Một phương pháp tiếp cận giải bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

Tiếp cận phương pháp nhánh và cắt giải bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn.. Trong các bài toán quy hoạchnguyên ngẫu nhiên, người ta chia ra: lớp bài quy hoạch nguyên ng

Mục lục

trang

Mở đầu 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Một số vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất 5

1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính (QHTT) nguyên ngẫu nhiên 7

1.3 Phương pháp cắt giải bài toán QHTT nguyên 13

1.4 Phương pháp nhánh và cận giải bài toán QHTT nguyên 14

Chương 2 Tiếp cận phương pháp nhánh và cắt giải bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn 17

2.1 Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn 17

2.2 Cây phân nhánh 19

2.3 Bài toán "chiếc túi" ngẫu nhiên 25

2.4 Về việc phân nhánh và cắt 36

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 41

Mở đầu

Một trong những phương pháp hiệu quả giải bài toán quy hoạch làphương pháp cắt Trong bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên tất định,những người đầu tiên có ý tưởng và đề xuất lược đồ cắt, đó là Dangtzig,Fulkerson, Johnson Nhưng Gomory mới là người đầu tiên thành công trongviệc xây dựng những lát cắt để đảm bảo thuật toán hữu hạn (mà chúng tathường gọi là nhát cắt Gomory 1, nhát cắt Gomory 2) Tiếp theo, nhiềunhà khoa học khác cũng đã đề xuất những nhát cắt khác Chẳng hạn trong[4] đã chỉ ra kết quả mới "thuật toán cắt tọa độ" giải bài toán quy hoạchrời rạc có hiệu quả

Bài toán quy hoạch nguyên với sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên đượcgọi là bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên Trong các bài toán quy hoạchnguyên ngẫu nhiên, người ta chia ra: lớp bài quy hoạch nguyên ngẫu nhiênmột giai đoạn, lớp bài quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn và lớpbài quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn Các hướng tiếp cậnnhằm tìm lời giải cho mỗi lớp bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên cũng

đã và đang được các nhà khoa học trên thế giới quan tâm

Cũng như quy hoạch tuyến tính nguyên, các nhà khoa học cũng đãtìm cách sử dụng lược đồ cắt và đi xây dựng những lát cắt có hiệu quảtrong việc giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên (chẳng hạn: Yongpei Guan,Shabbir Ahmed, Z.L Chen, F Louveaux, G Infanger, D.P Morton ).Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn có nhiều ứngdụng trong thực tiễn Vì vậy, việc nghiên cứu nhằm tìm ra thuật toán giảibài toán quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn là có ý nghĩa khoa học và

ý nghĩa thực tiễn rộng lớn

Với lý do như vậy, chúng tôi lựa chọn đề tài: Một phương pháp tiếpcận giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên nguyên nhiều giai đoạn".Tài liệu tham khảo chính là bài báo Cutting planes for multi-stagestochastic integer programs, của tác giả Yongpei Guan, Shabbir Ahmedand George L Nemhauser, thuộc trường Đại học Kỹ thuật Atlanta, công

bố năm 2006 (xem [5])

Nội dung của luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trìnhbày một số khái niệm thuộc lý thuyết xác suất - thống kê; các vấn đề lýthuyết quy hoạch tuyến tính nguyên và bài toán quy hoạch tuyến tínhnguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn; Đồng thời để làm công cụ nghiên cứucho đề tài chúng tôi nêu một số vấn đề về lược đồ cắt và kỹ thuật phânnhánh

Chương 2: Tiếp cận phương pháp nhánh và cắt giải bài toánquy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn Đây là nội dungchính của luận văn Trong chương này, chúng tôi trình bày lớp bài toáncần nghiên cứu cùng với các kiến thức liên quan của nó Tiếp đó, chúngtôi trình bày một mô hình đặc trưng của bài toán quy hoạch nguyên ngẫunhiên, đó là bài toán "chiếc túi" ngẫu nhiên Cuối cùng là phân tích việcphân nhánh và cắt mà nội dung trước đó đã bàn tới

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin được

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy đối vớitác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Cũng nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn các thầy giáo, cô giáotrong Bộ môn Xác suất Thống kê và Toán ứng dụng, các thầy cô giáotrong Hội đồng chấm luận văn, khoa Toán, khoa Sau Đại học Trường Đại

học Vinh Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn về sự giúp đỡ, tạo điềukiện cho chúng tôi học tập, công tác của Trường THPT Lê Hồng Phong.Cũng nhân dịp này, cho phép tôi nói lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, đãquan tâm, góp ý và tạo điều kiện giúp đỡ tôi thực hiện luận văn này.Mặc dù đã cố gắng song luận văn không tránh khỏi những sai sót Tácgiả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô giáo và cácbạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

A3) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A (hoặc A ∩ B ∈ A).

Lớp F ⊂ P(Ω) được gọi là σ -đại số nếu nó là đại số và ngoài ra cóA4) Nếu An ∈ F , ∀n = 1, 2, thì S∞

n=1An ∈ F (hoặc là T∞

n=1An ∈ F ).1.1.1.2 Không gian đo và độ đo xác suất

Cặp (Ω, F ) được gọi là một không gian đo, trong đó Ω là tập bất kỳkhác rỗng, F là một σ - đại số các tập con của Ω

Giả sử (Ω, F ) là một không gian đo Một ánh xạ P : F −→ R được gọi

là độ đo xác suất trên F nếu:

A1) P(A) ≥ 0, với mọi A ∈ F

1.1.1.3 Không gian xác suất

Giả sử Ω là tập bất kỳ khác rỗng, F là một σ - đại số các tập con của

Ω, P là độ đo xác suất trên F Khi đó bộ ba (Ω, F, P) được gọi là không

gian xác suất.

Tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp

σ - đại số F được gọi là σ - đại số các biến cố

Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố

Không gian xác suất (Ω, F , P) được gọi là không gian xác suất đầy đủnếu mọi tập con của biến cố có xác suất không đều là biến cố

1.1.1.4 Đại lượng ngẫu nhiên

Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất; G là σ- đại số con của σ- đại số

F ; B là σ- đại số Borel trên R Khi đó ánh xạ X : Ω −→ R được gọi là đạilượng ngẫu nhiên G-đo được, nếu với mọi B ∈ B, ta có

X−1(B) := {ω : X(ω) ∈ B} ∈ G

Khi X là đại lượng ngẫu nhiên F -đo được thì X gọi đơn giản là đại lượngngẫu nhiên

1.1.1.5 Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên

Giả sử X : (Ω, F , P) → (R, B) là đại lượng ngẫu nhiên Khi đó tích phânLebesgue của X theo độ đo P (nếu tốn tại) được gọi là kỳ vọng của X, kýhiệu là EX Vậy

EX =

Z

Ω

XdP

1.1.1.6 Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên

Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên Khi đó số DX = E(X − EX)2 (nếutồn tại) gọi là phương sai của X

1.1.2 Các tính chất

1.1.2.1 Tính chất của kỳ vọng

Giả sử X, Y, ξ là các đại lượng ngẫu nhiên cùng xác định trên khônggian xác suất (Ω, F , P), a ∈ R, α ∈ E Khi đó nếu tồn tại EX, EY, Eξ thì:a) Tồn tại E(X + Y ) và E(X + Y ) = EX + EY

b) Tồn tại E(aX) và E(aX) = aEX.

c) Tồn tại E(αξ) và E(αξ) = αEξ

d) Nếu P(X = a) = 1 thì EX = a

e) Nếu ξ và X độc lập thì E(ξX) = Eξ.EX

f) Với mọi ánh xạ tuyến tính T : E −→ E0 (E0 là không gian Banach khảli) thì tồn tại E[T (X)] và E[T (X)] = T [E(X)]

1.1.2.2 Tính chất của phương sai

Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên, ξ là đại lượng ngẫu nhiên cùng xácđịnh trên không gian xác suất (Ω, F , P), a ∈ R, α ∈ E Khi đó

a) D(aX) = a2DX

b) D(αξ) = kαk2Dξ

c) DX = 0 ⇐⇒ X = EX (h.c.c)

1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên

1.2.1 Các khái niệm cơ bản

Bài toán quy hoạch tuyến tính rời rạc có dạng

xj ≥ 0, j = 1, 2, , n

xj ∈ Dj = {dj1, dj2, , djk

j}, j ∈ {1, 2, , n},trong đó dji ∈ R, k phụ thuộc xj

Khi Dj là tập các số nguyên thì ta có bài toán quy hoạch tuyến tínhnguyên Tập hợp những điểm nguyên của tập D có thể hữu hạn hoặc vôhạn Các tọa độ của nó nằm trong một đoạn thẳng, đường thẳng hay rờirạc dưới dạng liệt kê

Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên tổng quát có dạng

xj ≥ 0, j = 1, 2, , n

xj ∈ Z, j ∈ {1, 2, , n}

Hàm f (x) được gọi là hàm mục tiêu Các điều kiện của bài toán gọi làđiều kiện buộc Điểm x = (xj) ∈ Z thoả mãn các điều kiện của bài toángọi là phương án Phương án x đạt cực tiểu hàm mục tiêu gọi là phương

án tối ưu (hoặc là nghiệm) của bài toán

1.2.2 Tính chất của bài toán

Bài toán quy hoạch tuyến tính có các tính chất quan trọng sau:

+ Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu thì tồn tạiphương án cực biên (đỉnh) tối ưu

+ Tập phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính là tập lồi đa diện

có hữu hạn điểm cực biên

+ Phương án x = (xj) là cực biên khi và chỉ khi tương ứng với xj >

0, (xj ∈ Z) thì hệ vectơ cột aj của ma trận A = (aij) là độc lập tuyến tính,trong đó

aj = (a1j, a2j, , amj)

+ Mọi bài toán quy hoạch tuyến tính rời rạc đều có thể chuyển về bàitoán quy hoạch tuyến tính nguyên Phương pháp chuyển một bài toán quyhoạch tuyến tính rời rạc về bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên đượcthực hiện như sau:

* Nếu các giá trị dji cách đều thì ta chỉ cần thay đổi đơn vi đo, đổi biếnthì ta sẽ có các giá trị nguyên tương ứng

* Nếu các giá trị dji cách nhau không đều thì ta thay biến xj bởi cácbiến xij như sau

1.2.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên

Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên khi dữ liệu phụ thuộc biến ngẫunhiên thì gọi là Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên Để phânloại bài toán quy hoạch ngẫu nhiên, người ta dựa vào quá trình thực hiệnđiều chỉnh phương án khi có tác động của biến ngẫu nhiên vào dữ liệu Cụthể:

+ hoặc là: Phương án - quan sát - phương án - - quan sát - phươngán,

+ hoặc là: Quan sát - phương án - quan sát - - quan sát - phương án

Số lần lặp lại điều chỉnh "phương án" của quá trình nêu trên đượccoi là số giai đoạn Từ đó cho ta các lớp bài toán quy hoạch tuyến tínhngẫu nhiên "một giai đoạn", "hai giai đoạn (Two-Stage Stochastic Linear

Progamming - (2SSLP ))", , "nhiều giai đoạn (Multistage StochasticLinear Programs)".

Chi tiết về mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giaiđoạn được xét tới như sau:

Chúng ta tiếp cận với bài toán có điều kiện ràng buộc phụ thuộc vàobiến ngẫu nhiên Cụ thể ta xét bài toán

(SLP ) mincTx : Ax = b, T x = h, x ≥ 0 ,trong đó c là ma trận cấp n × 1; x là ma trận cấp n × 1; b là ma trận hệ

số cấp m × 1; A là ma trận hệ số cấp m × n; h là ma trận cấp p × 1 và T

là ma trận cấp p × n, các phần tử của các ma trận h và T là các biến ngẫunhiên có phân phối xác suất đã biết

Giả sử h hoàn toàn chưa biết, nhưng biết hàm phân phối của nó, với

kỳ vọng hữu hạn Eh Rõ ràng không thể xác định x từ các phương trình

T x = h Sự khác nhau giữa T x và h cũng chính là một biến ngẫu nhiên cóhàm phân phối phụ thuộc vào x Ta phải "trả giá" cho sự phụ thuộc này

Do vậy, bài toán của ta là quyết định làm cực tiểu hàm cTx và cần có mứcphạt cho sự khác nhau phải trả giá đó

Kỹ thuật hai bước nhằm chuyển bài toán (SLP) về một bài toán tấtđịnh theo giá trị kỳ vọng tương ứng Quá trình giải bài toán (SLP) gồmhai bước:

Bước thứ nhất: Chọn vectơ x không âm nào đó thoả mãn những điềukiện nhất định đã biết nào đó

Bước thứ hai: Chúng ta bổ sung độ lệch giữa T x và h bởi một ma trận

bổ sung W và một biến phạt y thoả mãn

W y = h − T x

Do thông tin không đầy đủ, ta đặt d là vectơ phạt và đi tìm giá trị nhỏ

nhất của dTy với điều kiện bổ sung độ lệch

Q(x) = Eξ∈Ω[Q(x, ξ)],Q(x, ξ) = min dT(ξ)y

với điều kiện

P(ξ = ξi) = pi.Khi đó

Thời gian gần đây, nhiều nhà toán học đã và đang tìm những thuật toán

để giải bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn, và thực tế

đã có nhiều thuật toán khá tin cậy

Để giải bài toán nhiều giai đoạn, người ta quan sát ở từng giai đoạn,tương tự như việc xét hai giai đoạn, giả sử ở giai đoạn hai ta đã xét bàitoán

(LP 1) Q1 = min

x {cT1x1 + Eω∈Ω[Q(x1, ω)]},

với điều kiện

* Nếu xj0 nguyên (j = 1, 2, , n) thì x(0) là phương án tối ưu cần tìm

* Nếu ngược lại, ta bổ sung vào bài toán quy hoạch tuyến tính điều kiện

Điều kiện (1.2) như vậy được gọi là nhát cắt hợp cách Người ta cũng đưa

ra nhiều nhát cắt hợp cách khác nhau để giải bài toán quy hoạch nguyên

có hiệu quả Sau đây, xin trình bày thuật toán với nhát cắt Gomory

trong đó xkj là tọa độ thứ k của vectơ Aj trong cơ sở của x(0) (các phần

tử của vectơ Aj trong bảng đơn hình của x(0))

Nhát cắt thiết lập theo công thức (1.3) được gọi là nhát cắt Gomory, cóthể thấy rằng nhát cắt Gomory là hợp cách

1.4 Phương pháp nhánh và cận giải bài toán QHTT nguyên

Giả sử Ω = {w1, w2, , wS}, πs := P({ws}), ξs := ξ(ws), s = 1, 2, , S.Chúng ta đã biết quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn là bài toán tối ưuhoá hữu hạn chiều Cho σ-đại số F là họ tập 2Ω của Ω Mỗi đại số con

Ft, t = 1, , T, tồn tại một họ hữu hạn Et ⊆ 2Ω là sự phân hoạch của Ω

và sinh ra Ft

Từ Ft ⊆ Ft+1, mỗi phần tử của Et là hợp của những phần tử trong Et+1

Số phần tử trong Et trùng với số phần tử khác nhau trong số (ξτ1)tτ =1, , (ξτS)tτ =1,thể hiện của ξ theo thời gian t Mối quan hệ giữa mỗi phần tử của Et và

Et+1, t = 1, , T −1, có thể được biểu diễn bởi một cây được gọi là cây phânnhánh (scenario tree) Các đỉnh của cây xảy ra ở các lớp t = 1, , T − 1,với mỗi đỉnh tương ứng một phần tử của Et theo t ∈ {1, , T } Cung chỉtồn tại giữa những đỉnh xếp kề nhau Mỗi đỉnh (phần tử) thuộc Et thì liên

thông với tất cả các đỉnh (phần tử) thuộc Et+1 mà hợp thành với Et Nhánh(the scenario) ξs = (ξτs)Tτ =1, s = 1, , S, phù hợp với đường cực đại củacây phân nhánh.

Theo quan điểm của cây phân nhánh, sự không đoán trước được củaquyết định X = (Xs)Ss=1 = (X(ws))Ss=1 nói lên rằng thành phần của Xs và

Xs0 phải đạt tới những giá trị giống nhau miễn là phù hợp với ξs và ξs0.Lúc này ta có hệ phương trình tuyến tính như sau, với mọi t = 1, 2, , T :

Xts = Xts0; ξτs = ξτs0, ∀s, s0 ∈ {1, 2, , S}, τ = 1, 2, , t

ý tưởng chính của phương pháp là thực hiện phân nhánh để chia tậpphương án M thành những phần nhỏ dần Trên mỗi phần nhỏ của tập M ,xác định cận của hàm mục tiêu Từ đó loại bỏ dần những phần không cókhả năng chứa nghiệm Như vậy, công việc chính của phương pháp là tìmcách phân nhánh, tính cận và lựa chọn loại bỏ sao cho sau hữu hạn bướclặp có được câu trả lời của bài toán Nhiệm vụ của phương pháp nhánh vàcận là thực hiện "phân nhánh", "tính cận" và "loại bỏ" sao cho quá trìnhhội tụ về nghiệm cần tìm

Từ đó ta có γ(Mi) ≥ γ(Mj), ∀i = 1, 2, , k Đồng thời

f (x?) = min{f (x) : x ∈ M } ≥ min γ(Mi) = γ(Ms)

Do đó nếu f (x?) = γ(Ms) thì x? là phương án tối ưu cần tìm

1.4.3 Lựa chon và loại bỏ

Mi ∩ Mj = ∅, i 6= j

Khi đó

γ(Ms) = min γ(Mi), i = 1, 2, , k,tức là

γ(Ms) 6 γ(Mi), ∀i = 1, 2, , k,nên

Giả sử ở bước k, biết được phương án x mà f (x) 6 f (x), với mọi phương

án x đã biết, lúc này ta nói x là phương án kỷ lục, f (x) là giá trị kỷ lục.Nếu có Mj mà γ(Mj) ≥ f (x) thì Mj bị loại bỏ (nếu Mj = ∅ thì Mj cũng

bị loại bỏ)

Chương 2

Tiếp cận phương pháp nhánh và cắt

giải bài toán quy hoạch nguyên

ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

Trong chương này, chúng tôi tham khảo những kết quả chính của các tácgiả Yongpei Guan, Shabbir Ahmed và George L Nemhauser trong côngtrình [5]

2.1 Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạnNhư mục 1.2.3 đã mô tả tổng quát bài toán quy hoạch nguyên ngẫunhiên nhiều giai đoạn Trong mục này, chúng ta đưa ra một lớp bài toánquy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn như trong tài liệu tham khảo[5] đã đề cập tới

Xét sự mở rộng của (2.1) bằng một thay đổi ngẫu nhiên Giả sử bài toánnhững tham số (α, β, G, A, b) thay đổi ngẫu nhiên không phụ thuộc nhauvới không gian xác suất hữu hạn Cấu trúc này càng thấy rõ khi một cây

phân nhánh T = (V, E ) với chu kỳ T mà ở đỉnh i ∈ V tại thời điểm t củacây có thể khác với kết quả giai đoạn t Xác suất tương ứng với đỉnh i là pi.Tập những điểm trên đường dẫn từ các điểm nghiệm (biểu thị khi i = 0)tới đỉnh i biểu thị bởi P(i) Việc chọn (xi, yi) ứng với một đỉnh i có thểthực hiện được thông qua (αi, βi, {Gij}j ∈ P(i), bi) nhưng không thể đoántrước những thể hiện tiếp theo Mục đích của chúng ta là nhằm giảm đếnmức thấp nhất chi phí Từ (2.1) chúng ta có bài toán quy hoạch nguyênngẫu nhiên nhiều giai đoạn như sau:

2.1.2 Các khái niệm

2.1.2.1 Tập dẫn và tập cây

Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn (2.2) có thể thểhiện bởi tập XT và xem tập này như là tập cây Mỗi bất đẳng thức là điềukiện để tạo nên tập hợp X thì ta nói bất đẳng thức có nghĩa đối với X.Việc phát triển những bất đẳng thức có nghĩa đối với tập cây XT bởi tổhợp những bất đẳng thức có nghĩa đối với những tập dẫn được biểu diễn

cây XT Hơn nữa, tập dẫn Xi là điều kiện cần để giải bài toán nhiều giaiđoạn tất định (2.1) với từng giai đoạn t(i), trong đó t(i) là số giai đoạncủa đỉnh i trong cây phân nhánh T Như vậy, biết được những bất đẳngthức có nghĩa đối với mô hình tất định (2.1) là có ý nghĩa đối với tập dẫn

Xi cũng như với tập cây XT Những bất đẳng thức có nghĩa tương ứng vớinhững tập dẫn khác nhau gọi là những bất đẳng thức dẫn để từ đó có thểthu được tổ hợp bất đẳng thức có nghĩa mới gọi là bất đẳng thức phân câyđối với tập cây

Trong công trình Sequential pairing of mixed integer inequalities, công

bố năm 2006, các tác giả Y Guan, S Ahmed và G L Nemhauser đã chứngminh được định lý sau đây

2.1.2.2 Định lý Giả sử bất đẳng thức g1x + a1y ≥ b1 và g2x + a2y ≥ b2với b1 6 b2 là có nghĩa với tập con X ⊂ Rp+× Zn

+, thì bất đẳng thức đôi

ϕx + φy ≥ b2,trong đó ϕ = max{g1, g2} và φ = mina1 + (b2 − b1), max{a1, a2} , là cónghĩa đối với X

Định lý 2.1.2.2 cho thấy có thể nhập 2 bất đẳng thức thành 1 bất đẳngthức Việc nhập 2 bất đẳng thức thành 1 bất đẳng thức như vậy, gọi là sựghép đôi

2.2 Cây phân nhánh

Xét tập những bất đẳng thức có nghĩa, sự ghép đôi có thể thực hiệnnhiều lần để có được những bất đẳng thức có nghĩa mới Thứ tự trongnhững bất đẳng thức ghép đôi khác với thứ tự những bất đẳng thức mới.Một sắp xếp tự nhiên là ghép đôi theo dãy Chẳng hạn khi cho những bấtđẳng thức có nghĩa K

gix + aiy ≥ bi, i = 1, 2, , K

với tập X = Rp+ × Zn

+ sao cho b1 6 b2 6 bK thế thì bất đẳng thức đôitheo dãy thu được do sự ghép đôi bất đẳng thức với i = 1, i = 2 và lầnlượt cũng có kết quả bất đẳng thức đôi với i = 1, 2, , K Khi đó chúng

ta nhận được một họ những bất đẳng thức có nghĩa trong tập cây XT từtập những bất đẳng thức dẫn

Giả sử những hệ số của bất đẳng thức dẫn không âm, các hệ số aj

có thể giảm vì max{0, aj} Do vậy, ta cần bổ sung ký hiệu liên quan vớicây phân nhánh Mỗi đỉnh i của cây phân nhánh T trừ nghiệm tại i = 0chỉ có một gốc duy nhất a(i) và mỗi đỉnh i là nghiệm của cây nhỏ hơn

T (i) = V(i), E(i)
chứa nghiệm ít hơn đỉnh i của cây phân nhánh T vìvậy T = T (0) và V = V(0) Mỗi giai đoạn ứng với đỉnh i biểu thị bởi t(i),trong đó tập điểm R ⊆ V, VR := ∪i∈RP(i) và R(j) := R ∩ V(j), ∀j ∈ VR.2.2.1 Bất đẳng thức phân cây

2.2.1.1 Định lý Cho tập điểm R = {i1, , iK} ⊆ V Giả sử bất đẳngthức

i∈R {aij}, X

i k ∈R(j)

(bik − bik−1)

o, với bi0 = 0