Luật số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị compact trong không gian banach

Luật số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact 14 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo... Cùng với sự phát triển của giải tích đa trị, luật số lớn cho các biến ngẫu nhiên

MỤC LỤC

1.1 Không gian các tập con của không gian Banach 4

1.2 Phần tử ngẫu nhiên đa trị 7

1.3 Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên đa trị 10

1.4 Một số khái niệm liên quan 10

2 Luật số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact 13 2.1 Một số kết quả bổ trợ 13

2.2 Luật số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact 14 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 26

LỜI NÓI ĐẦU

Trong lý thuyết xác suất, hướng nghiên cứu về luật số lớn là một hướngnghiên cứu kinh điển, đã và đang được các nhà toán học quan tâm Cùng với

sự phát triển của giải tích đa trị, luật số lớn cho các biến ngẫu nhiên nhận giátrị tập hợp trong không gian Banach đã thu hút được nhiều tác giả nghiêncứu Một trong những luật số lớn đầu tiên cho dãy các phần tử ngẫu nhiên

đa trị (còn gọi là tập ngẫu nhiên) đã được chứng minh bởi Puri và Ralescuvào năm 1983 ([5]) Cũng vào năm này, Hansen ([3]) đã thu được luật số lớncho dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị compact hoặc compact lồi vớigiả thiết độc lập cùng phân phối Ngoài ra, chúng ta cũng có thể kể đến cáckết quả của Giné, Hahn và Zinn (năm 1983, [4]) về định lý giới hạn trungtâm và luật logarithm lặp cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị compact lồitrong không gian Banach Các kết quả trên thu được nhờ vào việc sử dụngphép nhúng của Radstr¨om (năm 1952, [6]), đó là phép nhúng không gian cáctập con compact vào một không gian Banach và áp dụng các kết quả về luật

số lớn đã biết trong không gian Banach Nhằm tìm hiểu về luật số lớn chodãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị tập compact trong trườnghợp không cùng phân phối, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn VănQuảng, chúng tôi chọn đề tài:

Luật số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiênnhận giá trị tập compact trong không gian Banach

Với đề tài này, chúng tôi sẽ trình bày một số luật mạnh số lớn và luật yếu

số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị compact trong không gianBanach mà không có giả thiết cùng phân phối và thay vào đó là điều kiện về

compact khả tích đều Hơn nữa, đối với luật mạnh số lớn, chúng tôi không

sử dụng phép nhúng của Radstr¨om để chứng minh các kết quả trên

Bố cục luận văn gồm 2 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi sẽ trìnhbày một số khái niệm như không gian các tập con của không gian Banach,phần tử ngẫu nhiên và kỳ vọng của nó, cùng với những tính chất thường hayđược sử dụng

Chương 2 Luật số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giátrị tập compact Nội dung chính của luận văn sẽ được chúng tôi trình bàytrong chương này Chương 2 gồm hai mục, Mục 2.1 sẽ trình bày một số kếtquả bổ trợ phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của luận văn Mục2.2 sẽ trình bày luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn cho dãy các phần tử ngẫunhiên nhận giá trị tập compact với điều kiện compact khả tích đều

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫnnghiêm túc, tận tình của Thầy giáo, PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giảxin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, đồng thời tác giả xin gửi lờicảm ơn tới Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, các Thầy Cô giáo trong Khoa Toán

đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập Cuối cùng, xin gửi lờicảm ơn tới gia đình, người thân và tất cả bạn bè đã động viên giúp đỡ và tạođiều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thànhluận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên luận vănchắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận đượcnhững lời chỉ bảo quý báu của các Thầy Cô giáo và góp ý của bạn đọc đểluận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 11 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian các tập con của không gian Banach

Mục này giới thiệu về một số khái niệm và tính chất về không gian cáctập con của không gian Banach (còn gọi là siêu không gian) Cho (E, k.k) làkhông gian Banach thực khả ly, với không gian đối ngẫu E∗ Ta sử dụng các

ký hiệu sau:

P0(E) là họ các tập con khác rỗng của E;

K(E) là họ các tập con đóng, khác rỗng của E;

Kc(E) là họ các tập con lồi, đóng và khác rỗng của E;

Kb(E) là họ các tập con đóng, bị chặn và khác rỗng của E;

Kbc(E) là họ các tập con lồi, đóng, bị chặn và khác rỗng của E;

C(E) là họ các tập con compact, khác rỗng của E;

Cc(E) là họ các tập con compact, lồi khác rỗng của E

Tổng Minkovski và nhân vô hướng trên P0(E) được định nghĩa như sau:

A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, λA = {λa : a ∈ A} với A, B ∈ P0(E)

Từ định nghĩa trên ta có nhận xét:

1.1.1 Nhận xét 1) P0(E) không là không gian tuyến tính với phép cộng vànhân vô hướng trên vì tính chất tồn tại phần tử đối không được thực hiệnđối với mọi phần tử của P0(E)

2) Nếu A, B ∈ K(E) thì có thể A + B /∈ K(E) Do đó ta đưa vào ký hiệu

A ⊕ B = cl(A + B)

3) Nếu A, B ∈ C(E) (hoặc (Cc(E)) thì A + B ∈ C(E) (tương ứng, Cc(E))

Với A ∈ K(E) và x ∈ E, khoảng cách giữa x và A được định nghĩa bởi

Đặc biệt, với A ∈ K(E), ta ký hiệu |A| = dH(A, {0}) = supa∈Akak

Với A ⊂ E, ký hiệu coA, clA tương ứng là bao lồi và bao đóng của A

Định lý sau đây sẽ chỉ ra các tính chất của khoảng cách Hausdorff trêncác không gian các tập con của không gian Banach E

1.1.2 Định lý 1)(Kb(E), dH)là không gian mêtric đầy đủ Hơn nữa, C(E), Cc(E)

và Kbc(E) là các tập con đóng trong (Kb(E), dH)

2) Nếu E là không gian Banach khả ly thì (C(E), dH) là không gian mêtrickhả ly

Với A ∈ K(E), hàm tựa của A tương ứng với phiếm hàm x∗ ∈ E∗ là

2) Cho A, B ∈ K(E) với dH(A, B) < ∞ Khi đó

1.1.5 Định nghĩa Cho {A, An : n > 1} ⊂ K(E)

1) An được gọi là hội tụ theo Hausdorff đến A, ký hiệu (H) lim

n→∞An = A,nếu lim

n→∞dH(An, A) = 0

2) An được gọi là hội tụ yếu đến A, ký hiệu (W ) lim

n→∞An = A, nếu vớimỗi x∗ ∈ E∗ ta có lim

n→∞s(x∗, An) = s(x∗, A)

3)An được gọi là hội tụ theo Wijsman đếnA, ký hiệu(W ijs) lim

n→∞An = A,nếu với mỗi x ∈ E thì lim

s − lim inf An = {x = s − lim xn : xn ∈ An, n ∈ N}

Trong đó w − lim xm = x nghĩa là xm hội tụ yếu đến x, s − lim xn = x

nghĩa là xn hội tụ theo chuẩn đến x

Từ định nghĩa trên, ta thấy rằng s − lim inf An ⊂ w − lim sup An, cho nênkhi chứng minh sự hội tụ theo Mosco, ta chỉ cần chứng minhw − lim inf An ⊂

A ⊂ s − lim sup An là đủ

Từ Mệnh đề 1.1.4 ta thấy rằng sự hội tụ theo Hausdorff sẽ kéo theo sự hội

tụ yếu và hội tụ theo Wijsman Về mối quan hệ giữa hội tụ Hausdorff và hội

1.2 Phần tử ngẫu nhiên đa trị

Trong phần này chúng tôi trình bày khái niệm phần tử ngẫu nhiên đa trị

1.2.2 Định lý Cho F : Ω → K(E) là ánh xạ đa trị, khi đó các phát biểusau là tương đương:

(i) F là phần tử ngẫu nhiên đa trị;

(ii) Tồn tại dãy {fn : n > 1} các lát cắt đo được của F sao cho F (ω) =cl{fn(ω)} với mọi ω ∈ Ω

Với tập mở O ⊂ E, ta ký hiệu

OK(E)− = {X ∈ K(E) : X ∩ O 6= ∅},

và gọi G = GK(E) là σ-đại số sinh bởi họ các tập OK(E)− như trên, nghĩa là

G = σ(O−K(E) : O mở ⊂ E)

Khi đó phần tử ngẫu nhiên đa trị F : Ω → K(E) được đưa ra trong Địnhnghĩa 1.3.1 chính là một ánh xạF /G-đo được Người ta đã chỉ ra rằngGC(E) =B(C(E)), nghĩa là GC(E) trùng với σ-đại số Borel trên C(E) (xét theo tôpôsinh bởi mêtric Hausdorff)

Một họ hữu hạn các phần tử ngẫu nhiên đa trị {F1, F2, , Fn} được gọi

với mọi K1, K2, , Kn ∈ K(E)

Một họ các phần tử ngẫu nhiên đa trị {Fi : i ∈ I} được gọi là độc lập nếumọi họ con hữu hạn của nó độc lập

Phân phối PF của phần tử ngẫu nhiên đa trị F : Ω → K(E) được địnhnghĩa bởi

PF(B) = P(F−1(B)), với mọi B ∈ G

Một họ các phần tử ngẫu nhiên đa trị {Fi : i ∈ I} được gọi là cùng phânphối nếu các phân phối PFi (i ∈ I) của chúng trùng nhau.

Các phép toán cho phần tử ngẫu nhiên đa trị được định nghĩa như sau:với F1, F2 là các phần tử ngẫu nhiên đa trị và ξ là biến ngẫu nhiên thực thì

(F1 ⊕ F2)(ω) = F1(ω) ⊕ F2(ω), ω ∈ Ω;

(ξF1)(ω) = ξ(ω)F1(ω), ω ∈ Ω;

(coF1)(ω) = coF1(ω), ω ∈ Ω,

trong đó ký hiệu coA là bao lồi đóng của A ⊂ E

Từ Định lý 1.2.2 trên, ta rút ra hệ quả sau

1.2.3 Hệ quả Cho F1, F2 là các phần tử ngẫu nhiên đa trị Khi đó

(i) các hàm dH(F1, F2), d(x, F1), s(x∗, F1) là các biến ngẫu nhiên thực với

x ∈ E, x∗ ∈ E∗;

(ii) các hàm F1⊕ F2, ξF1, coF1 là các phần tử ngẫu nhiên đa trị, trong đó ξ

là biến ngẫu nhiên thực

1.2.4 Định nghĩa Phần tử ngẫu nhiên đa trị F được gọi là khả tích nếu

S1

F 6= ∅; F được gọi là khả tích bị chặn nếu E|F | < ∞

Từ định nghĩa trên ta suy ra rằng nếu phần tử ngẫu nhiên đa trị F khảtích bị chặn thì nó khả tích Thật vậy, vì F là phần tử ngẫu nhiên đa trị nên

SF 6= ∅, nghĩa là tồn tại f ∈ SF Vì f là lát cắt hầu chắc chắn của F nên

kf k 6 |F | h.c.c., do đó Ekf k 6 E|F | < ∞, hay f khả tích Do vậy S1

F 6= ∅.Cho số thực p > 0, ta ký hiệu:

Lp là không gian các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực khả tích bậc p;

Lp[Ω, E] là không gian các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên E và khảtích bậc p;

Lp[Ω, K(E)] là không gian các phần tử ngẫu nhiên F nhận giá trị trên

K(E)và|F | ∈ Lp Các không gianLp[Ω, Kc(E)],Lp[Ω, Kbc(E)],Lp[Ω, C(E)],

Lp[Ω, Cc(E)] cũng được định nghĩa tương tự

1.3 Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên đa trị

1.3.1 Định nghĩa Cho F : Ω → K(E) là phần tử ngẫu nhiên đa trị, kỳvọng E[F ] (theo nghĩa Aumann) của F được cho bởi

1.4 Một số khái niệm liên quan

1.4.1 Định nghĩa Dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn : n > 1} nhận giá trịtrong C(E) được gọi là tight nếu với mọi ε > 0 tồn tại tập hợp con compact

Kε trong (C(E), dH) sao cho

P(Xn ∈ K/ ε) < ε, với mọi n > 1

1.4.2 Định nghĩa Dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn : n > 1} nhận giá trịtrong C(E) được gọi là compact khả tích đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại mộttập compact Kε trong C(E, dH) sao cho

E|XnI(Xn∈K/ ε)| < ε, với mọi n > 1

Ta xem xét các điều kiện sau đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn :

n> 1} nhận giá trị trong C(E)

n>1 E|Xn|p = M < ∞

Bây giờ ta chứng minh rằng điều kiện tight và moment bậc p bị chặn đềuđối với{Xn : n > 1} sẽ kéo theo điều kiện compact khả tích đều và điều kiện(1.4.1)

Thật vậy từ điều kiện moment bậc p(p > 1) bị chặn đều ta suy ra

vậy điều kiện (1.4.1) thỏa mãn Tiếp theo, với mọiε > 0, đặtε0 = (ε.M−1/p)q

trong đó q là số thỏa mãn 1/p + 1/q = 1 Từ điều kiện tight ta suy ra tồntại tập con compact Kε0 của C(E) sao cho

do đó dãy {Xn : n > 1} thỏa mãn điều kiện compact khả tích đều

Tiếp theo là một số vấn đề về phép nhúng một siêu không gian vào mộtkhông gian Banach Vào năm 1952, trong bài báo [6], Radstr¨om đã chỉ rarằng họ các tập con compact của một không gian Banach khả ly có thể đượcnhúng vào một không gian Banach khả ly nào đó, nghĩa là tồn tại không gianBanach khả ly X và ánh xạ đẳng cự j : Cc(E) → X Mệnh đề sau đây cho tatính chất của ánh xạ j

1.4.3 Mệnh đề Cho E là không gian Banach thực, khả ly Khi đó tồn tạikhông gian Banach (X, k.k) và ánh xạ đẳng cự j : Cc(E) → X thỏa mãn cáctính chất:

(i) dH(X, Y ) = kj(X) − j(Y )k;

(ii) j(X + Y ) = j(X) + j(Y );

(iii) j(αX) = αj(X), với α > 0

Kết quả sau đây thuộc về Puri và Ralescu [5]

1.4.4 Mệnh đề Cho X : Ω → Cc(E) là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trịcompact lồi thỏa mãn E|X| < ∞ Nếu j : Cc(E) → X là ánh xạ đẳng cựnhúng Cc(E) vào X thì E(j(X)) = j(E[X])

CHƯƠNG 2LUẬT SỐ LỚN CHO DÃY CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN

n

X

k=1

akA, 1n

Để ý rằng {ln : n > 1} là dãy các số nguyên không giảm nên hoặc ln → ∞

khi n → ∞, hoặc ln 6 C với mọi n> 1 Ta sẽ xem xét từng trường hợp như

theo Bổ đề 2.1.1 Vậy bổ đề đúng trong trường hợp này.

Trường hợp 2: ln 6 C với mọi n > 1 Lúc này ta có

2.2.1 Định lý Giả sử {Xn : n > 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập,nhận giá trị trong C(E), thỏa mãn điều kiện compact khả tích đều và

dH

1n

n

X

k=1

Xk, 1n

Theo bất đẳng thức tam giác ta có

dH1n

n

X

k=1

Xk, 1n

Do {Xn : n > 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập nên {XnI(Xn∈K/ ε) :

n> 1} cũng lập thành dãy các biến ngẫu nhiên độc lập Theo Mệnh đề 2.1.3

X

k=1

Xk, 1n

n

X

k=1

Yk, 1n

Với mỗi j, áp dụng Mệnh đề 2.1.3 cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập

{I(Yn=Kj) : n > 1} ta có

1n

X

k=1

Xk, 1n

n

X

k=1

E[coXk] 6 4ε h.c.c

Cho ε ↓ 0, ta thu được khẳng định (2.2.2)

Hệ quả sau đây được suy trực tiếp từ định lý trên

2.2.2 Hệ quả Cho {Xn : n > 1} là một dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập

và nhận giá trị trong C(E) thoả mãn điều kiện tight và supnE|Xn|p < ∞ với

p > 1 nào đó Khi đó

dH1n

n

X

k=1

Xk, 1n

Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày luật yếu số lớn

2.2.3 Định lý Cho {Xn : n > 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giátrị trong C(E) thỏa mãn điều kiện compact khả tích đều Khi đó,

khi và chỉ khi

dH1n

n

X

k=1

Xk, 1n

(B1)

+ P dH

1n

n

X

k=1

Yk, 1n

!

(B2)

+ P dH

1n

!

(B3)

+ P dH

1n

!

= 0

• Với (B3) Sử dụng tính chất dH(coX, coY ) 6 dH(X, Y ) và lập luận như

trong chứng minh của (B1) ta có

n

X

k=1

Yk, 1n

1n

+

1n

!

6 4

εE

1n

Tiếp theo, ta sẽ đánh giá biểu thức thứ hai ở vế phải của (2.2.6) Vì ánh

xạ j nhúng C(E) vào không gian Banach X nên nó sẽ chuyển K thành mộttập compact trong X, tức là j(K) = M là tập compact trong X Hơn nữa,

ta có thể giả thiết rằng M là tập lồi, đối xứng (nghĩa là nếu x ∈ M thì

Vì M là tập compact nên tồn tại các phiếm hàm f1, f2, , ft ∈ X∗ sao cho

kfik = 1 với mỗi i = 1, , t và thỏa mãn

j(coXkI(j(coXk∈M))) − jE[coXkI(j(coXk)∈M)]
∈ 2M

Vì vậy, với mỗi n thì

và (2.2.7) sẽ hội tụ tới 0 khi n → ∞ vì t hữu hạn Do đó (2.2.7) sẽ bé hơn

δ/4 với mọi n> N2(ε, δ) Hơn nữa

KẾT LUẬN

Kết quả chính của luận văn

Luận văn đã thu được các kết quả chính sau:

- Trình bày các khái niệm về không gian các tập con của không gianBanach và khoảng cách Hausdorff trên nó

- Trình bày về phần tử ngẫu nhiên đa trị và kỳ vọng của nó cùng với một

Hướng phát triển luận văn

Nghiên cứu luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn cho mảng kép các phần

tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact theo tôpô Hausdorff với điều kiệncompact khả tích đều

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, Nhà xuất bản Đại họcQuốc gia Hà Nội

[2] P Z Daffer and R L Taylor (1982), Tightness and strong laws of largenumbers in Banach spaces, Bull of Inst of Inst of Math., AcademiaSinica, 10, 251-263

[3] J C Hansen (1983), Strong law of large numbers for random compactsets in Banach, Bull Inst Math Statist., 12, 222

[4] E Gine, M G Hahn and J Zinn (1983), Limit theorems for randomsets: An application of probability in Banach space results, Probability

in Banach Spaces IV, Proceedings, Oberwolfach, 1982, Lecture Notes inMathematics, Vol 990, Springer-Verlag, 112-135

[5] M L Puri and D A Ralescu (1983), Strong law of large numbers forBanach space valued random sets, Ann Probability, 11, 222-224

[6] H Radstr¨om (1952), An embedding theorem for spaces of convex sets,Proc Amer Math Soc., 3, 165-169

[7] R L Taylor and H Inoue (1985), A strong law of large numbers forrandom sets in Banach space, Bulletin of the Institute of MathematicsAcademia Sinica, 13(4), 403-409

- Trình bày phần tử ngẫu nhiên đa trị kỳ vọng với

Hướng phát triển luận văn

Nghiên cứu luật mạnh số lớn luật yếu số. ..

Nghiên cứu luật mạnh số lớn luật yếu số lớn cho mảng kép phần

tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact theo tơpơ Hausdorff với điều kiệncompact khả tích