Một lớp bài toán chiếc túi mở rộng với ràng buộc ngẫu nhiên

Bài toán chiếc túi toàn phương với ràng buộc ngẫu nhiên.. Bài toán chiếc túi toàn phương với ràng buộc ngẫu nhiên.. Bước đầu tiếp cận với những kết quả của bài báo nêu trong [6], chúngtô

Mở đầu 4

Chương 1 Kiến thức cơ sở 7

1.1 Một số vấn đề chung về việc giải bài toán quy hoạch bằng phương pháp xấp xỉ 7

1.1.1 Phương pháp tụt 7

1.1.2 Phương pháp chuyển đổi bài toán 9

1.2 Bài toán chiếc túi 10

1.2.1 Bài toán chiếc túi cổ điển 10

1.2.2 Bài toán chiếc túi mở rộng 12

1.3 Một số kiến thức cơ sở của lý thuyết xác suất 13

1.3.1 Các khái niệm 13

1.3.2 Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên 15

1.4 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc ngẫu nhiên 16

1.4.1 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn 16

1.4.2 Ràng buộc ngẫu nhiên dùng cho bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 17

Chương 2 Bài toán chiếc túi toàn phương với ràng buộc ngẫu nhiên 19

2.1 Đặt vấn đề 19

2.2 Bài toán chiếc túi toàn phương với ràng buộc ngẫu nhiên 20

2.2.1 Bài toán 20

2.2.2 Nới lỏng tuyến tính 24

2.2.3 Nới lỏng SDP 25

2.3 Bài toán chiếc túi toàn phương ngẫu nhiên hai giai đoạn 28

2.3.1 Bài toán 28

2.3.2 Quyết định giai đoạn thứ nhất 29

2.3.3 Quyết định giai đoạn thứ hai 30

2.3.4 Một số đặc trưng 32

2.4 Một cách tiếp cận giải bài toán (2.18)-(2.23) 33

2.4.1 Phân tích bài toán (2.18)-(2.23) 33

2.4.2 Bài toán tất định tương đương 35

Kết luận 38

Tài liệu tham khảo 39

Mở đầu

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính

min{cTx : aTj x ≤ bi, i = 1, , m; x ≥ 0}

trong đó aj = (aij) là vectơ cột thứ j của ma trận A

Nếu dữ liệu aj thông tin không đầy đủ, phụ thuộc vectơ ngẫu nhiên

ω = (ωj) nào đó thì ta có bài toán quy hoạch ngẫu nhiên Trong nhiềutrường hợp bài toán đòi hỏi thêm

Khi đó ta có bài toán quy hoạch tuyến tính với ràng buộc ngẫu nhiên(with Probability Constraints)

Gần đây, nhiều tác giả (chẳng hạn D Bertsimas, X Chen, M Sim, P.Sun, O Klopfenstein and D Nace) đã thu được nhiều kết quả thú vị vềlớp bài toán này Trong đó đáng chú ý là công trình khoa học "Knapsackproblem with probability constraints" của các tác giả A A Gaivoronski,

A Lisser, R Lopez và H Xu, công bố trên tạp chí J Glob Optim., năm

2010 [6]

Chúng tôi quan tâm nhiều tới lớp bài toán chiếc túi Một kết quả tương

tự cho lớp bài toán chiếc túi cổ điển đã được tác giả Võ Thị Tố Uyên, trìnhbày trong luận văn tốt nghiệp năm 2009 [5]

Bước đầu tiếp cận với những kết quả của bài báo nêu trong [6], chúngtôi nhận thấy lớp bài toán chiếc túi mở rộng với ràng buộc ngẫu nhiên

mang nhiều ý nghĩa khoa học và ứng dụng trong thực tiễn Đó là lý dochúng tôi chọn đề tài: "Một lớp bài toán chiếc túi mở rộng với ràngbuộc ngẫu nhiên".

Sự mở rộng ở đây, đề tài được hạn chế trong phạm vi hàm mục tiêu códạng toàn phương

Nội dung của luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này, chúng tôi trình bàymột số kiến thức cơ bản về phương pháp xấp xỉ giải bài toán quy hoạch,

về bài toán chiếc túi cổ điển và bài toán chiếc túi mở rộng Đồng thời để

có những kiến thức cơ sở cho việc nghiên cứu bài toán quy hoạch ngẫunhiên, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất,các vấn đề lý thuyết quy hoạch tuyến tính nguyên và bài toán quy hoạchtuyến tính ngẫu nhiên nguyên hai giai đoạn

Chương 2 Bài toán chiếc túi toàn phương với ràng buộc ngẫunhiên Chương 2 là nội dung chính của luận văn, chúng tôi trình bày bàitoán chiếc túi có sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên trong sự tiếp nhậnthông tin về dữ liệu của bài toán Bài toán được xét trong luận văn nàykhác với bài toán được xét trong [5] ở chỗ hàm mục tiêu có dạng toànphương, như chúng tôi đã đề cập tới mô hình toán học dạng tất định trongmục 1.2.2

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới

sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy đối với tácgiả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Bộmôn Xác suất Thống kê và Toán ứng dụng, các thầy cô giáo trong Hội đồngchấm luận văn, Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Vinh.Cũng nhân dịp này, cho phép tôi nói lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè,

đã quan tâm, góp ý và tạo điều kiện thực hiện luận văn này.

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những sai sót.Tác giả mong nhận được những đóng góp của quý thầy cô giáo và các bạn

để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

rõ ràng sử dụng phương pháp xấp xỉ, lấy nghiệm gần đúng là hợp lý Cónhiều cách để tiếp cận giải bài toán quy hoạch bằng phương pháp xấp xỉ.Sau đây chúng tôi trình bày hai phương pháp thông dụng, đó là xấp xỉbằng cách tạo ra dãy các phương án tốt dần theo hướng "tụt" và phươngpháp xấp xỉ bài toán đã cho bởi bài toán khác, đơn giản hơn Việc đánhgiá độ chính xác của phương pháp xấp xỉ thông thường xét độ lệch giá trịhàm mục tiêu tương ứng.

1.1.1 Phương pháp tụt

Xét bài toán quy hoạch

min{f (x) : x ∈ M },trong đó f (x) là hàm khả vi, xác định trên tập lồi đóng M , thông thường,

ta xét hàm f (x) thuộc lớp C1,1(M ) (hàm f (x) khả tích và đạo hàm thoảmãn điều kiện Lipschitz trên M ) Quá trình xây dựng dãy điểm x(k) gọi làgiảm dư nếu x(k) ∈ M và

f (x(k+1)) ≤ f (x(k)), k = 0, 1,

Ta giả thiết rằng tập nghiệm M∗ 6= ∅, đồng thời cũng giả thiết rằng

x(k) ∈ M/ ∗, (vì trong trường hợp ngược lại x(k) là phương án tối ưu cần tìm

và quá trình giảm dư kết thúc)

Hướng s ∈ Rn chấp nhận được từ x ∈ M được gọi là hướng tụt từ x (hay

là giảm từ x ) nếu f (x + λs) ≤ f (x), với mọi λ ∈ [0, λ0], λ0 > 0

Lúc này lược đồ tổng quát của phương pháp tụt là:

Bước xuất phát Chọn xấp xỉ ban đầu x(0) ∈ M

Bước k, (k = 1, 2, ) Tại điểm x(k), ta chọn hướng tụt (−sk) (Chẳnghạn chọn sk = x(k)− y(k), trong đó y(k) ∈ M được chọn sao cho f (y(k)) <

với mọi C thoả mãn 0 < C ≤ 2Lη1 2, L là hằng số Lipschitz.

Quá trình "tụt" như đã nêu ta được dãy các phương án tốt dần x(k).Theo định lý 1.1.1.1 thì f (x(k)) hội tụ về f (x∗) khi k → ∞

Nếu chúng ta lấy f (x∗) ≈ f (x(k)) thì ta được nghiệm gần đúng với sai

số như đã nêu

Một trong những ví dụ minh hoạ cho phương pháp xấp xỉ đã nêu làphương pháp Monte Carlo quen thuộc

1.1.2 Phương pháp chuyển đổi bài toán

Thay vì giải bài toán phức tạp hơn, người ta xấp xỉ bài toán đã cho bởibài toán đơn giản hơn Từ đó đánh giá sự sai khác của hàm mục tiêu củahai bài toán tại một phương án bất kỳ Với sai khác đã cho nào đó, ta xácđịnh hàm mục tiêu của bài toán xấp xỉ phù hợp Tiếp theo ta giải bài toánxấp xỉ, được phương án tối ưu x0∗ Phương án tối ưu x0∗ có thể lấy làmnghiệm gần đúng của bài toán đã cho

Ví dụ Xét bài toán quy hoạch ngẫu nhiên giai đoạn hai (2SSLP ):

(2SSLP ) min{g(x) = cTx + Ew[Q(x, w)]}

với điều kiện

A(w)x = b(w),

x ≥ 0,

trong đó

Q(x, w) = min{q(w)Ty : D(w)y = b(w) − A(w)x; x, y ≥ 0},

ở đây c, x ∈ Rn; q, y ∈ Rm, w là biến ngẫu nhiên thuộc không gian xác suất(Ω, F , P ), với Ω ∈ Rk; Ew[Q(x, w)] là kỳ vọng của Q(x, w) lấy theo biếnngẫu nhiên w ∈ Ω

Lúc đó, người ta đưa ra bài toán (P):

(P ) minf (z) : z ∈ M trong đó

Ký hiệu z∗ là phương án tối ưu của (P ) và x∗ là phương án tối ưu củabài toán

min{cTx : x ∈ M, Ax = z∗}Bài toán (P ) là bài toán tất định có thể giải bằng các phương pháp đãbiết Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa bài toán toán (2SSLP ) vàbài toán (P ):

1.1.2.1 Định lý Giả sử z∗ và x∗ lần lượt như ký hiệu đã nêu Khi đógiá trị tối ưu của hàm mục tiêu bài toán (P ) và bài toán (2SSLP ) là bằngnhau Đồng thời x∗ cũng sẽ là phương án tối ưu của bài toán (2SSLP ).1.2 Bài toán chiếc túi

1.2.1 Bài toán chiếc túi cổ điển

Cho n đồ vật, trọng lượng tương ứng của đồ vật thứ i là ai và có giá trị

là ci (i = 1, n) Ta hãy xếp đồ vật vào túi có tải trọng là b, sao cho tổngtrọng lượng không vượt quá b và đạt giá trị lớn nhất

Ta có thể tóm tắt bài toán như sau:

Ký hiệu I = {1, 2, , n}: tập chỉ số của đồ vật

Ký hiệu xi, i = 1, n là số đồ vật thứ i xếp vào túi, xi ∈ {0, 1}

Khi đó ta có bài toán: Tìm xi, i ∈ I sao cho:

với điều kiện

1.2.2 Bài toán chiếc túi mở rộng

Chúng ta xét bài toán thực tế đặt ra như sau:

Cần xếp n loại đồ vật lên một toa tàu có sức chứa là b, khối lượng tươngứng của đồ vật thứ i là ai và có giá trị là ci (i = 1, n) Trước khi xếp lêntoa tàu, người ta cần xếp vào các túi nhỏ hơn, chẳng hạn các thùng, mỗithùng thứ j có sức chứa là sj (tạm bỏ qua bề dày của vỏ thùng) Số lượngthùng có là m Ta hãy xếp đồ vật lên toa tàu, sao cho tổng khối lượngkhông vượt quá b và đạt giá trị lớn nhất

Ký hiệu xi, i = 1, n: là số đồ vật thứ i xếp vào túi, xi ∈ {0, 1}.

Ký hiệu yj, j = 1, m: là số thùng thứ j xếp vào toa tàu, yj ∈ {0, 1}.Khi đó số lượng đồ vật loại i được xếp vào túi thứ j sẽ là xiyj Tổng sốgiá trị đồ vật xếp lên toa tàu là

1.3 Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết xác suất và thống kê1.3.1 Các khái niệm

A3) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A (hoặc A ∩ B ∈ A)

+ Lớp F ⊂ P(Ω) được gọi là một σ-đại số nếu nó là đại số và thoả mãn

Không gian đo và độ đo xác suất

Cặp (Ω, F ) được gọi là một không gian đo, trong đó Ω 6= ∅ bất kỳ, F làmột σ-đại số các tập con của Ω

Giả sử (Ω, F ) là một không gian đo Một ánh xạ P : F → R được gọi là

độ đo xác suất trên F nếu

P1) P(A) ≥ 0, ∀A ∈ F, (tính không âm),

Biến ngẫu nhiên

Giả sử (Ω, F , P) là một không gian xác suất, G là đại số con của đại số F ; B là σ-đại số Borel trên đường thẳng thực R Khi đó ánh xạ

σ-X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên G - đo được nếu với mọi B ∈ B(R)

với mỗi B ∈ B(R).

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F , P), nhận giá trị trên

R Hàm số FX(x) = P[X < x], (x ∈ R) được gọi là hàm phân phối của biếnngẫu nhiên X

1.3.2 Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa Kỳ vọng hay giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X là

số EX, được xác định bởi

3 Nếu tồn tại EX thì với mọi hằng số λ, ta có E(λX) = λEX

4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY

7 (Bổ đề Fatou) Nếu Xn ≥ Y, ∀n ≥ 1 và EY > −∞ thì

ElimXn ≤ limEXn,Nếu Xn ≤ Y, ∀n ≥ 1 và EY < ∞ thì

ElimXn ≥ limEXn,Nếu |Xn| ≤ Y, ∀n ≥ 1 và EY < ∞ thì

ElimXn ≤ limEXn ≤ limEXn ≤ ElimXn

8 (Định lý Lesbesgue về sự hội tụ bị chặn) Nếu |Xn| ≤ Y, ∀n ≥ 1, EY <

∞ và Xn → X thì X khả tích, E|Xn − X| → 0 và EXn → EX, n → ∞

9 Nếu ϕ là hàm lồi, X và ϕ(X) khả tích thì

E(ϕ(X)) ≥ ϕ(EX)

10 Nếu X và Y độc lập thì E(XY ) = EX.EY

Định nghĩa Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là DX (hayvarX) là một số được xác định bởi

DX = E(X − EX)2.Khi đó

+ Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn.

+ Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

1.4.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạnBài toán quy hoạch tuyến tính 2 giai đoạn có dạng ở giai đoạn 2 là

y tương ứng các biến của giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai; D

là ma trận cấp m × m (thông thường có thể lấy ma trận đơn vị); y =

(y1, y2, , ym); Dy thể hiện độ lệch giữa Ax với b và q = (q1, q2, , qn) gọi

là vectơ phạt bởi tác động của đại lượng ngẫu nhiên ez

Giai đoạn thứ nhất, biến x là nghiệm thu được trên cơ sở thông tin cóđược từ thực nghiệm

Giai đoạn thứ hai, biến y là nghiệm thu được khi hiệu chỉnh nghiệm sơ

bộ x của giai đoạn thứ nhất với thông tin xác định

Do vậy, bài toán quy hoạch tuyến tính đã nêu, tương đương với việc giảibài toán

trong đó Y là không gian các hàm đo được

Chương 2

Bài toán chiếc túi toàn phương

với ràng buộc ngẫu nhiên

2.1 Đặt vấn đề

Trong Chương 1, chúng ta đã nói tới bài toán chiếc túi cổ điển và bàitoán chiếc túi mở rộng (đó là mô hình tĩnh của bài toán chiếc túi toànphương) Khi bài toán có sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên thì bài toánchiếc túi sẽ xảy ra nhiều tình huống khác nhau do ảnh hưởng của yếu tốngẫu nhiên vào thông tin dữ liệu Trong mục này, chúng ta xét tới bài toánchiếc túi toàn phương có ràng buộc ngẫu nhiên

Bài toán chiếc túi (KP ) là một bài toán nổi tiếng và đã được nghiêncứu trong tối ưu hóa tổ hợp Bài toán chiếc túi thường được sử dụng để

mô hình các tình huống quyết định trong công nghiệp, tài chính Điềuđáng nói nhất của (KP ) là điều kiện ràng buộc biến nhị phân Bài toánđược biết đến thuộc lớp bài toán NP-khó [2], đã được nghiên cứu trongnhững thập kỷ qua, và chúng ta đã biết một vài thuật toán chính xác vàcác thuật toán gần đúng cho bài toán này Đối với các bài toán chiếc túitoàn phương, một cuộc khảo sát được thực hiện bởi David Pisinger cho cáckết quả chi tiết thông tin về các bài toán và một số kết quả về việc thựchiện nới lỏng khác nhau, các thuật toán được sử dụng để giải đúng hoặcgần đúng bài toán Tuy nhiên, những kết quả này cho thấy những hạn chếcủa nó, vì nó không đưa vào yếu tố không chắc chắn các thông số, chẳnghạn như giá trị ci hoặc wi trọng lượng đồ vật Tương tự như vậy, các quyếtđịnh như vậy không tĩnh, và mô hình này không thể đưa vào thông tinthiếu chắc chắn Việc nới lỏng tuyến tính cho ta thành công trong việc giải

các bài toán tối ưu hóa tổ hợp nhiều chiều Phương pháp nới lỏng (được

ký kiệu là (SDP )), đã trở thành đặc biệt thú vị cho bài toán tối ưu hóa

kỹ thuật SDP (semi-definite programming) nới lỏng (relaxation), nhằm

sử dụng để giải quyết bài toán đặt ra

2.2.1.1 Mô hình bài toán

Như trong chương 1, đã cho ta bài toán chiếc túi toàn phương từ bàitoán xếp hàng lên toa tàu:

Cần xếp n loại đồ vật lên một toa tàu có sức chứa là b, khối lượng tươngứng của đồ vật thứ i là ai và có giá trị là ci (i = 1, n) Trước khi xếp lêntoa tàu, người ta cần xếp vào các túi nhỏ hơn, chẳng hạn các thùng, mỗithùng thứ j có sức chứa là sj (tạm bỏ qua bề dày của vỏ thùng) Số lượngthùng có là m Ta hãy xếp đồ vật lên toa tàu, sao cho tổng khối lượngkhông vượt quá b và đạt giá trị lớn nhất

Ký hiệu xi, i = 1, n: là số đồ vật thứ i xếp vào túi, xi ∈ {0, 1}

Ký hiệu yj, j = 1, m: là số thùng thứ j xếp vào toa tàu, yj ∈ {0, 1}.Khi đó số lượng đồ vật loại i được xếp vào túi thứ j sẽ là xiyj Tổng sốgiá trị đồ vật xếp lên toa tàu là

Từ đó ta được bài toán

Như vậy, mục tiêu của bài toán là làm tối đa giá trị của các đồ vật cótrong chiếc túi Đối tượng được chỉ định một giá trị cij, phản ánh sức mạnhtổng hợp thu được bằng cách dùng chiếc túi mẹ chứa các chiếc túi con.Biến nhị phân xi nhận giá trị 1 nếu vật i được xếp vào túi, giá trị 0 nếungược lại Trong trường hợp có sự không chắc chắn theo trọng lượng củacác vật, lúc này độ lệch trọng lượng của các mặt hàng thấp hơn khả năng,chúng tôi đưa ra điều kiện xác suất của tính hợp lệ của các hạn chế lớnhơn một giá trị (1 − α), trong đó α là độ tin cậy rủi ro Bài toán chiếc túitoàn phương ngẫu nhiên, với ràng buộc ngẫu nhiên được thiết lập như sau:

với điều kiện

Trong trường hợp k /∈ Λ thì yk = 1, nên

K

P

k=1

pk ≤ α Khi đó theo (*) tacó

Bài toán chiếc túi ngẫu nhiên như đã nêu là bài toán thuộc lớp NP-khó

Do vậy, chúng ta cần tìm cách giải xấp xỉ bằng cách chuyển về bài toánnới lỏng (SDP ), xác định cận trên của nó

Chứng minh Vì Xij = xixj nên hai hàm mục tiêu là như nhau Bây giờ

ta chỉ cần 2 hệ điều kiện là tương đương

Thật vậy, trước hết ta có 3 điều kiện của bài toán (LKP 1) đều có mặttrong (LKP 2) nên mỗi phương án của bài toán (LKP 2) cũng là phương

án của bài toán (LKP 1) Ta chỉ cần chỉ ra điều ngược lại Nghĩa là chỉ ramỗi phương án x của bài toán (LKP 1) cũng là phương án của bài toán(LKP 2) Rõ ràng x là phương án của (LKP 1), tức là 0 ≤ xi ≤ 1 Do

Xij = xixj và 0 ≤ xi ≤ 1 nên ta cũng có Xij ≥ xi+ xj− 1, i < j = 1, , N Cũng như vậy ta có Xij ≤ xi, i < j = 1, , N , Xij ≤ xj, i < j = 1, , N và

0 ≤ Xij ≤ 1, i, j = 1, , N

Bài toán nới lỏng tuyến tính (LKP 2) này sẽ được sử dụng trong cáctính toán số Để có được giới hạn chặt chẽ hơn, chúng tôi sẽ sử dụng một

sự thay thế nới lỏng dựa trên bài toán nửa xác định

2.2.3 Nới lỏng SDP

Bài toán chiếc túi toàn phương với ràng buộc ngẫu nhiên sử dụng một

số lượng lớn biến nhị phân làm cho việc giải quyết bài toán lớn bằng cácphương pháp chính xác không thực tế Hai vấn đề có thể đặt ra: Thứ nhất

là thời gian Trung tâm điều khiển cần thiết để giải quyết các trường hợplớn có thể quá lâu Thứ hai là các phương pháp như phân nhánh và câytìm kiếm, các nút tìm kiếm cần phải được lưu trữ trong bộ nhớ Trongmột số trường hợp, dữ liệu có thể đạt tới giới hạn mà hệ thống có thể xử

lý, do đó không thể được tính toán Khi tính toán các giải pháp chính xác,chúng ta tính toán trên ràng buộc nới lỏng bằng cách sử dụng tối ưu bàitoán nửa xác định là thú vị, vì nó đòi hỏi thời gian đa thức với đầu vào.Điều này làm cho ta một công cụ phù hợp, làm tăng cường bởi thực tế mà

nó mang lại các giới hạn cho các bài toán nhị phân toàn phương

Trước hết chúng ta đưa ra các ký hiệu

+ m = N + K

+ bC là ma trận cấp m × m , với mỗi cột rTi = (ci1, cin, 0, , 0)