Nửa nhóm giao hoán sắp thứ tự được

Trong tiết này chúng ta xác định lớp các nửa nhóm giao hoán thừa nhận một quan hệ thứ tự toàn phần tương thích với phép toán nửa nhóm

1.2.1 Định nghĩa (i) Một quan hệ hai ngôi ρ trên nửa nhóm (S,+) được gọi

là tương thích với phép toán nửa nhóm nếu aρb kéo theoa + x ρ b + x đối   

với a,b,x S

(ii) Một quan hệ hai ngôi ρ trên một tập hợp S tuỳ ý được gọi là một thứ

tự bộ phận nếu nó phản xạ, bắc cầu, phản xứng và thứ tự bộ phận ρ được gọi

là thứ tự toàn phần trên S nếu đối với các phần tử phân biệt a b , x, hoặc

aρb hoặc bρa

Một quan hệ thứ tự bộ phận được ký hiệu bởi ≤ và ký hiệu a > b hoặc

b < a được sử dụng để chỉ ba và ba

(iii) Nửa nhóm S gọi là sắp thứ tự bộ phận được (tương ứng, sắp thứ tự

toàn phần được) dưới quan hệ ≤ nếu ≤ là một thứ tự bộ phận ( tương ứng,

thứ tự toàn phần ) trên S và ≤ tương thích với phép toán nửa nhóm trên S

1.2.2 Chú ý Nếu S thừa nhận một thứ tự toàn phần tương thích với phép

toán nửa nhóm thì S phi xoắn và giản ước được Thật vậy, lấy hai phần tử phân biệt a,b S , giả sử a < b Thế thì a + x < b + x đối với mỗi xS nên S giản ước được Hơn nữa, 2a < a + b < 2b và theo quy nạp, na < nb đối với

n nên S phi xoắn

Chúng ta chứng minh khẳng định ngược lại, mỗi nửa nhóm giản ước được phi xoắn có thể sắp thứ tự toàn phần được Kết quả tiếp theo chứng tỏ rằng để chứng minh điều đó, chỉ cần xét trường hợp nhóm phi xoắn

1.2.3 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm giản ước được phi xoắn với nhóm

thương G Thế thì S thừa nhận một thứ tự toàn phần tương thích với phép toán của nó nếu và chỉ nếu G có tính chất đó

Chứng minh Nếu G được sắp thứ tự toàn phần dưới thứ tự ≤, thế thì quan hệ

≤ cảm sinh một thứ tự toàn phần trên S tương thích với phép toán nửa nhóm Đảo lại, nếu S được sắp thứ tự toàn phầm dưới quan hệ ≤, thế thì chúng ta

định nghĩa một quan hệ ρ trên G như sau Mỗi phần tử thuộc G biểu diễn

dưới dạng s - t đối với s, tS Đối với g = s - t và 1 1 1 g2 s2 t 2,, Định nghĩa

1 2

g ρg nếu s + t1 2 s + t2 1 Thế thì ρ là một quan hệ thứ tự toàn phần trên G

tương thích với phép toán nhóm trên G và là mở rộng quan hệ ≤ trên S ,

chúng ta chỉ cần kiểm tra rằng ρ xác định và cái thu hẹp của nó trên S trùng với ≤ Thật vậy, nếu g = s – t = s' – t'1 1 1 1 1 và g = s - t = s - t2 2 2 '2 '2 với

Đối với s, t  S, ta có s ρ t nếu và chỉ nếu:  s + c + c t + c + t, từ đó s ≤ t

Định lý 1.2.3 đặt ra cho chúng ta bài toán chứng minh rằng một nhóm Aben phi xoắn có thể được sắp thứ tự toàn phần Một phần của khẳng định trên có thể chứng minh được, đó là: thứ tự bộ phận tuỳ ý trên một nhóm Aben phi xoắn G có thể mở rộng thành thứ tự toàn phần Một số thuật ngữ bổ sung làm giảm nhẹ phép chứng minh

1.2.4 Định nghĩa Giả thiết rằng ≤ là một thứ tự bộ phận trên G Khi đó

Hơn nữa, nếu ≤ là một thứ tự toàn phần trên G , thế thì P thoả mãn thêm điều

kiện

(iii) P -P G

Một tập con L của G thoả mãn (i) và (ii) được gọi là một tập con dương của G Như vậy một tập con cảm sinh một thứ tự bộ phận ρ trên G tương

thích với phép toán nhóm Quan hệ ρ được xác định bởi gρh  nếu g h L– 

và ρ là một quan hệ thứ tự toàn phần nếu và chỉ nếu L thoả mãn (iii) Các tương ứng như vậy giữa thứ tự bộ phận trên G và các tập con dương của G là nghịch đảo lẫn nhau, và các cái thu hẹp tương ứng của chúng trở thành thứ tự toàn phần trên G và tập hợp các tập con dương của G thoả mãn (iii) cùng nghịch đảo lẫn nhau Tập hợp các tập con dương của G được sắp thứ tự bộ phận dưới quan hệ , và bao hàm thứcL1L2 tương ứng với điều kiện nói rằng 2-thứ tự bộ phận trên G được cảm sinh bởi L2- là một mở rộng của thứ

tự bộ phận 1 được cảm sinh bởi L1 Định lý 2.1.4 phát biểu đặc trưng này

1.2.5 Định lý Nếu P 0 là tập con dương của một nhóm Aben phi xoắn G, thế thì P 0 có thể nhúng được vào P, một tập con dương của G thoả mãn điều kiện

(iii)

Chứng minh Nếu {P2} là một họ được sắp thứ tự tuyến tính của các tập con

dương của G , thế thì P cũng là một tập con dương Từ đó tập hợp các tập

con dương của G được sắp thứ tự quy nạp theo quan hệ  và P0 được chứa trong một tập con dương tối đại P Để hoàn thành chứng minh, chúng ta chứng tỏ rằng P thoả mãn điều kiện (iii) – nghĩa là, G  P  P Muốn vậy,

hãy lấy g G và xét 3 trường hợp sau đây: (1) n g0 P với n0 nào đó; (2)

 

0

n g  -P với n0 nào đó; (3) đối với tất cả n0 hoặc ng hoặc ng

không thuộcP Trong trường hợp 1, giả sử P = P+ < g > = {p + kg p P, k Z }* 0   +

và vìn p0 P nên n x0  P    -P = 0 Do đó x = 0 vì G phi xoắn Như vậy

P*thoả mãn (ii), và tính chất tối đại của P kéo theo *

1.2.6 Chú ý Giả sử (S, +) là một vị nhóm giao hoán với đơn vị là phần tử 0

Nếu {S} I là một họ các vị nhóm con của S chứa 0 thoả mãn điều kiện: Mỗi

phần tử của S biểu diễn được dưới dạng

i

α

n i=1

s

 với

α α

s S , đối với mỗi i

(trong đó i  I, i = 1, 2, 3,…, n), và nếu mỗi đẳng thức

s = S , (với mỗi i = 1, 2, 3,…, n), thế thì s được giọi là tổng trực tiếp

yếu của họ {S} I , ký hiệu w

S = S

1.2.7 Định nghĩa và ký hiệu Giả sử  α  I là một họ các nhóm, mỗi một

trong chúng đẳng cấu với , và c α

α I



 là tổng trực tiếp đầy đủ của họ

 α  I, thế thì P = {{ n} n 0 đối với mỗi } là một tập con dương của

G Thứ tự bộ phận được cảm sinh, xác định bởi {a}  {b} nếu a b đối vơí mỗi , được gọi là thứ tự cơ bản trên G Người ta nói rằng thứ tự trên G trở thành một thứ tự toàn phần được gọi là thứ tự từ điển trên G , được xác định bởi thứ tự tập I, bằng cách đặt {a}>{b} nếu

Thứ tự toàn phần khác trên G0 thường được sử dụng là thứ tự từ điển

ngược, mà nón dương của nó chứa 0 và các phần tử khác của G0 với toạ độ khác 0 cuối cùng của nó là dương Chúng ta chú ý rằng giả thiết mỗi Z đẳng cấu với chỉ đúng một vai trò nhỏ bé trong các định nghĩa trên; các định nghĩa đầy đủ ý nghĩa (hợp logic) đối với họ tuỳ ý {Z}của các nửa nhóm được sắp thứ tự toàn phần Trong trường hợp mỗi Z đẳng cấu với , ta thu được kết quả sau đây:

1.2.8 Hệ quả Nếu {g}I là một tập con tự do của nhóm Aben phi xoắn G, thế thì tồn tại một thứ tự toàn phần ≤ trên G sao cho O ≤ g đối với mỗi I

Chúng ta phát biểu các kết quả sau đây liên quan đến tính sắp thứ tự được của nửa nhóm giao hoán

1.2.9 Hệ quả Nửa nhóm giao hoán phi xoắn S thừa nhận một thứ tự toàn

phần tương thích với phép toán nửa nhóm của nó nếu và chỉ nếu S phi xoắn

và giản ước được

1.2.10 Hệ quả Giả thiết rằng P 0 là một tập con dương của nhóm Aben phi xoắn G và x, y  G sao cho nx  P 0 với mỗi n + Thế thì P 0 có thể mở rộng được thành một tập con dương P của G sao cho P thoả mãn (iii) và

- xP

1.3 Tương đẳng trên các nửa nhóm giao hoán

Nếu S là một nửa nhóm thì các đồng cấu được xác định trên S và các ảnh đồng cấu của S đóng một vai trò quan trọng trong việc xác định cấu trúc

của S Một phương pháp thuận tiện và tương đương với việc xét các đồng cấu

trên S là thông qua khái niệm tương đẳng trên S, được định nghĩa như sau:

1.3.1 Định nghĩa Một tương đẳng trên S là một quan hệ tương đương trên

S mà nó tương thích với phép toán nửa nhóm

Cụ thể hơn, một quan hệ hai ngôi  trên nửa nhóm (giao hoán) S được

gọi là một quan hệ tương đẳng nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:

(i)  là một tương đương trên S

(ii)  ổn định, nghĩa là nếu  a, b ρ thì a + b, b + cρ với mọi c S

Định lý sau đây phát biểu về mối quan hệ cơ bản giữa các đồng cấu và tương đẳng Phép chứng minh Định lý 2.2.2 theo đúng lối chuẩn tắc

1.3.2 Định lý Giả sửS , là một nửa nhóm giao hoán

(1) Nếu  là một tương đẳng trên S, thế thì đối với sS, ký hiệu - lớp tương đương chứa s là  s và S :   s s S

ρ   Khi đó S ρlà một nửa nhóm giao hoán dưới phép toán     a  b  ab, và ánh xạ f: S S

ρ xác định bởi

   

f s  s là một đồng cấu từ S lên S ρ; hơn nữa f s 1  f s 2 nếu và chỉ nếu s , s1 2ρ

(2) Đảo lại, nếu h: ST là một đồng cấu từ S lên T, Định nghĩa quan hệ 

trên S bởi ab nếu h(a)= h(b) Thế thì  là một tương đẳng trên S và các nửa nhóm S ρvà T đẳng cấu với nhau dưới ánh xạ  s h(s), trong đó  s là

 - lớp tương đương chứa s

1.3.3 Định nghĩa Nửa nhóm S ρ xác định trong Định lý 2.3.2 được gọi là

nửa nhóm thương của S theo tương đẳng 

Định lý 2.3.2 chứng tỏ rằng, với sự sai khác đẳng cấu, các nửa nhóm thương đó biểu diễn tất cả các ảnh đồng cấu của S

1.3.4 Chú ý Nếu 1 và 2 là các tương đẳng, thế thì 1 ≤ 2 nếu a1b kéo theo a2b đối với a, bS Xét 1 và 2 như các tập con của S, quan hệ 1 ≤ 2đúng nếu và chỉ nếu 1 được chứa trong 2 Như vậy ≤ là một thứ tự bộ phận trên tập các tương đẳng trên S Một dạng tương đương khác của quan hệ

1 ≤ 2 là khẳng định rằng ánh xạ tự nhiên [s]1 [s]2 của

1

S

ρ lên Sρ hoàn 2toàn được xác định (và khi đó nó là một đồng cấu) Tương đẳng lớn nhất trên

S là S  S (tương đẳng phổ dụng, mà dưới quan hệ ấy, hai phần tử tuỳ ý của S

luôn luôn có quan hệ với nhau) và tương đẳng bé nhất trên S là tương đẳng đồng nhất hay tương đẳng bằng nhau I = {(s, s) s S } Giao của một họ tuỳ ý

các tương đẳng trên S là một tương đẳng tuỳ ý trên S; Từ đó họ tuỳ ý {} Icác tương đẳng trên S có cả cận trên bé nhất (được ký hiệu bởi lub() và một cận dưới lớn nhất (được ký hiệu bởi glb()) Quan hệ =glh() được mô tả

dễ dàng: ab nếu và chỉ nếu ab, I Để mô tả lub(), chúng ta chú ý rằng tập con tuỳ ý  của S

S sinh ra một tương đẳng trên S, đó là giao của tất cả các tương đương

đẳng trên S chứa  Chúng ta chuyển sang mô tả tương đẳng này; vì lub() là tương đẳng được sinh bởi  I nên lub() được mô tả như sau Tương đẳng  được sinh ra bởi  được xây dựng theo 3 bước

1 Đặt ρ0     -1 i, trong đó -1

= {( b,a)(a,b)  } và i là tương đẳng đồng nhất trên S Thế thì 0 chứa  và đồng thời phản xạ và đối xứng Rõ ràng 0 chứa  sinh ra một tương đẳng trên S

2 Đặt ρ = ρ1 0{  a + c,b + c a,b   ρ , c S}0  Thế thì 1 phản xạ, đối xứng và tương thích và phép toán trên S Nếu S là một vị nhóm, thế thì

ρ = { a + c, b + c   a,b ρ , c S} , vì 0 được chứa trong tập hợp này Cũng

rõ ràng 0 và 1 sinh ra cùng một tương đẳng trên S

3.Giả sử ρ = a,b a ,a , ,a S sao cho a = a ,b =a , a ,a   0 1 t 0 t  i i+1ρ,i= 0,1, ,t-1

Thế thì  là tương đẳng trên S được sinh ra bởi 

1.3.5 Định nghĩa i) Một tương đẳng  trên S được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại một tập con hữu hạn  của S × S sao cho  là tương đẳng sinh bởi 

(ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm Noether nếu mỗi tương đẳng trên

S là hữu hạn sinh

Như thường lệ, mỗi tương đẳng trên S hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu S thoả

mãn điều kiện a.c.c trên các tương đẳng, nghĩa là nếu và chỉ nếu mỗi tập tăng

ngặt 1 < 2 < … các tương đẳng trên S hữu hạn

1.3.6 Định lý Giả thiết rằng T là một nửa nhóm con của nửa nhóm S Định

nghĩa một quan hệ  trên S bởi aρb , nếu a t  b  t với tT nào đó Thế thì  là một tương đẳng trên S và t giản ước được trong S δ đối với mỗi

tT Nếu δ là một tương đẳng trên S sao cho ảnh đồng cấu của T trong S δ bao gồm các phần tử giản ước được của S δ , thế thì δ ρ

Chứng minh Rõ ràng  phản xạ và đối xứng Nếu ab và bc thì tồn tại

1 2

t , t Tsao cho a + t = b + t và 1 1 b + t = c + t Vì T là nửa nhóm con của S 1 2

và t , t1 2Tnên t + t1 2T Khi đó a + t + t 1 2= c + t + t nên  1 2 a ρc Vậy 

bắc cầu Hơn nữa, a + t = b + t1 1 kéo theo a + s + t = b + s + t1 1 đối với mỗi s  S

nên  là một tương đẳng trên S Nếu        a  t  b  t đối với a,b S và

1

t T nào đó, thế thì a + t + t = b + t + t với 1 1 t1T nào đó Từ đó a ρb và

do đó    a  b Như vậy,  t giản ước được đối với mỗi tT Khẳng định

rằng    đối với  như đã được mô tả là rõ ràng

1.3.7 Định nghĩa Trong trường hợp T = S, tương đẳng  được xác định trên

S như trong Định lý 1.3.6 gọi là tương đẳng giản ước được trên S Đối với

nửa nhóm con T của S sao cho mỗi phần tử của T giản ước trong S, vị nhóm thương của S theo T đã được Định nghĩa trong 2.1 Đối với một nửa nhóm

con T tổng quát, vị nhóm của S theo T được định nghĩa là vị nhóm thương

của Sρ , theo nhóm con { t t  T }, trong đó  là tương đẳng được xác định

trong Định lý 1.3.6

Kết quả tiếp theo cơ bản đã được trình bày trong 1.1 Chúng ta phát biểu lại nó ở đây theo ngôn ngữ tương đẳng

1.3.8 Định lý Giả thiết rằng S là một vị nhóm và H là một nhóm con của S

chứa 0 Đối với a,b  S, định nghĩa a  b nghĩa là a h b đối với hH nào đó Thế thì  là một tương đẳng trên S , a  a H , và nếu H là nhóm tất cả các phần tử khả nghịch của S, thế thì [0] là phần tử nghịch đảo duy nhất của S/

1.3.9 Chú ý Chú ý rằng nếu S là một nhóm, thế thì các tương đẳng duy nhất

trên S xuất hiện như trong Định lý 1.3.8, nghĩa là tương đẳng tương ứng một

nhóm con của S Để thấy điều đó, giả sử *

và chỉ nếu a b Hnếu và chỉ nếu a b H 

1.3.10 Định lý Giả thiết rằng S là một nửa nhóm cộng tính (giao hoán) và

M là một nửa nhóm nhân các số nguyên dương Đối với a, bS , được định nghĩa ab nếu ma mb với mM nào đó Thế thì  là một tương đẳng trên

S, và nếu m a = m b đối với        a , b S